Vế giải tích của công thức vết trên SL (2, r)

Mục lục Mở đầu 2 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Cấu trúc của SL(2, R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Toán tử bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Chuỗi Eisenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Khai triển Fourier của hàm tự đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Lý thuyết phổ của L 2 (Γ \ SL(2, R)) 13 2.1 Chuỗi Theta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Phổ liên tục và phổ rời rạc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Phổ liên tục và chuỗi Eisenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4 Công thức tổng Poisson: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 Công thức tính vết trên SL(2, R) 34 3.1 Phân tích phổ của biểu diễn chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2 Công thức tính vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 1 Mở đầu Biểu diễn của SL(2, R) mà chúng tôi quan tâm trong luận văn này gồm các chuỗi biểu diễn bất khả quy và biểu diễn trong L 2 (Γ \ SL(2, R). Trong đó các chuỗi biểu diễn bất khả quy bao gồm biểu diễn chuỗi chính, biểu diễn chuỗi rời rạc, giới hạn chuỗi rời rạc, biểu diễn hữu hạn chiều và biểu diễn tầm thường. Biểu diễn được xác định duy nhất nhờ vết của biểu diễn. Biểu diễn chính quy được phân tích thành tổng rời rạc và tích phân liên tục các biểu diễn bất khả quy. Phần rời rạc của biểu diễn chính quy của nhóm SL(2, R) được phân tích thành tổng các biểu diễn bất khả quy. Do vậy công thức vết của phần rời rạc của biểu diễn chính quy được viết thành tổng các vết của từng biểu diễn bất khả quy nhọn và biểu diễn hữu hạn chiều. Việc tính vết của biểu diễn trên SL(2, R) quy về việc tính vết của biểu diễn bất khả quy. Trong bài toán tìm vết của biểu diễn trên L 2 (Γ \ SL(2, R)) ta quan tâm phân tích thành phần rời rạc của biểu diễn chính quy ra tổng các biểu diễn chuỗi rời rạc, giới hạn chuỗi rời rạc và biểu diễn hữu hạn chiều. Công thức vết tương ứng cho ta vế giải tích của công thức vết theo các công trình nghiên cứu của Arthur – Selberg, Langlands, Shelstad. Các phương pháp nghiên cứu sử dụng trong luận văn là phương pháp giải tích tính vết toán tử tích phân với hạt nhân. Các kết quả chính trình bày trong luận văn là: Đưa ra công thức tính vết trên SL(2, R). Cấu trúc luận văn gồm 3 chương: Chương 1 trình bày tóm tắt một số kiến thức chuẩn bị. Chương 2 trình bày về phổ liên tục và phổ rời rạc của các toán tử tuyến tính và công thức vết của các toán tử tích phân có nhân trên nhóm SL(2, R). Chương 3 trình bày công thức tính vết trên SL(2, R) cho các biểu diễn chính quy như là tổng của các vết của từng biểu diễn bất khả quy nhọn. Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi 2 làm luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý và ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 11 năm 2014. Học viên Nguyễn Thị Trang 3 Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của GS. TSKH. Đỗ Ngọc Diệp. Thầy đã dành nhiều thời gian quý báu của mình để kiên trì hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt cả quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới người thầy của mình. Tôi cũng muốn gửi tới toàn thể các thầy cô Khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, các thầy cô đã đảm nhận giảng dạy hai khóa Cao học 2011 - 2013 và 2012 - 2014, đặc biệt là các thầy cô tham gia tham gia giảng dạy nhóm giải tích 2011 - 2013 lời cảm ơn chân thành đối với công lao dạy dỗ trong suốt thời gian của khóa học. Tôi xin cám ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, các anh chị em trong nhóm Cao học Toán 2011-2013, đặc biệt là các anh chị em nhóm Giải tích đã quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện cũng như động viên tinh thần để tôi có thể hoàn thành khóa học này. 4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Cấu trúc của SL(2, R) Kí hiệu G = SL(2, R) là nhóm các ma trận vuông cấp 2 có định thức bằng 1 trên trường số thực R. G = SL(2, R) =  a b c d  | a, b, c, d ∈ R, ad − bc = 1  . Kí hiệu H là nửa trên của mặt phẳng phức (còn được gọi là nửa mặt phẳng Poincaré): H = {x + iy, x, y ∈ R, y > 0}. Kí hiệu K = SO(2) =  g ∈ SL(2, R) : g t g = 1  =  cos θ −sin θ sin θ cos θ  | θ ∈ R  . là nhóm con đóng lớn nhất của SL(2, R). Nhóm G tác động lên H bởi phép biến đổi phân tuyến tính: z → gz = az + b cz + d , với g =  a b c d  ∈ G, z ∈ H. Ánh xạ G → H đồng nhất G/K với H g → gi 5 Trên nửa mặt phẳng H, ta có một cấu trúc Riemannian được xác định bởi ds 2 = 1 y 2 (dx 2 + dy 2 ), đây là tích vô hướng duy nhất G-bất biến trên H. Metric cho ta độ đo G-bất biến trên H được hiểu là dz = 1 y 2 dxdy. Các phần tử của G: Xét |g − λI| = 0, với g ∈ G, I là ma trận đơn vị cấp 2, λ là giá trị riêng nếu có của g. Ta có:     a − λ b c d − λ     = 0 ⇔ λ 2 − (a + d)λ + ad − bc = 0 ⇔ λ 2 − tr(g)λ + 1 = 0, với tr(g) = a + d. • Nếu |tr(g)| < 2 thì g được gọi là elliptic và g có dạng chuẩn Jordan là  ε 0 0 ε  , ε ∈ C, |ε| = 1. • Nếu |tr(g)| = 2 thì g được gọi là parabolic và g có dạng chuẩn Jordan là  1 x 0 1  , x ∈ R. • Nếu |tr(g)| > 2 thì g được gọi là hyperbolic và g có dạng chuẩn Jordan là  t 0 0 t −1  , t ∈ R. Phân tích Iwasawa: Với mỗi phần tử g ∈ G, ta có thể phân tích g duy nhất thành dạng g = n(x)a(y)k(θ), với n(x) ∈ N, a(y) ∈ A, k(θ) ∈ K, 6 trong đó N =  1 x 0 1  , x ∈ R  , A =  √ y 0 0 √ y −1  , y ∈ R, y > 0  , K =  cos θ −sin θ sin θ cos θ  , θ ∈ [0, 2π]  . Ta có G = NAK. Phân tích Cartan: Với mỗi phần tử g ∈ G, tồn tại k(θ), k(θ  ) ∈ K và a(y) ∈ A, sao cho g = k(θ)a(y)k(θ  ). Ta có G = KAK. Nhóm rời rạc: Một nhóm rời rạc là nhóm con, rời rạc của nhóm P SL(2, R) = G/ {±I}, với I là ma trận đơn vị cấp 2 của SL(2, R). ±I là các phần tử duy nhất trong SL(2, R) cảm sinh ra ánh xạ đồng nhất trên H, G/ {±I} là nhóm các phép biến đổi phân tuyến tính. Γ được gọi là nhóm rời rạc có diện tích hữu hạn nếu độ đo của Γ \ H là hữu hạn. Điểm nhọn: Kí hiệu Γ là một nhóm con rời rạc của nhóm P SL(2, R). Cho κ là số thực hoặc ∞ và Γ κ là nhóm con dừng của κ trong Γ: Γ κ = {σ ∈ Γ|σκ = κ}. Khi đó ta gọi κ là một điểm nhọn của R nếu Γ κ được sinh bởi một phần tử parabolic. Các điểm nhọn tương đương là các tương ứng một - một của các lớp liên hợp của nhóm con cực đại của Γ có một phần tử parabolic là phần tử sinh. 7 Nếu Γ là có diện tích hữu hạn thì số các điểm nhọn tương đương là hữu hạn. Độ đo trên G: Cho γ ∈ G, nhóm tâm hóa của phần tử γ trong G, kí hiệu là G γ , G γ =  g ∈ G|g −1 γg = γ  . Một độ đo µ trên G γ \G được gọi là G- bất biến phải nếu µ(Ax) = µ(A) với mọi tập Borel A trong G γ \G và mọi x ∈ G. Độ đo G- bất biến trái được định nghĩa tương tự. Một độ đo µ trên G gọi là độ đo Haar nếu nó bất biến dưới tác động của G. Biểu diễn của SL(2, R): Định nghĩa 1.1. Cho G là một nhóm (GL(2, R) hoặc SL(2, R), E là không gian Hilbert. Một biểu diễn của G trong E là một đồng cấu nhóm từ G vào nhóm GL(E) các tự đẳng cấu tuyến tính liên tục của E. π : G → GL(E), sao cho với mỗi véc tơ v ∈ E thì ánh xạ π xác định bởi x → π(x)v là ánh xạ liên tục. Biểu diễn π được gọi là unita nếu π(x) là unita với mọi x thuộc G. Định nghĩa 1.2. Cho π là biểu diễn của nhóm G trong không gian Hilbert E, W là một không gian con của E. Ta nói W là G- bất biến nếu π(x)W ⊂ W với mọi x ∈ G. Định nghĩa 1.3. Một biểu diễn π : G → GL(E) được gọi là bất khả quy nếu E không có không gian con bất biến nào khác ngoài {0} và E. Cho π là biểu diễn của G trong không gian Hilbert E, giả sử rẳng E =   E n , trong đó E n là không gian riêng thứ n của K =  cos θ −sin θ sin θ cos θ  , θ ∈ [0, 2π]  . Phần tử v ∈ E là K- hữu hạn nếu π(K)v sinh ra một không gian hữu hạn chiều. 8 1.2 Toán tử bất biến Tiếp theo chúng ta sẽ nghiên cứu không gian Hilbert các hàm bình phương khả tích trên D = Γ \ H. Nếu độ đo của D hữu hạn thì các hằng số là các phần tử của L 2 (Γ \ H). Định nghĩa 1.4. Toán tử tích phân được định nghĩa bởi (Lf)(z) =  H k(z, z  )f(z  )dz  , được gọi là toán tử tích phân có nhân với hàm hạt nhân k(z, z  ). Với σ ∈ G, ánh xạ f(z) → f(σz) xác định một toán tử tuyến tính và được kí hiệu là T σ . Một toán tử L được gọi là xác định toán tử hạt nhân bất biến nếu nó giao hoán với tất cả T σ . Để một hàm hạt nhân k(z, z  ) là toán tử bất biến thì điều kiện cần và đủ là k(σz, σz  ) = k(z, z  ), ∀σ ∈ G. Ta có  = y 2  ∂ 2 ∂x 2 + ∂ 2 ∂y 2  là toán tử vi phân G - bất biến trên H có bậc thấp nhất và mọi toán tử vi phân G - bất biến trên H là một đa thức của  với các hệ số hằng. • Ta có một phép chiếu chính tắc: G → H = G/K, khi đó một hàm xác định trên H luôn có thể xem như một hàm trên G. Nói riêng, cặp điểm bất biến xác định hàm k(g, g  ) trên G × G. Tồn tại một hàm F trên G sao cho F (g −1 g) = k(g, g  ), và hàm F có tính chất đặc biệt F (kgk  ) = F (g) với mọi k, k  ∈ K. Nói cách khác, F là hàm không đổi trên tất cả các lớp kép KgK. Ngược lại, bất kì hàm F nào trên G không đổi trên mọi lớp kép KgK đều thu được bằng cách này. Ta sẽ định nghĩa hàm trên các cặp điểm bất biến trên H bởi k(g, g  ) = F (g −1 g). 9 Nếu f là một hàm trên H được xem như một hàm trên G. Khi đó  H k(z, z  )f(z  )dz  =  G f(g  )F (g −1 g)dg  =  G f(gg  )F (g −1 )dg  , trong đó dg  là độ đo Haar trên G sao cho độ đo của K được chuẩn hóa là 1. Điều này có nghĩa là toán tử tích phân được xác định bởi k là ánh xạ f → f ∗ F , trong đó ∗ là kí hiệu tích chập trên G. Ta có σ =  a b c d  ∈ G, nghịch đảo của σ là σ −1 =  d −b −c a  , ta thấy rằng KgK = Kg −1 K, với ∀g ∈ G. Do mỗi hàm F trên G là hàm không đổi trên mọi lớp kép KgK nên ta có F (g) = F (g −1 ). Bây giờ chúng ta đưa ra hai định lý quan trọng là hàm riêng của toán tử Laplace là hàm riêng của toán tử tích phân bất biến. Định lí 1.1. Cho f(z) là hàm trên H thỏa mãn f = λf, trong đó  là toán tử Laplace, λ là số phức và cho L là toán tử tích phân bất biến. Khi đó, tồn tại hằng số Λ L (λ) chỉ phụ thuộc vào L và λ và không phụ thuộc vào hàm riêng lẻ f nào sao cho Lf = Λ L (λ)f. Định lí 1.2. Cho f(z) là hàm trên H với hàm riêng của toán tử tích phân bất biến được xác định bởi cặp điểm bất biến k(z, z  ) có tính chất tương tự hàm F (g) thuộc C ∞ và có giá compact. Khi đó f(z) là hàm riêng của toán tử Laplace trên H. Xem [3]. 1.3 Chuỗi Eisenstein Định nghĩa 1.5. (Chuỗi Eisenstein) Cho Γ là nhóm con rời rạc có diện tích hữu hạn tác động lên nửa trên của mặt phẳng phức và cho {κ 1 , κ 2 , , κ h } là tập tất cả các điểm nhọn của Γ đôi một không tương đương. Tập hợp này được gọi là tập các điểm nhọn không tương đương. Cho Γ i là nhóm con dừng của κ i trong Γ, khi đó: Γ i = {σ ∈ Γ|σκ i = κ i }. 10 [...]... Phần rời rạc của biểu diễn chính quy của SL( 2, R) trong không gian L2 (Γ \ SL( 2, R)) là toán tử unita và được phân tích thành tổng trực tiếp của biểu diễn chuỗi rời rạc và giới hạn của biểu diễn chuỗi rời rạc, mỗi thành phần có một bội hữu hạn, và một phần tổng trực tiếp với biểu diễn chuỗi chính và biểu diễn chuỗi đầy đủ 33 Chương 3 Công thức tính vết trên SL( 2, R) 3.1 Phân tích phổ của biểu diễn... được xác định bởi toán tử tích phân f → K(z, z )f (z )dz với D D = Γ \ H Hằng số K(z, z)dz được gọi là vết của toán tử tích phân Nó được D chỉ ra bởi Selberg, vết này có thể thu gọn thành tổng các phần tương ứng với các lớp liên hợp của Γ và mỗi phần của công thức vết được biểu thị bởi công thức đơn giản qua phép biến đổi Selberg h của k 2.4 Công thức tổng Poisson: Công thức tổng Poisson ∞ Xét trường... hợp các biểu diễn chuỗi rời rạc tới tập L2 (Γ \ SL( 2, R)) các biểu diễn tự đẳng cấu của SL( 2, R) bằng tập cusp Sk (Γ) của các dạng modular HomSL(2 ,R) (Dk , L2 (Γ \ SL( 2, R)) ) = Sk (Γ) cusp Từ các lý luận trên ta có định lý về phân tích phổ của thành phần rời rạc của các biểu diễn chính quy Định lí 3.2 (Phân tích phổ) Trong không gian biểu diễn cảm sinh của Ind chọn cos θ − sin θ Hn = f ∈ H| π sin θ... mỗi biểu diễn chính quy của SL( 2, R) được phân tích thành tổng của các đặc trưng trong trường hợp được phân loại và ta có T race T | L2 (SL( 2 ,R)) = ± mπ T race πn + +∞ −∞ 1 ± T race πs ds+ T race πis ds 0 ± 4 Số bội m± là số các biểu diễn πn của chuỗi rời rạc Dn phân loại thành các n biểu diễn chính quy của SL( 2, R) được tính toán theo công thức sau   k−1  νvol(Γ \ SL( 2, R)) 1 T race(γ s ) − iπsn... Phân tích này tương tự biểu thức của hàm hạt nhân của dạng Hilbert - Schmidt cho bởi chuỗi gồm các hàm riêng và các giá trị riêng Ta đi đến sự giải thích cho sự tồn tại công thức rõ ràng của phân tích phổ cho hàm f (z) ∈ L2 (Γ \ H), công thức này tương tự phân tích phổ của toán tử tích phân bất biến Để đơn giản, ta giả sử Γ là nhóm rời rạc có diện tích hữu hạn rút gọn tại ∞ và ∞ là điểm nhọn duy nhất của. .. en = e2πin , n ∈ Z, R(f ) = f (n)en (f là biến đổi Fourier của f) Do đó traceR(f ) = f (n) n∈Z 28 Vì vậy, ta có công thức tổng Poisson f (n) = f (n) n∈Z n∈Z Tiếp theo ta luôn kí hiệu G = SL( 2, R) Công thức tổng Poisson cho SL( 2, R) Xét nhóm con B của nhóm SL( 2, R) 1 B= y− 2 x g= 1 0 y2 Đây là nhóm con đẳng cấu với nhóm các phép biến đổi afin của đường thẳng thực với đẳng cấu (y, x) → (a, b) 1 a = y... rời rạc có diện tích hữu hạn, khi đó: 1 Các biểu diễn chính quy của SL( 2, R) trong không gian o L2 (Γ \ H) của các hàm có điểm nhọn được phân tích thành tổng trực tiếp các biểu diễn Unita của không gian các hàm tự đẳng cấu 30 2 Không gian o L2 (Γ \ H) được phân tích thành tổng trực tiếp của các không gian con SL( 2, R) bất biến o L2 (Γ \ H) = Hn + H0 − H0 , n=0 trong mỗi Hn nhóm SL( 2, R) tác động như... dạng tự đẳng cấu trên Γ \ SL( 2, R) f → ϕf (g) = f (gi) cho ta không gian các dạng tự đẳng cấu A(Γ \ H) trên Γ \ H và không gian các dạng tự đẳng cấu A(Γ \ SL( 2, R)) trên Γ \ SL( 2, R) Định lí 2.11 Cho g = n(x)a(y)k(θ), với n(x) ∈ N, a(y) ∈ A, k(θ) ∈ K, là phân tích Iwasawa G = N AK , f là dạng tự đẳng cấu trên Γ \ G, khi đó hàm liên hợp n nθ fH (z) = y 2 f (g)e(− ) 2π được định nghĩa trên nửa mặt phẳng... b Ta biết phân tích Iwasawa, với mỗi phần tử g = c d của SL( 2, R) ta có: 1 a b y− 2 x 1 c d = 0 y2 cosθ −sinθ sinθ cosθ 1 y− 2 0 = 1 0 y2 Kí hiệu căn lũy đơn của G bởi N = 1 x 0 1 1 x 0 1 29 cosθ −sinθ sinθ cosθ Định nghĩa 2.1 Cho Γ ⊆ SL( 2, Z) là nhóm con số học của SL( 2, R) Cho H = {z ∈ C | Im(z) > 0} là nửa mặt phẳng Poincaré Một hàm được gọi là có điểm nhọn nếu với mỗi g ∈ SL( 2, R) thì f Γ∪N \N... biểu diễn của chuỗi rời rạc thì đặc trưng T race πn có dạng ± T race πn = λ−n einθ λg − λ−1 e±iθ − e g iθ trong đó λg là giá trị riêng có giá trị tuyệt đối lớn nhất Ta quan tâm đến trường hợp nhóm thương Γ \ SL( 2, R) là compact Cho SL( 2 ,R) χ(γ) là biểu diễn hữu hạn chiều của Γ Kí hiệu T IndΓ χ là biểu diễn của SL( 2, R) được cảm sinh từ Γ bởi χ Mỗi biểu diễn của chuỗi rời rạc phân loại trong phân tích phổ . vậy công thức vết của phần rời rạc của biểu diễn chính quy được viết thành tổng các vết của từng biểu diễn bất khả quy nhọn và biểu diễn hữu hạn chiều. Việc tính vết của biểu diễn trên SL( 2, R). giới hạn chuỗi rời rạc và biểu diễn hữu hạn chiều. Công thức vết tương ứng cho ta vế giải tích của công thức vết theo các công trình nghiên cứu của Arthur – Selberg, Langlands, Shelstad. Các phương. kiến thức chuẩn bị. Chương 2 trình bày về phổ liên tục và phổ rời rạc của các toán tử tuyến tính và công thức vết của các toán tử tích phân có nhân trên nhóm SL( 2, R). Chương 3 trình bày công thức