TÁC ĐỘNG TUYẾN TÍNH LÊN KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN 2.2.1 Định nghĩa. Cho tập D 6= φ. Quan hệ ≥ trên D được gọi là một sự định hướng trên D nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) Nếu n, m, p ∈ D mà m ≥n, n ≥ p thì m ≥p; (ii) m ≥ m với mọi m ∈ D;
(iii) Nếu m, n ∈ D thì tồn tại p ∈ D sao cho p ≥m, p ≥ n.
Tập hợp D cùng với một sự định hướng ≥ trên D thì được gọi là tập có hướng và ký hiệu là (D,≥).
2.2.2 Định nghĩa. Giả sử (D,≥) là một tập có hướng, X là tập hợp cho trước.
Ta gọi ánh xạ S : D→X là một lưới (dãy suy rộng) trong X và ký hiệu là
{Sn, D ≥} hay {Sn}n∈D.
- Lưới {Sn}n∈D được gọi là nằm trong tập U ∈ X từ một lúc nào đó, nếu tồn tại một số m ∈ D sao cho Sn ∈ U, với mọi n ≥m.
- Lưới {Sn}n∈D được gọi là thường xuyên gặp tập U ⊂ X nếu với mỗi n∈ D tồn tại m ∈ D, m ≥ n sao cho Sm ∈ U.
2.2.3 Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô, {Sn}n∈D là một lưới trên X.
Lưới {Sn}n∈D được gọi là hội tụ về điểm x trong X nếu với mọi lân cận U của x lưới {Sn}n∈D nằm trong U từ một lúc nào đó.
2.2.4 Định nghĩa. - `2 là không gian Hilbert các chuỗi có tổng bình phương hữu hạn `2 = ( x = (xn)n : ∞ X n=1 x2n < ∞ ) . - `σ2 là không gian thỏa mãn
`σ2 = ( x = (xn) ∈ `2 : ∞ X n=1 (nxn)2 < ∞ ) .
- `f2 là không gian thỏa mãn
`f2 = {x = (xn) ∈ `2 : xn = 0, với hầu hết n ∈ R}.
2.2.5 Bổ đề. Cho {Pn} là dãy tăng các tập compắc lồi trong không gian định chuẩn E sao cho E = S
n∈N
Pn. Giả sử G là nhóm hữu hạn tác động tuyến tính lên E. Khi đó, với mỗi tập compắc K ⊂ G(E), ε >0 và n ∈ N, tồn tại ánh xạ T : K→G(Pm) và m > n nào đó sao cho T /G(Pn)∩K = id và d(T(x), x) < ε, với mọi x ∈ K.
Chứng minh. Đặt Ke = π−1(K); C = sup{kg.xk : kxk ≤ 1, g ∈ G}. Chọn m > n sao cho Pm là một ε
.
2C4- lưới của Ke. Chú ý rằng mọi x ∈
e
K\Pm tồn tại k(x) ∈ N sao cho với mọi k ≥ k(x) tồn tại lân cận V(k, x) của x trong Ke\Pm, sao cho
khi đó dist(gV(k, x), g0V(k, x)) ≥ 4.2−k. Chọn c(k, x) ∈ Pm, sao cho d(y, c(k, x)) ≤ 2d(y, pm), với mọi y ∈ V(k, x). (6) Đặt V = {Π(V(k, x)) : x ∈ Ke\Pm} và k ≥ k(x).
Hiển nhiên V là phủ của K\G(Pm). Ký hiệu U = {Uj}j∈J là phủ mở hữu hạn địa phương của K\G(Pm) lấy ra từ V.
Giả sử N(U) là thần kinh phủ của U. Khi đó với mỗi
σ = huJ(1), . . . uJ(P)i ∈ N(U)
ta có
Uj(i) ⊂Π(V(ki, xi)) với mỗi i = 1,2, . . . p.
Chọn gi ∈ G sao cho p \ i=1 ggiV(ki, xi) 6= φ với mỗi g ∈ G. (7) Với mỗi x = p P i=1 λiUj(i) ∈ σ, đặt H(x) = Π p P i=1 λigic(ki, xi) .
Theo chứng minh Định lý 2.1.5 ta được H : N(U)→G(Pm) được xác định. Giả sử ϕ : K\G(Pm)→N(U) là một ánh xạ hướng tâm, ta định nghĩa T : K→G(Pm), bởi công thức T(x) = x khi x ∈ K ∩G(Pm) Hϕ(x) khi x ∈ K ∩G(Pm)
với mỗi x ∈ K ∩G(Pm), giả sử σ = huJ(1), . . . uj(p)i là tập giá trị của x với Uj(i) ⊂Π(V(ki, xi)) với mỗi i = 1,2, . . . p.
Khi đó ta có T(x) = Π p X i=1 λigic(ki, xi) ! . Chọn y ∈ p T i=1
giV(ki, xi) sao cho Π(y) =x. Từ (6) suy ra
d(T(x), x) ≤ d Π p X i=1 λigic(ki, xi),Π(y) ! ≤C p X i=1 λid(gic(ki, xi), y) ≤ C2 p X i=1 λid(gic(ki, xi), gi−1(y)) ≤ 2C2d(gi−1y, Pm) ≤ 2C3d(x, G(Pm)). Suy ra T là ánh xạ liên tục. Vì Pm là ε.
2C4- lưới của K, suy rae G(Pm) là một ε.
2C3- lưới của K. Tức là
d(T(x), x) < ε với mọi x ∈ K.
Vậy Bổ đề 2.2.5 được chứng minh.
2.2.6 Định lý. Cho G là nhóm hữu hạn tác động tuyến tính lên `2 sao cho dimF ix(G, `f2) =∞, khi đó
(a) G(`2) ∼= `
2;
(b) Nếu g(`f2) ⊂ `f2, với mỗi g ∈ G thì (G(`2), G(`f2)) ∼= (`
2, `f2); (c) Nếu g(`σ2) ⊂`σ2 với mỗi g ∈ G thì (G(`2), G(`σ2)) ∼= (`
2, `σ2). Trong đó `2 là không gian Hilbert khả ly.
Chứng minh. Để chứng minh khẳng định a), ta sử dụng Định lý 2.1.5. Do G(`2) ∈ AR suy ra từ [2] ta chỉ cần kiểm tra điều kiện sau:
Với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho mọi tập compắc K ⊂ G(`2), tồn tại ε- đồng luân Ht : K→G(`2) sao cho H0 = id và dist(Ht(K), K) ≥δ.
Thật vậy, cho ε > 0, vì B(ε) = {x ∈ F ix(G, `2) : kxk ≤ ε} không hoàn toàn bị chặn, suy ra tồn tại δ > 0 sao cho không có tập compắc nào của `2 và δ- lưới trong B(ε).
Bây giờ, giả sử K là tập compắc của G(`2). Ký hiệu e K = π−1(K) ⊂ `2; b K = Ke −Ke = {x−y :x, y ∈ Ke}. Do G là nhóm hữu hạn, Ke và do đó Kb compắc. Lấy c ∈ B(ε) sao cho dist(c,Kb) ≥ δ.
Ta định nghĩa họ đồng luân Ht :K→G(`2) cho bởi công thức
Ht(x) = Π(tc+ Π−1(x)); x ∈ K, t ∈ [0,1].
Vậy (a) được chứng minh; tương đương với G(`2) ∼= `
2.
Chứng minh (b): Đặt Pn{x = (xi) ∈ `f2 : xi = 0} với i ≥ n+ 1 và |xi| ≤ n với i ≤ n.
Theo khẳng định (a) G(`2) ∼= `
2 suy ra từ [1] ta cần kiểm tra điều kiện sau: Cho trước tập compắc hữu hạn chiều K ⊂ G(`f2), ε > 0 và n ∈ R tồn tại phép nhúng H : K→G(Pm) với m nào đó, m > n sao cho
H/K ∩ G(Pn) =id và d(H(x), x) < ε với mỗi x ∈ K.
Áp dụng Bổ đề 2.2.5 ta được k > n và ánh xạ T : K→G(Pk) sao cho
T /K ∩G(Pn) = id và d(T(x), x) < 1
2ε, với mỗi x ∈ K. Giả sử r = dimK và giả sử ϕ : K→I2r+1 là phép nhúng.
Vì dim(span(Π−1T(K)) < ∞ suy ra tồn tại hệ độc lập tuyến tính
a1, . . . a2r+2 ∈ F ix(G, `f2)\spanΠ−1T(K).
Lấy m > k sao cho a1, . . . a2r+2 ∈ Pm
Ta xác định ánh xạ H :K→G(Pm) bởi công thức
với mỗi x ∈ K, với B = K ∩G(Pn),
ϕ(x) = (ϕ1(x), . . . , ϕ2r+1(x)) ∈ I2r+1
và δ >0 đủ bé để
d(H(x), x) < ε với mỗi x ∈ K.
Vì ai ∈ F ix(G, `f2) với mỗi i = 1,2, . . . ,2r+ 2, suy ra H(x) được xác định. Dễ thấy H là phép nhúng.
Vậy khẳng định (b) được chứng minh.
Chứng minh khẳng định c: Chọn dãy {Qn} là dãy các tập compắc vô hạn chiều trong `f2 sao cho
[
n∈N
Qn = `2 và Qn = −Qn,Qn+Qn ⊂ Qn+1 với n ∈ R. (8)
Với mỗi n ∈ R, tồn tại
a ∈ F ix(G, `σ2)∩ Qn+1 sao cho ta ∈ Qn với không có t > 0 nào. (9)
Ta đã có G(`2) ∼= `
2 và
G(`σ2) = [ n∈N
G(Qn).
Theo Bổ đề 2.2.5 và tài liệu [1] ta có hai khẳng định sau: (i) G(Qn) ∼= Q với mỗi n∈
R;
(ii) G(Qn) là một Z-tập trong G(Qn+2) với mỗi n∈ R.
Ta chứng minh khẳng định i). Từ Định lý 2.1.5 ta có G(Qn) = AR với mỗi n∈ R kết hợp với Bổ đề 2.2.5, ánh xạ đồng nhất của G(Qn) có thể xấp xỉ bởi Z-ánh xạ.
Áp dụng tài liệu [10] suy ra i) đúng.
Chứng minh khẳng định ii). Cho ánh xạ T : Ik→G(Qn+2). Chọn
sao cho ta∈ Qn với không có t > 0 nào.
Định nghĩa Tδ : Ik→G(Qn+2) cho bởi công thức
Tδ(x) = (1−δ)T(x) +δa với mỗi x ∈ Ik.
Suy ra Tδ(Ik)∩G(Qn) 6= φ với mọi δ >0 và T0 = T. Vậy (ii) đúng, suy ra (c) đúng.
KẾT LUẬN
Sau một thời gian làm việc nghiêm túc, dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS. Tạ Khắc Cư, luận văn đã giải quyết được một số vấn đề sau đây
1. Hệ thống lại kiến thức cơ bản về nhóm, không gian mêtric tuyến tính, lý thuyết co rút, không gian toán tử và không gian các quỹ đạo. Trình bày một số khái niệm và tính chất quan trọng về AR-không gian, AN R-không gian cùng với mối liên hệ giữa chúng.
2. Trình bày khái niệm về dãy không, một phép chọn, đường kính tập A. Trình bày và chứng minh chi tiết định lý quan trọng về không gian quỹ đạo G(E) là AR-không gian.
3. Trình bày khái niệm sự định hướng trên D, khái niệm lưới, `2-không gian, `f2-không gian, `σ2-không gian. Trên cơ sở bài báo [7], trình bày và chứng minh chi tiết định lý quan trọng về không gian đồng phôi `2, trình bày sự đồng phôi giữa các cặp không gian G(`2) ∼= `
2, (G(`2), G(`f2)) ∼= (`
2, `f2) và
(G(`2), G(`σ2)) ∼= (`
2, `σ2) thể hiện ở Định lý 2.2.6. 4. Vấn đề mở
Nếu G là một nhóm vô hạn tác động tuyến tính lên `2. Khi đó, các tính chất của Định lý 2.2.6 có còn đúng không?
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Trần Văn Ân, Tạ Khắc Cư (2005), Không gian metric tuyến tính, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội.
[2] Tạ Khắc Cư (2005), Lý thuyết co rút, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội. [3] J. Kelley (1973), Tôpô đại cương, Nxb Đại học và Trung học chuyên
nghiệp, Hà Nội.
[4] Jean Dieudonne (1976), Cơ sở giải tích hiện đại, Nxb Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội.
[5] C. Bessaga, A. Pelezymski (1975),Selected topies in infinite dimensional pology, Warszawa.
[6] N. T. Nhu (1984), Invectygting the ANR- property of metric spaces, Fund. Math, 124, 243-254.
[7] N. T. Nhu (1984), Orbit spaces of finite groups, acting linearly on normed spaces, Bull.Aced.Polish.Math, 32, 417-424.