3 Công thức tính vết trên SL(2,R)
3.2 Công thức tính vết
Vết của hạn chế của biểu diễn chính quy trên tập dạng nhọn parabolic cho ta vế phổ của công thức vết. Ta có định lý về vế phổ của công thức vết:
Định lí 3.3. Với mỗi hàmf ∈ C∞0 (SL(2,R))có giá compact toán tử R(f)|L2
cusp(Γ\SL(2,R))
của lớp vết và mỗi thành phần bất khả quy là bội hữu hạn R(f)|L2
cusp(Γ\SL(2,R)) = X
π∈A(SL(2,R))
m(πn±)π±n(f), trong đó
m(πn±) = dimCHomSL(2,R) Dk, L2cusp(Γ\SL(2,R). Xem [2].
Cho G = SL(2,R), Γ là nhóm con rời rạc của G sao cho Γ\G là compact, và R là biểu diễn chính quy phải của G trên L2(Γ\G). Cho f ∈ C∞(G) và định nghĩa R(f)φ(x) = RGf(xy)φ(y)dy. Bằng tính toán ta có R(f)φ(x) = Z G f(xy)φ(y)dy = Z G f(y)φ(x−1y)dy = Z Γ\G X γ∈Γ f(y)φ(x−1γy)dy. Vì vậy R(f)φ(x) = Z Γ\G K(x, y)φ(y)dy, trong đóK(x, y) = P γ∈Γ
φ(x−1γy).Tổng này là hữu hạn và K ∈ C∞(Γ\G×Γ\G). Do đó R(f) là một toán tử tích phân với hạt nhân K(x, y) và R(f) là lớp vết. Để tính vết của R(f) ta quan tâm tới vết của biểu diễn trên L2(Γ \G). Trong bài toán tìm vết của biểu diễn trên L2(Γ\G) ta quan tâm phân tích thành phần rời rạc thành tổng trực tiếp của các biểu diễn bất khả quy nhọn của G, xuất hiện với mỗi bội số hữu hạn. Vì vậy
T raceR(f) = X
π∈Gb
m(π)T raceπ(f),
trong đó Gb là đối ngẫu unita của G, m(π) là bội số của π và T raceπ(f) là vết của toán tử π(f) = R
nhất bởi hạn chế của nó trên nhóm con đóng lớn nhất K = SO(2) và bằng SΘn = Θ
+
n −Θ−n eiθ −e−iθ.
Kết luận
Luận văn “Vế giải tích của công thức vết trên SL(2,R)” đã trình bày nội dung công thức tính vết trên SL(2,R) cho các biểu diễn chuỗi rời rạc, giới hạn chuỗi rời rạc và biểu diễn hữu hạn chiều qua các định lý.
1. Định lý 2.6 làm rõ phân tích phổ của biểu diễn chuỗi rời rạc.
2. Định lý 2.7cho ta sự mô tả chính xác về phổ liên tục của toán tử tích phân bất biến trên SL(2,R).
Tuy nhiên do thời gian thực hiện luận văn không nhiều không tránh khỏi những sai sót em rất mong được sự góp ý của thầy cô và bạn đọc.
Tài liệu tham khảo
[1] Ngô Bảo Châu, Automorphic form on GL2, Preprint.2011, Chicago Univer- sity.
[2] I. GELFAND, M. GRAEV, Y. PIATESKI-SHAPIRO, Representation The- ory and Automorphic Functions, Generalized Functions Series, Vol 6, Nauka Press, Moscow, 1969.
[3] Kubota, Tomio, Elementary Theory of Eisenstein Series, Kodansha LTD Tokyo John Wiley & Sons, New York - London - Sydney - Toronto, 1973. [4] S. Lang, SL(2,R), Springer – Verlag, New York – Berlin – Heidelberg –