K dạng vi phân bất biến trái với giá trị vectơ

Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh ngô văn mạnh k - dạng vi phân bất biến trái với giá trị vectơ Luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2009 Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh ngô văn mạnh k - dạng vi phân bất biến trái với giá trị vectơ Chuyên ngành: Hình Học - Tôpô mà số: 60.46.10 Luận văn thạc sĩ toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: PGS TS Ngun h÷u quang Vinh - 2009 MỤC LỤC Trang Lời nói đầu Chƣơng K- dạng vi phân với giá trị vectơ I K- dạng vi phân với giá trị vectơ II Ánh xạ đối tiếp xúc Chƣơng K- dạng vi phân bất biến trái với giá trị vectơ 16 I Nhóm Lie 16 II Trường vectơ bất biến trái 19 III K- dạng vi phân bất biến trái với giá trị vectơ 26 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 LỜI NÓI ĐẦU K - dạng vi phân với giá trị vectơ có nhiều ứng dụng lĩnh vực vật lý ngành khác toán học như: Giải tích, hệ động lực, hình học tơpơ K - dạng vi phân công cụ để nghiên cứu tốn biến phân thể tích miền compact đa tạp Riemann Vì vậy, nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm Trong luận văn này, chúng tơi trình bày cách có hệ thống k - dạng vi phân với giá trị vectơ dạng vi phân bất biến trái nhóm Lie bổ sung số tính chất chúng Do đó, luận văn mang tên: K- dạng vi phân bất biến trái với giá trị vectơ Luận văn trình bày hai chương: Chƣơng K- dạng vi phân với giá trị vectơ Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm Kdạng vi phân với giá trị vectơ, ánh xạ đối tiếp xúc tính chất k- dạng vi phân với giá trị vectơ Chương xem phần sở cho chương việc trình bày chương Chƣơng K- dạng vi phân bất biến trái với giá trị vectơ Chương nội dung luận văn Ở đây, chúng tơi trình bày cách hệ thống nhóm Lie trường vectơ bất biến trái nhóm Lie Từ trình bày việc xây dựng khái niệm k- dạng vi phân bất biến trái với giá trị vectơ bổ sung số tính chất chúng Luận văn hồn thành tháng 12 năm 2009 Khoa sau Đại học trường Đại học Vinh, hướng dẫn PGS TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với hướng dẫn tận tình Thầy Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo tổ mơn Hình học - Tơpơ, thầy giáo Khoa Tốn, Khoa Sau Đại học, trường Đại học Vinh nhiệt tình giảng dạy tạo điều kiện cho tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Cũng này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT Nghi Xuân, bạn bè, đồng nghiệp gia đình động viên, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hồn thành luận văn Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả Chƣơng K- DẠNG VI PHÂN VỚI GIÁ TRỊ VECTƠ I K - DẠNG VI PHÂN VỚI GIÁ TRỊ VECTƠ Trong chương này, giả thiết M đa tạp Riemann thực n- chiều U tập mở M Ta ký hiệu: +) TuM không gian vectơ tiếp xúc với M u  U +) TM  Tu M uU +) Ak (Tu M , R m )  { u : Tu M   Tu M  R m u : ánh xạ k- tuyến tính phản ứng} 1.1 Định nghĩa Ánh xạ : U   Ak (Tu M , R m ) uU u u , u  Ak (Tu M , R m ) gọi dạng vi phân bậc k xác định U  M với giá trị Rm Ta quy ước: Một dạng vi phân bậc ánh xạ f : U  R m m Từ u : T u M  . Tu M  R , nên u có dạng (1(u), , m(u)),  j  Ak (Tu M , R) Vì vậy, ta có biểu diễn:  = (1, , m);  j  k ( M , R) ; i = 1, 2, , m (các j k - dạng vi phân thực xác định U)  gọi khả vi j khả vi Từ nay, nói k - dạng vi phân với giá trị Rm, ta hiểu k - dạng vi phân khả vi Nhận xét  khả vi (X1, , Xn) khả vi; (X1, , Xn); Xj  B(U); j = 1, , n Thật vậy: (X1, , Xn) = (1(X1, , Xn), , m(X1, , Xn))  khả vi  j khả vi; j = 1, , m  j(X1, , Xn) khả vi; (X1, , Xm); Xj  B(U) Ta ký hiệu: k(U, Rm) = {| k- dạng vi phân U lấy giá trị Rm} k(M, Rm) = {| k- dạng vi phân M lấy giá trị Rm} k(U) trang bị phép toán sau: Phép cộng:  + ’: u  u + ’u Phép nhân với hàm khả vi: : u  uu;   T(U) Nhận xét: k(U; Rm) mơđun vành T(U) 1.2 Ví dụ Giả sử M = R3, (R3 với tọa độ (x, y, z)); ta xét:  = (xdz  dy, ydz  dz, zydx  dz) Khi  - dạng vi phân R3 với giá trị vectơ R3.(   2(R3, R3)) 1.3 Định nghĩa Giả sử   k(M, Rm);   l(M, Rm) Tích   ký hiệu    xác định bởi: (  )( X 1, , X k  )   (1)   ( k ) ( k 1)   ( k  ()(( X (1) , , X ( k ) )( X ( k 1) , , X ( k l ) )) ) với Xj  B(M); j = 1, , k  Trong : p  p; p  M p: TpM  TpM  Rm (x(xi), y(yi)) (x1y1, , xmym) 1.4 Mệnh đề Giả sử  = (1, , m) k ( M , R m ) ;  = (1, , m) l (M , R m ) ; j  k(M, R); j  l(M, R) Khi    = (1  1, , m  m) Chứng minh: Theo định nghĩa ta có: (  )(X1, , X k  ) =  = (1)   ( k ) ( k 1)   ( k  ()(1 ( X  (1) , , X ( k ) )1 ( X  ( k 1) , , X ( k l ) ); ; ) (m ( X(1) , , X ( k ) )m ( X ( k 1) , , X ( k l ) ))     =  ()i ( X  (1) , , X ( k ) )i ( X  ( k 1) , , X  ( k l ) )   i 1 (1)   ( k )       (k )  ( k 1)  m m = (  )( X , , i i 1 Suy ra: i X k   ; Xj  B(M); j = 1, , k     = (1  1, , m  m) Ví dụ: Xét M = R3,  = (xdx  dy, ydy  dz, xydx  dz)  = (ydx, xdy, xydz) Thật vậy, ta có:    = (0, 0, 0) 1.5 Chú ý Ta quy ước f   = (f1, , fm); Trong đó: f  0(M, Rm) fj hàm tọa độ f; với j = 1, , m, (1, , m)  k(Rm) 1.6 Định nghĩa Giả sử   k(M, Rm)  = (1, , m) vi phân ngồi  ký hiệu d xác định: d = (d1, , dm) 1.7 Nhận xét Nếu    k (M) d(d) = Thật vậy, giả sử  = (1, , m); j   k (M, R); j = 1, , m Ta có: d = (d1, , dm)  d(d) = d(d1, , dm) = (dd1, , ddm) = Vậy d(d) =  Ví dụ: Xét   1 ( R3 , R ) ; với  = (xdy, xydz) Ta có: d = (dx  dy, ydx  dz + xdy  dz) 1.8 Mệnh đề Giả sử   k(M, Rm)    (M, Rm) Khi đó: d(  ) = d()   + (-1)k  (d) Chứng minh: Giả sử   k(M, Rm),  = (1, , m)    (M, Rm),  = (1, , m) Theo mệnh đề 1.4 ta có:    = (1  1, , m  m)  d(  ) = (d(1  1), , d(m  m)) = (d1  1 + (-1)k1  d1, , dm  m + (-1)km  dm) = (d1  1, , dm  m) + ((-1)k1  d1, , (-1)km  dm) = d()   + (-1)k  (d) Vậy d(  ) = d()   + (-1)k  (d) 1.9 Nhận xét Nếu f : U  Rm   k(M, Rm) d(f) = df   + f(d)  Chứng minh: Giả sử f  0(Rm)   k(M, Rm) Ta có: d(f) = d(f  ) = df   + (1)0 f  d (theo b) = df   + f  d Vậy d(f) = df   + f(d)  II ÁNH XẠ ĐỐI TIẾP XÚC Như ta biết (xem [5]): Giả sử f : U   Rm; x(x1, , xn) f(x) = (f1(x), , fm(x)) (với (U, xi) đồ M) gọi khả vi a  U hàm tọa độ:  R fi : U  x fi(x); i = 1, , m có đạo hàm riêng liên tục a * Hàm f gọi khả vi U khả vi a  U Nếu f khả vi a = (a1, , am)  U f có ma trận:  f1  x ( x)   f ( x) J f (a)   x1     f m ( x)  x1 f1 f1  ( x) ( x)  x2 xn  f f  ( x) ( x)  x2 xn    f m f m ( x) ( x)   a x2 xn J f ( a ) gọi ma trận Jacobi hàm f a * Giả sử f : M  N khả vi a = (a1, , an)  M g : N  G khả vi b = f(a) = (f1(a), , fm(a))  N Khi hàm hợp gf : M  G khả vi a Jg f(a) = Jg(b).Jf(a)  18  Ra song ánh  Ta chứng minh Ra liên tục: Cho lân cận V xa, ta chứng minh tồn lân cận U x để Ra(U)  V Thật vậy, từ tính liên tục phép tốn nhóm  G, tồn lân cận U x lân cận V a để UV  V Nhưng Ra(U) = Ua  UV Do Ra(U)  y, tức U lân cận cần thiết Mặt khác, ta cã: id(x) = x = x.a.a-1 = Ra Ra  id = Ra Ra 1 1  x  ; x  G  x  Ra =  Ra  1 1   Ra  liªn tôc 1  Chứng minh Ra khả vi: Ký hiệu  phép tốn nhóm G ký hiệu: f : G  G  G f(x) = (x, a); với x  G x Thế thì: f  G   G  G   G x (x, a)  xa Ra =   f Mà ánh x ó cho l kh vi f khả vi; Nên Ra f khả vi T-ơng tự ánh xạ (Ra)1 kh vi Vy Ra l mt vi phụi Chng minh t-ơng tự nh- trên, ta thu đ-ợc ánh xạ La vi ph«i  19 II TRƢỜNG VECTƠ BẤT BIẾN TRÁI 2.4 Định nghĩa Trường vectơ X khả vi nhóm Lie G gọi trường vectơ bất biến trái (La)*X = X ; a  G Nghĩa là: ((La)*p)(Xp) = Xap ; p  G 2.5 Ví dụ Lấy G = Rn, với a  Rn, La : Rn  Rn p a+p (tức phép tịnh tiến: (x1, x2, , xn) Khi đó: J La 1       0 (a1 + x1, a2+ x2, , an + xn)) 0       Giả sử X trường vectơ bất biến trái Rn thì: (La)*|pXp = Xa+p   X1  a  p        X a  p  n  1      =       0 ( Trong ®ã X(X1, …, Xn))  X1  a  p   X1  p       ; p  Rn    X n  a  p   X n  p  0        X1  p              X  p   n  20  X1, , Xn hàm X tr-ờng vectơ song song Rn Vy X l trng vect bất biến trái Rn X trường vectơ song song Rn 2.6 Nhận xét 1) Mỗi trường vectơ bất biến trái hoàn toàn xác định giá trị đơn vị Thật vậy, X trường vectơ bất biến trái nhóm Lie G, a  G, ta có: Xa = (La)*e Xe 2) Ta ký hiệu: G = {X  B(G)X bất biến trái G}; G không gian vectơ thực 3) Ánh xạ  : G  TeG; X Do đó: Xe đẳng cấu tuyến tính dimG = dimG 2.7 Mệnh đề Tích Lie hai trường vectơ bất biến trái nhóm Lie G trường vectơ bất biến trái Chứng minh: Với X, Y  G, a  G ta có: (La*|p([X, Y]p)(f) = [X, Y]p(f  La); f, p = Xp(Y(f  La))  Yp(X(f  La)) = Xp((La)*Y(f))  Yp((La)*X(f)) = Xp(Y(f))  Yp(X(f)) = [X, Y]p(f), f, p Suy ra: (La)* [X, Y] = [X, Y] Vậy: [X, Y]  G  21 2.8 Hệ Tập G trường vectơ bất biến trái nhóm Lie G đại số Lie G gọi đại số Lie nhóm Lie G 2.9 Bổ đề Nếu  : G  K đồng cấu (đại số) từ nhóm Lie G vào nhóm Lie H thì:   La = L(a)   Chứng minh: Ta có:   La(p) = (La(p)) = (ap) = (a).(p) = L(a)((p)) = (L(a)  )(p), p  G Vậy:   La = L(a)    2.10 Mệnh đề Cho  : G  K đồng cấu nhóm Lie, ký hiệu G, K theo thứ tự đại số Lie nhóm Lie G K, X  G, Y  K Nếu * |e Xe = Ye’ * |a Xa = Y(a), a  G (e’ đơn vị Y) Chứng minh: Từ định nghĩa ta có: Ta có: (La) * |e Xe = Xa (1) Y(a) = (L(a))* |e Ye’ (theo giả thiết) = (L(a))* |(e)(* |e(Xe)) = ((L(a))* |(a)  * |e )(Xe) = (L(a)  )* |e (Xe) Mặt khác: * |a (Xa) = * |a ((La)* |e (Xe)) (theo (1)) = (* |a  (La)* |e)(Xe) (2) 22 = (  La)* |e (Xe) = (L(a)  )* |e (Xe) (theo Bổ đề 2.9) Từ (2) (3) suy ra: * |a (X) = Y(a), a  G (3)  2.11 Hệ Giả sử  : G  G tự đẳng cấu nhóm Lie G X, Y trường vectơ bất biến trái G cho * |a Xe = Ye *X = Y 2.12 Mệnh đề Giả sử  : G  G tự đẳng cấu nhóm Lie G X trường vectơ bất biến trái G Khi *(X) trường vectơ bất biến trái G Chứng minh: Ta giả sử X  G, ta phải chứng minh *(X)  G Ta có:   La = L(a)  , a  G (theo Bổ đề 2.9) (*) Đặt a = 1(b), b  G Khi ta có (a) = b Thay vào (*) ta có:   L1(b) =   La = L(a)   = Lb   Do đó: (Lb)*(*(X)) = (Lb)*  *)(X); a  G = (Lb  )*(X) = (  L1(b))*(X) = *((L1(b))*(X) = *(X) Vậy *(X) trường vectơ bất biến trái (vì X  G)  2.13 Hệ Nếu  : G  G tự đẳng cấu nhóm Lie G * tự đẳng cấu đại số Lie G G 23 Chứng minh: Giả sử X, Y  G, ta kiểm tra:  * song ánh  * biến trường vectơ bất biến trái thành trường vectơ bất biến trái (theo Mệnh đề 2.12)  * bảo tồn ba phép toán G, tức là: +) *(X, Y) = *X + *Y +) *(k, X) = k.*X +) *([X, Y]) = [*X, *Y]  2.14 Mệnh đề Cho X  G, ta có X  G   - const Chứng minh: i) Điều kiện cần Do X  G nên ta có: ( La ) ( X ) | p  ( X ) |ap ; a, p  G  ( La ) ( ( p) X p )   (ap) X ap   ( p)( La ) X p   (ap) X ap   ( p) X ap   (ap) X ap (do X  G)   ( p)   (ap) ; a, p  G  ii)  hàm Điều kiện đủ - const  (a, p) = (p), a  G Xét (La)* |p (X)p = (La)* |p ((p)Xp) = (p)[(La)* |p Xp] = (a, p)(Xap) = (X) |ap , a  G  (La)* (X) = (X)  (X)- bất biến trái  24 Bây ta xét trường vectơ bất biến trái X G sinh nhóm 1- tham số {t} 2.15 Mệnh đề Mỗi trường vectơ bất biến trái nhóm Lie trường vectơ đầy đủ nhóm Lie Chứng minh: Giả sử A trường vectơ bất biến trái nhóm Lie G Ta phải chứng minh A sinh nhóm 1- tham số tồn cục G Ta giả sử A sinh nhóm 1- tham số địa phương  I  U với U chứa đơn vị e G Bây ta chứng minh tồn nhóm 1- tham số ’ xác định I  G mà A sinh ’, cách đặt: ’(t, a) = La  (t, e) = La  t(e), a  G Vì phép tịnh tiến trái La phép biến đổi khả vi G, A bất biến La A sinh t nên La  t = t  La Do đó: ’(t, a) = La  t(e) = t  La(e) = t(a, e) = t(a) = (t, a) Điều chứng tỏ  = ’ I  U tức nhóm 1- tham số địa phương  xác định I  G  Vậy A trường vectơ đầy đủ G 2.16 Nhận xét Ta ký hiệu at = t(e), a0 = t(e) = e at+s = at.as; t, s  R, ta có: 1) at = {at | (at)1 = at, t  G} nhóm (theo định nghĩa đại số) nhóm G Nhóm gọi nhóm 1tham số G sinh X 2) (Lat)*e Xe = Xat 3) (Lat)*e Xe vectơ tiếp xúc với đường cong t 2.17 Định nghĩa - ánh xạ exp Ánh xạ exp : G  G a2t điểm at 25 X expX = a1 (với a1 = 1(e)  G) gọi ánh xạ mũ G 2.18 Mệnh đề exp = a với   R X  G Chứng minh: Để chứng minh Mệnh đề ta cần Bổ đề sau: 2.19 Bổ đề Giả sử trường vectơ X sinh nhóm 1- tham số  = {t} Khi với   R, trường vectơ X sinh nhóm 1- tham số  = {t} Thật vậy, giả sử Xp tiếp xúc vời đường cong x(t) = t(p) điểm p = (0, p) Ta có: d f x(t ) dt Xp[ f ]   t 0 d f (t , p) dt t 0 Giả sử trường Y sinh  = {t} Khi đó, ta có: Yp [ f ]   d f (t , p) dt t 0 d f (t , p) dt   t 0 d f ( s, p) dt s 0 d f (t , p) dt t 0 (ở ta thay s = t)  X p [ f ] Do Yp [ f ]  X p [ f ] ; p  G Suy Y = X Vậy trường vectơ X sinh nhóm 1- tham số  = {t}  26 Bây ta trở lại chứng minh mệnh đề 2.18 Do X trường vectơ bất biến trái sinh (s, p) với s = t Theo định nghĩa ánh xạ exp ta có exp(X) = 1(e) = (, e) = (e) = a III K- DẠNG VI PHÂN BẤT BIẾN TRÁI VỚI GIÁ TRỊ VECTƠ 2.17 Định nghĩa K- dạng vi phân với giá trị vectơ (1, , m) nhóm Lie G gọi k- dạng vi phân bất biến trái với giá trị vectơ L*a = ; a  G 2.18 Ví dụ Cho G  R ,  = (dx, dy),  1  R , R  Khi  1-dạng vi phân bất biến trái Thật vậy: Đặt  = ( 1 ,  ) = (dx, dy) ; a  G ta có:  ( La1 )( X )  1 (( La ) X ) ; X  ( X , X )  B ( R )  dx(( La ) X )  dx( J L  X ) a  1   X    dx      0   X    dx( X )  1 ( X ) ; X  B ( R )  La1  1 Tương tự: La   27 Do đó: La  ( La1 , La2 ) = (1 , 2 ) =  Vậy  1- dạng vi phân bất biến trái R nhận giá trị R  2.19 Nhận xét 1) Gi¶ sư  (1 , , m ) bÊt biÕn tr¸i  j bÊt biÕn tr¸i ; j  1, , m La =  La1 , , Lam (1) Mặt khác La =  = 1 , , m  (2) ThËt vËy, Tõ (1) vµ (2) ta cã : La j = j ; j  1, , m 2) Nếu (1, , m) k - dạng vi phân bất biến trái với giá trị vectơ d k - dạng vi phân bất biến trái với giá trị vectơ Thật vậy, ta có: d(f*(1, , m)) = f*d(1, , m); f khả vi Áp dụng cho f phép tịnh tiến trái La theo định nghĩa 2.17 ta có: L*a(d(1, , m)) = d(L*a(1, , m)) = d(1, , m) (L*a = )  d bất biến trái 3)  k (G, R m ) bất biến trái X , , X k bất biến trái ( X , , X k ) tr-ờng vectơ song song Rm Thật vËy, a, p  G ,   (1 , , m ) k (G, Rm ) ; X1 , , X k B (G ) Ta có: ( j ( X , , X k ))( p)  ( La j ( X 1, , X k ))( p) ; (  bất biến trái) = (  j )|ap( ( La )| p X1 ( p), , ( La )| p X k ( p) ) = (  j )|ap ( X1 (ap), , X k ( ap)) = ( j ( X1, , X k))( ap) ; a, p  G   j ( X , , X k ) hàm hằng; j  1, , m    (1 , , m ) trường vectơ 28 VËy ( X , , X k ) tr-ờng vectơ song song Rm 2.20 Mệnh đề Nu l k - dạng vi phân bất biến trái G, l - dng vi phân bất biến trái G    k  dạng vi phân bất biến trái G Chøng minh: Theo mệnh đề 1.18 - chương 1, ta có: La (  ) = La  La  =    Suy    k  - dạng vi phân bất biến trái G  VÝ dơ: Gi¶ sư G  R2 ,   (dx, dy) 1 ( R , R )  = (dy, dx)1 ( R2 , R2 ) Chứng minh    - dạng vi phân bất biến trái Chứng minh: Ta có:    = (dx  dy, dx  dy) = (   1,   2)  La (   1)(X,Y) = La ( dx  dy )(X, Y); X , Y B ( R ) = dx  dy (( La ) X , ( La ) Y) = dx  dy ( J L  X , J L Y ) a a = dx  dy ( X , Y ) = (   1)(X, Y); X , Y B ( R )  La (   1) =   1 (1)  Chứng minh tương tự ta có: La (   2) =   2 (2) Từ (1) (2) ta suy La (   ) = ( La (   1), La (   2)) = (   1,   2) =  29 2.21 Mệnh đề k dạng vi phân bất biến trái, đẳng cÊu tõ G  G Khi ®ã * bÊt biÕn tr¸i Chøng minh: Ta cã, La (*) = ( La *)() = ( La)*  = ( L  a   )* =   ( L  a  ) = * VËy * bÊt biÕn tr¸i  VÝ dơ: Gi¶ sư G  R3 ,  : R3  R3 ( x  y, x, y) ( x, y, z)  = ( dx  dy , dy  dz ),  2 ( R3 , R2 ) Chøng minh r»ng * dạng vi phân bất biến trái Chứng minh: ThËt vËy, ®Ỉt   (1 , 2 ) = ( dx  dy , dy  dz )  Ta ®i chøng minh  bÊt biÕn tr¸i ( La1 )(U , V ) = 1 (( La ) U , ( La) V) , = 1 ( J L U , J L V ) a a = 1 (U , V ) ( U  ( X1 , Y1 , Z1 )  B ( R ) ; V  ( X , Y2 , Z )  B ( R ) )  1 bất biến trái T-ơng tự, ta chứng minh đ-ợc 2 bÊt biÕn tr¸i   bÊt biÕn tr¸i  Ta chứng minh bất biến trái 1 (U ,V ) = 1 (U , V ) 30 = 1 ( J U , J  V )  1   X   = 1   0   Y1  ,     0 0  Z   1  1   X    0  Y         Z   = 1 (( X1  Y1 ) E1  X1 E2  3Y1 E3 , ( X2  Y2 ) E1  X2 E2 3 Y2 E3 ) H K = ( dx  dy ) ( H , K ) = dx(H )dy (K )  dx (K )dy (H ) = ( X1  Y1 ).2 X  ( X  Y2 ).2 X1 = 2( X 2Y1  X 1Y2 ) = 2 dx(V ).dy(U )  dx(U ).dy (V )  = -2( dx  dy )(U, V) = -2 1 (U, V)   1 = -2 1 Chøng minh t-¬ng tù, ta tính đ-ợc = 61 Do    (21 , 61 ) = (-2 dx dy , dx dy ) Mặt khác theo ví dụ = dx dy bất biến trái Suy , 2 bÊt biÕn tr¸i VËy   bÊt biÕn tr¸i 31 KT LUN Trong luận văn này, đà thực đ-ợc việc sau đây: Trình bày hệ thống khái niệm, chứng minh chi tiết tính chất k - dạng vi phân với giá trị Rm Trình bày cách xây dựng nhóm Lie, xây dựng tr-ờng vectơ bất biến trái chứng minh chi tiết số tính chất tính bất biến trái Phát biĨu vµ chøng minh NhËn xÐt 2.19 vỊ k - dạng vi phân bất biến trái với giá trị vectơ nhóm Lie Phát biểu chứng minh chi tiết Mệnh đề 2.20 Mệnh đề 2.21 tính bất biến trái k - dạng vi phân với giá trị vectơ nhóm Lie H-ớng luận văn nghiên cứu tích phân k - dạng vi phân trái với giá trị vectơ 32 TI LIU THAM KHO [1] Khu Quốc Anh, Nguyễn Dỗn Tuấn (2004), Lý thuyết liên thơng hình học Riman, Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội [2] Cartan H (1980), Phép tính vi phân dạng vi phân, Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp (bản dịch tiếng Việt Hoàng Hữu Như Phan Văn Hạp dịch từ tiếng Nga) [3] Nguyễn Hữu Quang (2004), Đa tạp khả vi, Đại học Vinh [4] Nguyễn Hữu Quang (2004), Các dạng vi phân - Bài giảng chuyên đề cao học, Đại học Vinh [5] Nguyễn Hữu Quang (2005), Mở đầu hình học Riman, Đại học Vinh [6] Nguyễn Hữu Quang (2005), Nhóm Lie, Đại học Vinh [7] Đồn Quỳnh (2003), Hình học vi phân, Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội [8] Đoàn Quỳnh, Trần Đình Viện, Trương Đức Hinh, Nguyễn Hữu Quang (1993), Bài tập hình học vi phân, Nxb Giáo dục, Hà Nội ... (e) = a III K- DẠNG VI PHÂN BẤT BIẾN TRÁI VỚI GIÁ TRỊ VECTƠ 2.17 Định nghĩa K- dạng vi phân với giá trị vectơ (1, , m) nhóm Lie G gọi k- dạng vi phân bất biến trái với giá trị vectơ L*a =... k - dạng vi phân bất biến trái với giá trị vectơ d k - dạng vi phân bất biến trái với giá trị vectơ Thật vậy, ta có: d(f*(1, , m)) = f*d(1, , m); f khả vi Áp dụng cho f phép tịnh tiến trái. .. bày khái niệm Kdạng vi phân với giá trị vectơ, ánh xạ đối tiếp xúc tính chất k- dạng vi phân với giá trị vectơ Chương xem phần sở cho chương vi? ??c trình bày chương Chƣơng K- dạng vi phân bất biến