Khảo sát phương trình sóng một chiều thông qua một số bài tập về dao động cưỡng bức của dây hữu hạn trong chương trình toán cho vật lý dành cho sinh viên chuyên ngành vật lý

LỜI CẢM ƠN Lời em xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới cô giáo Th.S Nguyễn Thị Ngọc - ngƣời cô ln tận tình hƣớng dẫn, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt thời gian thực luận văn Em xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy cô giáo Bộ môn vật lý Khoa Khoa học tự nhiên, Trƣờng Đại học Hồng Đức giảng dạy suốt bốn năm qua cung cấp cho em kiến thức bổ ích Cuối xin cảm ơn quan tâm, động viên gia đình, bạn bè suốt trình học tập nghiên cứu để hoàn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn! Thanh hóa , tháng năm 2018 Giáo viên hướng dẫn Sinh viên Nguyễn Hữu Mạnh i MỤC LỤC Trang PHẦN I: MỞ ĐẦU A LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI B MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU C NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU D ĐỐI TƢỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU E NỘI DUNG NGHIÊN CỨU F PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU PHẦN II: CƠ SỞ LÝ THUYẾT I LÝ THUYẾT PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN, ĐẠI CƢƠNG VỀ CÁC PHƢƠNG TRÌNH VẬT LÝ TỐN CƠ BẢN II LẬP PHƢƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA DÂY 2.1 Bài toán 2.2 Giải toán III KHẢO SÁT DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA SỢI DÂY HỮU HẠN 3.1 Bài toán 3.2 Giải toán IV XÉT Ý NGHĨA CỦA NGHIỆM TRONG BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỰ DO 11 V KHẢO SÁT DAO ĐỘNG CƢỠNG BỨC CỦA SỢI DÂY HỮU HẠN 13 5.1 Bài toán 13 5.2 Giải toán 13 5.3 Bài toán 2: Trƣờng hợp g(x,t) hàm x t 15 VI MỘT SỐ BÀI TẬP 17 VII CÁC BÀI TẬP LÀM THÊM 32 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 ii PHẦN I: MỞ ĐẦU A LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Giữa vật lý tốn học ln ln có mối quan hệ mật thiết Vật lý học sử dụng cơng cụ tốn học luôn đặt yêu cầu mới, làm nảy sinh nhiều ngành toán học Ngƣợc lại phát triển vật lý học phụ thuộc đáng kể vào phát triển tốn học tốn trở thành công cụ mạnh mẽ việc nghiên cứu vật lý lý thuyết Trong môn phƣơng pháp Tốn - Lý có giao thoa tốn vật lý, đƣợc giảng dạy trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên, khoa Vật lý trƣờng Sƣ phạm, nhằm trang bị cho sinh viên kiến thức toán cần thiết kỹ sử dụng toán nhƣ công cụ để học nhƣ để nghiên cứu vật lý Thực tế, nghiên cứu tiếp thu kiến thức học phần thuộc lĩnh vực vật lý lý thuyết sinh viên nói chung gặp nhiều khó khăn Với kiến thức tốn cao cấp kiến thức phổ thông không đủ đáp ứng nhu cầu học tập nghiên cứu môn học nhƣ: Cơ học lƣợng tử, Điện động lực học, Nhiệt động lực học, Vật lý thống kê Vì yêu cầu đặt cho sinh viên phải nắm vững kiến thức đại số giải tích tốn học kiến thức cần thiết phƣơng trình Vật lý - Tốn nghiên cứu sâu mơn học Việc giải tập địi hỏi sinh viên phải biết kết hợp kiến thức vật lý toán học, điều thể rõ phần toán dao động tự sợi dây Là sinh viên Sƣ phạm Vật lý nhận thấy mơn phƣơng pháp Tốn - Lý mơn học tƣơng đối khó, có tốn dao động cƣỡng sợi dây Trong đó, thời điểm tại, tài liệu tham khảo dạng tập hạn chế, phƣơng pháp cịn mang nặng tính khái qt, thiếu cụ thể Đó lý nhóm chúng tơi chọn đề tài:“Khảo sát phương trình sóng chiều thơng qua số tập dao động cưỡng dây hữu hạn chương trình tốn cho vật lý dành cho sinh viên chuyên ngành Vật Lý” B MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Nắm đƣợc lý thuyết phƣơng trình vi phân - Xây dựng phƣơng pháp giải tập phần dao động tự sợi dây - Cung cấp thêm tài liệu phần dao động tự sợi dây cho sinh viên q trình học tập học phần mơn phƣơng pháp Tốn - Lý - Giúp mở rộng kiến thức thân C NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Tìm hiểu đƣa sở lý thuyết phƣơng pháp để giải toán dao động tự sợi dây - Đƣa hệ thống tập giải mẫu, tập tự giải có hƣớng dẫn đáp số phần dao động tự sợi dây D ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Đối tƣợng: Xét sợi dây có lực căng T với giả thiết sợi dây đàn hồi, dao động nhỏ để bỏ qua tăng chiều dài sợi dây, lực căng T nhƣ tiết diện suốt trình dao động - Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu lý thuyết E NỘI DUNG NGHIÊN CỨU - Lý thuyết phƣơng trình vi phân , số tập phƣơng trình vi phân - Lập phƣơng trình dao động sợi dây - Khảo sát dao động tự sợi dây hữu hạn số tập dao động tự sợi dây dài hữu hạn - Xét ý nghĩa nghiệm - Một số tập mở rộng F PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu kỹ lý thuyết từ đƣa phƣơng pháp giải ứng với tập cụ thể dao động sợi dây PHẦN II: CƠ SỞ LÝ THUYẾT I LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, ĐẠI CƯƠNG VỀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ TỐN CƠ BẢN Các phƣơng trình mơ tả biến thiên trƣờng theo thời gian thƣờng u T2 M2 phƣơng trình vi phân đạo hàm M1 riêng, chứa hàm chƣa biết (hàm nhiều biến), đạo hàm riêng T1 biến số độc lập Phƣơng trình đạo hàm riêng gọi tuyến tính bậc O x1 x2 x hàm chƣa biết đạo hàm riêng Dạng tổng qt phƣơng trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai với hai biến số độc lập: (1.1) Trong đó: Hàm chƣa biết u phụ thuộc hai biến số độc lập x, y ; u = u(x, y), hệ số A, B, C, D, E, F hàm x, y Nhờ phép biến đổi tọa độ thích hợp ta đƣa phƣơng trình (1.1) dạng sau: Nếu AC – B2> miền đó, đƣa phƣơng trình (1.1) miền dạng: (1.2) Phƣơng trình gọi phƣơng trình loại Eliptic Dạng đơn giản phƣơng trình phƣơng trình Laplace: (1.3) Nghĩa D1 = E1 = F1 = G1 = 2 Nếu AC – B < miền đó, đƣa phƣơng trình (1.1) miền dạng: (1.4) Phƣơng trình gọi phƣơng trình loại Hypebolic Dạng đơn giản phƣơng trình phƣơng trình dao động dây (1.5) Nghĩa D2 = E2 = F2 = Nếu AC – B = miền đó, đƣa phƣơng trình (1.1) miền dạng: (1.6) Phƣơng trình gọi phƣơng trình loại Parabolic Dạng đơn giản phƣơng trình phƣơng trình truyền nhiệt (1.7) Nghĩa D3 = F3 = Trong phƣơng trình (1.5), (1.7) ta thƣờng lấy biến số thời gian, biến số tọa độ x, ta có phƣơng trình dao động dây (hay phƣơng trình sóng chiều): (1.8) Phƣơng trình truyền nhiệt: (1.9) Phƣơng trình Laplace: (1.10) Nhiều toán vật lý kỹ thuật dẫn đến phƣơng trình nên ngƣời ta gọi chúng phƣơng trình vật lý – tốn Các phƣơng trình (1.8), (1.9), (1.10) có vơ số nghiệm ta phải đặt thêm điều kiện phụ để xác định nghiệm chúng Các phƣơng trình (1.8), (1.9) xuất trình không dừng (biến đổi theo thời gian t) Nếu trình xảy khoảng khơng gian x hữu hạn (dao động sợi dây có hai đầu gắn chặt, truyền nhiệt hữu hạn) ta có hai loại điều kiện phụ sau: a) Điều kiện ban đầu: Cho biết trạng thái lúc t = b) Điều kiện biên: Cho biết trình xảy biên khoảng khơng gian Bài tốn tìm nghiệm phƣơng trình thỏa mãn điều kiện biên điều kiện ban đầu gọi toán hỗn hợp Nếu q trình xảy khoảng vơ hạn -< x < + ta cần điều kiện ban đầu, toán gọi toán Cauchy Phƣơng trình (1.10) khơng chứa thời gian, hai biến x, y biến số khơng gian Nó xuất nghiên cứu trình dừng Để xác định nghiệm ta cần điều kiện biên, toán gọi toán biên Nghiệm toán đặt phụ thuộc liên tục vào điều kiện biên điều kiện ban đầu Các toán đƣợc thiết lập cho nghiệm tồn tại, phụ thuộc liên tục vào điều kiện phụ II LẬP PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA DÂY 2.1 Bài tốn Xét sợi dây mảnh khơng giãn, có chiều dài l, mật độ khối lƣợng  Mỗi điểm sợi dây chịu tác dụng lực căng dây T theo phƣơng tiếp tuyến Giả sử, ban đầu sợi dây song song với Ox, trình dao động nằm mặt phẳng uOx Trong đó, u độ lệch dây khỏi VTCB, u = u(x, t) Thiết lập phƣơng trình cho hàm u(x, t) 2.2 Giải tốn Giả sử thời điểm t dây có dạng nhƣ hình vẽ Giả thiết dây đàn hồi dao động dây y nhỏ, coi chiều dài dây không đổi, lực căng dây nhƣ suốt q trình dao động Xét có tọa độ tƣơng ứng Mỗi điểm sợi dây đƣợc mô tả hàm Các lực tác dụng lên sợi dây: lực căng dây T, trọng lực P Lực căng dây tác dụng lên :⃗ Lực căng dây tác dụng lên :⃗ Lực căng dây tác dụng lên là: ⃗| ⃗ ⃗ (2.2.1) Chiếu (2.2.1) lên trục u ta có: ∑⃗| (2.2.2) Vì dao động bé nên ∑⃗| ( | | ) ∫ (2.2.3) Ngồi lực căng sợi dây cịn chịu tác dụng trọng lực ⃗| ∫ (2.2.4) Phƣơng trình định luật II Newton cho đoạn ⃗| ∫ ⃗| | ∫ ∫ ∫ * Vì là: + (2.2.5) nên phƣơng trình (2.2.5) trở thành: (2.2.6) Đặt gọi vận tốc truyền dao động Khi phƣơng trình (2.2.6) có dạng: (2.2.7) Phƣơng trình (2.2.7) gọi phƣơng trình mơ tả dao động dây với hệ số số vế phải Đó phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng hạng hai Nếu khơng có ngoại lực tác dụng lên dây g(x, t) = (2.2.7) gọi phƣơng trình vi phân mơ tả dao động tự dây Nếu có ngoại lực tác dụng lên dây g(x, t) = (2.2.7) gọi phƣơng trình vi phân mô tả dao động cƣỡng dây Vì ngiệm phƣơng trình dao động cƣỡng bao gồm nghiệm phƣơng trình dao dộng tự nghiệm riêng phƣơng trình khơng nên trƣớc hết ta xét toán dao động tự dây hữu hạn xét ý nghĩa nghiệm toán dao động tự III KHẢO SÁT DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA SỢI DÂY HỮU HẠN 3.1 Bài toán Xét sợi dây hữu hạn có chiều dài , chiếm đoạn [ cân bằng, dây dao động tự đƣợc gắn chặt hai đầu ] trục x thỏa mãn hai điều kiện - Điều kiện biên: { | | - Điều kiện ban đầu: { | | Tìm hàm 3.2 Giải tốn Vì dao động dây dao động tự nên hàm mô tả điểm dao động sợi dây nghiệm phƣơng trình vi phân cấp hai (3.2.1) ( với Trong hàm thỏa mãn hai điều kiện: - Điều kiện biên: { | | - Điều kiện ban đầu: { (3.2.2) | | (3.2.3) Để giải phƣơng trình (3.2.1) ta sử dụng phƣơng pháp tách biến Furie (3.2.4) { (3.2.5) Thay vào (1) ta có: (3.2.6) Vì hàm Chia hai vế phƣơng trình (3.2.6) cho ta đƣợc: (3.2.7) (theo lý thuyết phƣơng trình vi phân, vế phải hàm biến x, vế trái hàm biến t hai vế hai vế số) , Giải phƣơng trình (2.2.7): (3.2.7.a) Với điều kiện: { | | * Trƣờng hợp 1: * Trƣờng hợp 2: * Trƣờng hợp 3: Do trƣờng hợp trƣờng hợp xuất nghiệm tầm thƣờng với nghiệm toán học nên lấy để đảm bảo nghiệm liên tục Phƣơng trình (3.2.7.a) có nghiệm tổng quát: Áp dụng điều kiện biên ta có: ∫ (∫ ) ∫ (∫ Vậy nghiệm ) (3.8) có dạng: ∫ (∫ ) ∫ (∫ ) (3.9) Nghiệm phƣơng trình cho là: ∑ ∫ (∫ ∫ (∫ ) ) Trong (3.10) đƣợc tính theo cơng thức (2.2.7) Bài 4: Giải phƣơng trình (4.1) Với điều kiện biên điều kiện bân đầu có dạng { (4.2) Hãy tìm nghiệm phƣơng trình Bài giải Từ phƣơng trình: , đặt (4.3) Suy ra: Hàm (4.4) có dạng: , suy Từ điều kiện ta có: 21 ∑ (4.5) ∫ ∫ (4.6) Bài 5: Giải phƣơng trình (5.1) - Điều kiện biên: { (5.2) - Điều kiện ban đầu: { (5.3) Tìm hàm Bài giải: Khai triển hàm u(x,t) dƣới dạng ∑ (5.4) Chú ý rằng: ∑ ∫ Ta có: ∑ ∑ (5.5) * + (5.6) Thay(5.5) (5.6) vào phƣơng trình (5.1) ∑ { * ∑ + } (5.7) Từ hai tổng chuỗi ta có: ( ) (5.8) 22 Giải phƣơng trình với điều kiện ban đầu Nghiệm phƣơng trình vi phân cấp không với ∫ (5.9) Cuối ta thu đƣợc ∑ *∫ + (5.10) Bài 6: Cho sợi dây dài , có đầu gắn chặt giả sử có ngoại lực tác dụng p(x,t) tính đơn vị đo độ dài Phƣơng trình dao động dây dƣới tác dụng ngoại lực (6.1) Với điều kiện biên: (6.2) Và điều kiện ban đầu: | | (6.3) Bài toán dẫn đến giải phƣơng trình vi phân , | | Bài giải: Trong toán ta đƣa hàm bổ trợ (6.4) | Ta tìm nghiệm tốn dƣới dạng tổng qt (6.5) Trong hàm hàm chƣa biết thỏa mãn điều kiện biên | | Và điều kiện ban đầu: 23 { | | | | | [ | ] [ ] Thay (6.5) vào (6.1) (6.7) Do Nên Trong đó: [ - ] Nhƣ tốn | , | | | Nghiệm phƣơng trình đƣợc tìm dƣới dạng (6.8) Thay vào (6.1) (6.9) | , | | Giải hệ (II) , | | (6.9.1) | | | (6.9.2) Khai triển hàm V(x,t) nhƣ sau: ∑ (6.10) Thay vào hệ (II) ∑ [ ] với Khai triển hàm g(x,t) theo chuỗi Flame nhƣ sau: 24 (6.11) ∑ ∫ (6.12) nghiệm phƣơng trình vi phân sau: (6.13) Tìm hàm V(x,t) từ chuỗi thỏa mãn điều kiện Nghiệm (6.13) có dạng ∫ ∫ ∫ (6.14) ∑ Vậy với đƣợc xác định từ (6,14) Giải hệ (I) ∑ Với ( ) ∫ (6.15) ∫ Vậy nghiệm cuối thỏa mã điều kiện toán ∑ +∑ ) ( (6.16) Bài 7: Giải phƣơng trình khơng Với điều kiên biên: Và điều kiện ban đầu: | | | | Bài giải: Đây loại phƣơng trình khơng nhƣng điều kiện biên điều kiện ban đầu tức có ngoại lực tác dụng vào sợi dây 25 Đặt Giả sử nghiệm phƣơng trình (1) có dạng ∑ Trong ∑ (5) hệ số khai triển phụ thuộc thời gian thỏa mãn điều kiện ban đầu (6) Thay (5) vào (1) ta có: ∑[ ] { tích phân hai vế có cận từ [ Nhân hai vế với phƣơng trình (7) có đồng thời sử dụng tính trực giao hệ hàm ∑[ ] { | ta đƣợc: ∫ Do tính trực giao hàm riêng tính ] với điều kiện làm cho | Phƣơng trình (8) tƣơng đƣơng: [[ ]] | | | | ∫ ∫ đây: | | ∫ ∫ (11) Nghiệm phƣơng trình (10)với điều kiện (6) đƣợc tìm từ phƣơng pháp biến thiên số Giải phƣơng trình [ ] 26 ta có nghiệm Để giải phƣơng trình khơng nhất, ta giả sử phƣơng trình có nghiệm Trong thỏa mãn hệ phƣơng trình { Suy ra: { ∫ ∫ (15) Thay giá trị biến lấy tích phân vào phƣơng trình (12) ta đƣợc ∫ ∫ Thay đổi m thành n công thức ta đƣợc nghiệm phƣơng trình (1) là: ∑ Bài 8: Tìm nghiệm *∫ + phƣơng trình (1) Trên miền D: , 27 | | Với điều kiện ban đầu: { | | Với điều kiện biên: { (trong số khác khơng; hàm giải tích D) Bài giải: Ta có nghiệm phƣơng trình dƣới dạng (2) Thay (1) vào phƣơng trình ta đƣợc: Đến đây, ta tìm đƣợc hàm cho chúng thỏa mãn điều kiện sau Hàm nghiệm phƣơng trình Điều kiện ban đầu: { Và điều kiện biên: { Hàm | Hàm (4) | | | (4) nghiệm phƣơng trình: Thỏa mãn điều kiện: { | | Dạng nghiệm (5) (6) nghiệm phƣơng trình: Thỏa mãn điều kiện: { (3) | | (7) (8) phƣơng trình (5) là: (9) (trong số tích phân) Sử dụng điều kiện biên: { | | 28 { { (10) ( ) (11) phƣơng trình (7) là: Dạng nghiệm (12) (trong số tích phân) Sử dụng điều kiện biên: { | | { { (13) (14) phƣơng trình (2) tìm dƣới dạng chồng chập Nghiệm sóng đứng ∑ (15) Dễ thấy (15) thảo mãn điều kiện biên (4) Thay (15) vào phƣơng trình (2) ta đƣợc: ∑ ∑ ∑ Do xét chu kỳ vơi * + (16) nên ta coi hàm giả tuần hồn theo ta khai triển hàm thành chuỗi dạng ∑ ∫ (18) Thay (17) vào (16) ta đƣợc: ∑[ ] 29 ∑ Đồng thức hai vế ta đƣợc: (19) Phƣơng trình (5) cho nghiệm tổng qt có dạng (20) (trong hệ số tích phân nhìn chung phụ thuộc k; nghiệm riêng khơng phƣơng trình (19) Thay (20) vào (15) ta đƣợc: ∑ * + (21) Thay (21) (14) (3) điều kiện ban đầu hàm hoàn toàn tƣờng minh | { ( ) (22) | Sử dụng điều kiện biên (22) từ (21) ta có: ∑[ | | { { ] ∑[ | ] ∫ ∫ | { ∫ , ∫ Thay (23) vào (21) nghiệm ∑ * ∫ ,* (23) | hoàn toàn tƣờng minh | ∫ + 30 + (24) Thay (11), (14) (24) vào (1) nghiệm u(x,t) hoàn toàn tƣờng minh ∑ ,* * ∫ | ∫ + + - (25) Bài 9: Tìm nghiệm phƣơng trình Thỏa mãn điều kiện biên: { Với điều kiện ban đầu: { | | | Bài giải: đó: Giả sử | | | | { { Giải (A) Chọn Giải (B): sử dụng phƣơng pháp tách biến, Ta tìm đƣợc đƣợc nghiệm tốn dƣới dạng: ∑ ∑( Từ điều kiện đề ta có: ∑ 31 ) | ∑ Chú ý: ∫ { ∫[ ∫ * Cịn [ ] ] + Vì vậy: [ ∑ ] Vậy VII CÁC BÀI TẬP LÀM THÊM Bài 1: Giải phƣơng trình: Điều kiện biên: { ) | | Điều kiện ban đầu: { | | Đáp số: ∑ [ [ ( ) ] ] Bài 2: Giải phƣơng trình vi phân sau: Với điều kiện biên điều kiện ban đầu { 32 Đáp số: ( ) Bài 3: Tìm nghiệm u(x,t) phƣơng trình miền D:, Với điều kiện ban đầu:{ điều kiện biên: { | | | | Trong a số khác 0, hàm f(x) g(x) giải tích D Đáp số: ∑ {[ ∫ ] ∫ [ ] } Bài 4: Giải phƣơng trình vi phân sau Vơi điều kiện biên điều kiện ban đầu { Đáp số: ∑ Bài 5: Tìm nghiệm u(x,t) phƣơng trình miền D:, Với điều kiện ban đầu:{ điều kiện biên: { | | | | Trong hàm giải tích D 33 KẾT LUẬN Qua thời gian thực đề tài, với cố gắng thân giúp đỡ thầy, cô giáo khoa Vật lý đặc biệt cô giáo hƣớng dẫn ThS Nguyễn Thị Ngọc, em hoàn thành đề tài đạt đƣợc số kết sau: + Xây dựng đƣợc nội dung dao động sợi dây + Phân loại đƣợc toán dao động sợi dây + Xây dựng đƣợc dao động tự sợi dây hữu hạn + Xây dựng dao động cƣỡng sợi dây hữu hạn + Đƣa đƣợc số toán mẫu cụ thể, cách giải cho toán cụ thể +Đƣa số tập giải mẫu số tập tham khảo 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đỗ Đình Thanh – Phƣơng pháp tốn lí – Nxb Giáo dục Việt Nam [2] Nguyễn Đình Trí, Nguyễn Trọng Thái – Phƣơng trình vật lí – tốn Hà nội – 1971 [3] Tikhonov A.N, Samarski A.A – Uravneniia matematicheskoi phiziki Moskva – 1953 [4] Levin B.I – Metodu matematicheskoi phiziki Moskva – 1960 [5] R Courant, D Hilbert – Methods of mathematical physics London – 1953 [6] Mors PH M, Pheshbakh G – Metodu teoreticheskoi phiziki Moskva – 1958 [7] Kochin N.E – Vektornoe ischislenie inachala tenzornogo ischisleniia Moskva – 1960 35