Dạng vi phân bất biến trái trên nhóm LIE

mục lục Trang Mở đầu Chương Nhóm Lie 1.1 Nhóm Lie 1.1.1 Định nghĩa .3 1.1.2 Các ví dụ 1.1.3 Các tính chất 1.1.4 Nhóm Lie 11 1.2 Trường véctơ bất biến trái nhóm Lie 13 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 Trường véctơ bất biến trái 13 Ví dụ 14 Nhận xét 15 Các tính chất .16 Chương Dạng vi phân bất biến trái nhóm Lie 23 2.1 Dạng vi phân bất biến trái 23 2.1.1 Định nghĩa 23 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5 Ví dụ 23 Mệnh đề 24 Định lý 25 Mệnh đề 26 2.2 Đạo hàm dạng vi phân theo trường véctơ 26 2.2.1 Định nghĩa 26 2.2.2 Nhận xét 27 2.2.3 Mệnh đề 28 2.2.4 Mệnh đề 29 2.3 Đạo hàm Lie k-dạng vi phân theo trường véctơ 30 2.3.1 Định nghĩa 30 2.3.2 Ví dụ 30 2.3.3 Nhận xét 31 2.3.4 Mệnh đề 32 2.4 Ánh xạ kéo lùi dạng vi phân 33 2.4.1 Định nghĩa 33 2.4.2 Nhận xét 33 2.4.3 Mệnh đề 33 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 mở đầu Như biết vào cuối kỷ XIX, xuất kết hợp lý thuyết nhóm hình học Riemann Sự kết hợp xem mở đầu lý thuyết mới, lý thuyết Nhóm Lie Đại số Lie Dạng vi phân bất biến trái nhóm Lie phận Nhóm Lie ứng dụng nhiều nghiên cứu Lý thuyết hệ động lực, Vật lý lượng tử nhiều ngành khoa học khác Dạng vi phân bất biến trái nhóm Lie trình bày số tài liệu, giáo trình hình học như: Lý thuyết đại số Lie nhóm Lie Nguyễn Việt Dũng (1997), Bài giảng nhóm Lie thầy Nguyễn Hữu Quang (2005), Hình học vi phân Đoàn Quỳnh (2003) nhiều tài liệu nhóm Lie đại số Lie Nội dung chủ yếu luận văn trình bày số tính chất dạng vi phân bất biến trái nhóm Lie Tính bất biến dạng vi phân bất biến trái qua ánh xạ đạo hàm theo trường véctơ Luận văn mang tên: Dạng vi phân bất biến trái nhóm Lie Luận văn chia làm hai chương: Chương1 Nhóm Lie Trong chương này, trình bày kiến thức nhóm Lie, trường véctơ bất biến trái, nhóm 1-tham số Đồng thời chứng minh chi tiết nhiều tính chất liên quan Chương Dạng vi phân bất biến trái nhóm Lie Trong chương này, trình bày số tính chất dạng vi phân bất biến trái nhóm Lie tính chất bất biến dạng vi phân bất biến trái Luận văn hoàn thành vào tháng 12 năm 2008 trường Đại học Vinh với hướng dẫn thầy giáo PGS-TS Nguyễn Hữu Quang Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người hướng dẫn suốt trình học tập nghiên cứu Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy môn Hình học-Tôpô, thầy cô giáo khoa Toán, Khoa đào tạo Sau đại học-Trường Đại học Vinh, nhiệt tình giảng dạy, góp ý tạo điều kiện cho tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Cũng này, tác giả xin chân thành cảm ơn BGH trường THPT Như Xuân, trường Cao Đẳng Y Tế - Thanh hóa, bạn bè đồng nghiệp gia đình, động viên giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn Vinh, tháng 12 năm 2008 Tác giả chương nhóm lie Trong chương này, trình bày khái niệm số tính chất nhóm Lie, nhóm Lie con, trường véctơ bất biến trái nhóm 1-tham số 1.1 Nhóm Lie 1.1.1 Định nghĩa ([5]) Tập G gọi nhóm Lie điều kiện sau thỏa mãn: i G nhóm (phép toán nhóm ta thường gọi phép nhân viết a.b; ∀a, b ∈ G) ii G đa tạp khả vi với hệ đồ {(Uα , ϕα )}α∈I iii Các phép toán G ϕ: G×G→G (a, b) → ϕ(a, b) = ab ; ∀a, b ∈ G và: ψ: G→G a → ψ(a) = a−1 ; ∀a ∈ G Nhận xét Điều kiện (iii) tương đương với điều kiện sau: phép toán ψ: G×G→G (x, y) → xy −1 ánh xạ khả vi 1.1.2 Các ví dụ ; ∀x, y ∈ G 1.1.2.1 Ví dụ Đường tròn đơn vị S nhóm Lie Chứng minh Thật vậy, ta có: S = {z ∈ C : z = 1} * S nhóm với phép toán nhân: S nhóm C ∗ (nhóm số phức khác 0) * S đa tạp khả vi 1-chiều * Phép toán ϕ: S1 × S1 → S1 (z, z ) → (x + iy)(x + iy ) = xx − yy + i(xy + x y) Với x, y, x , y ∈ R Và: ψ: S1 → S1 z → z −1 = (x + iy)−1 ; ∀x, y ∈ R ánh xạ khả vi 1.1.2.2 Ví dụ GL(n; R) tập ma trận vuông, thực, cấp n, không suy biến, xem nhóm phép nhân ma trận xem đa tạp mở đa tạp Rn nhóm Lie (giao hoán n = không giao hoán n > 1) Chứng minh *) GL(n, R) nhóm với phép toán nhân ma trận thông thường Thật vậy, lấy A, B ∈ GL(n, R) ta có: det(A.B −1 ) = det A det B −1 = det A det1 B = Do đó: A.B −1 ∈ GL(n; R) nên GL(n; R) nhóm M at(n; R) *) GL(n; R) đa tạp khả vi Thật vậy, xét ánh xạ: det : M at(n; R) → R X → det X = ε i (Trong ε tích n phần tử, thuộc n dòng n cột khác X) Do ánh xạ xác định ánh xạ liên tục Ta lại có det(M at(n; R)\GL(n; R)) = {0} tập đóng R với tôpô tự nhiên, suy det−1 ({0}) = M at(n; R)\GL(n; R) tập đóng M at(n; R) (Do det ánh xạ liên tục) Vậy GL(n; R) tập mở M at(n; R) Ta đồng M at(n; R) với Rn đa tạp khả vi, suy GL(n; R) đa tạp khả vi *) Các ánh xạ ϕ: GL(n; R) × GL(n; R) → GL(n; R) (A, B) → A.B Và: ψ: GL(n; R) → GL(n; R) A → A−1 Từ điều kiện suy GL(n; R) nhóm Lie 1.1.2.3 Ví dụ Tập số thực khác không R∗ với cấu trúc khả vi thông thường nhóm phép nhân thông thường nhóm Lie aben Chứng minh +) (R∗ , ×) nhóm giao hoán Thật vậy, ∀x, y, z ∈ R∗ ta có: x(yz) = xyz = (xy)z nên (R∗ , ×) nửa nhóm Mặt khác (R∗ , ×) có: 1.x = x.1 = x x 1 = x = x x Vậy (R∗ , ×) nhóm giao hoán +) R∗ đa tạp khả vi Thật vậy, xét M tập mở, M ⊂ R∗ Lấy U = U ∗ = M ϕ = id : M −→ M Khi {(U, ϕ)} Atlat M Vậy R∗ đa tạp khả vi 1-chiều +) Các phép toán η: R∗ × R∗ → R∗ →x+y (x, y) ; ∀x, y ∈ R∗ Và: θ: R∗ → R∗ x → x−1 ; ∀x ∈ R∗ ánh xạ khả vi Vậy từ điều kiện R∗ nhóm Lie aben 1.1.3 Các tính chất 1.1.3.1 Mệnh đề ([2]) Giả sử a phần tử cố định nhóm Lie G, ánh xạ sau vi phôi i Phép tịnh tiến phải theo a Ra : G→G x → Ra (x) = xa ; ∀x ∈ G ii Phép tịnh tiến trái theo a La : G→G x → La (x) = ax ; ∀x ∈ G iii Phép lấy nghịch đảo ϕ: G→G x → ϕ(x) = x−1 ; ∀x ∈ G Chứng minh *)Ra song ánh Giả sử x1 , x2 ∈ G cho Ra (x1 ) = Ra (x2 ) Khi đó: ax1 = ax2 =⇒ x1 = x2 Vậy Ra đơn ánh Do Ra (x) = ax, ∀x ∈ G nên Ra toàn ánh Vậy Ra song ánh *) Chứng minh Ra liên tục: Cho lân cận V xa, ta chứng minh tồn lân cận U x để Ra (U ) ⊂ V Thật vậy, từ tính liên tục phép toán nhóm G, tồn lân cận U x lân cận W a để U.W ⊂ V Nhưng Ra (U ) = Ua ⊂ U.W Do Ra (U ) ⊂ W tức U lân cận cần thiết Mặt khác (Ra )−1 liên tục Ta lưu ý R−1 a : G→G xa → x x = (xa)−1 a−1 Do vậy, kí hiệu xa = y R−1 a : G→G y → ya−1 nghĩa là: (Ra )−1 = Ra−1 Vậy (Ra )−1 liên tục, tức Ra−1 liên tục *) Chứng minh Ra vi phôi: +) Chứng minh Ra khả vi 23 chương dạng vi phân bất biến trái nhóm lie Trong chương này, trình bày k-dạng vi phân bất biến trái nhóm Lie G tính bất biến dạng vi phân bất biến trái qua ánh xạ đạo hàm 2.1 Dạng vi phân bất biến trái 2.1.1 Định nghĩa ([5]) Một k-dạng vi phân ω nhóm Lie G gọi k-dạng vi phân bất biến trái (L∗a )ω = ω, với ∀a ∈ G Nghĩa là: Giả sử X1 , X2 , , Xk trường véctơ B(G), ta có (L∗a ω)p (X1 (p), X2 (p), , Xk (p)) = ωap (La ∗ |p (X1 (p), X2 (p), , Xk (p)); ∀p ∈ G 2.1.2 Ví dụ Giả sử G = R2 có hệ tọa độ {x, y} Khi đó: θ1 = dx, θ2 = dy 1-dạng vi phân bất biến trái Thật vậy, với a ∈ R2 ta có: (L∗a θ1 )(X) = θ1 (La ∗ (X)); X ∈ B(R2 ) = dx(JLa [X]) JLa Jacôbi La Vì La : x → a + x nên JLa = 0 24 Vậy: dx(Ja [X]) = dx(X) = θ1 (X) Do đó: (L∗a )(X) = θ1 (X); ∀X ∈ B(R2 ) Suy L∗a θ1 = θ1 Ta có điều phải chứng minh Tương tự: L∗a θ2 = θ2 2.1.3 Mệnh đề ([2]) a) Tập hợp g∗ tất 1-dạng vi phân bất biến trái nhóm Lie G tạo thành không gian không gian véctơ Ω1 (G) 1-dạng vi phân G b) Nếu ω dạng vi phân bất biến trái dω dạng vi phân bất biến trái nhóm Lie G c) Giả sử ω ∈ g∗ , X ∈ g ω(X) hàm G Chứng minh a)Ta biết Ω1 (G) làm thành R-không gian véctơ với hai phép toán: +) (ω1 + ω2 )(X) = (ω1 )(X) + (ω2 )(X) +) (αω)(X) = αω(X) Với ∀ω, ω1 , ω2 ∈ Ω1 (G), ∀a ∈ R Bây ta phải chứng minh: i) ∀ω ∈ g∗ αω ∈ g∗ Thật vậy, từ ω ∈ g∗ suy (La ∗ )ω = ω, ∀a ∈ G Do ta có: [(La ∗ )(αω)](X) = (αω)[(La ) ∗ (X)] = αω[(La ) ∗ (X)] = α.[(La ∗ ω).(X)] = (αω)(X) 25 ii) Với ∀ω1 , ω2 ∈ g∗ L∗a (ω1 + ω2 ) = (ω1 + ω2 ) Thật vậy, L∗a (ω1 ) = ω1 , L∗a (ω2 ) = (ω2 ), nên ta có: [L∗a (ω1 + ω2 )](X) = (ω1 + ω2 )[(La ) ∗ (X)] = (ω1 + ω2 )[(La ) ∗ (X)] = [L∗a (ω1 ) + L∗a (ω2 )](X) = (ω1 + ω1 )(X) Suy L∗a (ω1 + ω2 ) = (ω1 + ω2 ) b) d(f ∗ ω ) = f ∗ (dω ), ∀f khả vi, áp dụng cho f phép tịnh tiến trái La theo định nghĩa 1.1 (Chương2) ta có: L∗ a (dω) = d(L∗ a ω) = dω, (L∗ a = ω) Vậy dω bất biến trái c) Ta cần chứng minh rằng, với x ∈ G ta có: ω(X)(x) = ω(X)(e), (e phần tử đơn vị nhóm G) Thật vậy, (Lx ) ∗ (Xe ) = e nên: (Lx ) ∗ e(Xe ) = (Lx X)x = Xx (vì X ∈ G) (1) Mặt khác, L∗x ω = ω (vì ω ∈ g∗ ) nên: (2) (ω(X))(e) = ωe (Xe ) = L∗x ω(e) (do(2)) = ωLx (e) ((Lx ) ∗ e(Xe )) (theof ∗ ω = ωx (Xx )) = ωx (Xx ) = (ω(X))(x) Mệnh đề chứng minh 2.1.4 Định lý(Maurer-Cartan ([9])) Với ∀X ∈ g, ∀Y ∈ g, ∀ω ∈ g∗ , dω(X, Y ) = − 21 ω([X, Y ]) Chứng minh Ta biết 1-dạng vi phân ω đa tạp khả vi M trường véctơ khả vi X, Y M ta có kết sau: 26 dω(X, Y ) = 21 X(ω(Y )) − Y (ω(X)) − ω([X, Y ]) (*) Theo giả thiết M nhóm Lie G X, Y ∈ g, ω ∈ g∗ , áp dụng mệnh đề 1.3.2 ta có ω(X), ω(Y ) hàm Do X(ω(Y )) = Y (ω(X)) = nên X(ω(Y )) − Y (ω(X)) = thay vào (*) ta dω(X, Y ) = − 12 ω([X, Y ]) Định lý chứng minh 2.1.5 Mệnh đề ([3]) Nếu ω k-dạng vi phân bất biến trái G, µ l-dạng vi phân bất biến trái G ω ∧ µ kl-dạng vi phân bất biến trái G Chứng minh Ta có ω ∧ µ = (−1)kl µ ∧ ω Do đó: (*) L∗a (ω ∧ µ) = L∗a ((−1)kl ω ∧ µ) = (−1)kl L∗a (ω ∧ µ) = (−1)kl ((L∗a µ) ∧ (L∗a ω)) = (−1)kl (µ ∧ ω) do(∗) = µ ∧ ω Vậy µ ∧ ω bất biến trái Mệnh đề chứng minh 2.2 Đạo hàm dạng vi phân theo trường véctơ 2.2.1 Định nghĩa ([7]) Ánh xạ DX : Ωk (G) → Ωk (G) với X ∈ B(G); xác định DX ω(X1 , X2 , , Xk ) = X[ω(X1 , X2 , , Xk )]− k − ω(X1 , , ∇X Xi , , Xk ) ∇ liên thông tuyến tính i=1 G Xi ∈ B(G) Khi DX ω gọi đạo hàm theo X ω 27 2.2.2 Nhận xét a) DX+Y ω = DX ω + DY ω; ∀ω ∈ Ωk (G); X, Y ∈ B(G) b) DX (λω) = λ.DX ω; ∀λ ∈ R c) DX (ω + ω) = DX ω + DX ω; ∀ω, ω ∈ Ωk (G) Chứng minh a) Ta có: DX+Y ω(X1 , X2 , , Xk ) = k = (X + Y )[ω(X1 , , Xk )] − ω(X1 , , ∇X+Y Xi , , Xk ) i=1 k ω(X1 , , ∇X Xi +∇Y Xi , , Xk ) = (X +Y )[ω(X1 , , Xk )]− i=1 k ω(X1 , , ∇X Xi , , Xk )− = X[ω(X1 , , Xk )]+Y [ω(X1 , , Xk )]− i=1 k − ω(X1 , , ∇Y Xi , , Xk ) i=1 k ω(X1 , , ∇X Xi , , Xk )+Y [ω(X1 , , Xk )]− = X[ω(X1 , , Xk )]− i=1 k − ω(X1 , , ∇Y Xi , , Xk ) i=1 = DX ω(X1 , , Xk ) + DY ω(X1 , , Xk ) = (DX ω + DY ω)(X1 , , Xk ); ∀(X1 , , Xk ) Do đó: DX+Y ω = DX ω + DY ω; ∀ω ∈ Ωk (G); X, Y ∈ B(G) b) Ta có: DX (λω)(X1 , , Xk ) = k = X[λω(X1 , , Xk )] − λω(X1 , , ∇X Xi , , Xk ) i=1 k λω(X1 , , ∇X Xi , , Xk ) = X[λ].ω(X1 , , Xk )+λX[ω(X1 , , Xk )]−λ i=1 k = + λ(X[ω(X1 , , Xk )] − ω(X1 , , ∇X Xi , , Xk ) i=1 28 = (λDX ω)(X1 , , Xk ); ∀(X1 , , Xk ) Hay: DX (λω) = λ.DX ω; ∀λ ∈ R c) Ta có: DX (ω + ω)(X1 , , Xk ) = k = X[(ω + ω)(X1 , , Xk )] − (ω + ω)(X1 , , ∇X Xi , , Xk ) i=1 k ω(X1 , , ∇X Xi , , Xk )− = X[ω(X1 , , Xk )]+X[ω(X1 , , Xk )]− i=1 k − ω(X1 , , ∇X Xi , , Xk ) i=1 k ω(X1 , , ∇X Xi , , Xk )+X[ω(X1 , , Xk )]− = X[ω(X1 , , Xk )]− i=1 k − ω(X1 , , ∇X Xi , , Xk ) i=1 = DX ω(X1 , , Xk ) + DX ω(X1 , , Xk ) = (DX ω + DX ω)(X1 , , Xk ); ∀(X1 , , Xk ) Vậy: DX (ω + ω) = DX ω + DX ω; ∀ω, ω ∈ Ωk (G) 2.2.3 Mệnh đề a) DX f ω = X[f ].ω + f.DX ω; ∀f ∈ F(G); ω ∈ Ωk (G) b) Nếu ω k-dạng bất biến trái X trường véctơ bất biến trái DX ω bất biến trái Chứng minh a) Ta có: DX (f ω)(X1 , , Xk ) = k = X[f ω(X1 , , Xk )] − f ω(X1 , , ∇X Xi , , Xk ) với Xi ∈ B(G) i=1 k f ω(X1 , , ∇X Xi , , Xk ) = X[f ].ω(X1 , , Xk )+f X[ω(X1 , , Xk )]− i=1 = (X[f ].ω + f.DX ω)(X1 , , Xk ) Do vậy: DX f ω = X[f ].ω + f.DX ω 29 b) Giả sử X1 , , Xk ∈ B(G) a ∈ G, ta có: (L∗a DX ω)(X1 , , Xk ) = = DX ω(La ∗ X1 , , La ∗ Xk ) k = X[ω(La ∗ X1 , , La ∗ Xk )] − ω(La ∗ X1 , , ∇X La ∗ Xi , , La ∗ Xk ) i=1 k = X[ω(La ∗X1 , , La ∗Xk )]− ω(La ∗X1 , , ∇La ∗X La ∗Xi , , La ∗Xk ) i=1 k = X[L∗a ω(X1 , , Xk )] − ω(La ∗ X1 , , La ∗ (∇X Xi ), , La ∗ Xk ) i=1 k L∗a ω(X1 , , ∇X Xi , , Xk ) = X[ω(X1 , , Xk )] − i=1 k ω(X1 , , ∇X Xi , , Xk ) = X[ω(X1 , , Xk )] − i=1 = DX ω(X1 , , Xk ); ∀(X1 , , Xk ) Vậy: L∗a DX ω = DX ω hay DX ω bất biến trái Mệnh đề chứng minh 2.2.4 Mệnh đề Giả sử Rn với trường mục tiêu tự nhiên {Ei }ni=1 liên thông tuyến tính D Khi ta có: a) DX θ = 0; Với θ 1-dạng bất biến trái Rn b) DX (dxi ∧ dxj ) = 0; ∀i, j Chứng minh a) Trước hết ta chứng minh DX (dxi ) = Thật vậy: DX (dxi )(Y ) = X[dxi (Y )] − dxi (DX Y ) n = X[Yi ] − dxi ( X[Yi ]Ej ) j=1 = X[Yi ] − X[Yi ] = 30 +) DX (λdxi ) = Thật vậy: DX (λdxi ) = X[λ].dxi + λ.DX dxi = 1-dạng bất biến trái Rn n +) Với θ ta có: θ = λi dxi Khi đó: i=1 n DX θ = DX ( λi dxi ) i=1 n = DX (λi dxi ) = i=1 b) Chứng minh DX (dxi ∧ dxj ) = 0; ∀i, j Ta có: DX (dxi ∧ dxj )(Y, Z) = = X[dxi ∧ dxj (Y, Z)] − dxi ∧ dxj (DX Y, Z) − dxi ∧ dxj (Y, DX Z) = X[Yi Zj − Yj Zi ] − (X[Yi ]Zi − X[Yj ]Zi ) − (Yi X[Zj ] − Yj X[Zi ]) = X[Yi ]Zj +Yi X[Zj ]−X[Yj ]Zi −Yj X[Zi ]−X[Yi ]Zi +X[Yj ]Zi −Yi X[Zj ]+ +Yj X[Zi ] = Mệnh đề chứng minh 2.3 Đạo hàm Lie k-dạng vi phân theo trường véctơ 2.3.1 Định nghĩa ([7]) Ánh xạ LX : Ωk (G) −→ Ωk (G); X ∈ B(G) xác định LX ω(X1 , , Xk ) = DX ω(X1 , , Xk ) − k − ω(X1 , , [X, Xi ], , Xk ) Xi ∈ B(G) gọi đạo i=1 hàm Lie ω theo X 2.3.2 Ví dụ Ta xét Rn với hệ tọa độ (x1 , , xk ) Giả sử X(X1 , , Xk ), 31 Y (Y1 , , Yk ) {dxi } sở Ωk (Rn ) LX dxi (Y ) = DX dxi (Y ) − dxi ([X, Y ]) = − dxi (DX Y − DY X) = −X[Yi ] + Y [Xi ] = −[X, Y ]i [X, Y ]i tọa độ thứ i tích Lie [X, Y ] 2.3.3 Nhận xét a) LX+Y ω = LX ω + LY ω; ∀ω ∈ B(G); b) LX (λω) = λ.LX ω; ∀λ ∈ R X, Y ∈ B(G) c) LX (ω + ω) = LX (ω) + LX (ω); ∀ω, ω ∈ B(G) Chứng minh a) Ta có: LX+Y ω(X1 , , Xk ) = k = DX+Y ω(X1 , , Xk ) − ω(X1 , , [X + Y, Xi ], , Xk ) i=1 k = DX ω(X1 , , Xk ) + DY ω(X1 , , Xk ) − ω(X1 , , [X, Xi ], , Xk ) − i=1 k − ω(X1 , , [Y, Xi ], , Xk ) i=1 k = DX ω(X1 , , Xk ) − ω(X1 , , [X, Xi ], , Xk ) + DY ω(X1 , , Xk ) − i=1 k − ω(X1 , , [Y, Xi ], , Xk ) i=1 = LX ω(X1 , , Xk ) + LY ω(X1 , , Xk ) = (LX ω + LY ω)(X1 , , Xk ); ∀(X1 , , Xk ) Do đó: LX+Y ω = LX ω + LY ω; ∀ω ∈ B(G); b) Ta có: LX (λω)(X1 , , Xk ) = X, Y ∈ B(G) 32 k = DX λω(X1 , , Xk ) − λω(X1 , , [X, Xi ], , Xk ) i=1 k = λ.DX ω(X1 , , Xk ) − λ ω(X1 , , [X, Xi ], , Xk ) i=1 k = λ.(DX ω(X1 , , Xk ) − ω(X1 , , [X, Xi ], , Xk ) i=1 = λ.LX ω(X1 , , Xk ); ∀(X1 , , Xk ) Hay: LX (λω) = λ.LX ω; ∀λ ∈ R c) Ta có: LX (ω + ω)(X1 , , Xk ) = k = DX (ω + ω)(X1 , , Xk ) − (ω + ω)(X1 , , [X, Xi ], , Xk ) i=1 k ω(X1 , , [X, Xi ], , Xk ) − = DX ω(X1 , , Xk ) + DX ω(X1 , , Xk ) − i=1 k − ω(X1 , , [X, Xi ], , Xk ) i=1 k = DX ω(X1 , , Xk ) − ω(X1 , , [X, Xi ], , Xk ) + DX ω(X1 , , Xk ) − i=1 k − ω(X1 , , [X, Xi ], , Xk ) i=1 = LX ω(X1 , , Xk ) + LX ω(X1 , , Xk ) = (LX ω + LX ω)(X1 , , Xk ); ∀(X1 , , Xk ) Vậy: LX (ω + ω) = LX (ω) + LX (ω); ∀ω, ω ∈ B(G) 2.3.4 Mệnh đề Giả sử X trường véctơ bất biến trái ω k-dạng vi phân bất biến trái LX ω bất biến trái Chứng minh Ta có L∗a (LX ω)(X1 , , Xk ) = = (LX ω)(La ∗ X1 , , La ∗ Xk ) k = DX ω(La ∗ X1 , , La ∗ Xk ) − ω(La ∗ X1 , , La ∗ [X, Xi ], , La ∗ Xk ) i=1 33 k = L∗a (DX ω)(X1 , , Xk )− ω(La ∗X1 , , [La ∗X, La ∗Xi ], , La ∗Xk ) i=1 k = DX ω(X1 , , Xk ) − ω(La ∗ X1 , , La ∗ [X, Xi ], , La ∗ Xk ) i=1 k L∗a ω(X1 , , [X, Xi ], , Xk ) = DX ω(X1 , , Xk ) − i=1 = (LX ω)(X1 , , Xk ); ∀(X1 , , Xk ) Vậy: L∗a (LX ω) = LX ω hay LX ω bất biến trái Mệnh đề chứng minh 2.4 Ánh xạ kéo lùi dạng vi phân 2.4.1 Định nghĩa ([7]) Ánh xạ iX : Ωk (G) → Ωk−1 (G) ω → iX ω xác định iX ω(X1 , , Xk−1 ) = ω(X, X1 , , Xk−1 ) gọi ánh xạ kéo lùi dạng ω theo hướng X Trong X ∈ B(G), ∀Xi ∈ B(G) 2.4.2 Nhận xét Trong Rn với hệ tọa độ (x1 , , xn ) Giả sử (X1 , , Xk−1 ); (Y1 , , Yk−1 ) ta có iX (dxi ∧ dxj )(Y ) = dxi ∧ dxj (X, Y ) = Xi Yj − Xj Yi = (Xi dxi − Xj )(Y ); ∀Y ∈ B(Rn ) Vậy: iX (dxi ∧ dxj ) = xi dxj ∧ xj dxi 2.4.3 Mệnh đề Nếu X trường véctơ bất biến trái, ω bất biến trái Khi iX ω bất biến trái 34 Chứng minh Ta có (L∗a iX ω)(X1 , , Xk−1 ) = = iX ω(La ∗ X1 , , La ∗ [X, Xi ], , La ∗ Xk−1 ) = ω(X, La ∗ X1 , , La ∗ Xk−1 ) = ω(La ∗ X, La ∗ X1 , , La ∗ Xk−1 ) = L∗a ω(X, X1 , , Xk−1 ) = ω(X, X1 , , Xk−1 ) = iX ω(X1 , , Xk−1 ); ∀(X1 , , Xk−1 ) Vậy: L∗a iX ω = iX ω Mệnh đề chứng minh 35 kết luận Luận văn đạt kết sau: Chúng trình bày chứng minh chi tiết số tính chất nhóm Lie, nhóm Lie con, trường véctơ bất biến trái, nhóm 1-tham số Trình bày chứng minh chi tiết số tính chất dạng vi phân bất biến trái nhóm Lie Chúng phát biểu chứng minh tính bất biến qua đạo hàm dạng vi phân bất biến trái (trong Chương 2) là: nhận xét(2.2.2), mệnh đề (2.2.3), (2.2.4) Chúng phát biểu chứng minh đạo hàm Lie k-dạng vi phân theo trường véctơ (trong Chương 2) là: nhận xét (2.3.3), mệnh đề (2.3.4) Chúng phát biểu chứng minh ánh xạ kéo lùi dạng vi phân (trong Chương 2) là: mệnh đề (2.4.3) Trong thời gian tới tiếp tục nghiên cứu phương trình cấu trúc nhóm Lie 36 tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Khu Quốc Anh (2003), Nguyễn Doãn Tuấn (2003), Lý thuyết liên thông hình học Riemann NXB Sư phạm [2] Nguyễn Việt Dũng (1997), Lý thuyết đại số Lie nhóm Lie, (Tài liệu lưu hành Đại học Vinh) [3] Trần Việt Dũng (1995), Đại số Lie, Bài giảng chuyên đề cao học chuyên ngành Hình học-Tôpô Đại học Vinh [4] Lê Huy Nhị (2005), Trường véctơ bất biến trái dạng vi phân bất biến trái nhóm Lie, Luận văn thạc sĩ toán học (Người hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Hữu Quang) Đại học Vinh [5] Nguyễn Hữu Quang (2005), Bài giảng Đại số Lie nhóm Lie Đại học Vinh [6] Nguyễn Hữu Quang (2004), Bài giảng Đa tạp khả vi Đại học Vinh [7] Nguyễn Hữu Quang (2004), Các dạng vi phân, Bài giảng chuyên đề cao học chuyên ngành Hình học-Tôpô Đại học Vinh [8] Đoàn Quỳnh (2003), Hình học vi phân NXB Sư phạm [9] Nguyễn Quốc Thi (2004), Đại số Lie, Bài giảng chuyên đề cao học chuyên ngành Hình học-Tôpô Đại học Vinh [10] H.Cartan (1980), Phép tính vi phân dạng vi phân, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp (Bản dịch tiếng Việt Hoàng Hữu Như - Phan Văn Hạp dịch từ tiếng Nga) Tiếng Anh 37 [11] Claude chevalley (1946), Theory of Lie Groups Princeton University press, Copyright [12] Knapp A W (1999), Lie Group Beyond an introduction Progress Mathematics Vol 140 [...]... là nhóm 1-tham số địa phương ϕ xác định trên Iε × G Vậy X là trường véctơ đầy đủ trên G Mệnh đề được chứng minh 23 chương 2 dạng vi phân bất biến trái trên nhóm lie Trong chương này, chúng tôi trình bày về k -dạng vi phân bất biến trái trên nhóm Lie G và tính bất biến của các dạng vi phân bất biến trái qua các ánh xạ đạo hàm 2.1 Dạng vi phân bất biến trái 2.1.1 Định nghĩa ([5]) Một k -dạng vi phân ω trên. .. một nhóm Lie 1.1.4.2 Ví dụ * Mọi không gian con của không gian véctơ đều là nhóm Lie con của nhóm Lie tương ứng * Nhóm S 1 là nhóm Lie con của nhóm C∗ , có thể coi là nhóm Lie thực * Nhóm con rời rạc của một nhóm tôpô là một nhóm Lie con * Nhóm các ma trận chéo không suy biến là nhóm Lie con của nhóm Lie GL(n; K) * Nhóm các ma trận tam giác không suy biến là nhóm Lie con của nhóm Lie GL(n; K) * Nhóm. .. Tương tự: L∗a θ2 = θ2 2.1.3 Mệnh đề ([2]) a) Tập hợp g∗ tất cả các 1 -dạng vi phân bất biến trái trên nhóm Lie G tạo thành một không gian con của không gian véctơ Ω1 (G) các 1 -dạng vi phân trên G b) Nếu ω là dạng vi phân bất biến trái thì dω cũng là dạng vi phân bất biến trái trên nhóm Lie G c) Giả sử ω ∈ g∗ , X ∈ g khi đó ω(X) là hàm hằng trên G Chứng minh a)Ta biết rằng Ω1 (G) làm thành một R-không gian... đề ([3]) Nếu ω là k -dạng vi phân bất biến trái trên G, µ là l -dạng vi phân bất biến trái trên G thì ω ∧ µ là kl -dạng vi phân bất biến trái trên G Chứng minh Ta có ω ∧ µ = (−1)kl µ ∧ ω Do đó: (*) L∗a (ω ∧ µ) = L∗a ((−1)kl ω ∧ µ) = (−1)kl L∗a (ω ∧ µ) = (−1)kl ((L∗a µ) ∧ (L∗a ω)) = (−1)kl (µ ∧ ω) do(∗) = µ ∧ ω Vậy µ ∧ ω là bất biến trái Mệnh đề được chứng minh 2.2 Đạo hàm các dạng vi phân theo một trường... là vi phôi từ tập mở U vào ϕt (u); ∀t ∈ (−ε, ε) +) Nếu t, s, t + s ∈ (−ε, ε) = Iε đều có ϕt+s = ϕt ◦ ϕs Ta cũng có khái niệm {ϕt } sinh ra trường véctơ X trên U được xây dựng như trên 1.2.4.6 Mệnh đề ([5]) Mỗi trường véctơ bất biến trái trên nhóm Lie G đều là trường véctơ đầy đủ trên nhóm Lie đó Chứng minh Giả sử X là trường véctơ bất biến trái trên nhóm Lie G, ta phải chứng minh X sinh ra một nhóm. .. const Vậy X là trường véctơ bất biến trái trên Rn khi và chỉ khi X là trường véctơ song song trên Rn 1.2.3 Nhận xét i Mỗi trường véctơ bất biến trái hoàn toàn được xác định bởi giá trị của nó tại đơn vị Thật vậy, áp dụng định nghĩa ∀X ∈ B(G) là trường véctơ bất biến trái trên nhóm Lie G và ∀a ∈ G, ta có: (La )∗e Xe = Xea = Xa 16 ii.Ta kí hiệu g = {X ∈ B(G)/ X bất biến trái trên G} Khi đó g là một không... ]p (f ), ∀f, ∀p 17 Suy ra (La ) ∗ [X, Y ] = [X, Y ] Vậy [X, Y ] ∈ g Mệnh đề được chứng minh Hệ quả Tập g các trường véctơ bất biến trái trên nhóm Lie G là một đại số Lie và g được gọi là đại số Lie của nhóm Lie G Chứng minh Theo giả thiết g là trường véctơ bất biến trái trên nhóm Lie G tức là: ∀X, Y ∈ g, ∀a, p ∈ G thì (La )∗ [X, Y ]p = [X, Y ]ap mà: [X, Y ] = (XY − Y X)ap = −(Y X − XY )ap = −[Y, X]ap... ∀a ∈ G Mệnh đề được chứng minh 19 Hệ quả Giả sử ϕ : G −→ G là tự đẳng cấu của nhóm Lie G Y là trường véctơ bất biến trái trên G sao cho ϕ∗| a Xe = Ye thì ϕ∗ X = Y 1.2.4.4 Mệnh đề ([9]) Giả sử ϕ : G −→ G là một tự đẳng cấu nhóm Lie và X là trường véctơ bất biến trái trên G Khi đó ϕ∗ (X) cũng là trường véctơ bất biến trái trên G Chứng minh Giả sử X ∈ g, ta chứng minh ϕ∗ (X) ∈ g Ta có: ϕ◦ La = Lϕ(a)◦... ([5]) Một k -dạng vi phân ω trên nhóm Lie G được gọi là k -dạng vi phân bất biến trái nếu (L∗a )ω = ω, với ∀a ∈ G Nghĩa là: Giả sử X1 , X2 , , Xk là các trường véctơ trên B(G), ta có (L∗a ω)p (X1 (p), X2 (p), , Xk (p)) = ωap (La ∗ |p (X1 (p), X2 (p), , Xk (p)); ∀p ∈ G 2.1.2 Ví dụ Giả sử G = R2 có hệ tọa độ {x, y} Khi đó: θ1 = dx, θ2 = dy là các 1 -dạng vi phân bất biến trái Thật vậy, với a ∈ R2 ta có:... (b) )∗ (X) = ϕ∗ (Lϕ−1 (b) )∗ (X) = ϕ∗ (X) Vì X ∈ g Vậy ϕ∗ (X) là trường véctơ bất biến trái Mệnh đề được chứng minh Hệ quả Nếu ϕ : G −→ G là tự đẳng cấu của nhóm Lie G thì ϕ∗ là tự đẳng cấu của đại số Lie g của G Chứng minh Giả sử X, Y ∈ g *) ϕ∗ là song ánh *) ϕ∗ biến trường véctơ bất biến trái thành trường véctơ bất biến trái 20 (theo Mệnh đề 1.2.4.4) *) ϕ∗ bảo tồn ba phép toán trong g, tức là +) ϕ∗ ... trái nhóm Lie G tính bất biến dạng vi phân bất biến trái qua ánh xạ đạo hàm 2.1 Dạng vi phân bất biến trái 2.1.1 Định nghĩa ([5]) Một k -dạng vi phân ω nhóm Lie G gọi k -dạng vi phân bất biến trái. .. hợp g∗ tất 1 -dạng vi phân bất biến trái nhóm Lie G tạo thành không gian không gian véctơ Ω1 (G) 1 -dạng vi phân G b) Nếu ω dạng vi phân bất biến trái dω dạng vi phân bất biến trái nhóm Lie G c) Giả... chất liên quan Chương Dạng vi phân bất biến trái nhóm Lie Trong chương này, trình bày số tính chất dạng vi phân bất biến trái nhóm Lie tính chất bất biến dạng vi phân bất biến trái Luận văn hoàn