Vế giải tích của công thức vết trên SL (2, r)

Do vậy công thức vết của phần rời rạc của biểu diễnchính quy được viết thành tổng các vết của từng biểu diễn bất khả quy nhọn vàbiểu diễn hữu hạn chiều.. Trong bài toán tìm vết của biểu

Mục lục

1.1 Cấu trúc của SL(2,R) 5

1.2 Toán tử bất biến 9

1.3 Chuỗi Eisenstein 10

1.4 Khai triển Fourier của hàm tự đẳng cấu 11

2 Lý thuyết phổ của L2(Γ \ SL(2,R)) 13 2.1 Chuỗi Theta 13

2.2 Phổ liên tục và phổ rời rạc 18

2.3 Phổ liên tục và chuỗi Eisenstein 21

2.4 Công thức tổng Poisson: 28

3 Công thức tính vết trên SL(2,R) 34 3.1 Phân tích phổ của biểu diễn chính quy 34

3.2 Công thức tính vết 37

Mở đầu

Biểu diễn của SL(2,R) mà chúng tôi quan tâm trong luận văn này gồm cácchuỗi biểu diễn bất khả quy và biểu diễn trong L2(Γ \ SL(2,R) Trong đó cácchuỗi biểu diễn bất khả quy bao gồm biểu diễn chuỗi chính, biểu diễn chuỗi rờirạc, giới hạn chuỗi rời rạc, biểu diễn hữu hạn chiều và biểu diễn tầm thường Biểudiễn được xác định duy nhất nhờ vết của biểu diễn Biểu diễn chính quy đượcphân tích thành tổng rời rạc và tích phân liên tục các biểu diễn bất khả quy Phầnrời rạc của biểu diễn chính quy của nhóm SL(2,R) được phân tích thành tổngcác biểu diễn bất khả quy Do vậy công thức vết của phần rời rạc của biểu diễnchính quy được viết thành tổng các vết của từng biểu diễn bất khả quy nhọn vàbiểu diễn hữu hạn chiều Việc tính vết của biểu diễn trên SL(2,R) quy về việctính vết của biểu diễn bất khả quy Trong bài toán tìm vết của biểu diễn trên

L2(Γ \ SL(2,R)) ta quan tâm phân tích thành phần rời rạc của biểu diễn chínhquy ra tổng các biểu diễn chuỗi rời rạc, giới hạn chuỗi rời rạc và biểu diễn hữuhạn chiều Công thức vết tương ứng cho ta vế giải tích của công thức vết theocác công trình nghiên cứu của Arthur – Selberg, Langlands, Shelstad

Các phương pháp nghiên cứu sử dụng trong luận văn là phương pháp giải tíchtính vết toán tử tích phân với hạt nhân Các kết quả chính trình bày trong luậnvăn là: Đưa ra công thức tính vết trên SL(2,R)

Cấu trúc luận văn gồm 3 chương:

Chương 1 trình bày tóm tắt một số kiến thức chuẩn bị

Chương 2 trình bày về phổ liên tục và phổ rời rạc của các toán tử tuyến tính

và công thức vết của các toán tử tích phân có nhân trên nhóm SL(2,R)

Chương 3 trình bày công thức tính vết trên SL(2,R) cho các biểu diễn chínhquy như là tổng của các vết của từng biểu diễn bất khả quy nhọn

Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi

làm luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót Tác giả mong nhận được

sự góp ý và ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc Tôi xin chân thànhcảm ơn!

Hà Nội, tháng 11 năm 2014

Học viên

Nguyễn Thị Trang

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của GS TSKH

Đỗ Ngọc Diệp Thầy đã dành nhiều thời gian quý báu của mình để kiên trì hướngdẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt cả quá trình làm luậnvăn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới người thầy củamình

Tôi cũng muốn gửi tới toàn thể các thầy cô Khoa Toán - Cơ - Tin học trườngĐại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, các thầy cô đã đảm nhậngiảng dạy hai khóa Cao học 2011 - 2013 và 2012 - 2014, đặc biệt là các thầy côtham gia tham gia giảng dạy nhóm giải tích 2011 - 2013 lời cảm ơn chân thànhđối với công lao dạy dỗ trong suốt thời gian của khóa học

Tôi xin cám ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, các anh chị em trong nhóm Caohọc Toán 2011-2013, đặc biệt là các anh chị em nhóm Giải tích đã quan tâm, giúp

đỡ, tạo điều kiện cũng như động viên tinh thần để tôi có thể hoàn thành khóahọc này

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Kí hiệu G = SL(2,R) là nhóm các ma trận vuông cấp 2 có định thức bằng 1trên trường số thực R

Trên nửa mặt phẳng H, ta có một cấu trúc Riemannian được xác định bởi

Với mỗi phần tử g ∈ G, ta có thể phân tích g duy nhất thành dạng

g = n(x)a(y)k(θ), với n(x) ∈ N, a(y) ∈ A, k(θ) ∈ K,

với I là ma trận đơn vị cấp 2 của SL(2,R).

±I là các phần tử duy nhất trong SL(2,R) cảm sinh ra ánh xạ đồng nhất trên

H, G/ {±I} là nhóm các phép biến đổi phân tuyến tính

Γ được gọi là nhóm rời rạc có diện tích hữu hạn nếu độ đo của Γ \H là hữu

Nếu Γ là có diện tích hữu hạn thì số các điểm nhọn tương đương là hữu hạn.

Biểu diễn của SL(2,R):

Định nghĩa 1.1 Cho G là một nhóm (GL(2,R) hoặc SL(2,R), E là không gianHilbert Một biểu diễn của G trong E là một đồng cấu nhóm từ G vào nhóm

GL(E) các tự đẳng cấu tuyến tính liên tục của E

π : G → GL(E),

sao cho với mỗi véc tơ v ∈ E thì ánh xạ π xác định bởi x 7→ π(x)v là ánh xạ liêntục

Biểu diễn π được gọi là unita nếu π(x) là unita với mọi x thuộc G

Định nghĩa 1.2 Cho π là biểu diễn của nhóm G trong không gian Hilbert E,

W là một không gian con của E Ta nói W là G- bất biến nếu π(x)W ⊂ W vớimọi x ∈ G

Định nghĩa 1.3 Một biểu diễn π : G → GL(E) được gọi là bất khả quy nếu E

không có không gian con bất biến nào khác ngoài {0} và E

Cho π là biểu diễn của G trong không gian Hilbert E, giả sử rẳng

E = MdEn,

trong đóEn là không gian riêng thứ n củaK =



cos θ − sin θsin θ cos θ

được gọi là toán tử tích phân có nhân với hàm hạt nhân k(z, z0).

Với σ ∈ G, ánh xạ f (z) → f (σz) xác định một toán tử tuyến tính và được kíhiệu là Tσ Một toán tử L được gọi là xác định toán tử hạt nhân bất biến nếu nógiao hoán với tất cả Tσ

Để một hàm hạt nhân k(z, z0) là toán tử bất biến thì điều kiện cần và đủ là

• Ta có một phép chiếu chính tắc: G → H = G/K, khi đó một hàm xác địnhtrên H luôn có thể xem như một hàm trên G Nói riêng, cặp điểm bất biếnxác định hàm k(g, g0) trên G × G Tồn tại một hàm F trên G sao cho

F (g0−1g) = k(g, g0),

và hàm F có tính chất đặc biệt

F (kgk0) = F (g) với mọi k, k0 ∈ K

Nói cách khác, F là hàm không đổi trên tất cả các lớp kép KgK

Ngược lại, bất kì hàm F nào trên G không đổi trên mọi lớp kép KgK đềuthu được bằng cách này Ta sẽ định nghĩa hàm trên các cặp điểm bất biếntrên H bởi k(g, g0) = F (g0−1g)

Nếu f là một hàm trên H được xem như một hàm trên G Khi đó

Định lí 1.1 Cho f (z) là hàm trên H thỏa mãn 4f = λf, trong đó 4 là toán

tử Laplace, λ là số phức và cho L là toán tử tích phân bất biến Khi đó, tồn tạihằng số ΛL(λ) chỉ phụ thuộc vào L và λ và không phụ thuộc vào hàm riêng lẻ f

nào sao cho Lf = ΛL(λ)f

Định lí 1.2 Cho f (z) là hàm trên H với hàm riêng của toán tử tích phân bấtbiến được xác định bởi cặp điểm bất biến k(z, z0) có tính chất tương tự hàm F (g)

thuộc C∞ và có giá compact Khi đó f (z) là hàm riêng của toán tử Laplace trên

Cố định phần tử σi ∈ G = SL(2,R) sao cho σi∞ = κi và σi−1Γiσi = Γ0 với

, kí hiệu y(z) là phần ảo của z ∈ H.

Chuỗi Eisenstein Ei(z, s) của điểm nhọn κi được định nghĩa bởi :

Ei(z, s) =Xy(σi−1σz)s,

với σ ∈ Γi \ Γ trong đó s là biến phức

Chuỗi Eisenstein Ei(z, s) là các hàm hai biến z và s, trong đó z là một điểmtrên nửa mặt phẳng phức H, s là biến phức

Ei(z, s) là hàm tự đẳng cấu với biến z vì vậy Ei(z, s) là bất biến đối với nhóm

Γ nào đó của phép biến đổi phân tuyến tính Nói cách khác Ei(σz, s) = Ei(z, s),với σ ∈ Γ

Định nghĩa 1.6 Cho Γ là nhóm rời rạc, hàm f (z) được gọi là hàm tự đẳng cấutrên Γ nếu f (σz) = f (z) với ∀σ ∈ Γ

Định nghĩa 1.7 (Khai triển Fourier của hàm tự đẳng cấu tại một điểm nhọn).Nếu κ là điểm nhọn của Γ thì tồn tại σ0 ∈ G sao cho σ0∞ = κ sao cho

σ0−1Γκσ0 = Γ0, trong đó Γκ = {σ ∈ Γ| σκ = κ} là nhóm con dừng của κ trong Γ.Nếu f (z) là hàm tự đẳng cấu thì khi đó f (σ0z) là hàm tuần hoàn với chu kì 1,tức là

Định nghĩa 1.8 (Khai triển Fourier của chuỗi Eisenstein tại một điểm nhọn).

Kí hiệu Γ là nhóm rời rạc có diện tích hữu hạn và {κ1, κ2, , κh} là tập đầy

đủ các điểm nhọn không tương đương thuộc Γ

Khai triển Fourier của Ei(z, s) tại κj, (j = 1, 2, , h) được cho bởi dạng

Ở đây Ks là hàm Bessel định nghĩa bởi:

Ma trận Φ(s) = (ϕij(s)) của các hàm xuất hiện trong các hệ số của khai triểnFourier của chuỗi Eisenstein được gọi là ma trận số hạng hằng hệ số tự do Matrận số hạng hằng là một ma trận đối xứng

Chương 2

Kí hiệu Γ là nhóm rời rạc có diện tích hữu hạn và {κ1, κ2, , κh} là tập đầy

đủ các điểm nhọn không tương đương thuộc Γ

Ta kí hiệu ψ(a(y)i) bởi ψ(y), vì vậy ψ(z) = ψ(y(z)), ∀y(z) = Im z Giá trị

Lψ(i, s) sẽ được kí hiệu đơn giản là Lψ(s), khi đó ta có

Với mỗi hàm ψ(z) ở trên, ta đặt

• Hàm ψ trên N \H xác định một tự đẳng cấu θi,ψ(z)

• Ta gọi hàm θi,ψ là chuỗi theta không đầy đủ

• ψ được xem như một hàm của y > 0

• ψ trong chuỗi theta không đầy đủ luôn được giả thiết là giảm nhanh cả khi

y → 0 và y → ∞ Trong trường hợp đó θi,ψ thuộc D = L2(Γ \H)

• Không gian con đóng nhỏ nhất của D chứa tất cả các θi,ψ được kí hiệu là Θ

• Không gian con đóng nhỏ nhất của D chứa các điểm nhọn với tác động Γ

Kí hiệu F (z) là một hàm trên H, F có thể được xem như một hàm trên

K \ G/K F (z) là một hàm bất biến với phép biến đổi z → σz, σ ∈ K = SO(2)

k(z, z0) là cặp điểm được xác định bởi F Nếu z = gi, z0 = g0i (g, g0 ∈ G) đặt

với f là hàm tự đẳng cấu trên nhóm rời rạc Γ

Nói cách khác, nếu f là tự đẳng cấu, tích phân xác định bởi k(z, z0) có cùngkết quả với toán tử tích phân

f →

Z

D

K(z, z0)f (z0)dz0

trên miền cơ bản, trong đó K(z, z0) = P

Định lí 2.2 Cho Γ là một nhóm rời rạc có diện tích hữu hạn; {κ1, κ1, , κh} làtập hợp đầy đủ các điểm nhọn của Γ Γi là nhóm con dừng trong Γ của κi Kíhiệu Θ là không gian đầy đủ của chuỗi theta, D = Θ ⊕D00 là phân tích trực giao

Tiếp theo ta chỉ ra D00 = D0 và không gian Θ của các chuỗi theta không đầy

đủ chứa một số hữu hạn các tổ hợp tuyến tính chỉ phụ thuộc vào các hàm riêngcủa 4 Điều này có nghĩa là 4 chỉ có một phổ rời rạc trong D00 = D0, và tất cảcác phổ liên tục trong Θ

Mệnh đề 2.1 Cho K(z, z0) là hạt nhân của hàm xác định bởi K(z, z0) =

P

σ∈Γ

k(z, σz0), hàm F được định nghĩa bởi cặp điểm bất biến k(z, z0) thuộc C∞

và có giá compact, Γ là nhóm rời rạc có diện tích hữu hạn, {κ1, κ2, , κh} là họđầy đủ các điểm nhọn trên biên của miền cơ bản D của Γ, H(z, z0) xác định nhưĐịnh lý 2.2 Khi đó

K∗(z, z0) = K(z, z0) − H(z, z0) bị chặn trên D × D

Định lí 2.4 Cho Γ là nhóm rời rạc có diện tích hữu hạn D00 là không gian gồmcác hàm tự đẳng cấu trên Γ với mỗi số hạng hằng của khai triển Fourier bằng0 tại

các điểm nhọn Khi đó D00 trùng với không gian con đóng D0 của D = L2(Γ \H)

xác định bởi các điểm nhọn

Chứng minh

Kí hiệu L là toán tử tích phân bất biến được định nghĩa bởi các cặp điểm bấtbiến k(z, z0) thuộc C∞, có giá compact theo biến z khi cố định biến z’ Khi đó,theo Định lý 2.3 ta có LD00 ⊂ D00 Theo mệnh đề 2.1, hàm hạt nhân K∗ đượcđịnh nghĩa là toán tử compact ta có

Theo Định lý 1.2 ta có D00 ≡D0

Phổ của 4 trong Θ là liên tục trừ trường hợp Θ có thể chứa một số hữu hạncác hàm riêng không phụ thuộc tuyến tính, các hàm riêng này không phải dạngnhọn Trường hợp này được trình bày trong định lý sau:

Định lí 2.5 Cho Γ là nhóm con rời rạc có diện tích hữu hạn và {κ1, κ2, , κh}

là tập đầy đủ các điểm nhọn không tương đương của Γ bΘ là không gian con củakhông gian Θ của các chuỗi theta không đầy đủ xác định bởi hàm riêng của 4

trong Θ Khi đó, Θ được xác định bởi thặng dư của chuỗi Eisenstein Ei(z, s) tạicác điểm nhọn κi và tại các cực của φ(s) trên khoảng 1

Ngược lại, lấy f là một phần tử của Θ thỏa mãn 4f = λf Khi đó, số hạnghằngai,0(y)trong khai triển Fourier củaf (z)tạiκi có dạngciy1−S0

Hơn nữa, giả sử det

Định lí 2.6 Cho Γ là nhóm rời rạc có diện tích hữu hạn, Θ là không gian conđóng của D = L2(Γ \H) được xác định bởi chuỗi theta không đầy đủ, và D0 làkhông gian con đóng của D được xác định bởi các điểm nhọn Ngoài ra, cho bΘ làkhông gian con hữu hạn chiều của Θ xác định bởi thặng dư của chuỗi Eisensteintại các cực điểm trên nửa khoảng (12; 1], và cho Θ0 là phần bù trực giao của bΘ

trong Θ Khi đó, D là tổng trực giao của Θ0,Θb và D0 Phổ của toán tử 4 là rờirạc trong bΘ và D0, và liên tục trong Θ0

Ta biết rằng nếu 4 = λf với 4 = y2

y(z)y(z0) là một cặp điểm bất biến.

Hơn nữa, ta có t = eu+ e−u − 2(t > 0) và u = lnt + 2 +

√

t2 − 4t

Vì mỗi cặp điểm bất biến k(z, z0) là một hàm của u, đó cũng là một hàm của

t Ngoài ra, tương ứng 1-1 giữa các cặp điểm bất biến k(z, z0) và các hàm k(t)

của biến số thực dương được thiết lập bởi công thức:

Định lí 2.7 Cho k(t) là hàm biến thực dương và đặt

du, ở đây e(x) = e2πix,

là phép biến đổi Selberg của k

Bây giờ tính d

du vào đẳng thức Khi đó, kết quả vế trái là

− 1π

ddu

Định lí 2.9 Cho Γ là nhóm rời rạc của dạng hữu hạn; {κ1, κ2, , κh} là tập đầy

đủ các điểm nhọn không tương đương của Γ và cho Ei(z, s) là chuỗi Eisensteintại κi Cho k(z, z0) = k(t(z, z0)) là cặp điểm bất biến và h(r) là phép biến đổiSelberg của k Hơn nữa, đặt

trong đó K(z, z0) = P

σ∈Γ

k(z, σz0) bị chặn trên Γ \H, k(t) ∈ C∞, và có giá compacttrong tập các số thực dương

Từ định lý trên toán tử tích phân được xác định bởi hàm hạt nhân bH(z, z0)

cho ta một phân tích rõ ràng của phổ liên tục của toán tử tích phân được cho bởihàm hạt nhân K(z, z0) Phân tích này tương tự biểu thức của hàm hạt nhân củadạng Hilbert - Schmidt cho bởi chuỗi gồm các hàm riêng và các giá trị riêng

Ta đi đến sự giải thích cho sự tồn tại công thức rõ ràng của phân tích phổ chohàm f (z) ∈ L2(Γ \H), công thức này tương tự phân tích phổ của toán tử tíchphân bất biến

Để đơn giản, ta giả sử Γ là nhóm rời rạc có diện tích hữu hạn rút gọn tại ∞

và ∞ là điểm nhọn duy nhất của Γ Xét D = Θ0 ⊕Θ ⊕b D0 là phân tích của

D = L2(Γ \H) cho bởi định lý 2.6, và giả thiết θψ ∈ Θ0 Khi đó ta có

Z

Res= 1 2

Vì vậy, ta có công thức tổng Poisson

Tiếp theo ta luôn kí hiệu G = SL(2,R)

Công thức tổng Poisson cho SL(2,R)



Kí hiệu căn lũy đơn của G bởi N =



1 x

0 1



Định nghĩa 2.1 Cho Γ ⊆ SL(2,Z) là nhóm con số học của SL(2,R) Cho

Định nghĩa 2.2 Một hàm f :H →C được gọi là tự đẳng cấu nếu thỏa mãn các

điều kiện sau:

2 Không gian oL2(Γ \H) được phân tích thành tổng trực tiếp của các khônggian con SL(2,R)−bất biến.

oL2(Γ \H) =M

n6=0

HnMH+0 MH−0,

trong mỗi Hn nhóm SL(2,R) tác động như một biểu diễn bất khả quy

3 Không gian Θ ⊂ L2cont(Γ \H) chỉ chứa phổ liên tục của toán tử Laplace.Định nghĩa 2.3 Một hàm ϕ : SL(2,R) → C được gọi là tự đẳng cấu nếu nó

thỏa mãn các điều kiện sau:

cho ta không gian các dạng tự đẳng cấu A(Γ \H) trên Γ \H và không gian các

dạng tự đẳng cấu A(Γ \ SL(2,R)) trên Γ \ SL(2,R)

Định lí 2.11 Cho g = n(x)a(y)k(θ), với n(x) ∈ N, a(y) ∈ A, k(θ) ∈ K, làphân tích Iwasawa G = N AK, f là dạng tự đẳng cấu trên Γ \ G, khi đó hàm liênhợp

fH(z) = yn2f (g)e(−nθ

2π)

được định nghĩa trên nửa mặt phẳng Poincaré H

Ngược lại, nếu fH là dạng tự đẳng cấu trên H thì hàm

2 Nếu πis ∈ Cs, 0 < s < 1 là một biểu diễn của chuỗi đầy đủ thì đặc trưng

trong đó λg là giá trị riêng có giá trị tuyệt đối lớn nhất

Ta quan tâm đến trường hợp nhóm thương Γ \ SL(2,R) là compact Cho

χ(γ) là biểu diễn hữu hạn chiều của Γ Kí hiệu T IndSL(2,R)Γ χ là biểu diễncủa SL(2,R) được cảm sinh từ Γ bởi χ Mỗi biểu diễn của chuỗi rời rạc phânloại trong phân tích phổ thành bội hữu hạn và mỗi biểu diễn chính quy của

SL(2,R) được phân tích thành tổng của các đặc trưng trong trường hợp đượcphân loại và ta có

T race(γs)sinπsk e

− iπsn k

có một bội hữu hạn, và một phần tổng trực tiếp với biểu diễn chuỗi chính và biểudiễn chuỗi đầy đủ

Chương 3

Cho L2(Γ \ G) là không gian các hàm tự đẳng cấu có bình phương khả tíchtrên G = SL(2,R) Khi đó Tg0 : f (g) → f (gg0) là một biểu diễn Unita của Gtrong D và được gọi là biểu diễn chính quy của G trong D

Trên L2(Γ \ G) có một biểu diễn chính quy tự nhiên R của G cho bởi côngthức

θi,ψ(z) = X

σ∈Γi\Γ

ψ(σ−1i σz)

Kí hiệu Θ =< θt,ψ| ∀ψ, t >⊂ L2(Γ \ H) là không gian các θ−chuỗi không đầy

đủ Ta biết rằng phần bù trực giao Θ⊥ của Θ trong L2(Γ \H) là đẳng cấu vớikhông gian D0 các dạng nhọn Parabolic (hay nói cách khác là không gian cácdạng tự đẳng cấu với các số hạng hằng Fourier của các biểu diễn tự đẳng cấu là0), D = Θ ⊕D0

Xét đại số Hecke H(SL(2,R)) của tất cả các toán tử tích chập Hecke có dạngnhư sau Cho F : H →C là một hàm K - bất biến hai phía với các phép biến đổi

có dạng z 7→ γz, ∀γ ∈ Γ Các toán tử Hecke có hạt nhân xác định như sau Với

... đến trường hợp nhóm thương Γ \ SL( 2,R) compact Cho

χ(γ) biểu diễn hữu hạn chiều Γ Kí hiệu T IndSL( 2 ,R)< /sup>Γ χ biểu diễncủa SL( 2,R) cảm sinh từ Γ... class="page_container" data-page="29">

Vì vậy, ta có cơng thức tổng Poisson

Tiếp theo ta ln kí hiệu G = SL( 2,R)

Công thức tổng Poisson cho SL( 2,R)



Kí hiệu lũy... data-page="8">

Nếu Γ có diện tích hữu hạn số điểm nhọn tương đương hữu hạn.

Biểu diễn SL( 2,R):

Định nghĩa 1.1 Cho G nhóm (GL(2,R) SL( 2,R), E không gianHilbert