Phương trình trên nhóm Abel hữu hạn

Phương trình trên nhóm Abel hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ********* HÀ DUY NGHĨA PHƯƠNG TRÌNH TRÊN NHÓM ABEL HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Quy Nhơn - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ********* HÀ DUY NGHĨA PHƯƠNG TRÌNH TRÊN NHÓM ABEL HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. NGUYỄN AN KHƯƠNG Quy Nhơn - 2011 i MỤC LỤC Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1 đặc trưng của nhóm abel hữu hạn 3 1.1 Khái niệm và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Hệ thức trực giao của các đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Thặng dư bậc hai, kí hiệu Legendre . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Đặc trưng trên trường hữu hạn F q , tổng Gauss . . . . . . . . . 10 1.5 Đặc trưng môđun k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Chương 2 phương trình trên nhóm abel hữu hạn 16 2.1 Biến đổi Fourier trên nhóm Abel hữu hạn . . . . . . . . . . . 16 2.1.1 Khái niệm và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . 16 2.1.2 Luật thuận nghịch bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.3 Biến đổi Fourier của hàm đặc trưng . . . . . . . . . . . 24 2.2 Phương trình x 1   x 2   ☎ ☎ ☎   x k ✏ a . . . . . . . . . . . . . . . 27 Chương 3 phương trình đồng dư bậc cao 32 3.1 Tổng Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.1.1 Khái niệm và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . 32 3.1.2 Một số dạng mở rộng của tổng Jacobi . . . . . . . . . 36 3.2 Phương trình α 1 x k 1 1   ☎ ☎ ☎   α n x k n n ✏ α . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3 Phương trình đồng dư A 1 x m 1 1   A 2 x m 2 2 ✑ A ♣mod pq . . . . . . 46 3.3.1 Số nghiệm của phương trình A 1 x 3 1   A 2 x 3 2 ✑ A ♣mod pq 46 3.3.2 Số nghiệm của phương trình A 1 x 4 1   A 2 x 4 2 ✑ A ♣mod pq 53 ii 3.3.3 Điều kiện đủ để phương trình A 1 x m 1 1   A 2 x m 2 2 ✑ A ♣mod pq có nghiệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 1 LỜI MỞ ĐẦU Một trong những bài toán trung tâm của lý thuyết số là tìm nghiệm và xét tính chất nghiệm hữu tỉ của phương trình. Nghiệm của một phương trình trên các nhóm Abel hữu hạn (đặc biệt là trên các trường hữu hạn) có quan hệ mật thiết với nghiệm hữu tỉ cũng như nghiệm phức của phương trình đó. Phương trình trên nhóm Abel hữu hạn là một đối tượng đã được các nhà toán học nghiên cứu từ lâu và đến nay vẫn còn được quan tâm rộng rãi. Một trong các khía cạnh nghiên cứu của vấn đề này là bài toán xác định số nghiệm của phương trình trên nhóm Abel hữu hạn. Luận văn Phương trình trên nhóm Abel hữu hạn nhằm tìm hiểu về nghiệm của phương trình trên nhóm Abel hữu hạn và nghiệm của các phương trình đồng dư trên vành các số nguyên. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành ba chương, trong đó nội dung chính của luận văn được trình bày ở Chương 2 và Chương 3. Trong phần đầu của Chương 1 chúng tôi trình bày khái niệm các đặc trưng của nhóm hữu hạn và các khái niệm cần thiết cho các phần sau. Tiếp theo chúng tôi trình bày chi tiết về nhóm các đặc trưng và hệ thức trực giao của các đặc trưng. Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày một số đặc trưng cụ thể trên trường hữu hạn F q cũng như ý nghĩa của nó qua tổng Gauss trên trường hữu hạn (các Mệnh đề 1.4.9, 1.4.11). Trong Chương 2 chúng tôi trình bày về phép biến đổi Fourier trên nhóm Abel hữu hạn và một số ứng dụng. Chúng tôi bắt đầu từ việc xây dựng các định nghĩa, ví dụ cũng như những tính chất cơ bản của phép biến đổi Fourier trên nhóm Abel hữu hạn (Đẳng thức Parseval, các Mệnh đề 2.1.10, 2.1.12). Sau đó chúng tôi đã sử dụng các tính chất của biến đổi Fourier để chứng 2 minh Luật thuận nghịch bậc hai và giải bài toán tìm số nghiệm của phương trình trên nhóm Abel hữu hạn. Phần cuối của chương là chứng minh Định lý Fermat trên trường hữu hạn. Trong Chương 3 chúng tôi trình bày về tổng Jacobi và ứng dụng của nó. Phần đầu chúng tôi giới thiệu khái niệm và các tính chất cơ sở của tổng Jacobi. Từ đó chúng tôi làm rõ được với mỗi số nguyên tố p có dạng p ✏ 4f   1 đều là tổng của bình phương của hai số nguyên. Phần sau chúng tôi sử dụng tổng Jacobi để tìm số nghiệm của phương α 1 x k 1 1   ☎ ☎ ☎   α n x k n n ✏ α trên trường F p . Đồng thời giải một số bài toán về số nghiệm của phương trình đồng dư dạng A 1 x m 1 1   A 2 x m 2 2 ✑ A ♣mod pq trên vành các số nguyên. Ngoài ra, chúng tôi còn sử dụng phần mềm Maple để kiểm tra lại các kết quả tính toán từ các ví dụ minh họa. Cuối cùng, cho phép tôi được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy TS. Nguyễn An Khương, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi thực hiện luận văn này. Nhân đây, tôi xin chân thành cảm ơn đến Ban Giám Hiệu, Phòng Sau Đại học, Khoa Toán Trường Đại học Quy Nhơn; Trường THPT Phan Đình Phùng -ĐăkLăk đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa học. Tôi xin trân trọng cảm ơn quý thầy cô Khoa Toán đã giảng dạy và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu khoa học cũng như thực hiện đề tài. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp đã cùng chia sẻ, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Mặc dù bản thân đã rất cố gắng và được sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo hướng dẫn, nhưng do năng lực của bản thân và thời gian còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. 3 Chương 1 ĐẶC TRƯNG CỦA NHÓM ABEL HỮU HẠN Cho G là một nhóm Abel hữu hạn cấp n. Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm, tính chất cơ bản về đặc trưng của G. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng giới thiệu một đặc trưng môđun k của vành các số nguyên Z và các đặc trưng của trường hữu hạn F q . Kiến thức trong chương này được chúng tôi trình bày dựa trên các tài liệu [4], [5], [9], [10]. 1.1 Khái niệm và các tính chất cơ bản Định nghĩa 1.1.1. Cho G là một nhóm Abel hữu hạn cấp n viết theo lối cộng. Một đặc trưng của nhóm G là một đồng cấu từ G vào nhóm nhân C ✝ các số phức khác không. Nói cách khác, một đặc trưng của nhóm G là một hàm χ : G ÝÑ C ✝ thỏa mãn χ♣a   bq ✏ χ♣aqχ♣bq với mọi a, b  G. Kí hiệu là χ 0 là đặc trưng tầm thường, tức là χ 0 ♣aq ✏ 1 với mọi a  G. Chú ý 1.1.2. Từ định nghĩa ta có χ♣aq n ✏ χ♣naq ✏ χ♣0q ✏ 1 với a  G. Do đó χ♣aq chính là căn bậc n của đơn vị và χ♣✁aq ✏ χ♣aq ✁1 ✏ χ♣aq. Định nghĩa 1.1.3. Giả sử χ và χ ✶ là hai đặc trưng của nhóm G. Tích của hai đặc trưng χ và χ ✶ là ánh xạ được xác định bởi χχ ✶ : G ÝÑ C ✝ a ÞÝÑ χχ ✶ ♣aq :✏ χ♣aqχ ✶ ♣aq. Rõ ràng ánh xạ này cũng là một đặc trưng của G. Hơn nữa, tập hợp tất cả các đặc trưng của G lập thành một nhóm giao hoán với phép toán nhân như trên. Cụ thể, ta có định lý sau. 4 Định lý 1.1.4. Tập các đặc trưng của nhóm G lập thành một nhóm giao hoán, kí hiệu là ♣ G, với phép toán nhân được xác định như trên. Chứng minh. Dễ dàng chứng minh được ♣ G là một nhóm giao hoán với đơn vị là χ 0 . Định nghĩa 1.1.5. Nhóm ♣ G được gọi là nhóm đối ngẫu của nhóm G. Ví dụ 1.1.6 (Đặc trưng của nhóm Z n ). Gọi ω ✏ e 2πi n là căn bậc n của đơn vị, các ánh xạ χ j : Z n ÝÑ C ✝ xác định bởi χ j ♣aq ✏ ω ja , j  Z là các đặc trưng của Z n . Thật vậy, ta có χ j ♣aq  C ✝ và χ j ♣a  bq ✏ ω j♣a bq ✏ χ j ♣aqχ j ♣bq, j  Z. Nên χ j là đặc trưng của Z n . Ngoài ra ta có các sự kiện sau. ♣iq χ j ✏ χ k nếu và chỉ nếu j ✑ k ♣mod nq. Thật vậy, vì χ j ✏ χ k nên χ j ♣1q ✏ χ k ♣1q. Do đó ω j ✏ ω k hay j ✑ k ♣mod nq. Ngược lại, nếu j ✑ k ♣mod nq thì ω J ✏ ω k tn ✏ ω k . Hay χ j ✏ χ k . ♣iiq χ j ✏ χ j 1 . Thật vậy, với mọi a  Z n ta có χ j ♣aq ✏ ω ja ✏ ♣ω a q j ✏ ♣χ 1 ♣aqq j . Do đó ta có χ j ✏ χ j 1 . ♣iiiq ① Z n ✏ tχ 0 , ., χ n✁1 ✉. Thật vậy, ta chỉ cần chứng minh ① Z n là nhóm xyclic cấp n. Ta có χ 1 là phần tử sinh của nhóm ① Z n và χ n ✏ e 2πi ✏ 1 ✏ χ 0 . Ngoài ra, giả sử tồn tại 0 ➔ n ✶ ➔ n sao cho χ n ✶ ✏ χ 0 . Khi đó n⑤n ✶ . Điều này vô lý. Vậy ① Z n là nhóm xyclic cấp n, hay ① Z n ✏ tχ 0 , ., χ n✁1 ✉. ♣ivq ① Z n ✕ Z n . Từ ♣iiiq ta có đẳng cấu trong ♣ivq. Mệnh đề 1.1.7. Cho h : G 1 ÝÑ G 2 là một đồng cấu nhóm và χ là một đặc trưng của nhóm G 2 . Đồng cấu nối của χ bởi h được kí hiệu là h ✍ χ xác định bởi h ✍ ✏ χ ✆ h (hợp thành của χ và h) là một đặc trưng của nhóm G 1 . Chứng minh. Suy ra trực tiếp từ quy tắc hợp thành của hai đồng cấu. 5 Mệnh đề 1.1.8. Nếu G 1 , G 2 là hai nhóm Abel hữu hạn và đẳng cấu với nhau thì hai nhóm đối ngẫu ① G 1 , ① G 2 tương ứng của chúng cũng đẳng cấu với nhau. Chứng minh. Giả sử h : G 1 ÝÑ G 2 là một đẳng cấu và χ 2 là đặc trưng của nhóm G 2 , xét sơ đồ G 1 h // χ 1 !! C C C C C C C C G 2 χ 2  C ✝ Theo Mệnh đề 1.1.7, ta có đồng cấu nối χ 2 ✆ h là đặc trưng của nhóm G 1 , nên mỗi đặc trưng χ 1 của nhóm G 1 là đồng cấu nối nào đó giữa χ 2 và h. Khi đó ánh xạ h ✍ : ① G 2 Ñ ① G 1 χ 2 ÞÝÑ h ✍ ♣χ 2 q :✏ χ 2 ✆ h là toàn ánh. Bây giờ ta cần chứng h ✍ là một đồng cấu và đơn ánh. Thật vậy, theo định nghĩa của đặc trưng h ✍ ta có h ✍ ♣χ 2 χ ✶ 2 q ✏ h ✍ ♣χ 2 qh ✍ ♣χ ✶ 2 q nên suy ra h ✍ là một đồng cấu. Hơn nữa với mỗi j ✏ t1, 2✉ gọi χ 0 j là đặc trưng tầm thường của G j , khi đó nếu h ✍ χ 2 ✏ χ 0 1 thì χ 2 ✆ h♣aq ✏ 1 với mỗi a  G 1 , vì h song ánh nên suy ra χ 2 ✏ χ 0 2 . Do đó Ker ♣h ✍ q ✏ Id ① G 2 là ánh xạ đồng nhất . Vậy h ✍ là một đẳng cấu. Mệnh đề 1.1.9. Gọi G ✏ G 1 ✂ G 2 là tích trực tiếp của hai nhóm G 1 và G 2 . Khi đó các nhóm đối ngẫu tương ứng ♣ G, ① G 1 , ① G 2 thỏa mãn ♣ G ✏ ① G 1 ✂ ① G 2 . Chứng minh. Ta có G ✏ t♣x 1 , x 2 q; x 1  G 1 , x 2  G 2 ✉. Khi đó với χ 1  ① G 1 , χ 2  ① G 2 xét tương ứng χ : G ÝÑ C ✝ ♣x 1 , x 2 q ÞÝÑ χ♣x 1 , x 2 q :✏ χ 1 ♣x 1 qχ 2 ♣x 2 q. 6 Dễ thấy χ là một ánh xạ. Ta sẽ chứng minh χ là một đặc trưng của G. Thật vậy, với mọi ♣x 1 , x 2 q, ♣y 1 , y 2 q  G ta có χ♣♣x 1 , x 2 q   ♣y 1 , y 2 qq ✏ χ♣x 1   y 1 ; x 2   y 2 q ✏ χ 1 ♣x 1   y 1 qχ 2 ♣x 2   y 2 q ✏ χ 1 ♣x 1 qχ 2 ♣x 2 qχ 1 ♣y 1 qχ 2 ♣y 2 q ✏ χ♣x 1 ; x 2 qχ♣y 1 ; y 2 q. Vậy χ là một đặc trưng của nhóm G. Tiếp theo ta chứng minh ánh xạ Φ : ① G 1 ✂ ① G 2 ÝÑ ♣ G ♣χ 1 , χ 2 q ÞÝÑ Φ♣χ 1 , χ 2 q :✏ χ là một đẳng cấu. Trước hết ta thấy rằng Φ là một toàn cấu. Thật vậy, với mọi χ  ♣ G ta có χ♣x 1 , x 2 q ✏ χ♣x 1 , 0qχ♣0, x 2 q ✏ χ 1 ♣x 1 qχ 2 ♣x 2 q, do đó luôn tồn tại ♣χ 1 , χ 2 q  ① G 1 ✂ ① G 2 sao cho Φ♣χ 1 , χ 2 q ✏ χ. Hay Φ là một toàn cấu. Hơn nữa, với ♣χ 1 , χ 2 q, ♣χ ✶ 1 , χ ✶ 2 q  ① G 1 ✂ ① G 2 , giả sử ♣χ 1 , χ 2 q ✏ ♣χ ✶ 1 , χ ✶ 2 q ta có χ♣x 1 , x 2 q ✏ χ 1 ♣x 1 qχ 2 ♣x 2 q ✏ χ ✶ 1 ♣x 1 qχ ✶ 2 ♣x 2 q ✏ χ ✶ ♣x 1 , 0qχ ✶ ♣0, x 2 q ✏ χ ✶ ♣x 1 , x 2 q. Do đó χ ✏ χ ✶ , hay Φ là đơn cấu. Từ đó suy ra được Φ là một đẳng cấu. Hệ quả 1.1.10. G ✕ ♣ G. Chứng minh. Vì G là một nhóm hữu hạn nên G ✕ Z n 1 ✂ ☎ ☎ ☎ ✂ Z n k và theo Mệnh đề 1.1.9 ta có nhóm đối ngẫu ♣ G ✕ ② Z n 1 ✂ ☎ ☎☎ ✂ ② Z n k . Do đó G ✕ ♣ G. 1.2 Hệ thức trực giao của các đặc trưng Mệnh đề 1.2.1 ([4, Proposition 1.1]). Với mọi đặc trưng không tầm thường χ của G ta luôn có ➳ aG χ♣aq ✏ 0. [...]... pZ{kZq Vớ d 1.5.6 c trng paq  Ă â a p l m t c trng mụun p 16 Chng 2 PHNG TRèNH TRấN NHểM ABEL H U H N N i dung chớnh c chỳng tụi trỡnh by trong chng ny l s d ng tớnh ch t c a bi n i Fourier trờn nhúm Abel h u h n ch ng minh Lu t thu n ngh ch b c hai, gi i bi toỏn v s nghi m c a phng trỡnh trờn nhúm Abel h u h n cng nh ch ng minh nh lý Fermat cu i cựng trờn tr ng h u h n Ki n th c trong chng... nh ch ng minh nh lý Fermat cu i cựng trờn tr ng h u h n Ki n th c trong chng ny c chỳng tụi trỡnh by d a trờn cỏc ti li u [4], [14] 2.1 2.1.1 Bi n i Fourier trờn nhúm Abel h u h n Khỏi ni m v cỏc tớnh ch t c b n Cho G l m t nhúm Abel h u h n c p n G i CG  tf | f : G íẹ Cu l t p t t c cỏc hm t G vo C D th y r ng CG l m t khụng gian vect n chi u Trong khụng gian ny ta nh ngha tớch vụ h ng 1 xf, gy... Ă p mod pq p 1 2 Do ú, theo nh lý Wilson ta cú 1.4 Ă1  a Ă p mod pq p 1 2 c trng trờn tr ng h u h n Fq , t ng Gauss Cho Fq l tr ng h u h n v i q l ly th a c a m t s nguyờn t Ngoi c trng c a nhúm Abel pFq , q v c trng trờn nhúm giao hoỏn pFƯ , q q ó c c p, trong ph n ny ta s xột c trng trờn tr ng Fq C th ta cú cỏc nh ngha sau nh ngha 1.4.1 M t c trng c ng tớnh c a tr ng Fq l c trng c a... Ta s ch ng minh S b G sao cho pbq $ 1, v i m i $ 0 Khi ú ta cú pbqS  á aG paqpbq  á aG á pa bq  abG  0 Th t v y, ch n pa bq  S T ú suy ra S ppbq Ă 1q  0 hay S  0 H qu 1.2.2 Cho G l m t nhúm Abel h u h n c p n Khi ú (i) N u l m t c trng c a G thỡ (ii) N u x G thỡ p G pxq  Ch ng minh piq N u xG pxq  6 9 8n, n u  0 , 9 70, n u $ 0 n u x  0, 9 70, 6 9 8n, n u x $ 0  0 thỡ xG thỡ... pxq  1, 70, n u pxq $ 1 9 6 9 8n, 9 n u pxq  0 pxq, n u pxq $ 0 pxq 70, 6 9 8n, n u x  0, 70, n u x $ 0 9 T ú suy ra i u ph i ch ng minh H qu 1.2.3 (H th c tr c giao t ng quỏt) Cho G l m t nhúm Abel h u h n c p n Khi ú 8 (i) N u , p G thỡ (ii) N u a, b G thỡ aG p G paq paq  6 9 8n, n u  , 9 70, n u $ 6 9 8n, n u a  b, 9 70, paqpbq  n u a $ b Ch ng minh piq N u  thỡ paqpaq  paqĂ1... Ă  Ă1 p vỡ p  4f Ă 1q, nờn suy ra phng 1 p  Ă4m2 p mod pq vụ nghi m i u ny mõu thu phng trỡnh (2.6) vụ nghi m n v i gi thi t V y 24 2.1.3 Bi n i Fourier c a hm c trng nh ngha 2.1.22 Cho G l nhúm Abel h u h n c p n v A l m t t p CG xỏc nh b con c a G Hm fA fA paq  i 6 9 81, n u a A, 9 70, n uaA c g i l hm c trng c a t p A M nh 2.1.23 Cho A v B l hai t p con c a nhúm G Khi ú ta cú 1 xfA,... á t A Fq u a ptq Đ 5Đ Đá Đ Đ Đ max Đ t Đ , Đ t A Đ pq p $ 0, Fq C Ngoi ra, theo ph n piiiq c a M nh 2.1.26 ta suy ra i u ph i ch ng minh 27 2.2 Phng trỡnh x1 x2 Ô Ô Ô xk a Cho G l m t nhúm Abel h u h n c p n G i A1 , A2 , , Ak l nh ng t p con c a G v a l m t ph n t c nh c a G Ta s xỏc nh s nghi m c a phng trỡnh x1 x2 Ô Ô Ô xk  a, pxi Ai, i  1, 2, , kq (2.7) Tr c h t ta th y r ng . của phương trình trên nhóm Abel hữu hạn. Luận văn Phương trình trên nhóm Abel hữu hạn nhằm tìm hiểu về nghiệm của phương trình trên nhóm Abel hữu hạn và. hữu tỉ của phương trình. Nghiệm của một phương trình trên các nhóm Abel hữu hạn (đặc biệt là trên các trường hữu hạn) có quan hệ mật thiết với nghiệm hữu