HỮU HẠN TÁC ĐỘNG TUYẾN TÍNH LÊN KHÔNG GIAN ĐỊNH
CHUẨN VỚI AR-KHÔNG GIAN
2.1.1 Định nghĩa. Giả sử {U } là một dãy các phủ mở của X. Khi đó, dãy {U } được gọi là một dãy không nếu
sup{diamU : U ∈ Un}→0 khi n→∞. (1)
Đặt U = ∞ S n=1 Un và K(Un) = ∞ S n=1
N(Un∪ Un+1). Với mỗi σ ∈ K(U), ta viết
n(σ) = sup{n ∈ N, σ ∈ N(Un ∪ Un+1)}.
2.1.2 Định nghĩa. Giả sử {Un} là một dãy các phủ mở của không gian mêtric X và giả sử U = S
n∈N
Un. Ánh xạ f :U →X được gọi là một phép chọn nếu f(U) ⊂ U với mỗi U ∈ U.
2.1.3 Định nghĩa. Giả sử A ∈ Rn và A là tập bị chặn. Khi đó đường kính của tập A được xác định bởi
diamA = sup x,y∈A
d(x, y).
2.1.4 Định lý ([2]). Không gian mêtric X ∈ AN R nếu tồn tại một dãy các phủ mở {Un} của X sao cho với bất kỳ K ≺ {Un} và với mỗi phép chọn bất kỳ T : K0→X tồn tại ánh xạ H : K→X sao cho nếu {σn} là dãy các đơn hình của K với n(σk)→∞ ta có
δ(σk) = sup{d(T(V), H(x)) : V ∈ σk0, x ∈ σk}→0.
2.1.5 Định lý. Cho G là một nhóm tác động tuyến tính trên không gian định chuẩn E. Khi đó, không gian quỹ đạo G(E) là AR.
Chứng minh. Giả sử {Un} là một dãy các phủ mở của không gian mêtric X.
Đặt U = S
n∈N
Un. Ký hiệu N(U) là thần kinh của U, ta viết K ≺ {Un} nếu và chỉ nếu K là một phức đơn hình của N(U) và với mỗi σ ∈ K ta có
σ ⊂ Un ∪ Un+1 với n ∈ Rnào đó.
Đặt n(σ) =max{n ∈ R : σ ⊂ Un∪ Un+1}.
Ta sẽ chứng minh G(E) thỏa mãn điều kiện đặc trưng của Định lý 2.1.4 nói trên.
Thật vậy, ta có với mỗi x ∈ E, tồn tại k(x) ∈ R sao cho với k ≥ k(x) tồn tại lân cận V(k, x) của x trong E sao cho diamgV(k, x) < 2−k, với mỗi g ∈ G và nếu gx 6= g0x thì
dist(gV(k, x), g0V(k, x)) ≥ 4.2−k. (1)
Giả sử Π :E→G(E) là phép chiếu chính tắc. Với mỗi n∈ R đặt
Hiển nhiên Un là phủ mở của G(E) với mỗi n ∈ R.
Giả sử K ≺ {Un} và T : K0→G(E) là phép chọn với mỗi đơn hình
σ = hΠ(V(k1, x1));. . .; Π(V(kp, xp))i ∈ K
với mỗi i = 1,2, . . . p tồn tại gi ∈ G sao cho
∩ggiV(ki, xi) 6= φ, với mỗi g ∈ G. (2) Ta xác định ánh xạ Hσ :σ→G(E) bởi công thức Hσ(x) = Π p X i=1 λigixi ! , với mỗi x= p X i=1 λiΠV(ki, xi) ∈ σ. (3) Vậy Hσ được xác định.
Chứng minh. Giả sử gi ∈ G thỏa mãn điều kiện (2), từ đó suy ra với mỗi i = 1,2, . . . p tồn tại ei ∈ G sao cho gixi = eigixi, với i = 1,2, . . . p.
Không mất tính tổng quát, ta giả sử k1 = max{ki, i= 1,2, . . . p}. Ta sẽ chứng minh
gixi = eigxi với i = 1,2, . . . p. (4) Giả sử ngược lại, tồn tại i ∈ {1,2, . . . p}, để gixi 6= eigixi.
Từ (1) ta suy ra
dist(giV(ki, xi), e1giV(ki, xi)) ≥ 4.2−ki ≥4.2−k1. (5)
Mặt khác, từ (2) ta có
e1giV(ki, xi)∩e1g1V(k1, x1) 6= φ;
giV(ki, xi)∩g1V(k1, x1) 6= φ.
Vìe1g1V(k1, x1) = g1V(k1, x1)vàdiame1g1V(k1, x1) < 2−k1 vậy mâu thuẫn với (5) vì khi đó
Từ (4) ta có p X i=1 λigixi = p X i=1 λie1gixi = e1 p X i=1 λigixi ∈ Π p X i=1 λigixi ! = Hσ(x). Vậy khẳng định được chứng minh.
Từ định nghĩa Hσ suy ra Hσ/σ∩σ0 = Hσ0/σ∩σ0 với mỗi σ, σ0 ∈ K. Suy ra họ {Hσ}σ∈K cảm sinh ánh xạ H : K→G(E).
Từ định nghĩa H ta có
δ(σ) = sup{d(T(V), H(x) : V ∈ σ0, x ∈ σ} ≤ 2−n(σ)+1, với mỗi σ ∈ K.
Áp dụng Định lý 2.1.4, suy ra G(E) ∈ AN R.
Hiển nhiên G(E) co rút nên AN R cộng co rút là AR.
Vậy G(E) ∈ AR suy ra điều phải chứng minh.