Khảo sát dao động của một sợi dây hữu hạn thông qua một số bài tập trong chương trình toán cho vật lý dành cho sinh viên chuyên ngành vật lý

LỜI CẢM ƠN Lời em xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới cô giáo Nguyễn Thị Ngọc- người cô tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt thời gian thực luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy cô giáo Bộ môn vật lý Khoa Khoa học tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức giảng dạy suốt bốn năm qua cung cấp cho em kiến thức bổ ích Cuối xin cảm ơn quan tâm, động viên gia đình, bạn bè suốt trình học tập nghiên cứu để hoàn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn! Thanh hóa , tháng năm 2017 Sinh viên Phạm Thị Lê i MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN i MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Giả thiết khoa học 5.Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nội dung nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu PHẦN NỘI DUNG Chương LÝ THUYẾT 1.1 Lý thuyết phương trình vi phân, đại cương phương trình vật lý toán 1.2 Lập phương trình dao động dây 1.2.1 Bài toán 1.3 Khảo sát dao động tự sợi dây hữu hạn 1.3.1 Bài toán 1.3.2 Giải toán 1.4 Xét ý nghĩa nghiệm toán dao động tự 12 1.5 Khảo sát dao động cưỡng sợi dây hữu hạn 13 1.5.1 Bài toán 13 1.5.2 Giải toán 14 1.6 Khảo sát dao động tự sợi dây dài vô hạn – Bài toán Cauchy 18 1.6.1 Bài toán 18 1.6.2 Giải toán 18 Chương MỘT SỐ BÀI TẬP 20 2.1 Bài tập minh họa 20 2.2 Một số tập áp dụng 35 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 ii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giữa vật lý toán học ln ln có mối quan hệ mật thiết Vật lý học sử dụng cơng cụ tốn học luôn đặt yêu cầu mới, làm nảy sinh nhiều ngành toán học Ngược lại phát triển vật lý học phụ thuộc đáng kể vào phát triển tốn học tốn trở thành công cụ mạnh mẽ việc nghiên cứu vật lý lý thuyết Trong môn phương pháp Tốn - Lý có giao thoa tốn vật lý, giảng dạy trường Đại học Khoa học Tự nhiên, khoa Vật lý trường Sư phạm, nhằm trang bị cho sinh viên kiến thức toán cần thiết kỹ sử dụng toán công cụ để học để nghiên cứu vật lý Thực tế, nghiên cứu tiếp thu kiến thức học phần thuộc lĩnh vực vật lý lý thuyết sinh viên nói chung gặp nhiều khó khăn Với kiến thức tốn cao cấp kiến thức phổ thông không đủ đáp ứng nhu cầu học tập nghiên cứu môn học như: Cơ học lượng tử, Điện động lực học, Nhiệt động lực học, Vật lý thống kê Vì yêu cầu đặt cho sinh viên phải nắm vững kiến thức đại số giải tích tốn học kiến thức cần thiết phương trình Vật Lý - Tốn nghiên cứu sâu mơn học Việc giải tập địi hỏi sinh viên phải biết kết hợp kiến thức vật lý toán học, điều thể rõ phần toán dao động sợi dây Là sinh viên Sư phạm Vật lý nhận thấy mơn phương pháp Tốn - Lý mơn học tương đối khó, có tốn dao động sợi dây Trong đó, thời điểm tại, tài liệu tham khảo dạng tập hạn chế, phương pháp mang nặng tính khái qt, thiếu cụ thể Đó lý chọn đề tài: “Khảo sát dao động sợi dây hữu hạn thông qua số tập chương trình tốn cho vật lý dành cho sinh viên chuyên ngành Vật Lý” Mục đích nghiên cứu - Nắm lý thuyết phương trình vi phân - Xây dựng phương pháp giải tập phần dao động sợi dây - Cung cấp thêm tài liệu phần dao động sợi dây cho sinh viên trình học tập học phần mơn phương pháp Tốn - Lý - Giúp mở rộng kiến thức thân Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu đưa sở lý thuyết phương pháp để giải toán dao động sợi dây - Đưa hệ thống tập giải mẫu, tập tự giải có hướng dẫn đáp số phần dao động sợi dây Giả thiết khoa học Nếu áp dụng phương pháp phù hợp để giải, tập trở nên đơn giản, dễ nhớ Từ giúp cho việc học tập trở nên nhẹ nhàng đạt kết cao Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: Xét sợi dây có lực căng T với giả thiết sợi dây đàn hồi, dao động nhỏ để bỏ qua tăng chiều dài sợi dây, lực căng T tiết diện suốt trình dao động - Phạm vi nghiên cứu: Trong trường hợp sợi dây hữu hạn vô hạn Nội dung nghiên cứu - Lý thuyết phương trình vi phân , đại cương phương trình vật lý tốn - Lập phương trình dao động sợi dây - Khảo sát dao động tự sợi dây hữu hạn, số tập dao động tự sợi dây dài hữu hạn - Khảo sát dao động cưỡng sợi dây hữu hạn, số tập dao động cưỡng sợi dây hữu hạn - Khảo sát dao động tự sợi dây vơ hạn – Bài tốn Cauchy, số tập dao động sợi dây dài vô hạn Phương pháp nghiên cứu - Sưu tầm tài liệu - Nghiên cứu kỹ lý thuyết từ đưa phương pháp giải ứng với tập cụ thể dao động sợi dây PHẦN NỘI DUNG Chương LÝ THUYẾT 1.1 Lý thuyết phương trình vi phân, đại cương phương trình vật lý tốn Các phương trình mơ tả biến thiên trường theo thời gian thường phương trình vi phân đạo hàm riêng, chứa hàm chưa biết (hàm nhiều biến), đạo hàm riêng biến số độc lập Phương trình đạo hàm riêng gọi tuyến tính bậc hàm chưa biết đạo hàm riêng Dạng tổng qt phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai với hai biến số độc lập: 2 u A x u 2B x y C u y2 D u x E u y Fu G ( x, y ) (1.1) Trong đó: hàm chưa biết u phụ thuộc hai biến số độc lập x, y ; u = u(x, y), hệ số A, B, C, D, E, F hàm x, y Nhờ phép biến đổi tọa độ thích hợp ta đưa phương trình (1.1) dạng sau: 1.1.1 Nếu AC – B2 > miền đó, đưa phương trình (1.1) miền dạng: u 2 u D1 u E1 u F1u G1 ( , ) (1.2) Phương trình gọi phương trình loại Eliptic Dạng đơn giản phương trình phương trình Laplace: u 2 u (1.3) Nghĩa D1 = E1 = F1 = G1 = 1.1.2 Nếu AC – B2 < miền đó, đưa phương trình (1.1) miền dạng: u 2 u D2 u E2 u F2 u G2 ( , ) (1.4) Phương trình gọi phương trình loại Hypebolic Dạng đơn giản phương trình phương trình dao động dây 2 u u G2 ( , ) (1.5) Nghĩa D2 = E2 = F2 = 1.1.3 Nếu AC – B2 = miền đó, đưa phương trình (1.1) miền dạng: u u D3 E3 u F3u G3 ( , ) (1.6) Phương trình gọi phương trình loại Parabolic Dạng đơn giản phương trình phương trình truyền nhiệt u u E3 G3 ( , ) (1.7) Nghĩa D3 = F3 = Trong phương trình (1.5), (1.7) ta thường lấy biến số thời gian, biến số tọa độ x, ta có phương trình dao động dây (hay phương trình sóng chiều): u t 2 a u x2 (1.8) Phương trình truyền nhiệt: u t u x2 a2 (1.9) Phương trình Laplace: u x2 u y2 (1.10) Nhiều toán vật lý kỹ thuật dẫn đến phương trình nên người ta gọi chúng phương trình vật lý – tốn Các phương trình (1.8), (1.9), (1.10) có vơ số nghiệm ta phải đặt thêm điều kiện phụ để xác định nghiệm chúng Các phương trình (1.8), (1.9) xuất q trình khơng dừng (biến đổi theo thời gian t) Nếu q trình xảy khoảng không gian x hữu hạn (dao động sợi dây có hai đầu gắn chặt, truyền nhiệt hữu hạn) ta có hai loại điều kiện phụ sau: a) Điều kiện ban đầu: cho biết trạng thái lúc t = b) Điều kiện biên: cho biết trình xảy biên khoảng khơng gian Bài tốn tìm nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện biên điều kiện ban đầu gọi tốn hỗn hợp Nếu q trình xảy khoảng vô hạn - < x < + ta cần điều kiện ban đầu, tốn gọi tốn Cauchy Phương trình (1.10) không chứa thời gian, hai biến x, y biến số khơng gian Nó xuất nghiên cứu trình dừng Để xác định nghiệm ta cần điều kiện biên, toán gọi toán biên Nghiệm toán đặt phụ thuộc liên tục vào điều kiện biên điều kiện ban đầu Các toán thiết lập cho nghiệm tồn tại, phụ thuộc liên tục vào điều kiện phụ 1.2 Lập phương trình dao động dây 1.2.1 Bài tốn Xét sợi dây mảnh khơng giãn, có chiều dài l, mật độ khối lượng Mỗi điểm sợi dây chịu tác dụng lực căng dây T theo phương tiếp tuyến Giả sử, ban đầu sợi dây song song với Ox, trình dao động nằm mặt phẳng uOx Trong đó, u độ lệch dây khỏi VTCB, u = u(x, t) Thiết lập phương trình cho hàm u(x, t) 1.2.2 Giải toán Giả sử thời điểm t có dạng (hình vẽ) u M2 T2 M1 Giả thiết dây đàn hồi, dao động y nhỏ,coi chiều dài dây không đổi, lực căng dây T1 suốt trình dao động Xét M1M2 có tọa độ x1, x2 tương ứng Mỗi điểm sợi dây mô tả O hàm u = u(x, t) Các lực tác dụng lên sợi dây: Lực căng T, trọng lực P x2 x1 Hình 1.1 x * Lực căng dây tác dụng lên M1: T1 * Lực căng dây tác dụng lên M2: T2 Lực căng dây tác dụng lên M1M2 là:    T T1 T2 M 1M Chiếu lên trục u ta có: T T (sin sin u ) (1.11) Vì dao động bé nên: sin u x tan u T( x T u x2 u x x x2 ) u dx x2 T x x1 x1 (1.12) * Ngoài lực căng, sợi dây chịu tác dụng trọng lực: x2 P dx.g ( x, t ) u (1.13) x1 Phương trình định luật II Niuton cho đoạn M1M2 là: T P u m.utt'' m.a u x2 T x1 u x2 u dx x2 x2 x2 g ( x, t ).dx g ( x, t ) 2 u x2 t u t2 dx (1.14) nên phương trình (1.14) thành: Vì dx T u t2 x1 u x2 x1 dx x1 T g ( x, t ) u Đặt: a T u t2 u x2 T g ( x, t ) (1.15) gọi vận tốc truyền dao động Khi đó, phương trình (1.15) có dạng: t u 2 a2 u x2 g ( x, t ) (1.16) Phương trình (1.16) gọi phương trình mơ tả dao động dây với hệ số số có vế phải Đó phương trình vi phân đạo hàm riêng hạng Nếu khơng có ngoại lực tác dụng lên dây g(x, t) = (1.16) gọi phương trình vi phân mơ tả dao động tự dây Nếu có ngoại lực tác dụng lên dây g(x, t) # (1.16) gọi phương trình vi phân mơ tả dao động cưỡng dây 1.3 Khảo sát dao động tự sợi dây hữu hạn 1.3.1 Bài toán Xét sợi dây hữu hạn có chiều dài l, chiếm đoạn (0, l) trục x cân bằng, dây dao động tự gắn chặt hai đầu x = x = l thỏa mãn hai điều kiện: * Điều kiện biên: ux ux l * Điều kiện ban đầu: ut ut' t f ( x) F ( x) Tìm hàm u = u(x, t) 1.3.2 Giải tốn Vì dao động dây dao động tự nên hàm u = u(x, t) mô tả dao động điểm sợi dây nghiệm phương trình vi phân cấp hai: u t 2 a2 u x2 x l, t > 0) Trong hàm u = u(x, t) thỏa mãn điều kiện: (Với: (1.17) * Điều kiện biên: ux ux l (1.18) * Điều kiện ban đầu: ut ut' t f ( x) (1.19) F ( x) (1.20) Với: k 2 a2 l2 Trong ak bk xác định từ điều kiện ban đầu: u t ak sin f x k k x l f x l k f x sin xdx l l ak u' t F x ak k bk sin k x l F x l bk bk 2 l k F x sin xdx l l ak l F x sin k xdx l ak Bài 4: Hãy xác định dao động sợi dây có chiều dài l, thỏa mãn phương trình u tt" (a = const, u x ,0 " a 2u xx A sin t = const ) thỏa mãn điều kiện ban đầu: u t l F x t x3 lx 2 điều kiện biên: u x' x u x' x l Giải Vì dây dao động cưỡng bao gồm dao động tự kèm với dao động cưỡng quy định biên độ dao động tự nên xem u tt" " a 2u xx g x ,t Hàm u(x,t) ta coi tổng nghiệm u(x,t) = u0 + ug ( u0: dao động cưỡng bức, ug: dao động cưỡng bức) giả sử nghiệm tốn có dạng: u x ,t u tt" " u xx v x ,t v tt" " v xx s x ,t s tt" " s xx 28 Trong đó: Hàm f(x,t) hàm mô tả dao động cưỡng bức, thỏa mãn phương trình sau: v tt" " a 2v xx v tt" g x ,t A sin t v x' x 0 v x' x 0 v x' x l v x' x l (I) Và hàm dao động tự do: s tt" " a s xx s x' x 0 x l s x' s f x t s t' v v t' F x t t t (II) * Giải (I): Giả sử nghiệm v(x,t) có dạng v(x,t) = v(t) A v t sin t C 1t C2 Chọn C2 = l C2 = -A/ A v t A sin t t l * Giải (II): Sử dụng phương pháp tách biến Furie, sử dụng điều kiện ban đầu ta có nghiệm tổng quát sau: s x ,t M0 a k cos k k at l b k sin k at k cos x l l Từ điều kiện ban đầu: u a t k x l a k cos k u t' b b k cos k l a f x dx l l ak k x l l f x F x ldx x l k f x cos xdx l l l l o l k l cos xdx l l 29 l k cos xdx l k sin x l l o l F x dx l b l x3 l lx dx l k F x cos xdx k a0 l bk l k a l x3 x3 l l o l3 12 lx k cos xdx l l x3 k cos xdx k a0 l I1 k a x4 l 12 lx k cos xdx k a0 l I2 k a Tính I1: l k x cos xdx l 3l k x 3l k 3l k 3l k l k 1 k k k l l k x sin xdx k l 3l k k cos x l l l 3l 2l k k o o x cos l 6l l k x sin x k l k 6l 2 k l2 k 6l 4 k k o Tính I2: l l lx k x cos dx l l k x cos xdx 20 l l l k x sin xdx k l l2 k l4 k l4 k l k x cos x k l 2 1 k l2 k l l 2l 2k o l l2 l k k o l x sin l cos k xdx l k xdx l l l k k sin x l o k 30 k xdx l k xdx l l x sin 6l 2 k o k cos x l l l l k sin xdx k l 2l k a bk 6l k k 1 k 2l k a 1 k l3 12 s x ,t 6l k k 6l k l k k Vậy: u(x,t) = v(t) + s(x,t) A u x ,t A sin t t 2l l3 12 k 6l k k sin k at k cos x l l Bài 5: Hãy xác định dao động sợi dây có chiều dài l, thỏa mãn phương trình u tt" a 2u xx" h cos x thỏa mãn điều kiện: u x ,0 lx u''t t 0 Giải Vì dây dao động cưỡng bao gồm dao động tự kèm với dao động cưỡng quy định biên độ dao động tự nên xem u tt" " a 2u xx g x ,t Hàm u(x,t) ta coi tổng nghiệm u(x,t) = u0 + ug ( u0: dao động cưỡng bức, ug: dao động cưỡng bức) giả sử nghiệm toán có dạng: u x ,t v x ,t u tt" v tt" " u xx s x ,t s tt" " v xx " s xx Trong đó: Hàm f(x,t) hàm mô tả dao động cưỡng bức, thỏa mãn phương trình sau: s tt" a s xx" s xx" g x ,t h cos x s x 0 s x 0 s x l s x l (I) Và hàm dao động tự do: v tt" v v " a 2v xx x 0 x l 0 v v t' t t f x F x s t s t' t (II) 31 * Giải (I): Giả sử nghiệm s(x,t) có dạng s(x,t) = s(x) s x h cos x A1x A2 Áp dụng điều kiện biên: s x 0 A2 s x l A1 h cos x l s x h cos x x l * Giải (II): Sử dụng phương pháp tách biến Furie, sử dụng điều kiện ban đầu ta có nghiệm tổng quát sau: v x ,t a k cos k k at l b k sin k at k sin x l l Trong ak bk xác định từ điều kiện ban đầu: l f x l ak s t l l2 k sin x l k bk k a x cos l l k l s ' t t 0 v x ,t k l sin 2l 2 k l F x k xdx l l k lx cos xdx l l l k x sin x k l cos 2l 2 k k xdx l k xdx l k l k cos xdx l k cos 0dx k a0 k at l 2l k a 2l k at k sin sin x k a l l Vậy: u(x,t) = s(x) + v(x,t) u x ,t h cos x x l k 2l 2 k 32 k cos k at l 2l k at k sin sin x k a l l Bài 6: Ở thời điểm t = 0, ta truyền cho điểm sợi dây nằm khoảng (c - , c + ) vận tốc ban đầu không đổi v0 Xác định dao động sợi dây, lúc đầu nằm yên Giải Vì dây dao động tự nên hàm u(x, t)mơ tả dao động điểm sợi dây nghiệm phương trình: utt'' '' a u xx u t' f ( x) (1) < x < + ; a vận tơc truyền sóng thỏa mãn điều kiện ban đầu: Với ut 0 v0 khix (c F ( x) t (2) ,c 0khix (c ,c ) ) (3) Để giải phương trình (1) ta đổi biến số sau: x at x at Khi hàm u(x, t) u x u u x u x2 x 2 u t 2 u t u u x ( , ) u u x u ( , ) x u x u u u a a2 u u t u x u( , ) Lấy đạo hàm theo x, t sau: u u t t 2 u (4) ( , ) ( , ) 2 x x u (5) Thay (4), (5) vào (1) ta có: 33 u t 2 u x2 a2 4a u 4a u u u u u ( ) u ( )d ( ) u ( )d a Nghiệm phương trình (1) có dạng: u( , ) ( )d ( )d ( ) ( ) Chuyển biến số cũ ta có: u(x, t) = 1(x – at) + 1(x + at) (6) Dựa vào điều kiện ban đầu ta xác đinh hàm Khi t = 0, phương trình (6) thành: 1(x) ut' t + 1(x) a = f(x) ( x) x (7) ( x) x a F ( x) (8) Lấy tích phân hai vế (8) từ đến x ta được: x ( x) F ( x)dx a0 ( x) (9) Giải hệ phương trình (7), (9) ta được: x ( x) f ( x) F ( x)dx 2a ( x) f ( x) F ( x)dx 2a x Thay biểu thức (x) (x) vào (6) ta được: u ( x, t ) a k cos k k a k a k t bk sin t sin x l l l Mặt khác: ut u t' t f ( x) F ( x) ak v0 khix (c 0khix (c ,c ,c ) ) 34 bk 2v0 c k sin xdx k ac l bk 2lv0 k (c cos 2 l k a ) k (c l ) 2lv0 a u k ( x, t ) cos k cos k (c l ) cos k (c l ) k a k t sin x l l sin cho xung lượng p không đổi Gọi p mật độ sợi dây ta có: Cho P = v0 Nghiệm u(x, t) viết dạng: pl a u k ( x, t ) k cos k (c l k ) cos k (c l ) sin k a k t sin x l l Theo quy tắc Lơpitan ta có: cos k (c l lim ) cos k (c l k l k (c l ) lim sin ) sin k (c l 2k k c sin l l Vậy nghiệm u(x, t): u k ( x, t ) 2l a k k c k a k sin sin t sin x l l l k 2.2 Một số tập áp dụng Bài 1: Xác định dao động tự sợi dây hữu hạn, gắn chặt mút x = x = l, có độ lệch ban đầu vận tốc ban đầu là: v0 cos( x c)khi x c u ' t t 0khi x c 2; c l Trong v0 số dương Đáp số: u k ( x, t ) 4v0 a k c k cos l 2l sin k a t sin k x 2 l l k k l sin k 35 Bài 2: Tìm dao động sợi dây hữu hạn, gắn chặt đầu mút x = x = l, dao động với vận tốc ban đầu Sợi dây có dạng ban đầu là: x(l x) ;0 l2 u( x,0) x l Đáp số: 16 u ( x, t ) k ( 1) k k a k cos t sin x l l k Vì với k chẵn k = 2n +2 – (- 1)k = u(x, t) = lấy k lẻ k = 2n + để đảm bảo tính liên tục nghiệm 32 u( x, t ) k (2n 1) cos (2n 1) a (2n 1) t sin x l l Bài 3: Xác định dao động dọc đồng chất mút gắn chặt, mút tự do, biết điều kiện ban đầu: ut ut' t f ( x) F ( x) Đáp số: u k ( x, t ) a k cos k (2k 1) a (2k 1) a (2k 1) t bk sin t sin x 2l 2l l Với: l ak (2k 1) f ( x) sin xdx l 2l bk (2k 1) F ( x) sin xdx (2k 1) a 2l l Bài 4: Một sợi dây đồng gắn chặt đầu x = x = l Ở thời điểm ban đầu t = căng lên độ cao h điểm x = x0 sau bng khơng có vận tốc ban đầu Hãy tính lượng dao động tử thứ n sợi dây dao động Đáp số: En h a 2l n sin x0 2 l n xo (l x0 ) 36 Bài 5: Giải phương trình dao động cưỡng sợi dây mảnh có chiều dài l tn theo phương trình sau: utt'' '' u xx Mx (M = const) Thỏa mãn điều kiện sau: Điều kiện biên: ux ux l Điều kiện ban đầu: ut ut' t f ( x) F ( x) Đáp số: u ( x, t ) 2Ml 3 k ( 1) k k k x cos t sin l l k Bài 6: Khảo sát dao động dây dẫn có chiều dài l, gắn chặt đầu mút x = x = l Biết thời điểm t = vận tốc dây 0, hình dạng dây cung parabol bậc có đỉnh x = l/2 u = h u h O l/2 l x Đáp số: u ( x, t ) 16h k ( 1) k k a k cos t sin x l l k Vì với k chẵn k = 2n +2 – (- 1)k = u(x, t) = lấy k lẻ k = 2n + để đảm bảo tính liên tục nghiệm u ( x, t ) 32h k (2n 1) cos (2n 1) a (2n 1) t sin x l l 37 Bài 7: Giải hệ phương trình: u tt" a 2u xx" u x u x' u t x , u t' x l t 0 sin x 2l sin x l ,t x 2l Đáp số: 8l u (x , t ) k ( 1) k 2k at 2k x cos sin 2l 2l 2k 2l at x sin sin a 2l 2l 2l at x sin sin a 2l 2l Bài 8: Một đồng chất có mật độ ρ chiều dài l, có đầu x = gắn chặt, đầu x = l bị lực có sức căng P tác dụng Tại thời điểm t = 0, lực tác dụng bị biến Tìm dao động dọc thanh? Đáp số: Gợi ý: Xét lực P tác dụng lên thời điểm ban đầu t=0 độ dịch ban đầu: ut f x Đạo hàm độ dịch chuyển theo định luật Hooke tỉ lệ với sức căng tác dụng f ' x P E S (với S thiết diện bề mặt) Với: f x P x E S f x Vậy nghiệm toán tổng quát trường hợp đầu gắn chặt đầu (x = l) tự là: 8Pl E S u x ,t a k ( 2k k 1) cos 2k at 2k x sin 2l 2l E S 38 Bài 9: Tìm dao động dọc ≤ x ≤ l đầu x = gắn chặt, đầu x = l thời điểm t = có tác dụng lực: Ft sin t , t Ở điều kiện dao động không bị cản trở Đáp số: Hệ phương trình có dạng: u tt" " a 2u xx u x 0, u x l u t 0, u t' t A sin t x l *Trong trường hợp: n a ,n l 1,2,3, Nghiệm có dạng: u x ,t v x ,t U x ,t U x ,t X x sin t Hay: sin u (x , t ) A a sin x a sin t a n sin n l n x n a sin t l l Với: an 2A n a l sin sin a a x sin l n z dz , n l 1,2,3, *Trong trường hợp: n a ,n l 1,2,3, Nghiệm có dạng: 39 x A al u ( x, t ) Z An0 sin AAn0 t cos t sin 2l n n z sin l n0 x l bn sin n x z dz sin t l n x n at sin l l Với: l n z u t z ,0 sin dz n a0 l bn l A n0 n z dz l Z sin Bài 10: Tìm dao động dọc đàn hồi, với hai đầu tự vận tốc ban đầu hình dạng ban đầu hàm tùy ý Đáp số: Bài tốn dẫn đến giải hệ phương trình: u tt" u x' u " a 2u xx 0, u x' x x ,u t' t 0 x l x t Nghiệm tổng quát: u x ,t At B a k cos k k at l b k sin l l x t x dx C k cos k Với: l Ck l Ck l Dk k a x cos k xdx l x cos k xdx l l l x cos k xdx l 40 k at k cos x l l k at l D k sin k at k cos x l l KẾT LUẬN Em mong đề tài khóa luận giúp bạn sinh viên nắm rõ phương pháp khảo sát dao động sợi dây hữu hạn sợi dây vô hạn thông qua số tập chương trình tốn cho vật lý Bên cạnh có thêm kiến thức để giải tốn dao động màng, phương trình truyền nhiệt hay phương trình Laplace Thực tế đề tài nghiên cứu phương pháp khảo sát dao động sợi dây hữu hạn sợi dây vô hạn thông qua số tập chương trình tốn cho vật lý 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đỗ Đình Thanh – Phương pháp tốn lí – Nxb Giáo dục Việt Nam [2] Nguyễn Đình Trí, Nguyễn Trọng Thái – Phương trình vật lí – tốn Hà nội – 1971 [3] Tikhonov A.N, Samarski A.A – Uravneniia matematicheskoi phiziki Moskva – 1953 [4] Levin B.I – Metodu matematicheskoi phiziki Moskva – 1960 [5] R Courant, D Hilbert – Methods of mathematical physics London – 1953 [6] Mors PH M, Pheshbakh G – Metodu teoreticheskoi phiziki Moskva – 1958 [7] Kochin N.E – Vektornoe ischislenie i nachala tenzornogo ischisleniia Moskva – 1960 42