Các tính chất phủ né và cấu trúc của các nhóm hữu hạn

Header Page of 16 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Hoàng Yến CÁC TÍNH CHẤT PHỦ-NÉ VÀ CẤU TRÚC CỦA CÁC NHÓM HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 Footer Page of 16 Header Page of 16 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Hoàng Yến CÁC TÍNH CHẤT PHỦ-NÉ VÀ CẤU TRÚC CỦA CÁC NHÓM HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 Footer Page of 16 Header Page of 16 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc PGS.TS Mỵ Vinh Quang khoa Toán trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh dành nhiều thời gian công sức tận tình hướng dẫn giúp hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy PGS.TS Trần Tuấn Nam, TS Trần Huyên, PGS.TS Bùi Xuân Hải, PGS.TS Bùi Tường Trí quý thầy cô khoa Toán giảng dạy cho kiến thức Đại số Giải tích để từ tự đọc thêm kiến thức hoàn thành luận văn Bên cạnh đó, xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Ban chủ nhiệm khoa Toán quý Thầy Cô giảng dạy, tạo điều kiện cho hoàn thành khóa học Và để có kết ngày hôm nay, nhận lời động viên, đóng góp ý kiến bạn bè người thân Cuối cùng, trình viết luận văn này, khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận ý kiến đóng góp bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Footer Page of 16 Header Page of 16 MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Bảng ký hiệu dùng luận văn MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương CAP-NHÓM CON CỦA CÁC NHÓM HỮU HẠN 15 2.1 CAP-nhóm nhóm hữu hạn .15 2.2 Một số đặc trưng nhóm giải hữu hạn .24 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 Footer Page of 16 Header Page of 16 BẢNG KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN H ≤G H nhóm G H < ⋅G H nhóm tối đại G H M (mâu thuẫn) Do N G ( P ) = M = ) P= C N ( P ) Theo định lí 1.16.3 P M ∩ N nên N N ( P= ta có N nhóm p-lũy linh Suy ra, N có nhóm p-phần bù chuẩn tắc K cho = N PK , K ∩= P Mặt khác, N nhóm chuẩn tắc tối tiểu G nên theo định lí 1.20 ta có N = T1 × × Tm Ti (i = 1, m ) nhóm đơn chuẩn tắc → Ti ,(i = 1, m ) Khi đó, K  N nên N Xét toàn cấu chiếu pi : N  pi ( K )  Ti Do Ti nhóm đơn nên pi ( K ) =1 ⇒ K =1 Suy ra, N = P nên N pnhóm Vì N =P ≤ M =N G ( P ) < G Điều mâu thuẫn với G = LN Trường hợp 2: LN < G Khi LN nhóm tối đại G Suy N nhóm chuẩn tắc tối tiểu LN L 2-nhóm tối đại G Theo bổ đề 2.1.11, ta có LN nhóm giải Mặt khác theo bổ đề 2.1.6, LN CAP-nhóm G Do theo hệ 2.1.12, G nhóm giải Footer Page 35 of 16 Header Page 36 of 16 31 2.2.8 Định lí Cho G nhóm p số nguyên tố lớn chia hết cấp G Nếu nhóm tối đại M G F pcn CAP-nhóm G G p-giải Chứng minh Nếu F pcn = 0/ S pcn (G ) = G Do đó, theo bổ đề 2.1.7 ta có G p-giải Giả sử F pcn ≠ 0/ Nếu G nhóm đơn G nhân tử G Vì nhóm tối đại L G F pcn CAP-nhóm G nên G ≤ L G ∩ L ≤ Cả hai trường hợp xảy Do G không nhóm đơn Gọi N nhóm chuẩn tắc tối tiểu G Ta chứng minh qui nạp theo cấp G Giả sử định lí với nhóm có cấp nhỏ cấp G Xét nhóm thương G N Theo giả thiết qui nạp G N nhóm p-giải Nếu N p ' -nhóm G p-giải Nếu N không p ' -nhóm với L∈F pcn ta có L ∩ N ≠ L chứa p-nhóm Sylow G Mặt khác, L CAP-nhóm G nên NL = L Suy ra, ta có N ≤ S pcn Theo bổ đề 2.1.7, ta có N p-giải Vậy G p-giải 2.2.9 Định lí Cho p số nguyên tố chia hết cấp G P p-nhóm Sylow G Khi đó, G p-giải P CAP-nhóm G Chứng minh ( ⇒ ) Giả sử G nhóm p-giải p-nhóm p ' -nhóm Footer Page 36 of 16 H K nhân tử G Khi H K Header Page 37 of 16 32 Nếu H K p-nhóm HP = KP p ' -nhóm Hall K p ' -nhóm Hall H Nếu H K p ' -nhóm H ∩ P = K ∩ P Do P CAP-nhóm G ( ⇐ ) Giả sử P CAP-nhóm G Ta chứng minh qui nạp theo cấp G Gọi N nhóm chuẩn tắc tối tiểu G Theo giả thiết qui nạp, G N p-giải Nếu N p ' -nhóm G p-giải Nếu N không p ' -nhóm P CAP-nhóm G N nhân tử G nên PN = P Suy N p-nhóm Vậy G p-giải 2.2.10 Hệ Cho π tập số nguyên tố G nhóm Khi đó, G π -giải với p ∈ p tồn p-nhóm Sylow P G cho P CAPnhóm G Chứng minh G π -giải ⇔ G p-giải với p ∈ p ⇔ Với p ∈ p , p-nhóm Sylow P G CAP-nhóm G (theo định lí 2.2.9) 2.2.11 Nhóm A4  free a) Định nghĩa Footer Page 37 of 16 Header Page 38 of 16 33 Nhóm G gọi nhóm A4  free nhóm thương nhóm G đẳng cấu với nhóm phép A4 bậc b) Tính chất Mọi nhóm nhóm A4  free nhóm A4  free Chứng minh Ta dùng phương pháp phản chứng Giả sử G nhóm A4  free tồn nhóm H G cho H không nhóm A4  free Khi đó, có nhóm thương K L nhóm K H đẳng cấu với nhóm A4 Mà K nhóm G nên suy G có nhóm thương nhóm đẳng cấu với nhóm A4 (mâu thuẫn) 2.2.12 Bổ đề Cho p số nguyên tố nhỏ chia hết cấp nhóm H P p-nhóm Sylow H Nếu P ≤ p H A4  free H p-lũy linh Chứng minh Cho P p-nhóm Sylow H Ta có P ≤ p nên P nhóm Abel Nếu P nhóm cyclic theo định lí 1.16.4 ta có H p-lũy linh Do đó, giả sử P = p P p-nhóm Abel sơ cấp Ta chứng minh qui nạp theo cấp H Gọi L nhóm tối đại H Khi đó, cấp p-nhóm Sylow L không lớn p Footer Page 38 of 16 Header Page 39 of 16 34 Theo giả thiết qui nạp, L p-lũy linh Do đó, ta giả sử H nhóm không plũy linh tối tiểu (tức là, H nhóm không p-lũy linh nhóm tối đại H p-lũy linh) Theo định lí 1.17.5 1.17.6, H có p-nhóm Sylow P q-nhóm Sylow Q nhóm cyclic Do đó, H = PQ P  H với q số nguyên tố ( p ≠ q) Suy ra, ≠ H C H ( P ) q-nhóm H C H ( P ) đẳng cấu với nhóm Aut( P ) Thật vậy, ta xét t : H  → Aut( P ) h  hτ : P → P p  h −1 ph ∀h ∈ H , ta có h −1 Ph = P (do P  H ) nên h −1 ph ∈ P, ∀p ∈ P Suy hτ ánh xạ τττ −1 −1 = h= ( pp ') h= pp ' h h −1 phh p ' h h ( p )h ( p ') Suy hτ đồng cấu ∀p ∈ ker hτ ⇒ h −1 ph = ⇒ p = hh −1 = Suy ker hτ = : p hτ ( x ) (do h −1 Ph = P hay P = hPh −1 ) ∀p ∈ P, = ∃x hph −1 ∈ P= Vậy hτ đẳng cấu, ∀h ∈ H Suy ra, ht ∈ Aut( P ) τ ánh xạ = ( hh ')ττττ ( p ) ( hh= ') −1 p ( hh ') h = ' −1 h −1 phh ' h= ' −1 h ( p )h ( h  h ' )( p ) Suy τ đồng cấu ker τ = {h ∈ H h τ } {h ∈ H h = = −1 } ph = p, ∀p ∈ P = C H ( P ) Suy H C H ( P ) ≅ Imt ≤ Aut( P ) 2 Mặt khác, Aut( P ) =( p − 1)( p − p ) p < q nên q p + Suy ra, p = q = Giả sử Q = qα Khi đó, Φ (Q ) = qα −1 (do Q q-nhóm cyclic) Footer Page 39 of 16 Header Page 40 of 16 35 Suy H Φ (Q ) p= q 12 = Bây giờ, ta chứng minh H Φ (Q ) ≅ A4 Đặt T = H Φ (Q ) , P p-nhóm Sylow chuẩn tắc H nên PΦ (Q ) Φ (Q ) p-nhóm Sylow chuẩn tắc T Suy T có n2 = n3 = Gọi K 3-nhóm Sylow T Đặt X= {L < T ∃t ∈ T : L= t −1 Kt} Vì 3-nhóm Sylow liên hợp với nên X= n= Ta có ∀L ∈ X , ∃t ∈ T : L =t −1 Kt Xét ánh xạ ϕ : X → T N T ( K ) t −1 Kt L  tN T ( K ) với t ∈ T : L = Dễ thấy ϕ song ánh hay X T= = : NT ( K ) Suy ra, N T ( K ) = hay N T ( K ) = K Khi X = {K1 , K , K , K } tập 3-nhóm Sylow T Từ ta xây dựng đồng cấu α : T → S4 sau: Với t ∈ T bất kì, ta định nghĩa α t ∈ S4 α t (i ) = j ⇔ t −1 Ki t = K j ( α t phép hoán vị phép liên hợp tự đẳng cấu) Với t , g ∈ T , ta có t −1 ( g −1 Ki g ) t = ( gt ) −1 Ki gt Do đó, α gt = α gα t Vậy α đồng cấu Mặt khác, N T ( K ) = K nên ker α =∈ 1} = {t T αt ∈ S4 : αt = Suy ra, T ≅ Im α ≤ S4 Footer Page 40 of 16 Header Page 41 of 16 36 Do đó, H Φ (Q ) ≅ A4 (điều mâu thuẫn với H A4  free ) Vậy H nhóm p-lũy linh 2.2.13 Định lí Cho H nhóm chuẩn tắc nhóm G p số nguyên tố nhỏ chia hết cấp H Nếu tất 2-nhóm tối đại p-nhóm Sylow H CAP-nhóm G G A4  free , H p-lũy linh Chứng minh Ta chứng minh qui nạp theo cấp H Gọi P p-nhóm Sylow α H với P = p Ta xét trường hợp sau: Trường hợp 1: α ≤ Theo bổ đề 2.2.12, ta có H p-lũy linh Trường hợp 2: α ≥ Gọi N nhóm chuẩn tắc tối tiểu G cho N ≤ H P* p- nhóm Sylow N cho P* ≤ P , P p- nhóm Sylow H Nếu P* ≥ P p ta lấy nhóm P1 P* cho P1 2-nhóm tối đại P Nếu P* < P p ta lấy 2-nhóm tối đại P1 P cho P* ≤ P1 Vì P1 CAP-nhóm G N nhân tử G nên N ∩ P1 = NP1 = P1 Suy N p-nhóm p ' -nhóm Footer Page 41 of 16 Header Page 42 of 16 37 Nếu Ο p ' ( H ) ≠ ta xét nhóm thương G Ο p ' ( H ) Dễ thấy giả thiết định lí cho nhóm thương G Ο p ' ( H ) Do đó, phương pháp qui nạp, ta có H Ο p ' ( H ) p-lũy linh suy H p-lũy linh Khi đó, ta có Ο p ( H ) ≠ Gọi N nhóm chuẩn tắc Giả sử Ο p ' ( H ) = tối tiểu G cho N ≤ Ο p ( H ) Xét nhóm thương G N • Nếu cấp p-nhóm Sylow H N không lớn p theo bổ đề 2.2.12, ta có H N p-lũy linh • Nếu cấp p-nhóm Sylow H N lớn p phương pháp qui nạp, ta có H N p-lũy linh Bây giờ, gọi T N p-phần bù chuẩn tắc H N Nếu N ≤ Φ ( H ) N p-nhóm Ο p ' ( H N ) = T N Theo định lí 1.4, tồn phần bù K N T cho T = KN K ∩ N = Khi đó, K p ' -nhóm Nếu h ∈ H K K h liên h hợp T (theo định lí 1.3) Suy ra, K= K x , ∀x ∈ T ⇒ hx −1 ∈ N G ( K ) Do nên H N G ( K ) ⇒ K  H N G ( K ) N Vì N ≤ Φ ( H ) = = H N= G ( K )T Vậy H p-lũy linh Giả sử N ≤/ Φ ( H ) Khi đó, tồn nhóm tối đại M H cho H = NM Nếu N p-nhóm Sylow H theo giả thiết 2-nhóm tối đại P1 N CAP-nhóm G Suy P1 ∩ N = N ≤ P1 (điều xảy α ≥ ) Vậy N không p-nhóm Sylow H Gọi P + p-nhóm Sylow M Khi đó, P + N p-nhóm Sylow H P + ≠ P + N ≠ N Suy P + ∩ N ≤ pα −2 Footer Page 42 of 16 Header Page 43 of 16 38 Nếu P + nhóm tối đại P + N ta lấy nhóm tối đại P1 P + cho P + ∩ N ≤ P1 Nếu P + ≤ pα −2 ta có 2-nhóm tối đại P1 P + N cho P + ≤ P1 Vì P1 CAP-nhóm G N nhân tử G nên N ∩ P1 = Do P + ∩ N = N ≤ p Vì N p-nhóm Sylow T nên theo bổ đề 2.2.12, ta có T p-lũy linh Suy ra= T NK , N ∩= K K p-phần bù chuẩn tắc T Rõ ràng, K p-phần bù chuẩn tắc H Vậy H p-lũy linh 2.2.14 Nhóm tháp Sylow loại siêu giải Nhóm G gọi nhóm tháp Sylow loại siêu giải G thỏa điều kiện sau: i) p1 > p2 > > pr số nguyên tố chia hết cấp G ii) P1 P2 Pk  G, ≤ k ≤ r Pk pk -nhóm Sylow G 2.2.15 Hệ Cho H nhóm chuẩn tắc nhóm G Nếu G A4  free tất 2-nhóm tối đại nhóm Sylow H CAP-nhóm G H nhóm tháp Sylow loại siêu giải Chứng minh Ta chứng minh qui nạp theo cấp H Cho p số nguyên tố nhỏ chia hết cấp H P p-nhóm Sylow H Khi đó, theo định lí 2.2.13 ta có H nhóm p-lũy linh Gọi N p-phần bù chuẩn tắc H Dễ thấy, tất nhóm con Sylow N nhóm Sylow H Do đó, N thỏa mãn giả thiết định lí Footer Page 43 of 16 Header Page 44 of 16 39 nên theo giả thiết qui nạp N nhóm tháp Sylow loại siêu giải Điều chứng tỏ H nhóm tháp Sylow loại siêu giải 2.2.16 Định lí Cho H nhóm chuẩn tắc nhóm G p số nguyên tố nhỏ chia hết cấp H Nếu tất nhóm tối đại p-nhóm Sylow H CAP-nhóm G H p-lũy linh Chứng minh Ta chứng minh qui nạp theo cấp H Gọi P p-nhóm Sylow H với P = pα Ta xét trường hợp sau: Trường hợp 1: α ≤ Theo bổ đề 2.2.12, ta có H p-lũy linh Trường hợp 2: α ≥ Gọi N nhóm chuẩn tắc tối tiểu G cho N ≤ H P* p- nhóm Sylow N cho P* ≤ P , P p- nhóm Sylow H Nếu P* ≤ pα −1 ta lấy nhóm tối đại P1 P cho P* ≤ P1 Vì P1 CAP-nhóm G N nhân tử G nên N ∩ P1 = NP1 = P1 Suy N p-nhóm p ' -nhóm Nếu Ο p ' ( H ) ≠ ta xét nhóm thương G Ο p ' ( H ) Dễ thấy giả thiết định lí cho nhóm thương G Ο p ' ( H ) Do đó, phương pháp qui nạp, ta có H Ο p ' ( H ) p-lũy linh suy H p-lũy linh Footer Page 44 of 16 Header Page 45 of 16 40 Khi đó, ta có Ο p ( H ) ≠ Gọi N nhóm chuẩn tắc Giả sử Ο p ' ( H ) = tối tiểu G cho N ≤ Ο p ( H ) Xét nhóm thương G N • Nếu cấp p-nhóm Sylow H N không lớn p theo bổ đề 2.2.12, ta có H N p-lũy linh • Nếu cấp p-nhóm Sylow H N lớn p phương pháp qui nạp, ta có H N p-lũy linh Bây giờ, gọi T N p-phần bù chuẩn tắc H N Nếu N ≤ Φ ( H ) N pnhóm Ο p ' ( H N ) = T N Theo định lí 1.4, tồn phần bù K N T cho T = KN K ∩ N = Khi đó, K p ' -nhóm Nếu h ∈ H K K h liên h hợp T (theo định lí 1.3) Suy ra, K= K x , ∀x ∈ T ⇒ hx −1 ∈ N G ( K ) Do = H N G ( K ) ⇒ K  H Vậy H H N= N G ( K ) N Vì N ≤ Φ ( H ) nên = G ( K )T p-lũy linh Giả sử N ≤/ Φ ( H ) Khi đó, tồn nhóm tối đại M H cho H = NM Nếu N p-nhóm Sylow H theo giả thiết nhóm tối đại P1 N CAP-nhóm G Suy P1 ∩ N = N ≤ P1 (điều xảy α ≥ ) Vậy N không p-nhóm Sylow H Gọi P + p-nhóm Sylow M Khi đó, P + N p-nhóm Sylow H P + ≠ P + N ≠ N Suy P + ∩ N ≤ pα −2 Nếu P + ≤ pα −1 ta có nhóm tối đại P1 P + N cho P + ≤ P1 Vì P1 CAP-nhóm G N nhân tử G nên N ∩ P1 = Do P+ ∩ N = N ≤ p Vì N p-nhóm Sylow T nên theo bổ đề 2.2.12, ta có T p-lũy linh Suy ra= T NK , N ∩ = K K p-phần bù chuẩn tắc T Rõ ràng, K p-phần bù chuẩn tắc H Vậy H p-lũy linh Footer Page 45 of 16 Header Page 46 of 16 41 KẾT LUẬN Trong luận văn này, trình bày số vấn đề sau: • Đưa định nghĩa CAP-nhóm với số tính chất nhóm Tìm số loại nhóm nhóm hữu hạn giải có tính chất phủ né • Đưa số tiêu chuẩn hữu hạn giải dựa giả thiết số nhóm tối đại 2-nhóm tối đại có tính chất phủ né Để tiếp cận kết kể trên, tham khảo tự chứng minh số kết nhỏ dùng vào việc chứng minh kết Ngoài ra, nhiều tính chất ứng dụng quan trọng khác CAPnhóm việc nghiên cứu cấu trúc nhóm hữu hạn Tuy nhiên, giới hạn thời gian tầm hiểu biết nên tác giả chưa trình bày Rất mong có nhận xét từ thầy cô bạn để luận văn hoàn chỉnh Footer Page 46 of 16 Header Page 47 of 16 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Bùi Xuân Hải, Trịnh Thanh Đèo (2002), Đại số đại, Nxb ĐH Quốc gia, Tp Hồ Chí Minh Tiếng Anh Ezquerro L.M (1993), A contribution to the theory of finite supersolvable groups, Rend Sem Mat Univ Padova 89, pp.161-170 Gillam J.D (1974), Cover-avoid subgroups in finite solvable groups, J Algebra, 29, pp.324-329 Gorenstein D (1968), Finite Groups, Harper and Row Publishers, New York, Evanston, London Kurzweil H., Stellmacher Bernd (2004), The Theory of Finite Groups, Springer, New York Robinson D J.S (1993), A Course in the Theory of Groups, Springer, New York, Berlin Rose J (1977), “On finite insolvable groups with nilpotent maximal subgroups”, J Algebra 48, pp.182-196 Shum K.P., Guo Xiuyun (2003), “Cover-avoidance properties and the structure of finite groups”, Journal of Pure and Applied Algebra 181, pp.297 - 308 Tomkinson M.J (1976), Cover-avoidance properties in finite soluble groups, Canad Math Bull 19(2) , pp.213-216 Tiếng Đức 10 Gaschütz W (1962), Praefrattini gruppen, A rch Math 13, pp.418-426 11 Huppert B (1967), Endliche Gruppen, Vol I, Springer, New York, Berlin 12 Schaller K.U (1971), Über Deck–Meide–Untergruppen in endlichen auflösbaren Gruppen, Ph.D Thesis, University of Kiel Footer Page 47 of 16 ... bày vài tiêu chuẩn nhóm hữu hạn giải dựa giả thiết số nhóm tối đại 2 -nhóm tối đại có tính chất phủ né Mục tiêu luận văn nghiên cứu tính chất nhóm có tính chất phủ - né ảnh hưởng lên cấu trúc nhóm. .. 16 15 Chương CAP-NHÓM CON CỦA CÁC NHÓM HỮU HẠN Trong luận văn này, ta xét nhóm hữu hạn 2.1 CAP -nhóm nhóm hữu hạn 2.1.1 Định nghĩa Cho G nhóm, A ≤ G H K nhân tử G Ta nói: (1) A phủ H K H ≤ KA hay...Header Page of 16 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Hoàng Yến CÁC TÍNH CHẤT PHỦ-NÉ VÀ CẤU TRÚC CỦA CÁC NHÓM HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số