Không gian quỹ đạo của các nhóm hữu hạn tác động tuyến tính lên không gian định chuẩn

MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nhóm, nhóm con, nhóm hữu hạn 1.2 Mêtric, không gian mêtric tuyến tính 1.3 Các tính chất tốn tử tuyến tính 1.4 Đồng luân, trội đồng luân 10 1.5 Thác triển ánh xạ 14 1.6 AR(M )-không gian AN R(M )-không gian 16 1.7 Khơng gian với tốn tử khơng gian quỹ đạo 19 Chương Không gian quỹ đạo nhóm hữu hạn tác động tuyến tính lên không gian định chuẩn 27 2.1 Quan hệ không gian quỹ đạo nhóm hữu hạn tác động tuyến tính lên không gian định chuẩn với AR-không gian 27 2.2 Không gian quỹ đạo nhóm hữu hạn tác động tuyến tính lên không gian định chuẩn 30 KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 LỜI NĨI ĐẦU Vấn đề tốn tử tuyến tính tác động lên khơng gian tơpơ tuyến tính đem lại nhiều kết tốt cho tôpô Đặc biệt nhà toán học quan tâm tới nhóm hữu hạn tốn tử tác động lên khơng gian định chuẩn T Dobrowolski, H Torunczyk J Jaworowski cơng bố báo tạp chí tơpơ ứng dụng năm 1971 vấn đề Điều đó, thu hút quan tâm nghiên cứu nhà Giải tích hàm lớp khơng gian đạt số kết quả, mở nhiều hướng nghiên cứu cho câu hỏi: Cho G nhóm tác động tuyến tính khơng gian định chuẩn E Khi đó, khơng gian quỹ đạo G(E) có AR-không gian hay không? Trả lời câu hỏi này, quan tâm đến báo GS Nguyễn Tố Như quỹ đạo nhóm hữu hạn tác động tuyến tính lên khơng gian định chuẩn Tác giả trình bày khơng gian đồng phơi với , xây dựng f f đồng phôi cặp không gian: G( ) ∼ = , (G( ), G( )) ∼ = ( 2, ) (G( ), G( σ )) ∼ = ( , σ ) 2 Trên sở báo này, chúng tơi trình bày thành hai chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương hệ thống kiến thức nhóm, khơng gian mêtric tuyến tính, lý thuyết co rút, khơng gian tốn tử khơng gian quỹ đạo Các kiến thức chủ yếu trích dẫn từ [1], [2], [3], [4] công cụ để nghiên cứu chương sau Chương Không gian quỹ đạo nhóm hữu hạn tác động tuyến tính lên khơng gian định chuẩn Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm dãy không, phép chọn, đường kính tập A số tính chất khơng gian quỹ đạo nhóm hữu hạn tác động tuyến tính lên khơng gian định chuẩn AR-không gian Luận văn thực từ tháng 01 năm 2009 hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn PGS.TS Tạ Khắc Cư Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy - người đặt vấn đề thường xuyên giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán, khoa Sau Đại học Trường Đại học Vinh bạn lớp Cao học 15 - Giải tích thường xuyên giúp đỡ tác giả trình học tập hồn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận đóng góp q báu từ thầy giáo bạn Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 NHÓM, NHÓM CON, NHÓM HỮU HẠN 1.1.1 Định nghĩa Tập hợp G phép tốn hai ngơi gọi nhóm (i) Phép tốn có tính chất kết hợp, nghĩa (ab)c = a(bc), với a, b, c thuộc G; (ii) Phép tốn có phần tử đơn vị; (iii) Mọi phần tử G khả nghịch 1.1.2 Đẳng cấu Hai nhóm G G gọi đẳng cấu tồn ánh xạ - ϕ từ G lên G bảo tồn phép tốn chúng, nghĩa ϕ(ab) = ϕ(a).ϕ(b) với a, b thuộc G Ta dùng ký hiệu G ∼ = G để hai nhóm G G đẳng cấu với 1.1.3 Nhóm Giả sử H tập khác rỗng nhóm G thỏa mãn điều kiện: với a, b thuộc H , ta có ab ∈ H H gọi phận ổn định nhóm G Khi đó, phép tốn hai ngơi G cảm sinh phép tốn hai ngơi H Nếu H với phép toán cảm sinh nhóm, H gọi nhóm G Chẳng hạn, tập hợp {−1, 1} nhóm nhóm nhân Q∗ , khơng phải nhóm nhóm cộng số nguyên 1.1.4 Nhóm hữu hạn Định nghĩa Một nửa nhóm nhóm G gọi hữu hạn có hữu hạn phần tử Khi đó, số phần tử G gọi cấp G Giả sử G có n phần tử Khi đó, cấp G ký hiệu |G| = n 1.1.5 Định nghĩa Cho V, V hai không gian véctơ trường K Ánh xạ f : V →V gọi ánh xạ tuyến tính hai tiên đề sau thỏa mãn (i) Với x, y ∈ V, f (x + y) = f (x) + f (y) (ii) Với α ∈ K , x ∈ V, f (αx) = αf (x) 1.1.6 Mệnh đề Nếu f : V →V ánh xạ tuyến tính (a) f (θ) = θ , (θ, θ tương ứng phần tử không V, V ) (b) Với x ∈ V, f (−x) = −f (x) Chứng minh (a) Ta có 0θ = θ, f (θ) = f (0, θ) = f (0θ) = 0f (θ) = θ (b) Vì −x = (−1)x nên ta có f (−x) = f [(−1)x] = (−1)f (x) = −f (x) 1.2 MÊTRIC, KHƠNG GIAN MÊTRIC TUYẾN TÍNH Chúng ta giả sử X khơng gian tuyến tính trường Φ (thực phức) Nếu khơng nói thêm kết đưa xét hai trường Khi cần thiết ta rõ trường sở trường 1.2.1 Định nghĩa Hàm ρ : X × X→R gọi mêtric X thỏa mãn điều kiện sau: (i) ρ(x, y) ≥ ρ(x, y) = x = y ; (ii) ρ(x, y) = ρ(y, x) với x, y ∈ X ; (iii) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) với x, y, z ∈ X - Khơng gian tuyến tính X với mêtric ρ gọi khơng gian mêtric tuyến tính phép tốn cộng nhân với vô hướng liên tục theo tôpô sinh mêtric ρ - Mêtric ρ(x, y) gọi bất biến ρ(x + y, y + z) = ρ(x, y) với x, y, z ∈ X Ta nói lân cận U θ khơng gian mêtric tuyến tính X cân với a ∈ Φ mà |a| ≤ ta có aU ⊂ U 1.2.2 Định nghĩa Hai mêtric ρ(x, y) ρ (x, y) gọi tương đương tôpô sinh mêtric tương ứng trùng 1.2.3 Định nghĩa Giả sử E tập khơng gian mêtric tuyến tính X (a) Tập E gọi bị chặn với lân cận U điểm θ tồn số t cho E ⊂ tE ; (b) Tập E gọi hoàn toàn bị chặn với lân cận U điểm θ X có tập hữu hạn F X cho E ⊂ F + U 1.2.4 Mệnh đề Trong không gian mêtric tuyến tính, lân cận W θ chứa lân cận U Chứng minh Giả sử W lân cận θ khơng gian mêtric tuyến tính X Nhờ tính liên tục phép nhân với vô hướng ta suy tồn lân cận V θ số ε > cho với a ∈ Φ mà |a| ≤ ε ta có aV ⊂ W Khi ta đặt aV U= |a|≤ε U lân cận θ U ⊂ W 1.2.5 Định lý ([1]) Giả sử X khơng gian mêtric tuyến tính với mêtric ρ(x, y) Khi đó, có mêtric bất biến ρ (x, y) tương đương với mêtric xuất phát ρ(x, y) 1.2.6 Định nghĩa (a) Không gian mêtric X với mêtric bất biến xác định gọi F ∗ -khơng gian; (b) Hàm thực • : X→R gọi F -chuẩn X thỏa mãn điều kiện sau: (i) x ≥ x = x = 0; (ii) ax = |a| x với a ∈ φ, |a| = 1; (iii) x + y ≤ x + y với x, y ∈ X ; (iv) an x →0 an →0 1.2.7 Nhận xét (a) Giả sử ρ(x, y) mêtric bất biến X Đặt x = ρ(x, θ) Khi đó, x F -chuẩn X ; (b) Hai F -chuẩn tương đương hai mêtric bất biến tương ứng tương đương; (c) Giả sử X F ∗ -không gian Y khơng gian tuyến tính X Khi Y F ∗ -khơng gian với F -chuẩn thu cách thu hẹp F -chuẩn X lên Y 1.3 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TỐN TỬ TUYẾN TÍNH Giả sử X Y hai F ∗ -không gian với F -chuẩn • ứng Ta dùng ký hiệu • X • Y tương để F -chuẩn không gây lầm lẫn 1.3.1 Định nghĩa - Giả sử D không gian X Ánh xạ A : D→Y gọi tốn tử cộng tính (1) A(x + y) = Ax + Ay với x, y ∈ D; - Nếu A thỏa mãn thêm điều kiện (2) A(tx) = tAx với x ∈ D với vơ hướng t A gọi tốn tử tuyến tính - Nếu tốn tử tuyến tính A ánh xạ liên tục A gọi tốn tử tuyến tính liên tục 1.3.2 Mệnh đề Nếu X Y không gian tuyến tính thực tốn tử cộng tính liên tục tốn tử tuyến tính liên tục Chứng minh Vì A tốn tử cộng tính nên ta có A(nx) = nAx với n ∈ N Từ ta có A(x) = A n A (x) nx +A nx +···+A nx Do A nx = Vì thế, với số hữu tỉ r tùy ý ta có A(rx) = rAx Giả sử ε số dương tùy ý t số thực bất kỳ, từ tính liên tục tốn tử A phép nhân vơ hướng ta suy có số hữu tỉ r cho A(t − r)x < ε ε (t − r)Ax < 2 Vì ε ε tA(x)−A(tx) ≤ (t−x)A(x) + rA(x)−A(rx) + A(rx−tx) < + = ε 2 Vì ε bé tùy ý từ suy A(tx) = tA với vơ hướng t 1.3.3 Định nghĩa Giả sử X không gian mêtric tuyến tính, tập B X gọi bị chặn với lân cận U tồn số b cho B ⊂ bU - Dãy {xn } gọi bị chặn tập hợp {xn , n ∈ N } tập bị chặn 1.3.4 Mệnh đề Tập B tập bị chặn với dãy vô hướng {tn } với tn →0 với dãy phần tử {xn } B , dãy {tn xn } hội tụ tới Ta nói tốn tử tuyến tính A : X→Y từ F ∗ -không gian X vào F ∗ -khơng gian Y gọi bị chặn ánh xạ tập hợp bị chặn thành tập hợp bị chặn 1.3.5 Định lý ([1]) Giả sử X Y hai F ∗ -khơng gian, tốn tử tuyến tính A ánh xạ X vào Y bị chặn liên tục 1.3.6 Định nghĩa Tập tất tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y ký hiệu B0 (X→Y ) 1.3.7 Định nghĩa Một tập hợp A khơng gian mêtric tuyến tính E gọi tập hợp hút với x ∈ E tồn λ > cho x ∈ µA với µ thỏa mãn |µ| ≥ λ 1.3.8 Định nghĩa Một tập hợp A không gian mêtric tuyến tính E gọi tập hợp đóng với dãy {xn } nằm A cho xn →x n→∞ x ∈ A 1.3.9 Định nghĩa Giả sử X Y F ∗ -khơng gian Họ U tốn tử khơng gian B0 (X→Y ) gọi đồng liên tục với số dương ε > 0, tồn số dương δ cho sup{ A(x) : x < δ, A ∈ U} < ε 1.3.10 Bổ đề Giả sử X F ∗ -không gian V tập hợp hút, đóng Khi V chứa tập hợp mở ∞ Chứng minh Vì V tập hợp hút nên X = nV Nhờ định lý Baire, n=1 không gian X thuộc phạm trù thứ hai Bởi thế, tồn số nguyên n0 cho n0 V thuộc phạm trù thứ hai X Vì n0 V tập đóng nên chứa tập mở U Vì V chứa tập mở n0 U 1.3.11 Định lý Giả sử U họ tốn tử khơng gian B0 (X→Y ) Với x ∈ X , giả sử tập {A(x) : A ∈ U} tập bị chặn Khi đó, họ U đồng liên tục Chứng minh Giả sử ε số dương bé tùy ý Ký hiệu {x ∈ X : Ax ≤ ε} U1 = A∈U Vì tốn tử A liên tục nên U1 tập hợp đóng Ta chứng minh U1 tập hợp hút Thật vậy, giả sử x phần tử tùy ý X , từ giả thiết suy tập {A(x) : A ∈ U} tập bị chặn Vì tồn số dương a cho với < b < a ta có bA(x) < ε với A Do bx ∈ U1 , nghĩa U1 hút Nhờ Bổ đề 1.3.10 tập U1 chứa tập mở U2 Giả sử x0 ∈ U2 Khi tập hợp {A(x0 ) : A ∈ U} tập bị chặn Vì có số dương b, mà |b| < 1, cho bA(x0 ) < ε Do bx0 ∈ U1 Ký hiệu U = b(U2 − x0 ), rõ ràng U lân cận Giả sử x ∈ U Khi x = by − bx0 với y ∈ U2 Bởi Ax ≤ bA(x0 ) + bA(y) ≤ ε + sup bz z ≤ε |b| n ∈ N , tồn ánh xạ T : K→G(Pm ) m > n cho T /G(Pn ) ∩ K = id d(T (x), x) < ε, với x ∈ K Chứng minh Đặt K = π −1 (K); C = sup{ g.x : x ≤ 1, g ∈ G} Chọn m > n cho Pm ε 2C - lưới K Chú ý x ∈ K\Pm tồn k(x) ∈ N cho với k ≥ k(x) tồn lân cận V (k, x) x K\Pm , cho diamgV (k, x) < min{dist(V (k, x), Pm ), 2−k } với g ∈ G g.x = g x 31 dist(gV (k, x), g V (k, x)) ≥ 4.2−k Chọn c(k, x) ∈ Pm , cho d(y, c(k, x)) ≤ 2d(y, pm ), với y ∈ V (k, x) (6) Đặt V = {Π(V (k, x)) : x ∈ K\Pm } k ≥ k(x) Hiển nhiên V phủ K\G(Pm ) Ký hiệu U = {Uj }j∈J phủ mở hữu hạn địa phương K\G(Pm ) lấy từ V Giả sử N (U) thần kinh phủ U Khi với σ = uJ(1) , uJ(P ) ∈ N (U) ta có Uj(i) ⊂ Π(V (ki , xi )) với i = 1, 2, p Chọn gi ∈ G cho p ggi V (ki , xi ) = φ với g ∈ G (7) i=1 p p λi Uj(i) ∈ σ , đặt H(x) = Π Với x = i=1 λi gi c(ki , xi ) i=1 Theo chứng minh Định lý 2.1.5 ta H : N (U)→G(Pm ) xác định Giả sử ϕ : K\G(Pm )→N (U) ánh xạ hướng tâm, ta định nghĩa T : K→G(Pm ), công thức  x ∈ K ∩ G(Pm ) x T (x) =  Hϕ(x) x ∈ K ∩ G(Pm ) với x ∈ K ∩ G(Pm ), giả sử σ = uJ(1) , uj(p) tập giá trị x với Uj(i) ⊂ Π(V (ki , xi )) với i = 1, 2, p 32 Khi ta có p T (x) = Π λi gi c(ki , xi ) i=1 p Chọn y ∈ gi V (ki , xi ) cho Π(y) = x Từ (6) suy i=1 p d(T (x), x) ≤ d Π p λi gi c(ki , xi ), Π(y) i=1 ≤C λi d(gi c(ki , xi ), y) i=1 p ≤C λi d(gi c(ki , xi ), gi−1 (y)) ≤ 2C d(gi−1 y, Pm ) ≤ 2C d(x, G(Pm )) i=1 Suy T ánh xạ liên tục Vì Pm ε 2C ε 2C - lưới K , suy G(Pm ) - lưới K Tức d(T (x), x) < ε với x ∈ K Vậy Bổ đề 2.2.5 chứng minh 2.2.6 Định lý Cho G nhóm hữu hạn tác động tuyến tính lên cho dim F ix(G, f2 ) = ∞, (a) G( ) ∼ = 2; (b) Nếu g( f2 ) ⊂ (c) Nếu g( σ2 ) ⊂ Trong f f ∼ , với g ∈ G (G( ), G( )) = ( , σ với g ∈ G (G( ), G( σ )) ∼ ( , = 2 2 f ); σ ) không gian Hilbert khả ly Chứng minh Để chứng minh khẳng định a), ta sử dụng Định lý 2.1.5 Do G( ) ∈ AR suy từ [2] ta cần kiểm tra điều kiện sau: Với ε > 0, tồn δ > cho tập compắc K ⊂ G( ), tồn εđồng luân Ht : K→G( ) cho H0 = id dist(Ht (K), K) ≥ δ Thật vậy, cho ε > 0, B(ε) = {x ∈ F ix(G, ) : x ≤ ε} khơng hồn toàn bị chặn, suy tồn δ > cho khơng có tập compắc δ - lưới B(ε) 33 Bây giờ, giả sử K tập compắc G( ) Ký hiệu K = π −1 (K) ⊂ 2; K = K − K = {x − y : x, y ∈ K} Do G nhóm hữu hạn, K K compắc Lấy c ∈ B(ε) cho dist(c, K) ≥ δ Ta định nghĩa họ đồng luân Ht : K→G( ) cho công thức Ht (x) = Π(tc + Π−1 (x)); x ∈ K, t ∈ [0, 1] Vậy (a) chứng minh; tương đương với G( ) ∼ = Chứng minh (b): Đặt Pn {x = (xi ) ∈ f 2 : xi = 0} với i ≥ n + |xi | ≤ n với i ≤ n Theo khẳng định (a) G( ) ∼ = suy từ [1] ta cần kiểm tra điều kiện sau: Cho trước tập compắc hữu hạn chiều K ⊂ G( f2 ), ε > n ∈ R tồn phép nhúng H : K→G(Pm ) với m đó, m > n cho H/K ∩ G(Pn ) = id d(H(x), x) < ε với x ∈ K Áp dụng Bổ đề 2.2.5 ta k > n ánh xạ T : K→G(Pk ) cho T /K ∩ G(Pn ) = id d(T (x), x) < ε, với x ∈ K Giả sử r = dim K giả sử ϕ : K→I 2r+1 phép nhúng Vì dim(span(Π−1 T (K)) < ∞ suy tồn hệ độc lập tuyến tính a1 , a2r+2 ∈ F ix(G, f −1 )\spanΠ T (K) Lấy m > k cho a1 , a2r+2 ∈ Pm Ta xác định ánh xạ H : K→G(Pm ) công thức H(x) = Π((1−δ)Π−1 (T (x))+δd(x, B)(ϕ1 (x)a1 +· · ·+ϕ2r+1 (x)a2r+1 +a2r+2 )) 34 với x ∈ K , với B = K ∩ G(Pn ), ϕ(x) = (ϕ1 (x), , ϕ2r+1 (x)) ∈ I 2r+1 δ > đủ bé để d(H(x), x) < ε với x ∈ K f 2) Vì ∈ F ix(G, với i = 1, 2, , 2r + 2, suy H(x) xác định Dễ thấy H phép nhúng Vậy khẳng định (b) chứng minh Chứng minh khẳng định c: Chọn dãy {Qn } dãy tập compắc vô hạn chiều f cho Qn = Qn = −Qn , Qn + Qn ⊂ Qn+1 với n ∈ R (8) n∈N Với n ∈ R, tồn a ∈ F ix(G, σ ) ∩ Qn+1 Ta có G( ) ∼ = cho ta ∈ Qn với t > (9) G( σ2 ) = G(Qn ) n∈N Theo Bổ đề 2.2.5 tài liệu [1] ta có hai khẳng định sau: (i) G(Qn ) ∼ = Q với n ∈ R; (ii) G(Qn ) Z -tập G(Qn+2 ) với n ∈ R Ta chứng minh khẳng định i) Từ Định lý 2.1.5 ta có G(Qn ) = AR với n ∈ R kết hợp với Bổ đề 2.2.5, ánh xạ đồng G(Qn ) xấp xỉ Z -ánh xạ Áp dụng tài liệu [10] suy i) Chứng minh khẳng định ii) Cho ánh xạ T : I k →G(Qn+2 ) Chọn a ∈ F ix(G, 35 σ ) ∩ Qn+1 cho ta ∈ Qn với khơng có t > Định nghĩa Tδ : I k →G(Qn+2 ) cho công thức Tδ (x) = (1 − δ)T (x) + δa với x ∈ I k Suy Tδ (I k ) ∩ G(Qn ) = φ với δ > T0 = T Vậy (ii) đúng, suy (c) Vậy định lý chứng minh 36 KẾT LUẬN Sau thời gian làm việc nghiêm túc, hướng dẫn tận tình PGS.TS Tạ Khắc Cư, luận văn giải số vấn đề sau Hệ thống lại kiến thức nhóm, khơng gian mêtric tuyến tính, lý thuyết co rút, khơng gian tốn tử khơng gian quỹ đạo Trình bày số khái niệm tính chất quan trọng AR-khơng gian, AN R-không gian với mối liên hệ chúng Trình bày khái niệm dãy khơng, phép chọn, đường kính tập A Trình bày chứng minh chi tiết định lý quan trọng không gian quỹ đạo G(E) AR-khơng gian Trình bày khái niệm định hướng D, khái niệm lưới, gian, f -không gian, σ -không 2 -không gian Trên sở báo [7], trình bày chứng minh chi tiết định lý quan trọng không gian đồng phơi , trình bày f f đồng phôi cặp không gian G( ) ∼ = , (G( ), G( )) ∼ = ( , ) (G( ), G( σ )) ∼ = ( , σ ) thể Định lý 2.2.6 2 Vấn đề mở Nếu G nhóm vơ hạn tác động tuyến tính lên chất Định lý 2.2.6 có cịn khơng? 37 Khi đó, tính TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Ân, Tạ Khắc Cư (2005), Khơng gian metric tuyến tính, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Tạ Khắc Cư (2005), Lý thuyết co rút, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [3] J Kelley (1973), Tôpô đại cương, Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [4] Jean Dieudonne (1976), Cơ sở giải tích đại, Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [5] C Bessaga, A Pelezymski (1975), Selected topies in infinite dimensional pology, Warszawa [6] N T Nhu (1984), Invectygting the ANR- property of metric spaces, Fund Math, 124, 243-254 [7] N T Nhu (1984), Orbit spaces of finite groups, acting linearly on normed spaces, Bull.Aced.Polish.Math, 32, 417-424 38 ... NHĨM HỮU HẠN TÁC ĐỘNG TUYẾN TÍNH LÊN KHƠNG GIAN ĐỊNH CHUẨN Trong chương giả thiết E không gian định chuẩn G nhóm hữu hạn tốn tử tuyến tính E Nếu nhóm G tác động lên khơng gian E khơng gian quỹ đạo. .. Chương Không gian quỹ đạo nhóm hữu hạn tác động tuyến tính lên khơng gian định chuẩn Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm dãy không, phép chọn, đường kính tập A số tính chất khơng gian. .. Vấn đề tốn tử tuyến tính tác động lên khơng gian tơpơ tuyến tính đem lại nhiều kết tốt cho tôpô Đặc biệt nhà toán học quan tâm tới nhóm hữu hạn tốn tử tác động lên khơng gian định chuẩn T Dobrowolski,