Luận văn: Một số mô hình dạng vi phân, sai phân trong kinh tế

Luận văn: Một số mô hình dạng vi phân, sai phân trong kinh tế

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————o0o———— NGỤY THỊ THANH HẢI MỘT SỐ MÔ HÌNH DẠNG VI PHÂN, SAI PHÂN TRONG KINH TẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2009 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————o0o———— NGỤY THỊ THANH HẢI MỘT SỐ MÔ HÌNH DẠNG VI PHÂN, SAI PHÂN TRONG KINH TẾ Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN SINH BẢY Hà Nội - 2009 Lời cảm ơn Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Sinh Bảy. Nhân dịp này em xin chân thành cảm ơn Thầy đã giành nhiều công sức, thời gian để hướng dẫn, kiểm tra và giúp đỡ em trong việc nắm bắt các kiến thức chuyên ngành và trong việc định hình, hoàn thiện bản luận văn. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến lãnh đạo và các thầy trong Khoa Toán - Tin - Cơ, phòng Sau Đại học, trường ĐHKHTN, ĐHQGHN về kiến thức và những điều tốt đẹp mang lại cho em trong thời gian học tập tại trường. Xin chân thành cảm ơn các thầy, các bạn trong Xemina của tổ Giải tích, ĐHKHTN. Xin chân thành cảm ơn lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội, Trường THPT Chương Mỹ B về sự ủng hộ quý giá, về những điều kiện thuận lợi. Xin cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè về những lời động viên, những cử chỉ khích lệ, những sự giúp đỡ thân tình. Hà Nội 11/ 2009 Ngụy Thị Thanh Hải i Mục lục Lời cảm ơn i Bảng ký hiệu iii Mở đầu 1 1 Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển 2 1.1 Tóm tắt về lí thuyết ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Các phương pháp nghiên cứu tính ổn định . . . . . . . . . 3 1.2 Sơ lược về các hệ thống kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Một số mô hình kinh tế cổ điển có dạng vi phân, sai phân . . . . 8 1.3.1 Mô hình HAROD-DOMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 Mô hình tăng trưởng kinh tế SOLOW . . . . . . . . . . . . 10 2 Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng 14 2.1 Giới thiệu và xây dựng mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.1 Lập mô hình di cư lao động . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.2 Một vài hệ thức quan trọng của mô hình . . . . . . . . . . 18 2.2 Mô hình có hệ số khuếch tán lao động bằng không . . . . . . . . 21 2.2.1 Vấn đề tồn tại điểm cân bằng dương . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.2 Tính hút về điểm biên của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Mô hình có hệ số khuếch tán lao động dương . . . . . . . . . . . . 39 2.3.1 Sự tồn tại và ổn định điểm cân bằng dương . . . . . . . . . 39 2.3.2 Tính hút toàn cục của điểm cân bằng dương . . . . . . . . 40 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 ii Bảng ký hiệu a Hệ số khuếch tán lao động b Hệ số di cư lao động c Tỷ lệ gia tăng Vốn - đầu ra (thu nhập quốc dân) L Lao động K Vốn R Tỷ số Vốn - Lao động s Hệ số tiết kiệm X Hàm chi phí Y Hàm sản xuất µ Hệ số trượt giá iii Mở đầu Hệ thống kinh tế là một hệ thống phức tạp, chịu tác động của nhiều yếu tố. Thông thường để giải quyết một số các vấn đề kinh tế ta phải mô hình hóa bằng mô hình toán học. Để xây dựng mô hình toán cần thiết phải đưa vào các giả thiết nhằm đơn giản hóa mô hình. Đây là một vấn đề rất khó khăn và phức tạp, không có một mô hình nào có thể mô tả đầy đủ mọi vấn đề kinh tế cần giải thích và phải chấp nhận những sai khác với mức độ nhất định so với thực tế. Một mô hình kinh tế quá đơn giản thì ta có thể dễ dàng xây dựng và giải mô hình đó, nhưng nó thiếu tính chính xác khi bỏ qua nhiều yếu tố quan trọng của thực tiễn. Một mô hình kinh tế quá phức tạp có đầy đủ các yếu tố thực tiễn thì sẽ phải sụp đổ dưới sức nặng của chính nó. Do vậy ta cần phải dựa vào quan sát và các số liệu thống kê để đưa ra một mô hình vừa đủ để có thể giải quyết được, nhưng cũng đủ để đưa ra những dự báo, những giải thích, đánh giá có độ tin cậy. Các mô hình này thường được mô tả bởi các phương trình vi phân hoặc sai phân. Trong các mô hình này điều được quan tâm là tính ổn định của mô hình và để khảo sát tính ổn định của mô hình ta sử dụng lý thuyết ổn định. Lý thuyết này đã được xây dựng cuối thế kỷ 19 bởi nhà toán học người Nga V. I. Lyapunov. Từ đó đến nay lý thuyết này không ngừng phát triển và trở thành một hướng Toán học có nhiều thành tựu trong việc nghiên cứu định tính các quá trình thực tiễn [1-16]. Luận văn được nghiên cứu theo hướng này, đầu tiên đi xây dựng mô hình kinh tế sau đó khảo sát tính ổn định của mô hình này. Đây là mô hình có nhiều điểm mang tính thời sự, chưa được tìm hiểu nhiều. Bố cục luận văn gồm hai chương chính: - Chương 1: Giới thiệu về lý thuyết ổn định, các phương pháp nghiên cứu ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển. - Chương 2: Giới thiệu mô hình "Di cư lao động giữa hai vùng" và khảo sát tính ổn định của mô hình này. Đây là mô hình đã được một số tác giả nghiên cứu ([13, 14, 16]). Chúng tôi là người thu thập, tự tìm cách tái xây dựng lại mô hình, khôi phục lại việc chứng minh các kết quả, rút ra ý nghĩa kinh tế từ những mệnh đề thuần tuý Toán học trong các công trình trên. 1 Chương 1 Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển 1.1 Tóm tắt về lí thuyết ổn định 1.1.1 Khái niệm Xét hệ phương trình vi phân thường ˙x = f(t, x), (1.1) trong đó t ≥ 0, x ∈ X (X nói chung là không gian Banach, đôi khi lấy X = R n ), f : R + × D −→ X (D ⊆ X). f đủ tốt để thỏa mãn điều kiện về tồn tại và duy nhất nghiệm trên R + × D. Định nghĩa 1.1. Giả sử x = x ∗ (t) là một nghiệm của hệ (1.1). Nói nghiệm này ổn định nếu: ∀ t 0 ≥ 0, ∀ > 0, ∃δ = δ(, t 0 ) sao cho mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1) thỏa mãn: ||x(t 0 ) − x ∗ (t 0 )|| < δ thì ||x(t) − x ∗ (t)|| < , ∀ t ≥ t 0 . Nếu x = x ∗ (t) ổn định và có tính hút, nghĩa là tồn tại δ 1 > 0, sao cho: x(t 0 ) − x ∗ (t 0 ) < δ 1 ⇒ x(t) − x ∗ (t) → 0 khi t → ∞ thì nghiệm nói trên (và bản thân hệ) được gọi là ổn định tiệm cận. Nếu δ, δ 1 có thể chọn không phụ thuộc vào t 0 thì các nghĩa ổn định trên được gọi là ổn định đều. Để bài toán được đơn giản, người ta thường cho thêm giả thiết f(t, 0) = 0 ∀t ≥ 0. Khi đó nghiệm x = x ∗ (t) thường lấy là nghiệm tầm thường x = x ∗ (t) ≡ 0. Nếu tồn tại N > 0, δ > 0 sao cho: ||x(t)|| ≤ Ne −δ(t−t 0 ) ∀ t ≥ t 0 thì nói hệ là ổn định mũ. 2 Chương 1. Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển 1.1.2 Các phương pháp nghiên cứu tính ổn định Khi số chiều của không gian không quá lớn hoặc dạng của hệ đơn giản, có thể tìm được công thức nghiệm tổng quát thì có thể khảo sát trực tiếp (được trình bày trong chương 2 của luận văn). Ngoài ra có thể khảo sát tính ổn định bằng phương pháp thứ nhất, phương pháp thứ hai của Liapunov hoặc các bất đẳng thức vi phân, tích phân (bất đẳng thức Gronwall-Belman và các bất đẳng thức mở rộng). a. Phương pháp thứ nhất Liapunov Tư tưởng chính của phương pháp là nghiên cứu tính ổn định của các hệ đơn giản trước sau đó phát triển kết quả cho các hệ phức tạp hơn, theo thứ tự: - Hệ tuyến tính thuần nhất dừng. - Hệ tuyến tính thuần nhất không dừng. - Hệ tuyến tính. - Hệ tựa tuyến tính. - Hệ phi tuyến. Hệ tuyến tính thuần nhất dừng Hệ tuyến tính thuần nhất dừng là hệ có dạng ˙x = Ax (1.2) t ≥ 0, x ∈ X. Phổ của hệ (1.2) là tập σ(A) = {λ ∈ C : (A − λI) không khả nghịch}. Nếu A là ma trận hằng cỡ n × n thì σ(A) = {λ ∈ C : det(A − λI) = 0}. Định lí 1.1. Nếu mọi phần tử của phổ σ(A) đều có phần thực âm thì hệ (1.2) là ổn định tiệm cận (hay trạng thái cân bằng tầm thường x ≡ 0 là ổn định tiệm cận). - Nếu mọi phần tử của phổ σ(A) đều có phần thực không dương và các phần tử có phần thực bằng 0 là nghiệm đơn thì hệ (1.2) là ổn định. - Nếu σ(A) có phần tử với phần thực dương thì hệ không ổn định. Tiêu chuẩn Hurwitz. Với A là ma trận hằng, cỡ n × n, việc tìm phổ σ(A) là khó, trong nhiều trường hợp người ta sử dụng dấu hiệu sau (định lý 1.2) để xét tính ổn định của hệ (1.2). 3 Chương 1. Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển Định lí 1.2. Giả sử phương trình đặc trưng det(A − λI) = 0 của hệ (1.2) là f(λ) = a 0 + a 1 λ + a 2 λ 2 + · · · a n−1 λ n−1 + a n λ n có dạng chuẩn, nghĩa là a 0 > 0 và a n = 0. Khi đó mọi phần tử của phổ σ(A) (hay mọi nghiệm của phương trình đặc trưng) có phần thực âm nếu ma trận sau xác định dương (các định thức con chính đều dương). A =          a 1 a 0 0 0 0 . . . 0 a 3 a 2 a 1 a 0 0 . . . 0 a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 2n−1 a 2n−2 a 2n−3 a 2n−4 a 2n−5 . . . a n          , trong đó a s = 0 khi s < 0 hoặc s > n. . Hệ tuyến tính thuần nhất không dừng Hệ tuyến tính thuần nhất không dừng là hệ có dạng ˙x = A(t)x. (1.3) Với hệ này ta không còn khái niệm phương trình đặc trưng. Do đó, ta xây dựng phổ theo cách khác (định nghĩa 1.2). Định nghĩa 1.2. Giả sử x = x(t) là một nghiệm của hệ (1.3), ta gọi giới hạn χ[x] = lim t→+∞ 1 t lnx(t) là số mũ Liapunov của nghiệm này. Tập hợp các số mũ Liapunov khác ±∞ của tất cả các nghiệm của hệ (1.3) được gọi là phổ Liapunov của hệ này. Định lí 1.3. Nếu A(t) là một ma trận hàm liên tục và bị chặn trên R + A(t) ≤ C ∀ t ≥ 0 (0 < C < ∞) thì mọi nghiệm không tầm thường của hệ (1.3) đều có số mũ đặc trưng hữu hạn. Trong trường hợp này hệ (1.3) có đúng n số mũ đặc trưng (không nhất thiết khác nhau). Định lí 1.4. Hệ (1.3) là ổn định tiệm cận nếu số mũ đặc trưng cực đại âm λ max = max{λ i } < 0 (λ i là phần tử phổ của A(t)). 4 Chương 1. Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển . Hệ tuyến tính Hệ tuyến tính là hệ có dạng ˙x = A(t)x + f(t). (1.4) Nếu f(t) là một hàm liên tục, giới nội trên R + thì tính ổn định của hệ (1.4) được suy trực tiếp từ tính ổn định của hệ (1.3). Hệ tựa tuyến tính Hệ tựa tuyến tính là hệ có dạng ˙x = A(t)x + f(t, x). (1.5) Giả sử A(t) là ma trận ổn định tiệm cận và tồn tại lân cận đủ nhỏ của điểm gốc O ∈ X sao cho với mọi x thuộc lân cận đó có f(t, x) ≤ α(t)x, trong đó α(t) là một hàm dương nào đó trên R + và α(t) → 0 khi t → +∞ thì hệ (1.5) ổn định. Có thể thay điều kiện α(t) → 0 khi t → +∞ bởi điều kiện  +∞ 0 α(t)dt ≤ c < +∞. Hệ phi tuyến Hệ phi tuyến là hệ có dạng ˙x = f(t, x) f(t, 0) = 0 ∀ t ≥ 0. (1.6) Giả sử hàm f(t, x) đủ tốt về khả vi theo x. Phân tích Taylor f(t, x) tại x = 0 ta có f(t, x) = ∂f(t, 0) ∂x x + g(t, x)x, trong đó g(t, x) = 0(||x||). Đặt A(t) = ∂f(t, 0) ∂x ta đưa hệ (1.6) về dạng ˙x = A(t)x + g(t, x). Vậy, nếu mọi số mũ Liapunov của ma trận ∂f(t, 0) ∂x đều âm (hay số mũ cực đại âm) thì hệ (1.6) là ổn định tiệm cận. 5 [...]... 1.3 1.3.1 Một số mô hình kinh tế cổ điển có dạng vi phân, sai phân Mô hình HAROD-DOMA Khi nghiên cứu sự tăng trưởng của một nền kinh tế, một trong những vấn đề được quan tâm là xác định mối quan hệ giữa sự tăng trưởng và nhu cầu về vốn 8 Chương 1 Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển Nếu biết được mối quan hệ này, ta có thể tính được nhu cầu đầu tư của nền kinh tế nhằm đảm... phân tích và giải quyết chúng ở cả tầm vi mô và vĩ mô Phương pháp mô hình là một trong những phương pháp hiệu quả kết hợp được nhiều cách tiếp cận hiện đại, đồng thời cũng kế thừa được nhiều mặt mạnh của các phương pháp truyền thống trong nghiên cứu kinh tế- xã hội Trong phần này chỉ giới thiệu chung về một số thuật ngữ, khái niệm thường sử dụng trong các mô hình toán kinh tế Đặc điểm của các biến số. .. các tác nhân trong mô hình Tổng quát hơn, biến ngoại sinh là các biến toán học được xác định bên ngoài phạm vi của mô hình kinh tế Biến ngoại sinh còn được gọi là các tham biến Tùy vào từng mô hình cụ thể ta có thể xác định được biến nào là biến nội sinh và biến nào là biến ngoại sinh 7 Chương 1 Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển Xây dựng và phân tích mô hình i) Đặt vấn... trình vi phân của mô hình Solow R = sγRα − (µ + n)R Đây là phương trình Becnully, ta có thể giải phương trình để tìm R theo γ, s, n, µ 11 Chương 1 Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển Phân tích mô hình Từ phương trình vi phân của mô hình Solow ta thấy trạng thái ổn định là khi có nguồn vốn R∗ thỏa mãn phương trình sγ(R∗ )α − (n + µ)R∗ = 0 ⇒ R∗ = Khi đó đầu ra ổn định trên một. .. là các hằng số không âm, gọi là hệ số di cư giữa hai miền X và Y Có nhiều định tính của mô hình đã được nghiên cứu Trong mô hình trên các biến x; y đều có số mũ là 1 hoặc 2 Mô hình mà ta sẽ quan tâm trong chương hai của luận văn này sẽ có bản chất sai khác không nhiều với mô hình vừa nêu trên, nhưng có độ phức tạp cao hơn (số mũ của các biến không còn là các số nguyên 1 hoặc 2 mà là các số thực (α0... 1.3.2 Mô hình tăng trưởng kinh tế SOLOW Mô hình được đặt tên nhà kinh tế học Robert Solow Ông đã nghiên cứu mô hình dựa trên các dữ liệu thu thập ở Mỹ vào những năm 1950 đến năm 1970 Robert Solow đã được nhận giải thưởng Nobel về kinh tế năm 1986 do những đóng góp to lớn của ông về lý thuyết tăng trưởng Khi xem xét nền kinh tế thế giới, chúng ta có thể dễ dàng nhận ra sự khác biệt rất lớn giữa các nền kinh. .. bảo yêu cầu tăng trưởng đã dự kiến Mô hình này coi đầu ra của bất kỳ một đơn vị kinh tế nào đó, dù là một công ty, một ngành công nghiệp hay toàn bộ nền kinh tế phụ thuộc vào tổng số vốn đầu tư cho nó Nếu gọi Yt là đầu ra (thu nhập quốc dân) trong giai đoạn t còn St là mức tích luỹ (tiết kiệm) thì St = sYt , trong đó s là một hằng số và được gọi là tỉ lệ tích luỹ trong GDP Đầu tư It tỉ lệ với sự thay... Chương 1 Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển Vậy tỉ lệ tăng trưởng là g= s c−s Mô hình Harod-Domar chỉ ra sự tăng trưởng là do kết quả tương tác giữa tiết kiệm với đầu tư, là động lực cơ bản của sự phát triển kinh tế Đầu tư phát sinh ra lợi nhuận và gia tăng khả năng sản xuất của nền kinh tế Tuy nhiên trong giả thiết của mô hình vẫn còn nhiều yếu tố bất cập như đầu tư... trên có dạng phi tuyến với ẩn là R0 (t), R1 (t), L0 (t), R1 (t) iv) So với mô hình di cư quần thể n loài giữa hai vùng mô hình di cư lao động R0 (t) = (C1 e−µ0 (1−α0 )t + có độ phức tạp cao hơn Điều này thể hiện ở số mũ của R0 là α0 = 1 và số mũ của R1 là α1 = 1 17 Chương 2 Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Hình 2.1: 2.1.2 Một vài hệ thức quan trọng của mô hình Ta vi t hệ... định Vi c tìm hàm V (t, x) chưa có phương pháp tổng quát và hàm V (t, x) không duy nhất cho mỗi hệ Người ta còn dùng hàm bổ trợ (hàm Liapunov) để khảo sát các định tính khác như tính giới nội, giới nội đều, dao động tuần hoàn của nghiệm 6 Chương 1 Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển 1.2 Sơ lược về các hệ thống kinh tế Trong thực tiễn, các hoạt động kinh tế hết sức đa dạng, . các hệ thống kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Một số mô hình kinh tế cổ điển có dạng vi phân, sai phân . . . . 8 1.3.1 Mô hình HAROD-DOMA. ————o0o———— NGỤY THỊ THANH HẢI MỘT SỐ MÔ HÌNH DẠNG VI PHÂN, SAI PHÂN TRONG KINH TẾ Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người