Vế hình học của công thức vết trên SL (2,IR)

ì ĩ ế SL (2, R) số ữớ ữợ P ử ỡ tự ỡ ữủ SL (2, R) t t ỷ tr t ự P t s t rt G õ ứ tr G ởt số tự q q ủ õ õ s õ SL(2, R) số ộ rớ r L õ GL(2, R) SL(2, R) số s SL(2, R) số s GL(2, R) số s SL(2, R) õ s SL (2, R) t ổ tự t t t tỷ õ ổ tự tờ Pss ổ tự t t t q rữớ ủ õ ữớ rữớ ủ = r() P ổ tự t t t t ỡ t ữủ sỹ ộ ỹ t tổ ữủ sỹ ú ù tứ t ổ t tổ tọ ỏ t ỡ s s tợ ữớ t ộ ữớ trỹ t tr tử tự qt ữợ ự t t ữợ tổ t ổ t ỡ t ổ ụ t ỡ t ổ ỡ rữớ tỹ ố ỳ ữớ trỹ t ú ù tổ tr q tr t t trữớ ỡ t t ữớ t õ õ ỵ ú ù tổ tr q tr t ự t tớ tỹ ổ tự ỏ ổ tr ọ ỳ s sõt ữủ ỵ õ õ t ổ ỗ ữủ ỡ ổ t ỡ t t ỏ tr õ õ t ởt t ý r tờ t q q õ tr ổ tữỡ õ t õ rớ r õ trỏ q trồ ỵ tt t t s rở t ợ tữỡ ữỡ t rớ r q ữủ t t ộ t õ tờ t q tữỡ ự ổ tự t ự t ữ ố õ s t t q tr tữỡ ố ỡ t ữủ t r ổ tự t tr SL (2, R) ỗ ữỡ ữỡ õ tt ởt số tự ỡ ữủ trú SL(2, R) SL(2, R) số s SL(2, R) õ s SL(2, R) ữỡ r ổ tự t rớ r q tr SL(2, R) t õ tr õ s SL(2, R) t t tỷ õ ổ tự tờ Pss ổ tự t t t q ổ tự t tr SL(2, R) tớ tỹ ổ tự ỏ ổ tr ọ ỳ s sõt ữủ sỹ õ ỵ ỳ ỵ qỵ t ổ t ỡ t ữỡ tự ỡ ữủ SL (2, R) SL (2, R) õ tr ì tr trữớ số tỹ R ợ tự SL (2, R) = a b |a, b, c, d R; ad bc = c d G = SL (2, R) số G g0 = sl (2, R) ỗ tr tỹ ì õ t õ ỡ s ỗ tr H= ;X = 1 ;Y = 0 0 t t ỷ tr t ự H = {z = x + iy|x, y R, y > 0} ỷ tr t ự t t G tr H ữủ ữ s ợ ộ g = ac db G, z H t õ gz = t gz = az + b a b z= c d cz + d (az + b) (cz + d) ac|z|2 + bd + adz + bcz = |cz + d|2 |cz + d|2 ad bc = s r Im (gz) = Im (z) |cz + d|2 ổ tự t tr SL(2, R) z H t gz H t K = {g G|gi = i} õ a2 + b2 = 1, c2 + d2 = ad bc = K õ tr r() = cos sin sin cos [0, 2) P tỷ G tr r tỷ g G t ữỡ tr trữ g tr (g)2 tr (g) tr (g) + = = |tr (g) | < t g ữủ t |tr (g) | = t g ữủ r |tr (g) | > t g ữủ r P t s t rt G P t s G t õ G = KAN ợ cos sin sin cos K= u = exp (X Y ) = A= at = exp tH = et 0 et N= ns = exp sX = s | | | tR , sR õ K = S 1, A = R N = R t ợ ộ g = t s õ g = u atns tr õ a ic , et = ei = 2 a +c [0, 2) , a b c d G t ab + cd a2 + c , s = a2 + c t tữỡ tỹ G ụ ữủ t ữợ G = AN K ụ ữủ t s G r t ỏ õ t rt G G = KAK ổ tự t tr SL(2, R) õ ứ tr G G õ tỷ tr G G = g G| g g = P tỷ G tỷ ỷ ỡ q õ ứ G õ ởt ỹ tự G = T = SO(2, R) õ t ụ õ õ tữỡ G \G = {G x | x G} ởt tr G \G ữủ G t à(Ax) = à(A) ợ t r tr G \G x G G t tr ụ ữủ t tữỡ tỹ ởt tr G r õ t ữợ t G ố ợ t s G = AN K tỷ x G t õ t x = ank ợ a A, n N, k K da, dn, dk tữỡ ự r tr A, N, K õ tr G dx t õ dx = da dn dk ợ f t tr G t õ f (x)dx = G dk da K A f (ank)dn N ố ợ t rt G = KAK ợ x G t õ t x = k1ak2 f (x)dx = G KìK |t2 t2 |f (k1 at k2 )da, dk1 dk2 A tr õ k1, k2 K a A ởt số tự q q G = SL(2, R) G tỷ ỷ ỡ q G = T õ f Cc(G) q f tr q ổ tự t tr SL(2, R) ữủ ổ tự f (x1 x)dx, O (f ) = G \G tr õ dx Gt tr tữỡ G \G ủ G = SL(2, R) , G ữủ ủ tỗ t x G s = xx1 ố ợ tỷ q ỷ ỡ t õ r , G ủ tỗ t x SL(2, C) = ac db | a, b, c, d C ; ad bc = s = xx1 f Cc(G) G tỷ q õ t q f ố ợ tỷ ữủ O (f ) SO (f ) = S() r õ S() t ủ tỷ ợ ủ tr ợ ủ õ õ s õ WR õ R ữ s õ C WC = Cì õ R õ tr tr SU (2) ữủ s z 0 z w = , z Cì 1 õ SU (2) ởt õ t ợ số 22 tr tr ợ tỷ õ tự ữủ õ tr t Gal(C/R) õ s rở C/R ỗ tỷ ởt tỷ tỹ ỗ ỗ t tỷ ỏ tỹ ỗ ủ ự P tỷ w t ủ ữ tỷ ổ t tữớ tr õ (C/R) tr Cì WR Gal(C/R) ữủ w ú ỵ ổ tự t tr SL(2, R) r w2 = õ rở WC = Cì Gal(C/R) rở ổ t tữớ õ s LF LF = WR trữớ ỡ s C R LF = WR ì SL(2, C) G õ ự t G = SL(2, R) õ G = P GL(2, C) õ s Gal(C/R) t tr G q tỹ ỗ ữủ tt ỳ t õ t t õ t tữớ WR t tợ Gal(C/R) q tỹ õ õ L G = G WR SL(2, R) ởt õ GL(2, R) SL(2, R) ổ rt ởt tr ởt ỗ tứ õ tỹ t t tử GL(E) : G GL(E), s ợ tỡ v E t tứ x (x)v tử ữủ t (x) t ợ x G õ tr ổ rt ởt ổ õ t (x)W W ợ x G ởt : G GL(E) t q ổ õ ổ t {0} tr ổ rt sỷ r E= En , ổ tự t tr SL(2, R) t q ữủ GL(2, R) ợ ủ ỗ ữủ WR tr GL(2, C) ữ s (à1 , à2 ) s1 ,m1 ,s2 ,m2 ợ ài = |x|s sign(x)m i i ợ à1à2(x) = |x|2ssign(x)n+1 n tr õ à1à1 (x) = x sign(x) số s tữỡ ự ợ t ứ tự si t (à1 , à2 ) s,n số s SL(2, R) ứ s ỳ ợ tữỡ ữỡ ợ ủ t số s GL(2, R) s r s ỳ ợ tữỡ ữỡ õ t q ữủ SL(2, R) ợ ủ ỗ ữủ WR tr P GL(2, C) số õ (à) ợ ủ t số õ s,m ữủ s,m,0,0 ợ à(x) = |x|ssign(x)m số õ Dn ợ ủ t số õ n 0,n t r 0,n = 0,n tr õ = 0 ữ õ ởt t õ t số õ 0,n 0,n r r tở t õ 0,n n t số õ 0,n S t õ n S tữỡ S t tổ S0 õ ợ t ZG G n = t õ S = S {1, } n = õ S0 ởt ữ S ữủ s n n n n n n 0 ổ tự t tr SL(2, R) õ s SL (2, R) õ s õ õ tỹ r õ L H t tổ t õ ởt tỷ ỷ ỡ õ L G r tt tr ỳ ố tữủ tr tứ ữủ t t ủ ữợ tỷ = i tr õ SO(2) tr SL(2, C) ữ ỵ r tỷ ổ t tữớ õ s t tỷ a = w(w)1 = 0 s r ởt õ õ t ỗ t õ ợ H 1(C/R, SO(2)) trữ õ ữủ trữ s õ õ s SL(2, R) tữỡ ự ợ trữ õ s tữỡ ự ợ trữ t tữớ SL(2, R) tr õ õ s tữỡ ự ợ trữ ổ t tữớ t T (R) = SO(2, R) t ữỡ tr tự ỡ õ q ữỡ ữ t t t t s õ ứ ú t ỡ trú SL (2, R) t tự SL (2, R) t số õ s õ s s õ trỏ ốt tr ỹ ổ tự t tr SL (2, R) ữỡ ổ tự t ữỡ s tr t t tỷ õ ổ tự tờ Pss tứ õ t ổ tự t t t q t t tỷ õ õ t ữỡ õ rớ r R q tr L2(\G) [R(g)](x) = (xg) ợ g G, x \G ợ t õ t õ tữỡ ự số r L1 (G) ố ợ t R(f )(x) = f (x1 g)(g)dg f (g)(xg)dg = G G sỷ f Cc(G) t t t õ t t f (x1 g)(g)dg = R(f )(x) = \G Kf (x, g)(g)dg \G õ R(f ) ởt t tỷ t ợ t trỡ f (x1 g) Kf (x, g) = R(f ) ợ t õ t t t õ t t t õ t t trace R(f ) = f (x1 x)dx Kf (x, x)dx = \G \G ổ tự t tr SL(2, R) [] = { | \ } tr õ t õ tr õ t õ f (x1 x)dx = f (x1 x)dx = vol( \G ) \G \G \ f (x1 x)dx G \G õ t õ vol( \G ) O (f ) trace R(f ) = [] ổ tự t t tỷ õ õ ỏ ữủ ổ tự t rtrr ụ õ t t trace R(f ) tự t t q r Pttsr L2(\G) t rớ r t tờ trỹ t t q t ợ ộ số ỳ trace R(f ) = m()trace (f ), G tr õ G ố t m() số trace (f ) t t tỷ (f ) = G f (x)(x)dx t õ ổ tự vol( \G ) O (f ) = m()trace (f ) G [] ữ ỵ r tr tr tứ số t tở ữ ổ tở f tr õ tứ số tự tở f ổ tở ữỡ tỹ ổ tự P ố O (f ) trace (f ) t t t ữợ ủ f ởt tỷ ổ tự tờ Pss t trữớ ủ q tở G = R, = Z sỷ r f Cc(R) t tỷ t R(f ) tr L2(T ) = L2(Z\R) R(f )(x) = f (y x)(y)dy f (y)(x + y)dy = R R ổ tự t tr SL(2, R) f (y + n x)(y)dy = = Kf (x, y)(y)dy T nZ T tr õ Kf (x, y) = f (y + n x) C (T ì T ) t õ t t t R(f ) nZ trace R(f ) = Kf (x, x)dx = T f (n) nZ t t õ t õ R(f ) sỷ ỡ s trỹ en = e2in, n Z R(f ) = f(n)en f rr f õ f(n) trace R(f ) = nZ t õ ổ tự tờ Pss f(n) f (n) = nZ nZ ổ tự t t t q G = SL(2, R), = SL(2, Z) õ s õ tự H = SL(2, R) tr trữớ ủ trữ t tữớ H = SO(2, R) tr trữớ ủ ổ t tữớ t t T = SO(2, R) ởt trữ s tữỡ ự ợ õ s õ = H = SL(2, R) = H = SO(2, R) B õ r ự B ỗ tt tr t tr tr SL(2, R) õ a b a1 (1 ), B () = >0 tr õ t ữủ tr ữỡ õ r BH = B tr ự TH = T tữỡ t ợ TH T ởt t q ố ợ tỷ q T ữủ (x)f (x1 x)dx O (f ) = T \G ổ tự t tr SL(2, R) = t q t q ữủ SO (f ) õ LG LG = G WR = P GL(2, C) WR ữỡ tỹ õ LH = H WR t tổ t õ ởt tỷ ỷ ỡ tr LG P ú ữủ L H tr L G ởt G s õ ỗ : L H L G rở tỹ H ỗ t tr WR tr H sỷ õ ởt ú ữủ : L H L G õ t ợ (G, H, ) ởt trữ G,H T ợ t t s ởt số ố ợ ộ rớ r tr G õ tỗ t ởt f H tờ ủ t t số ố ợ ộ rớ r tr H s = j(H ) q tr T SOH (f H ) = G H (H , )O (f ) ợ G H (H , ) tứ số ổ tự 1 q(G)+q(H) G G,H B ( ).BH (H ) H (H , ) = (1) P f f H số õ t ữủ rở tt tr Cc(G) ữớ t rở tữỡ ự H õ ố ợ tt tỷ ỷ ỡ q tứ số ố ợ ỵ sỷ õ ởt ú ữủ : L H L G õ t tứ số G H (H , ) s ợ t f Cc (G) tỗ t ởt f H Cc (H) ợ SOH (f H ) = G H (H , )O (f ) H q ỷ ỡ SOH (f H ) = ổ tự t tr SL(2, R) H ổ = t õ s õ tự H = SL(2, R) t q t q trữớ ủ t tữớ t s ự t ỵ ố ợ SL(2, R) = õ s H = SO(2, R) tổ q sỷ t t q sỷ f trỡ õ t tr õ t q f tr q G f (x1 x)dx, O (f ) = G \G ú ỵ r t tở sỹ ỹ r tr G sỷ t r f t tự f (xk) = f (kx) ợ k K x G ú t s ự t O (f ) tr trữớ ủ rữớ ủ õ ữớ = ợ ab = a 0 b ợ ộ x G t õ t s x x = ank tr õ a= y 0 y ;n= t ; k = r() ợ y R+, t R, [0, 2) õ x1x = (ank)1(ank) = k1n1a1 ank f t f (k n1 a1 ank) = f (n1 a1 an) t a, tr ữớ ú tự n1 a1 an = n1 a1 an = n1 n õ ố ợ r t õ f (n1 n)dn O (f ) = N ổ tự t tr SL(2, R) ỡ ỳ n1 n = t 1 t a 0 b a (b a)t b = O (f ) = f a (b a)t b dt R t () = |a b| t h() = ()O (f ) = |a b| a (b a)t b f dt R t tr tợ ởt trỡ tr A õ tr õ ữớ rữớ ủ = r() ợ x G t t t rt x x = k1ak2 tr õ k1 = r(); a = y 0 y ; k2 = r() ợ y R+, , [0, 2) õ x1 x = (k1 ak2 )1 (k1 ak2 ) = k21 a1 k11 k1 ak2 f t f (k21 a1 k11 k1 ak2 ) = f (a1 k11 k1 a) t k11 k1 = r()1r()r() = r( + + ) = r() f (a1 k11 k1 a) = f (a1 a) ỡ ỳ cos sin y sin cos y cos y sin y sin cos y 0 y a1 a = = õ Or() (f ) = c.F (sin), = y cos y sin y sin y cos y 0 y ổ tự t tr SL(2, R) ợ số tở r tr õ a() = õ = a() t dt t1 a() f a() t dt t a() f = f = 1 dt a() t (1) t1 a() t f a() t d(t1 ) t1 a() dt t2 a() (t1 )1 d(t1 ) t1 a() f a() t dt + t1 a() a() t )(t2 1) t a() f a() t dt + t1 a() f f a() t 1dt t1 a() f = dt a() t |t t1 | = t a() t f = dt , t F () = a() t t1 a() |t t1 |.f F () = f a() t1 dt t a() a() t1 dt t a() (1)f ú ỵ r f t ợ t t õ f a b c a b a a c =f õ 1 a() t t a() (t 1)f F () = b a a c 1 =f dt, ợ (x) = sign(x) ự t õ t t (t 1)f A() = a() t a() dt ổ tự rr t õ F () = A() + B(), tr õ a() t t a() (t 1)g B() = dt , t =f a c b a ổ tự t tr SL(2, R) ợ trỡ g õ õ t t tr õ O(u)1 r t ữợ tr s t tử tt ố ú ỵ r A() = ||1 ()u f du 2f 0 + o() ứ B() õ t ổ q rt t t r G() = ||(F () + F ()) H() = (F () F ()) t tr tợ tử t = õ t t q st ỡ số a() t t a() (t 1)g B() = dt t tự ú tữỡ ữỡ ợ ln(||1 )g s tự tử õ tử qt õ q tr t t ữủ tr t ụ ữợ ữ s N (an ||1 + bn )2n + o(2N ) G() = n=0 N hn 2n + o(2N ) H() = n=0 õ H() trỡ õ ởt trỡ tr T = H s h() = ()(O (f ) O() (f )), ợ = r() T (r()) = 2isin P ổ tự t t r tữỡ ự f f H ổ ởt f H ổ t P f f H ố ổ tự t tr SL(2, R) ố ợ t ý t q ữủ H tữỡ ự ợ ởt tỷ G tr õ G ữ s ởt t số s ố ợ H t ởt t số s ố ợ G tr õ ú : LH LG t õ t q ữủ H tữỡ ự ợ õ G tữỡ ự ợ õ õ t t rộ t số ổ t ủ ợ ỵ ỗ t ởt 1, : s tỷ G tr õ ỷ õ G = (), ởt tữỡ ự G ố trace G (f ) = trace (f H ) t ởt t số s : LR L G S t õ tr G (WR) ú ỵ r ợ t s S ởt õ s õ s tr LG t õ tổ H s tr G tỗ t ởt ú : LH LG t tỗ t t số s ố ợ õ ởt t số s ) tr õ S0 t tổ S S = S/(S0 ì Z(G) t L G sỷ t ởt t ủ õ s ổ Z(G) tữỡ ữỡ ộ ởt ú : LH LG t ởt t số : WR LG t tổ s S õ H s ủ ợ H õ ủ tứ số tr (LH) ởt õ ổ tự t tr SL(2, R) õ ổ t õ tở sỹ ỹ ủ õ t ổ t t t ởt s, ỳ S () ỗ tớ r r s () = c(s) s, õ trace (f H ) = s r () trace (f ), s s (f H ) = s, trace (f ), tr õ s (f H ) = c(s)1 trace (f H ) ứ õ t õ ỵ s ỵ trace (f ) = #S s, sS s (f H ) t ố ợ SL(2, R) ú ỵ r t t q ỳ t trữ ố ợ tỷ q g G ữủ (, g) = trace (g) t t tỷ (f ) = G (g)f (g)dg ợ f Cc(G) dg r tr t rsr t õ trace (f ) = (, g)f (g)dg G trữ Dn+ tr SO(2, R) ữủ + n (r()) = ein ei(n+1) = e2i ei ei trữ Dn tr SO(2, R) ữủ ủ ự n (r()) = ei(n+1) ein = e2i ei ei ổ tự t tr SL(2, R) ú ỵ r tờ Sn = + n + n t +n n t ữủ Sn = ein ein ei ei õ õ t ữợ ủ t Sn trữ r in (r())(+ + ein n n )(r()) = e tr õ (r()) = 2i.sin tờ trữ T (R) ổ tự t tr SL(2, R) t ữỡ tr ỗ ổ tự t t rớ r q t t tờ t q t t t õ s SL (2, R) t tự t ụ q tớ t t ỡ trữớ ỹ ố t sỹ ú ù t t ộ tổ t t s ợ t ổ tự t tr SL (2, R) t tr ữỡ tr s õ SL (2, R) t q ỗ ổ tự t t t tỷ õ trSL(2, R) ổ tự tờ Pss tữỡ ự ổ tự t t rớ r q tr SL (2, R) ổ tự t q t tr õ s SL(2, R) tớ tỹ ổ ỏ õ ỳ t sõt tổ rt ữủ sỹ õ ỵ qỵ t ổ ổ t ỡ t ổ tr rs GL2 Prrt rst rt s tr tr rs tstr ts tr rs t rst rrr r r r P ss s stst r t [...]... ồ ừ ổ tự t tr SL( 2, R) õ n = 1 ộ rớ r (à1, à2) à = xn.sign(x) ợ n Z \ {0} ỳ t õ ỳ tữỡ ữỡ ài (à1, à2) (à2, à1) ừ SL( 2, R) t t q ừ SL( 2, R) ừ t q ừ GL(2, R) õ ỏ t q trữớ ủ ộ õ tr t số ũ t t t q ủ ừ õ ởt õ SL( 2, R) ũ tở ởt õ tr q tữỡ ữỡ ú ữủ ủ Ad() tr õ = 1 0 0 1 õ sỹ s ộ t q (à) t ữủ ừ (à1, à2) tr SL( 2, R) ợ à =... xn sign(x), n Z ỳ (à) t ữủ ừ (à1, à2) tr SL( 2, R) ợ à = xn.sign(x), n = 0 + ộ rớ r õ (D|n| , D|n| ) t ữủ ừ (à1 , à2 ) tr SL( 2, R) ợ à = xn.sign(x), n Z \ {0} ợ ừ ộ rớ r õ (D0+, D0) t ữủ ừ (à1 , à2 ) tr SL( 2, R) ợ à = sign(x) õ ừ ữủ ró trữ à à1 tữỡ ữỡ số s SL( 2, R) ủ ừ ỗ số s ợ G : LR L G, ồ ừ ổ tự t tr SL( 2, R) s ủ ợ tỹ ừ LG WR t LR L G WR ,... 0 0 ồ ừ ổ tự t tr SL( 2, R) õ ở s ừ SL (2, R) õ ở s ừ õ õ tỹ r õ L H t tổ ừ t õ ừ ởt tỷ ỷ ỡ ừ õ L G r tt ử tr ỳ ố tữủ tr tứ ữủ t t ủ ữợ tỷ = i tr õ ừ SO(2) tr SL( 2, C) ữ ỵ r tỷ ổ t tữớ ừ õ s t tỷ a = w(w)1 = 1 0 0 1 s r ởt õ õ t ỗ t õ ợ H 1(C/R, SO(2)) trữ ừ õ ữủ ồ trữ ở s õ õ ở s ừ SL( 2, R) tữỡ ự ợ trữ õ ở s tữỡ ự ợ trữ t tữớ SL( 2, R) tr õ õ ở s... t ụ q tớ ồ t t ỡ ồ trữớ ồ ồ ỹ ồ ố ở t ớ sỹ ú ù t t ừ ộ ồ tổ t t s ồ ợ t ồ ừ ổ tự t tr SL (2, R) t tr ữỡ tr s õ SL (2, R) t q ừ ỗ ổ tự t t ừ t tỷ õ trSL(2, R) ổ tự tờ Pss tữỡ ự ồ ừ ổ tự t t rớ r ừ q tr SL (2, R) ổ tự t ừ q t ồ tr õ ở s ừ SL( 2, R) tớ tỹ ổ ỏ õ ỳ t sõt tổ rt ữủ sỹ õ ỵ ừ qỵ t ổ ồ ổ t ỡ t ổ tr rs GL2 Prrt rst ... ồ ừ ổ tự t tr SL( 2, R) f (y + n x)(y)dy = = Kf (x, y)(y)dy T nZ T tr õ Kf (x, y) = f (y + n x) C (T ì T ) t õ t t t ừ R(f ) nZ trace R(f ) = Kf (x, x)dx = T f (n) nZ t t õ t õ R(f ) sỷ ử ỡ s trỹ en = e2in, n Z R(f ) = f(n)en f ờ rr ừ f õ f(n) trace R(f ) = nZ t õ ổ tự tờ Pss f(n) f (n) = nZ nZ ờ ổ tự t t t q G = SL( 2, R), = SL( 2, Z) õ ở s ừ õ tự H = SL( 2, R) tr trữớ... trữ t tữớ SL( 2, R) tr õ õ ở s tữỡ ự ợ trữ ổ t tữớ t T (R) = SO(2, R) t ữỡ tr tự ỡ õ q ở ừ ữỡ ữ t ở t t t s õ ứ ở ú t ỡ trú ừ SL (2, R) t tự ừ SL (2, R) t số õ s õ ở s s õ trỏ ừ ốt tr ỹ ờ ổ tự t tr SL (2, R) ữỡ ồ ừ ổ tự t ữỡ s tr t ừ t tỷ õ ổ tự tờ Pss tứ õ t ờ ổ tự t t t q t ừ t tỷ õ õ t ữỡ õ rớ r ừ R q ừ tr L2(\G) [R(g)](x) =... ỳ ợ tữỡ ữỡ ừ ồ ừ ổ tự t tr SL( 2, R) t q ữủ ừ GL(2, R) ợ ủ ừ ỗ ữủ ừ WR tr GL(2, C) ữ s (à1 , à2 ) s1 ,m1 ,s2 ,m2 ợ ài = |x|s sign(x)m i i ợ à1à2(x) = |x|2ssign(x)n+1 n tr õ à1à1 2 (x) = x sign(x) số s tữỡ ự ợ t ứ ừ tự si t (à1 , à2 ) s,n số s SL( 2, R) ứ s ỳ ợ tữỡ ữỡ ừ ợ ủ ừ t số s GL(2, R) s r s ỳ ợ tữỡ ữỡ õ ừ t q ữủ ừ SL( 2, R) ợ ủ ừ ỗ ữủ ừ WR... ổ t tữớ t t T = SO(2, R) ởt trữ ở s tữỡ ự ợ õ ở s ừ õ = 1 H = SL( 2, R) = 1 H = SO(2, R) ồ B õ r ừ ự B ỗ tt tr t tr tr SL( 2, R) õ a b 0 a1 (1 ), B () = >0 tr õ t ữủ tr ữỡ ồ õ r BH = B tr ự TH = T tữỡ t ợ TH T ởt t q ố ợ tỷ q T ữủ (x)f (x1 x)dx O (f ) = T \G ồ ừ ổ tự t tr SL( 2, R) = 1 t q t q ờ ữủ SO (f ) õ ừ LG LG = G WR... t tứ số G H (H , ) s ợ t f Cc (G) tỗ t ởt f H Cc (H) ợ SOH (f H ) = G H (H , )O (f ) H ừ q ỷ ỡ SOH (f H ) = 0 ồ ừ ổ tự t tr SL( 2, R) H ổ = 1 t õ ở s ừ õ tự H = SL( 2, R) t q t q ờ trữớ ủ t tữớ t s ự ử t ỵ ố ợ SL( 2, R) = 1 õ ở s ừ H = SO(2, R) tổ q sỷ ử t ừ t q sỷ f trỡ õ t tr õ t q ừ f tr q ừ G f (x1 x)dx, O (f ) = G \G ú ỵ r t... (r()) = ei(n+1) ein = 1 e2i ei ei ồ ừ ổ tự t tr SL( 2, R) ú ỵ r tờ Sn = + n + n t +n n t ữủ Sn = ein ein ei ei õ õ t ữợ ủ ờ t ồ Sn trữ ờ r in (r())(+ + ein n n )(r()) = e tr õ (r()) = 2i.sin tờ trữ ừ T (R) ờ ổ tự t tr SL( 2, R) t ữỡ tr ở ừ ỗ ổ tự t t rớ r ừ q ờ t t tờ t q t t ừ t ồ õ ở s ừ SL (2, R) t ớ tự t ụ q tớ ồ t t ỡ ồ trữớ ồ ồ ... t r ổ tự t tr SL (2, R) ỗ ữỡ ữỡ õ tt ởt số tự ỡ ữủ trú SL( 2, R) SL( 2, R) số s SL( 2, R) õ s SL( 2, R) ữỡ r ổ tự t rớ r q tr SL( 2, R) t õ tr õ s SL( 2, R) t t tỷ... t tr SL( 2, R) tớ tỹ ổ tự ỏ ổ tr ọ ỳ s sõt ữủ sỹ õ ỵ ỳ ỵ qỵ t ổ t ỡ t ữỡ tự ỡ ữủ SL (2, R) SL (2, R) õ tr ì tr trữớ số tỹ R ợ tự SL (2,... t t t q G = SL( 2, R), = SL( 2, Z) õ s õ tự H = SL( 2, R) tr trữớ ủ trữ t tữớ H = SO(2, R) tr trữớ ủ ổ t tữớ t t T = SO(2, R) ởt trữ s tữỡ ự ợ õ s õ = H = SL( 2, R) = H