Không điểm của đạo hàm và đa thức vi phân của hàm phân hình p Adic (Luận văn thạc sĩ)

Không điểm của đạo hàm và đa thức vi phân của hàm phân hình p Adic (Luận văn thạc sĩ)Không điểm của đạo hàm và đa thức vi phân của hàm phân hình p Adic (Luận văn thạc sĩ)Không điểm của đạo hàm và đa thức vi phân của hàm phân hình p Adic (Luận văn thạc sĩ)Không điểm của đạo hàm và đa thức vi phân của hàm phân hình p Adic (Luận văn thạc sĩ)Không điểm của đạo hàm và đa thức vi phân của hàm phân hình p Adic (Luận văn thạc sĩ)Không điểm của đạo hàm và đa thức vi phân của hàm phân hình p Adic (Luận văn thạc sĩ)Không điểm của đạo hàm và đa thức vi phân của hàm phân hình p Adic (Luận văn thạc sĩ)Không điểm của đạo hàm và đa thức vi phân của hàm phân hình p Adic (Luận văn thạc sĩ)Không điểm của đạo hàm và đa thức vi phân của hàm phân hình p Adic (Luận văn thạc sĩ)Không điểm của đạo hàm và đa thức vi phân của hàm phân hình p Adic (Luận văn thạc sĩ)Không điểm của đạo hàm và đa thức vi phân của hàm phân hình p Adic (Luận văn thạc sĩ)Không điểm của đạo hàm và đa thức vi phân của hàm phân hình p Adic (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG THỊ HƯƠNG GIANG KHÔNG ĐIỂM CỦA ĐẠO HÀM VÀ ĐA THỨC VI PHÂN CỦA HÀM PHÂN HÌNH p-ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG THỊ HƯƠNG GIANG KHÔNG ĐIỂM CỦA ĐẠO HÀM VÀ ĐA THỨC VI PHÂN CỦA HÀM PHÂN HÌNH p-ADIC Ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: PGS.TS Hà Trần Phương Thái Nguyên, năm 2019 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đề tài luận văn "Không điểm đạo hàm đa thức vi phân hàm phân hình p-adic" khơng có chép người khác Khi viết luận văn tơi có tham khảo số tài liệu, tất có nguồn gốc rõ ràng hồn thành hướng dẫn PGS TS Hà Trần Phương Nếu có vấn đề tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm Thái Nguyên, tháng năm 2019 Tác giả luận văn Hoàng Thị Hương Giang Xác nhận Xác nhận chủ nhiệm khoa Toán người hướng dẫn PGS TS Hà Trần Phương i Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS TS Hà Trần Phương Thầy dành nhiều thời gian, công sức để hướng dẫn, trả lời thắc mắc, kiểm tra giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới bố, mẹ thành viên gia đình ln động viên, ủng hộ tơi suốt thời gian qua Tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo trường Đại học Sư Phạm Thái Ngun ln nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu, tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tơi hồn thành chương trình học bảo vệ luận văn Bản thân tơi suốt q trình học tập nghiên cứu có nhiều cố gắng, nhiên thiếu sót chắn khó tránh Tơi mong thầy cô bạn đọc cho thiếu sót Thái Nguyên, tháng năm 2019 Học viên Hoàng Thị Hương Giang ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii LỜI MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các hàm Nevanlinna p-adic 1.1.1 Hàm phân hình p-adic 1.1.2 Các hàm Nevanlinna tính chất 1.2 Các định lý 1.2.1 Định lý thứ 1.2.2 Định lý thứ hai 3 12 14 14 15 Chương KHÔNG ĐIỂM CỦA ĐẠO HÀM VÀ ĐA THỨC VI PHÂN 2.1 Không điểm đạo hàm 2.1.1 Một số bổ đề sở 2.1.2 Các kết 2.2 Không điểm đa thức vi phân 2.2.1 Một số kiến thức bổ sung 2.2.2 Các kết 19 19 19 29 40 40 44 KẾT LUẬN 49 Tài liệu tham khảo 50 iii LỜI MỞ ĐẦU Cho K trường đóng đại số, có đặc số không đầy đủ với giá trị tuyệt đối khơng Acsimet (p-adic) f hàm phân hình K Kí hiệu f đạo hàm hàm f kí hiệu F = an f n f (k) + an−1 f n−1 + + a1 f + a0 , aj hàm nhỏ f , đa thức vi phân hàm phân hình f Trong trường hợp phức có nhiều tác giả nghiên cứu số không điểm f F trường hợp khác hàm f Đối với trường hợp hàm phân hình trường p-adic, năm 2012, K Boussaf, A Escassut, J Ojeda ([2]) chứng minh Wronskian hai hàm nguyên hàm đa thức hai hàm ngun đa thức Từ tác giả chứng minh đạo hàm f hàm phân hình siêu việt f K nhận giá trị trường K vơ hạn lần f có hữu hạn cực điểm bội Dựa nghiên cứu K Boussaf, A Escassut, J Ojeda, năm 2012, J-P Bézivin, K Boussaf, A Escassut ([3]) đặt giả thuyết đạo hàm f hàm phân hình f có hữu hạn khơng điểm f có hàm hữu tỷ? Cũng báo này, số kết tổng quát tác giả chứng minh Trong [4], A Escassut, W Lă u, and C C Yang ó nghiên cứu vấn đề nói cho trường hợp đa thức vi phân F Với mong muốn tìm hiểu vấn đề khơng điểm hàm phân hình đạo hàm nó, chúng tơi lựa chọn đề tài "Khơng điểm đạo hàm đa thức vi phân hàm phân hình p-adic" Mục tiêu đề tài trình bày lại kết nghiên cứu công bố gần tác giả K Boussaf, A Escassut, J Ojeda, J-P Bộzivin, W Lă u, and C C Yang báo [2], [3], [4] Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung chính, phần kết luận tài liệu tham khảo Trong Chương 1, tơi trình bày sở lý thuyết thường sử dụng hàm phân hình p-adic, hàm Nevanlinna tính chất nó, bao gồm định nghĩa, thuật ngữ, ký hiệu, số mệnh đề định lý Các kiến thức tham khảo tài liệu [1] Trong Chương 2, kết nghiên cứu gần tác giả K Boussaf, A Escassut, J Ojeda, J-P Bộzivin, W Lă u, and C C Yang báo [2], [3], [4] trình bày lại cách tường minh tính tốn lại cẩn thận lập luận Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, giới thiệu số định nghĩa, thuật ngữ, ký hiệu số mệnh đề định lý Trong tồn luận văn, ln ký hiệu trường số hữu tỷ, số thực, số phức Q, R, C, ký hiệu vành số nguyên Z 1.1 1.1.1 Các hàm Nevanlinna p-adic Hàm phân hình p-adic Cho K trường đóng đại số, đầy đủ có đặc số khơng Chúng ta biết hàm |.| : K → R giá trị tuyệt đối trường K ba điều kiện sau thỏa mãn: 1) |x| ≥ với x, |x| = x = 0; 2) |x.y| = |x|.|y| với x, y ∈ K; 3) |x + y| ≤ |x| + |y| với x, y ∈ K Chúng ta biết đến giá trị tuyệt đối thông thường |.| định nghĩa sau:   x x ≥ 0; |x| =  −x x < Với số x, y ∈ Q, ký hiệu d(x, y) = |x − y| d khoảng cách tập hợp số hữu tỷ Điều có nghĩa khoảng cách hai số hữu tỉ x y xác định giá trị tuyệt đối |x − y| Một khoảng cách cần thỏa mãn ba điều kiện sau đây: 1) Khoảng cách hai điểm phân biệt phải số dương hai điểm trùng nhau; 2) Khoảng cách từ điểm x đến điểm y phải khoảng cách từ điểm y đến điểm x; 3) Khoảng cách hai điểm x z phải nhỏ tổng khoảng cách từ x đến y khoảng cách từ y đến z (Bất đẳng thức tam giác) Khoảng cách xác định Thật vậy, tập hợp số hữu tỷ có khoảng cách khác Với số nguyên tố p, ta định nghĩa giá trị tuyệt đối p-adic sau: Định nghĩa 1.1 Với x số hữu tỷ, x = ta định nghĩa a |0|p = Nếu x = 0, viết x = pα , α ∈ Z a, b b khơng chia hết cho p Ta định nghĩa giá trị tuyệt dối p-adic x |x|p = p−α Nhận xét 1.1 Ta có ≤ |k|p ≤ 1, k với số k số nguyên dương Thật vậy, ta viết k = pm k1 , m ≥ p k1 Biểu diễn đó, 1 = m ≤ m = |k|p ≤ k p k1 p ⇔ ≤ |k|p ≤ k Hàm |.|p xác định giá trị tuyệt đối không Acsimet trường số hữu tỉ Q, tức ba điều kiện giá trị tuyệt đối, |.|p thỏa mãn thêm điều kiện 3’) |x + y)|p ≤ max{|x|p , |y|p }, với x, y ∈ Q Trong thực tế, ta có |x + y|p ≤ max{|x|p , |y|p }, |x|p = |y|p , rõ ràng, ta đặt dp (x, y) = |x − y|p dp khoảng cách trường số hữu tỷ dp thỏa mãn thêm điều kiện 3’) dp (x, y) ≤ max{dp (x, y), dp (y, z)}, với x, y, z ∈ Q Khoảng cách dp gọi siêu metric (hay gọi khoảng cách khơng Acsimet) ta gọi K không gian siêu metric Ta trang bị cho trường K giá trị tuyệt đối p-adic |.|p Khi |.|p cảm sinh K siêu metric dp Với số thực r > phần tử a thuộc K, ta ký hiệu hình cầu đóng mở tâm a, bán kính r d(a, r) = {z ∈ K||z − a|p ≤ r}, d(a, r− ) = {z ∈ K||z − a|p < r} Vành {z ∈ K|r < |z − a|p < R} ký hiệu Γ(a, r, R) Trên khơng gian siêu metric ta có hai tính chất hình học đặc biệt so với khơng gian metric thơng thường, tam giác cân điểm nằm hình cầu đóng hay mở tâm Khi mở rộng từ số hữu tỷ Q đến số thực R, ta dùng đến dãy Cauchy theo |.|, dãy {an } thỏa mãn với ε > 0, tồn số N cho với m, n > N ta có |an − am | < ε Chúng ta thêm vào Q dãy Cauchy theo |.|p để trường số p-adic Qp Lấy bao đóng ¯ p Nhưng Q ¯ p khơng đóng đại số nên ta lại tiếp tục Qp ta Q bổ sung thêm dãy Cauchy để có Cp Đến đây, Cp trường đầy đủ đóng đại số Điều có nghĩa ta tìm số dương C5 , C6 cho ˜ |h|(r) ≤ C5 rC6 |h|(r), ∀r ∈ [l; +∞) ¯h ˜ ta Viết lại h = h ¯ ˜ ˜ |h|(r)| h|(r) ≤ C5 rC6 |h|(r)] ¯ ⇔h|(r) ≤ C5 rC6 , ∀r ∈ [l; +∞) ¯ phải đa thức có bậc ≤ C6 Bổ đề 2.5 cho thấy h có hữu hạn khơng điểm Từ ta suy h có hữu hạn khơng điểm Vì nên f phải hàm hữu tỷ Hệ 2.2 Cho f hàm phân hình K cho với số c, d ∈ (0; +∞), φf thỏa mãn φf (r) ≤ crd [1; +∞) Nếu với số b ∈ K mà f − b có hữu hạn khơng điểm f hàm hữu tỷ Chứng minh Theo Định lý 2.5, f − b có hữu hạn khơng điểm f − bz hàm hữu tỷ, f hàm hữu tỷ Hệ 2.3 Giả sử f hàm phân hình siêu việt K cho n(r, f ) ≤ crd [1; +∞) với c, d ∈ (0; +∞) Khi với k ∈ N∗ , f (k) − b có vơ số khơng điểm, với b ∈ K Chứng minh Với k = 1, Định lý 2.5 Hệ 2.2 chứng minh Với trường hợp k ≥ 2, ta thấy, cực điểm bội n f cực điểm bội n + k f (k) Do cực điểm f cực điểm bội f (k) f (k) khơng có cực điểm khác Vì nên ta có φf (k−1) (r) = n(r, f (k−1) ) ≤ kcrd Áp dụng Định lý 2.5 cho f (k−1) f (k) − b có vơ số khơng điểm 36 Hệ 2.4 Giả sử h hàm nguyên siêu việt K, P ∈ K[z] f hàm nguyên khác cho với số c, d ∈ (0; +∞), ta có ψf (r) ≤ crd , ∀r ∈ [1; +∞) Khi đó, phương trình đạo hàm y h = yP không nhận f làm nghiệm Chứng minh Giả sử f hàm nguyên khác thỏa mãn phương trình f h = fP f P cho ψf (r) ≤ crd , ∀r ∈ [1; +∞) Nếu f hàm hữu tỷ f hàm hữu tỷ, điều vơ lý h hàm siêu việt Nếu f hàm nguyên siêu việt hàm siêu việt Ta có f φ f1 (r) = ψf (r) ≤ crd Mặt khác, theo Định lý 2.5 hàm f = −f −f P −P = = f2 hf hf có vơ số khơng điểm, mâu thuẫn với P đa thức Vì f khơng thể nghiệm phương trình y h = yP Hệ 2.5 Cho hàm phân hình f K có số cực điểm có bội ≥ hình cầu d(0, r) bị chặn rd với r ∈ [1; +∞), n ∈ N thặng dư cực điểm Khi đó, hàm f − b có vơ số khơng điểm, với b ∈ K Chứng minh Giả sử f có nguyên hàm F theo giả thiết ta có φF (r) ≤ rd Theo Hệ 2.2 F − b = f − b có vơ số khơng điểm Hệ 2.6 Cho hàm phân hình f K thỏa mãn điều kiện tồn c, d ∈ (0; +∞) cho n(r, f ) ≤ crd , ∀r ∈ [1; +∞) Nếu f f n − b có hữu hạn không điểm với giá trị b ∈ K, với n ∈ N f hàm hữu tỷ Chứng minh Với n = 0, Hệ 2.2 chứng minh Với n ≥ 1, cực điểm f n+1 cực điểm bội φf n+1 (r) = n(r, f n+1 ) = (n + 1)n(r, f ) ≤ (n + 1)crd 37 Hơn nữa, ta tính f n+1 = (n + 1)f f n Nếu f hàm phân hình siêu việt K f n+1 hàm siêu việt Do theo Hệ 2.2 (f n+1 ) − (n + 1)b có vơ số khơng điểm, tương đương với f f n − b có vô số không điểm, điều vô lý Vậy f hàm hữu tỷ Hệ 2.7 sau trả lời phần cho câu hỏi Hayman n ≥ Hệ 2.7 Cho hàm phân hình siêu việt f trường K Giả sử tồn c, d ∈ (0; +∞) cho n r, ≤ crd , ∀r ∈ [1; +∞) Khi đó, với f n ∈ N, n ≥ với b ∈ K∗ , f − bf n có vô số không điểm mà không không điểm f Chứng minh Với n ≥ 3, không điểm f n−1 không điểm bội ta có ψf n−1 (r) = (n − 1)n r, Đặt g = f n−1 ≤ (n − 1)crd 1 cực điểm g n−1 = n−1 cực điểm f f bội φgn−1 (r) = ψf n−1 (r) ≤ (n − 1)crd Ta lại có (g n−1 ) = (n − 1)g n−2 g = (n − 1) −f fn hàm siêu việt f g n−1 hàm siêu việt Theo Hệ 2.2 (g n−1 ) + (n − 1)b phải −f có vơ số khơng điểm Điều tương đương với (n − 1) n + (n − 1)b = f n f − bf −(n − 1) có vơ số khơng điểm Như vậy, f − bf n có vơ số khơng n f điểm mà khơng phải không điểm f Do f hàm phân hình siêu việt nên g = 38 Hệ 2.8 Cho hàm phân hình siêu việt f trường K Giả sử tồn f c, d ∈ (0; +∞) cho ψf (r) ≤ crd , ∀r ∈ [1; +∞) Khi đó, − b có vơ số f không điểm, với b ∈ K Chứng minh Đặt g = Vì cực điểm g không điểm f f nên ta có φg (r) = ψf (r) ≤ crd Vì f hàm phân hình siêu việt nên g hàm phân hình siêu việt, g = f = −f f2 f −f − b có vơ số khơng điểm hay −b f2 f2 có vơ số khơng điểm, với b ∈ K Theo Hệ 2.2 g − b = Định lý 2.6 ([3]) Cho hàm phân hình siêu việt f trường K Giả sử với số c, d ∈ (0; +∞) ta có n r, ≤ crd [1; +∞) Khi đó, f f − b có vô số không điểm, với b ∈ K∗ P với h P ∈ K[z] h hàm nguyên siêu việt Khi đó, tồn s > cho Chứng minh Giả sử f − b có hữu hạn không điểm Ta viết f = |P |(r) < |b|, ∀r > s, |h|(r) |f |(r) = |b|, ∀r > s Theo Bổ đề 2.3, số khơng điểm cực điểm f hình cầu d(0, r) r > s Do đó, tồn s > s cho với r > s ta có n(r, f ) = n r, f Mặt khác, ta lại có n(r, f ) < n(r, f ) Kết hợp với giả thiết định lý ta có n(r, f ) < n r, 39 f ≤ crd Rõ ràng n(r, f ) < crd φf (r) < crd Do theo Định lý 2.5 f − b có vơ số khơng điểm Điều dẫn đến mẫu thuẫn với điều giả sử định lý chứng minh 2.2 Không điểm đa thức vi phân Chúng ta xét đến đa thức vi phân có dạng F = a0 + a1 f + + an−1 f n−1 + an f n f (k) , đó, aj , (0, 1, , n) hàm nhỏ hàm f f hàm phân hình K d(r, R− ) Tương tự trường hợp phức, N (r, f ) = Sf (r) hàm F có vơ số không điểm Dựa vào chứng minh tác giả A Escassut, W.Lă u, v C C Yang ([4]), tụi chứng minh lại kết luận văn 2.2.1 Một số kiến thức bổ sung Cho hàm phân hình f, g K ngồi tính chất hàm T (r, f g), T (r, f + g), T (r, ) dễ dàng thu từ định nghĩa hàm Nevanlinna f Công thức Jensen, trước trình bày kết chính, có thêm nhận xét sau Nhận xét 2.2 Ta thấy log |f |(r) = log+ |f |(r) − log+ 1 = m(r, f ) − m r, |f |(r) f Do đó, cơng thức Jensen viết lại T r, f = T (r, f ) − log |f |(ρ0 ) Nếu log |f |(r) = T (r, f ) = N (r, f ) Trường hợp log |f |(r) > 1 m(r, f ) = log |f |(r) m r, = Khi T r, = N r, f f f 40 + O(1) Mặt khác, với hàm phân hình khác f f f phải có khơng điểm cực điểm, N (r, f ) → ∞ → ∞ r → ∞ Trong trường hợp ta ln có N r, f T (r, f ) → ∞ Như vậy, định nghĩa hàm đặc trưng Nevanlinna tương đương nên T (r, f ) = N r, với T (r, f ) = max {Z (r, f ) , N (r, f )} Chúng dùng định nghĩa hàm đặc trưng Nevanlinna cho chứng minh phần Bổ đề 2.9 Giả sử f, g ∈ A(K), tương ứng f, g ∈ A(d(0, R− )) cho lim (Z (r, f ) − Z (r, g)) = +∞, r→+∞ tương ứng lim (Z (r, f ) − Z (r, g)) = +∞ r→R Khi đó, ta có |f + g|(r) = |f (r)| Z (r, f + g) = Z (r, f ) Chứng minh Cho f ∈ A(d(0, R− )) f (0) = Khi đó, ta viết lại cơng thức Jensen sau: log(|f |(r)) = log |f (0)| + Z (r, f ) Giả sử f (0) g(0) khác ∞ Từ công thức Jensen ta lại có log(|f |(r)) = log |f (0)| + Z (r, f ) , log(|g|(r)) = log |g(0)| + Z (r, g) ⇒ log(|f |(r)) − log(|g|(r)) = log |f (0)| − log |g(0)| + Z (r, f ) − Z (r, g) Như vậy, theo giả thiết, ta có lim (Z (r, f ) − Z (r, g)) = +∞ nên với r→+∞ r đủ lớn r gần đến R ta có log(|f |(r)) > log(|g|(r)), ta suy 41 |f |(r) > |g|(r) |f + g|(r) = |f |(r) Cũng từ cơng thức Jensen ta lại có log(|f + g|(r)) = log(|f + g|(0)) + Z (r, f + g) ⇔ Z (r, f + g) = log(|f + g|(r)) − (|f + g|(0)) = log(|f |(r)) − log(|f |(0)) = Z (r, f ) Vậy Z (r, f + g) = Z (r, f ) Cho f ∈ M(K), tương ứng f ∈ M(d(0, R− )) cho f (0) = 0, ∞ Chúng ta ký hiệu Mf (K), tương ứng Mf (d(0, R− )) tập hàm phân hình K, tương ứng M(d(0, R− )) thỏa mãn T (r, α) T (r, α) = 0, tương ứng lim = 0, r→+∞ T (r, f ) r→R T (r, f ) lim ta gọi hàm α hàm nhỏ f Định nghĩa 2.1 (Divisor) Cho R > Một dãy (an , qn )n∈N , an (0, R− ) lim |an | = R gọi Divisor d(0, R− ) Với r→∞ Divisor T=(an , qn )n∈N , với r ∈ (0, R) ta đặt ∞ |an |qn |T |(r) = n=0 Nếu f ∈ A(d(0, R− )) f có vơ số khơng điểm d(0, R− ) Khi đó, tập khơng điểm f d(0, R− ) dãy (zn )n∈N cho lim |zn | = R n→+∞ Bổ đề 2.10 Cho f ∈ M(d(0, R− )) Khi đó, tồn hàm u, v ∈ A(d(0, R− )) cho Z (r, u) ≤ Z (r, f ) + O(1) Z(r, v) ≤ N (r, f ) + O(1) 42 Chứng minh Gọi D E Divisor không điểm u cực điểm hàm f Do f ∈ M(d(0, R− )) nên ta viết f = với v u, v ∈ A(d(0, R− )) khơng có khơng điểm chung, đồng thời u, v thỏa mãn |b|(r) ≤ |D|(r) + |c|(r) ≤ |E|(r) + Do đó, Z(r, u) ≤ Z(r, f ) + O(1) Z(r, v) ≤ N (r, f ) + O(1) Từ Bổ đề 2.10 ta dễ dàng có kết Bổ đề 2.11 sau Bổ đề 2.11 Cho f ∈ M(d(0, R− )) a ∈ Mf (d(0, R− )) Khi đó, tồn b hàm b, c ∈ Af (d(0, R− )) cho a = c Chứng minh Vì a ∈ Mf (d(0, R− )) nên a ∈ M(d(0, R− )) Ta viết a = với b, c ∈ A(d(0, R− )) khơng điểm chung Theo Bổ đề 2.10, b c Z(r, b) ≤ Z(r, a) + O(1) ≤ T (r, a) + O(1) Z(r, c) ≤ N (r, a) + O(1) ≤ T (r, a) + O(1) Vậy b, c ∈ Af (d(0, R− )) Ký hiệu 2.2 Với hàm f ∈ M(K), tương ứng f ∈ M(d(0, R− )), ta ký hiệu Sf (r) hàm φ : (0; +∞) → R cho φ(r) = 0, r→∞ T (r, f ) lim φ(r) = r→R T (r, f ) tương ứng lim b với b, c ∈ c Af (K) Khi đó, T (r, b) = Z(r, b) T (r, c) = Z(r, c) nên ta có Z(r, b) = Nhận xét 2.3 Theo Bổ đề 2.11, a ∈ Mf (K) a = Sf (r) Z(r, c) = Sf (r) Điều tương tự a ∈ Mf (d(0, R− )) 43 2.2.2 Các kết Định lý 2.7 ([4]) Giả sử f hàm phân hình K cho N (r, f ) = Sf (r) n−1 aj f j + an f n f (k) , F = j=0 với a0 an = 0, ∀n ≥ aj ∈ Mf (K) Khi F có vơ số khơng điểm K Chứng minh Giả sử f ∈ M(K) khơng có khơng điểm khơng có cực điểm g Ta viết f = với g, h ∈ A(K) khơng có khơng điểm chung Với h bj j = 0, , n, ta đặt aj = với bj , cj ∈ A(K) khơng có khơng điểm cj chung Theo giả thiết, N (r, f ) = Sf (r) nên N (r, f ) Z(r, h) = lim = 0, r→+∞ T (r, f ) r→+∞ T (r, f ) lim h ∈ Mf (K) Với j = 0, , n bj , cj ∈ Mf (K) Như vậy, ta có Z(r, h) = Sf (r), Z(r, bj ) = Sf (r), Z(r, cj ) = Sf (r) Gọi Ω tập cực điểm f Khi đó, ta đặt ¯ = xm0 h 1− zj ∈Ω z zj , với m0 = không cực điểm hàm f m0 = trường ¯h ˜ Ta biết f (k) có dạng gk với gk ∈ A(K) Hệ hợp lại Ta viết h = h ¯ k h(h) ta có N (r, f (k) ) ≤ (k + 1)N (r, f ) = (k + 1)Z(r, h) = Sf (r) Ta viết F dạng sau: n−1 aj f j + an f n f (k) F = j=0 44 bn−1 g b0 b1 g = + + + c0 c1 h cn−1 h n−1 = n−1 b n g n gk + n ¯ k cn h h(h) wj g j + wn g n gk j−0 ¯ k hn+1 (h) , n cj j=0 đó, n ci wj = i=0 cj ¯ k, bj hn−j+1 (h) ≤ j ≤ n − 1, n−1 wn = ci b n i=0 Do bj , cj , h ∈ Mf (K) nên Z(r, wj ) = Sf (r) với j = 0, , n Ta có   n−1 wj g j + wn g n gk  + Sf (r) Z(r, F ) = Z r, j−0 Theo giả thiết, N (r, f ) = Sf (r) nên T (r, f ) = max{Z(r, f ), N (r, f )} = Z(r, f ) = Z(r, g) Với j = 0, , n − 1, ta có Z(r, wj g j ) ≤ Z(r, wj ) + Z(r, g j ) = Sf (r) + Z(r, g j ) ≤ Z(r, g n ) − Z(r, g) + Sf (r) (do j ≤ n − 1) ≤ Z(r, g n gk ) − Z(r, g) + Sf (r) Điều kiện N (r, f ) = Sf (r) có nghĩa lim sup |f |(r) = +∞ Vì n mà từ biến đổi ta suy Z(r, g gk ) − r→+∞ Z(r, wj g j ) ≥ Z(r, g) hay lim Z(r, wn g n gk ) − Z(r, wj g j ) = +∞ r→∞ 45 Áp dụng Bổ đề 2.9,   n−1 wj g j + wn g n gk  = Z (r, wn g n gk ) + Sf (r) Z r, j−0 ≥ Z(r, g n ) + Sf (r) = nZ(r, g) + Sf (r) Điều có nghĩa Z(r, F ) ≥ nZ(r, g)+Sf (r) = nT (r, f )+Sf (r) r đủ lớn, chứng tỏ F có vơ số không điểm Ký hiệu Mu (d(0, R− )) tập hợp hàm f ∈ M(d(0, R− )) không bị chặn Chúng ta có kết tương tự hàm f ∈ Mu (d(0, R− )) Định lý 2.8 ([4]) Cho f ∈ Mu (d(0, R− )) cho N (r, f ) = Sf (r) n−1 aj f j + an f n f (k) , F = j=0 với a0 an = 0, ∀n ≥ aj ∈ Mf (d(0, R− )) Khi F có vơ số khơng điểm d(0, R− ) Chứng minh Giả sử f ∈ Mu (d(0, R− )) khơng có khơng điểm khơng có g cực điểm Ta viết f = với g, h ∈ A(d(0, R− )) khơng có khơng h bj điểm chung Với j = 0, , n, ta đặt aj = với bj , cj ∈ A(d(0, R− )) cj khơng có khơng điểm chung Theo giả thiết, N (r, f ) = Sf (r) nên N (r, f ) Z(r, h) = lim = 0, r→+R T (r, f ) r→R T (r, f ) lim h ∈ Mf (d(0, R− )) Với j = 0, , n bj , cj ∈ Mf (d(0, R− )) Như vậy, ta có Z(r, h) = Sf (r), Z(r, bj ) = Sf (r), Z(r, cj ) = Sf (r) Gọi Ω tập cực điểm f Khi đó, ta đặt ¯ = xm0 h 1− zj ∈Ω 46 z zj , với m0 = không cực điểm hàm f m0 = trường hợp ¯h ˜ Ta biết f (k) có dạng gk với gk ∈ A(d(0, R− )) lại Ta viết h = h ¯ k h(h) Hệ ta có N (r, f (k) ) ≤ (k + 1)N (r, f ) = (k + 1)Z(r, h) = Sf (r) Ta viết F dạng sau: n−1 aj f j + an f n f (k) F = j=0 bn−1 g b0 b1 g = + + + c0 c1 h cn−1 h n−1 = n−1 b n g n gk + n ¯ k cn h h(h) wj g j + wn g n gk j−0 ¯ k hn+1 (h) , n cj j=0 đó, n ci wj = i=0 cj ¯ k, bj hn−j+1 (h) ≤ j ≤ n − 1, n−1 wn = ci b n i=0 Do bj , cj , h ∈ Mf (d(0, R− )) nên Z(r, wj ) = Sf (r) với j = 0, , n Ta có   n−1 wj g j + wn g n gk  + Sf (r) Z(r, F ) = Z r, j−0 Theo giả thiết, N (r, f ) = Sf (r) nên T (r, f ) = max{Z(r, f ), N (r, f )} = Z(r, f ) = Z(r, g) Với j = 0, , n − 1, ta có Z(r, wj g j ) ≤ Z(r, wj ) + Z(r, g j ) = Sf (r) + Z(r, g j ) 47 ≤ Z(r, g n ) − Z(r, g) + Sf (r) (do j ≤ n − 1) ≤ Z(r, g n gk ) − Z(r, g) + Sf (r) Điều kiện N (r, f ) = Sf (r) có nghĩa lim sup |f |(r) = +∞ Vì n mà từ biến đổi ta suy Z(r, g gk ) − r→R Z(r, wj g j ) ≥ Z(r, g) hay lim Z(r, wn g n gk ) − Z(r, wj g j ) = +∞ r→R Theo Bổ đề 2.9,   n−1 wj g j + wn g n gk  = Z (r, wn g n gk ) + Sf (r) Z r, j−0 ≥ Z(r, g n ) + Sf (r) = nZ(r, g) + Sf (r) Điều có nghĩa Z(r, F ) ≥ nZ(r, g)+Sf (r) = nT (r, f )+Sf (r) r đủ lớn, chứng tỏ F có vơ số khơng điểm 48 KẾT LUẬN Trong luận văn này, nghiên cứu vấn đề không điểm đạo hàm đa thức vi phân hàm phân hình p-adic, nội dung trình bày lại kết nghiên cứu tác giả K Boussaf, A Escassut, J Ojeda, J-P Bézivin, W Lă u, and C C Yang cỏc bi báo [2], [3], [4] Chúng đưa số điều kiện đại số để hàm f − b có vơ số khơng điểm (Định lý 2.2 Định lý 2.6) số điều kiện đại số để đa thức vi n−1 phân F = aj f j + an f n f (k) có vơ số khơng điểm (Định lý 2.7 Định lý j=0 2.8) Qua đó, chúng tơi đưa phần câu trả lời vấn đề Hayman giải tích p-adic (Hệ 2.1 Hệ 2.7) Trong thời gian tới, tiếp tục phát triển đề tài theo hướng nghiên cứu vấn đề không điểm hàm f + T (z)f n , với T (z) hàm số K dạng đa thức vi phân khác tổng quát F = n−1 aj f j f (kj ) , kj ∈ N j=0 49 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Hà Trần Phương, Vũ Hoài An (2017), Hàm phân hình trường padic, NXB Đại học Thái Nguyên Tiếng Anh [2] Boussaf K., Escassut A., and Ojeda J., (2012), "Zeros of the derivative of a p-adic meromorphic function and applications", Bull Belg Math Soc Simon Stevin 19 (2), p 237–372 [3] Boussaf K., Escassut A., Bézivin J P., (2012), "Zeros of the derivative of a p-adic meromorphic function", Bull Sci Math 136, p 839–847 [4] Escassut A., Lu W., Yang C.C., (2014), "Zeros of p-Adic Differential Polynomials", ISSN 2070-0466, p-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications, 2014, Vol 6, No 2, p 166–170 50 ... cho trường h p đa thức vi phân F Với mong muốn tìm hiểu vấn đề khơng điểm hàm phân hình đạo hàm nó, chúng tơi lựa chọn đề tài "Không điểm đạo hàm đa thức vi phân hàm phân hình p- adic" Mục tiêu... đối không Acsimet (p- adic) f hàm phân hình K Kí hiệu f đạo hàm hàm f kí hiệu F = an f n f (k) + an−1 f n−1 + + a1 f + a0 , aj hàm nhỏ f , đa thức vi phân hàm phân hình f Trong trường h p phức... HỌC SƯ PHẠM HOÀNG THỊ HƯƠNG GIANG KHÔNG ĐIỂM CỦA ĐẠO HÀM VÀ ĐA THỨC VI PHÂN CỦA HÀM PHÂN HÌNH p- ADIC Ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: PGS.TS