Về tập nghiệm của đa thức nhiều biến trên trường thực

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ TRÍ HÀO VỀ TẬP NGHIỆM CỦA ĐA THỨC NHIỀU BIẾN TRÊN TRƯỜNG THỰC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ TRÍ HÀO VỀ TẬP NGHIỆM CỦA ĐA THỨC NHIỀU BIẾN TRÊN TRƯỜNG THỰC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS LÊ THỊ THANH NHÀN THÁI NGUYÊN - 2017 LỜI CẢM ƠN Trong trình học tập nghiên cứu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, nhận đề tài nghiên cứu "Về tập nghiệm đa thức nhiều biến trường thực" hướng dẫn GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Đến nay, luận văn hoàn thành Có kết dạy bảo hướng dẫn tận tình nghiêm khắc Cô Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Cô gia đình! Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo Khoa Toán - Tin Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ trình học tập Trường thời gian nghiên cứu hoàn thành luận văn Tôi xin cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Lạng Sơn, Trường THPT Vũ Lễ nơi công tác tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành khóa học Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp thành viên lớp cao học toán K9A (Khóa 2015-2017) quan tâm, tạo điều kiện, cổ vũ động viên để hoàn thành nhiệm vụ Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 19 tháng năm 2017 Mục lục Lời mở đầu Chương Định lý sở Hilbert Định lý không điểm Hilbert 1.1 Đa thức biến 1.2 Đa thức nhiều biến Định lý sở Hilbert 12 1.3 Tập nghiệm họ đa thức iđêan vành đa thức 17 1.4 Định lý không điểm Hilbert 20 Chương Bài toán hai đa thức có tập nghiệm 27 2.1 Phát biểu toán 27 2.2 Trường hợp biến trường hợp đóng đại số 28 2.3 Trường hợp đa thức hai biến trường thực 32 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 Lời mở đầu Bài toán xác định mối quan hệ nghiệm nhân tử đa thức toán nhiều nhà toán học quan tâm Cho K trường Chú ý a ∈ K nghiệm f (x) ∈ K[x] x − a nhân tử f (x) Do đó, f (x) g(x) hai đa thức với hệ số K có tập nghiệm ước chung lớn d(x) = gcd(f, g) có tập nghiệm trùng với tập nghiệm chung f g Mục đích luận văn này mở rộng kết cho trường hợp nhiều biến Cụ thể, quan tâm đến toán sau Cho f, g hai đa thức n biến với hệ số trường K cho f, g có tập nghiệm Kn Tìm điều kiện để tồn ước chung d f g cho f, g, d có tập nghiệm Luận văn gồm chương Chương tập trung trình bày kiến thức chuẩn bị đa thức biến, đa thức nhiều biến, đa thức nhất, tập nghiệm họ đa thức, iđêan vành đa thức, đồng thời nêu lại chứng minh hai định lý Hilbert Định lý sở Hilbert Định lý không điểm Hilbert Định lý sở Hilbert cho phép quy tập đại số tập nghiệm hữu hạn đa thức Định lý không điểm Hilbert tổng quát Định lý Đại số Chương nội dung luận văn, chương trình bày toán hai đa thức có tập nghiệm Tài liệu tham khảo luận văn báo [3] M Balaich M Cocos báo [2] R M Aron and P Hajek Ngoài tham khảo hai sách [1,4] Trong luận văn giả thiết V vành giao hoán có đơn vị K trường Ta ký hiệu N, N0 , R, C tập số nguyên dương, tập số nguyên không âm, trường số thực, trường số phức, V [x], K[x], V [x1 , , xn ], K[x1 , , xn ] vành đa thức biến V , K, vành đa thức n biến V K Do thời gian thực luận văn không nhiều, kiến thức hạn chế nên làm luận văn không tránh khỏi hạn chế sai sót Tác giả mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Tác giả Chương Định lý sở Hilbert Định lý không điểm Hilbert Trong chương ta giả thiết V vành giao hoán, K trường Kí hiệu N tập số nguyên dương N0 tập số nguyên không âm Trong chương tập trung trình bày kiến thức chuẩn bị đa thức đa thức biến, đa thức nhiều biến, đa thức nhất, tập nghiệm họ đa thức, iđêan vành đa thức, đồng thời nêu lại chứng minh hai định lý Hilbert Định lý sở Hilbert Định lý không điểm Hilbert Định lý sở Hilbert cho phép quy tập đại số tập nghiệm hữu hạn đa thức Định lý không điểm Hilbert tổng quát Định lý Đại số 1.1 Đa thức biến Định nghĩa 1.1.1 Một đa thức biến với hệ số V viết dạng f (x) = an xn + an−1 xn−1 + + a1 x + a0 , a0 , , an ∈ V x ký hiệu gọi biến (hay biến không ∞ xác định) Ta viết đa thức dạng f (x) = xi i=0 f (x) = i x , = với i > n Hai đa thức xi bi xi = bi với i Ký hiệu V [x] tập đa thức biến x với hệ số V Định nghĩa 1.1.2 Cho f (x) = an xn +an−1 xn−1 + .+a1 x+a0 ∈ V [x] đa thức i) Ta gọi a0 hệ số tự f (x) ii) Nếu an = n gọi bậc f (x) ký hiệu deg f (x) Trong trường hợp này, an gọi hệ số cao f (x) iii) Nếu an = f (x) gọi đa thức dạng chuẩn (monic polynomial) Chú ý 1.1.1 i) Ta không định nghĩa bậc cho đa thức ii) Nếu f (x) = a ∈ V f (x) gọi đa thức iii) Các đa thức bậc gọi đa thức tuyến tính Định nghĩa 1.1.3 Với hai đa thức f (x) = xi g(x) = bi xi V [x], định nghĩa f (x) + g(x) = f (x).g(x) = (ai + bi )xi , ck xk , bj , ∀k ck = i+j=k Chú ý 1.1.2 Với phép toán V [x] vành giao hoán Định nghĩa 1.1.4 Vành V [x] gọi vành đa thức biến x với hệ số V Phần tử không vành đa thức 0, phần tử đơn vị đa thức Tiếp theo số tính chất sau bậc tổng tích đa thức biến Bổ đề 1.1.1 Cho f (x), g(x), h(x) ∈ V [x] đa thức khác Khi (i) Nếu f (x) + g(x) = deg((f (x) + g(x)) ≤ max{deg f (x), deg g(x)} (ii) Nếu f (x)g(x) = deg((f (x)g(x)) ≤ deg f (x) + deg g(x) Định nghĩa 1.1.5 Cho V vành giao hoán khác i) V gọi miền nguyên ab = kéo theo a = b = ii) Cho V miền nguyên Phần tử a ∈ V gọi bất khả quy a = 0, a không khả nghịch a ước thực iii) Miền nguyên V gọi miền phân tích (UFD) phần tử khác không, không khả nghịch phân tích thành tích nhân tử bất khả quy phân tích không kể đến thứ tự nhân tử nhân tử khả nghịch iv) Miền nguyên V gọi miền iđêan iđêan V iđêan chính, (tức là: Nếu I iđêan V tồn phần tử a ∈ I cho I = {ax | x ∈ V } = (a)) Ví dụ 1.1.1 Ta thấy Z miền iđêan Z có dạng mZ = {mx | x ∈ Z} Tuy nhiên vành Z[x] không miền iđêan I = (x, 2) không iđêan Bổ đề 1.1.2 Cho V miền nguyên với f (x), g(x) ∈ V [x] ta có deg(f (x)g(x)) = deg f (x) + deg g(x), với f (x), g(x) ∈ V [x], f (x), g(x) = Mệnh đề cho ta điều kiện cần đủ để vành đa thức miền phân tích nhất, miền iđêan (xem Mệnh đề 1.4.2 [1]) Mệnh đề 1.1.1 i) Nếu V miền phân tích V [x] miền phân tích ii) Cho V miền nguyên Khi V [x] miền iđêan V trường Định nghĩa 1.1.6 Một ánh xạ ϕ : V → V hai vành V , V gọi đồng cấu vành thỏa mãn điều kiện sau i) ϕ(1) = 1; ii) ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b); iii) ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b), với a, b ∈ V Định nghĩa 1.1.7 Một đồng cấu ϕ gọi đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) ϕ đơn ánh (toàn ánh, song ánh) Hai vành V V gọi đẳng cấu với nhau, viết V ∼ = V , có đẳng cấu chúng Chú ý 1.1.3 Chú ý hợp thành hai đồng cấu vành đồng cấu vành, ánh xạ ngược đẳng cấu vành đẳng cấu vành, ánh xạ nhúng j : V → V [x] cho j(a) = a với a ∈ V đơn cấu vành Ta gọi j phép nhúng tự nhiên hay phép nhúng tắc Ví dụ 1.1.2 Ta có ánh xạ ϕ : V [x] → V cho ϕ toàn cấu ker ϕ = (x) Do V [x]/(x) ∼ = V xi = a0 Định lý kết quan trọng lý thuyết đa thức Nó giúp xây dựng thuật toán tìm ước chung lớn đa thức (xem Định lý 1.2.2 [1]) Chương Bài toán hai đa thức có tập nghiệm 2.1 Phát biểu toán Bài toán xác định mối quan hệ nghiệm nhân tử đa thức toán nhiều nhà toán học quan tâm Cho K trường Chú ý a ∈ K nghiệm f (x) ∈ K[x] x − a nhân tử f (x) Do đó, f (x) g(x) hai đa thức với hệ số K có tập nghiệm ước chung lớn d(x) = gcd(f, g) có tập nghiệm trùng với tập nghiệm chung f g Mục đích chương mở rộng kết cho trường hợp nhiều biến Cụ thể, quan tâm đến toán sau Bài toán 2.1.1 Cho f, g hai đa thức n biến với hệ số trường K cho f, g có tập nghiệm Kn Tìm điều kiện để tồn ước chung d f g cho f, g, d có tập nghiệm Trong Tiết 2.2 dành để giải toán cho trường hợp đa thức biến trường trường hợp đa thức nhiều biến 27 trường đóng đại số Tiết 2.3 dành để giải toán cho trường hợp đa thức hai biến trường thực 2.2 Trường hợp biến trường hợp đóng đại số Mệnh đề 2.2.1 Cho f (x), g(x) ∈ K[x] hai đa thức không đồng thời Ký hiệu Z(f ), Z(g) tương ứng tập nghiệm f, g Nếu Z(f ) = Z(g) tồn ước chung d(x) f g cho Z(d) = Z(f ) = Z(g) Chứng minh Do K trường nên đa thức biến khác K[x] có hữu hạn nghiệm (số nghiệm không vượt bậc đa thức) Do ta giả thiết Z(f ) = Z(g) = {a1 , , at } Theo Hệ 1.3.1 ta có f (x) = (x − a1 )α1 (x − at )αt f1 (x), ≤ α1 , , αt Z(f1 ) = ∅ Tương tự ta có g(x) = (x − a1 )β1 (x − at )βt g1 (x), ≤ β1 , , βt Z(g1 ) = ∅ Chọn d(x) = (x − a1 ) (x − at ) Khi d(x) ước chung f (x) g(x) với Z(d) = {a1 , , at } = Z(f ) = Z(g) Ví dụ 2.2.1 Trên trường thực, cho hai đa thức f (x) = x2 − g(x) = x3 + x2 − x − có chung tập nghiệm {±1} Khi d = x2 − ước chung f g ta có Z(f ) = Z(g) = Z(d) = {±1} 28 Phần tiết này, giải Bài toán 2.1.1 cho trường hợp đa thức nhiều biến trường đóng đại số việc sử dụng kiến thức tảng hình học đại số, Định lý không điểm Hilbert (đã trình bày Chương 1) Nhắc lại rằng, trường F gọi trường đóng đại số đa thức biến bậc dương có hệ số F có nghiệm F Định lý đại số phát biểu đa thức bậc dương với hệ số phức có nghiệm phức Vì trường số phức C trường đóng đại số Trong suốt phần lại tiết ta giả thiết F trường đóng đại số Trước trình bày lời giải Bài toán 2.1.1 cho trường hợp đa thức nhiều biến trường đóng đại số, cần bốn bổ đề sau Bổ đề 2.2.1 Nếu F trường đóng đại số F trường vô hạn Chứng minh Cho F trường đóng đại số Giả sử F trường hữu hạn, ta cần tìm mâu thuẫn Viết F = {a1 , , ak } Đặt f (x) = (x − a1 )(x − a2 ) (x − ak ) + ∈ F Vì F trường đóng đại số f (x) có bậc dương nên f (x) phải có nghiệm F Do tồn cho f (ai ) = Tuy nhiên ta lại có f (ai ) = (ai − a1 ) (ai − ak ) + = Điều vô lý Bổ đề 2.2.2 Giả sử F trường vô hạn f (x) ∈ F[x] Khi f (x) đa thức hàm đa thức f hàm Chứng minh Nếu f (x) đa thức hiển nhiên f hàm Ngược lại, giả sử f (x) hàm đa thức khác Đặt n = deg f (x) Vì F trường nên theo Hệ 1.3.1, số nghiệm f (x) không vượt n Vì F có vô hạn phần tử nên f (x) không nhận phần tử F nghiệm Do f hàm khác 29 Bổ đề 2.2.3 Cho F trường vô hạn Cho f (x1 , , xn ) thuộc F[x1 , , xn ] Khi f (x1 , , xn ) = f (a1 , , an ) đa thức với (a1 , , an ) ∈ Fn Chứng minh Nếu f (x1 , , xn ) đa thức rõ ràng hàm đa thức tương ứng hàm Ta chứng minh chiều ngược lại quy nạp theo n Giả thiết f hàm 0, tức f (a1 , , an ) = với (a1 , , an ) ∈ Fn Cho n = Theo Bổ đề 2.2.2, f (x1 ) đa thức Cho n > giả thiết cho trường hợp n − biến Biểu diễn k fi (x1 , , xn−1 ) xin , f (x1 , , xn ) = i=0 fi (x1 , , xn−1 ) ∈ F[x1 , , xn−1 ] với i = {0, 1, , k} Với phần tử a = (a1 , , an−1 ) ∈ Fn−1 Đặt ga (xn ) = f (a1 , , an−1 , xn ) Khi k fi (a1 , , an−1 ) xin ∈ V [xn ] ga (xn ) = i=0 Theo giả thiết, ga (xn ) đa thức biến nhận phần tử F nghiệm Do F trường vô hạn theo Bổ đề 2.2.2, ta có ga (xn ) đa thức Vì fi (a1 , , an−1 ) = với i ∈ {1, , k} Như đa thức fi (x1 , , xn−1 ) ∈ F[x1 , , xn−1 ] nhận phần tử Fn−1 nghiệm Theo giả thiết quy nạp, fi (x1 , , xn−1 ) đa thức với i ∈ {1, , k} Do f (x1 , , xn ) đa thức Bổ đề 2.2.4 Cho F trường f (x1 , , xn ) ∈ F[x1 , , xn ] đa thức bất khả quy Nếu g, h ∈ F[x1 , , xn ] cho f ước gh f ước g f ước h Tổng quát, f đa thức bất khả quy ước tích f ước nhân tử 30 Chứng minh Do F trường nên F[x1 , , xn ] miền phân tích (theo Hệ 1.2.1) Do đó, hai đa thức F[x1 , , xn ] không đồng thời phải có ước chung lớn Giả sử phản chứng f không ước g không ước h Vì f bất khả quy nên ước chung lớn f g Tương tự, ước chung lớn f h Suy ước chung lớn f gh Điều chứng tỏ gh không chia hết cho f Điều mâu thuẫn Định lý 2.2.1 Cho F trường đóng đại số Nếu f , g ∈ F[x1 , , xn ] có tập nghiệm f g có nhân tử chung d cho Z(f ) = Z(g) = Z(d) Chứng minh Giả sử f g có chung tập nghiệm Đặt J = (g) = {gh | h ∈ F[x1 , , xn ]} iđêan sinh g Ta có Z(J) = {(a1 , , an ) ∈ Fn | g(a1 , , an ) = 0} = Z(g) Ta có Z(g) = Z(f ) Do đó, f triệt tiêu Z(J) Suy f ∈ I(Z(J)), tức f ∈ {h ∈ F[x1 , , xn ] | h(a1 , , an ) = 0, ∀(a1 , , an ) ∈ Z(J)} Vì F trường đóng đại số nên theo Định lý không điểm Hilbert (Định lý 1.4.1 Mục (iii)), ta có f ∈ rad(J) Do tồn số nguyên dương r cho f r ∈ J Vì J = (g) nên f r bội g, tức f r = gh, h ∈ F [x1 , , xn ] Vì F trường nên F miền phân tích Do theo Hệ 1.2.1 ta suy F[x1 , , xn ] miền phân tích Do đó, g = g không khả nghịch g bất khả quy g viết dạng tích hữu hạn nhân tử bất khả quy 31 Nếu g = Z(g) = Fn Do đó, Z(f ) = Fn Vì F trường đóng đại số nên trường vô hạn theo Bổ đề 2.2.1 Vì theo Bổ đề 2.2.3, f đa thức 0, xảy giả thiết f g không đồng thời Giả sử g khả nghịch Khi g = a ∈ F với a = Do Z(g) = ∅ Suy Z(f ) = ∅ Chọn d(x1 , , xn ) = Khi d ước chung f g ta có Z(d) = Z(f ) = Z(g) = ∅ Giả sử g bất khả quy Vì f r = gh nên g ước f r Suy g ước f (theo Bổ đề 2.2.4) Chọn d = g Khi d ước chung f g ta có Z(f ) = Z(g) = Z(d) Cuối ta xét trường hợp g = g1α1 gtαt tích g thành tích nhân tử bất khả quy đôi phân biệt g1 , , gt với với t ≥ Vì f r = gh nên g ước f r Do gi ước f r Vì gi bất khả quy nên gi ước f (theo Bổ đề 2.2.4) Vì gi bất khả quy gi đôi phân biệt nên g1 gt ước f Đặt d = g1 gt Khi d ước chung f g ta có Z(f ) = Z(g) = Z(g1α1 gtαt ) = Z(d) 2.3 Trường hợp đa thức hai biến trường thực Trong suốt tiết này, với đa thức hai biến f (x, y) ∈ R[x, y], ta ký hiệu degx (f ), degy (f ) tương ứng bậc f theo biến x bậc 32 F theo biến y Chẳng hạn, với f = x5 y + 3xy + x3 + y + degx (f ) = degy (f ) = Chú ý tồn đa thức hai biến f (x, y) ∈ R[x, y] với n = degx (f ) cho có vô hạn đường nằm ngang cắt đồ thị f (x, y) n điểm Chẳng hạn, đa thức f (x, y) = x − y rõ ràng có tính chất Đa thức f (x, y) = y − x2 có tính chất Trước phát biểu kết tiết này, cần bổ đề sau Ta ký hiệu R (y) = f (y) | f (y), g(y) ∈ R[y], g(y) = g(y) Chú ý R(y) trường chứa vành đa thức R[y] Trường R(y) gọi trường phân thức biến y R Bổ đề 2.3.1 Cho f (x, y), g(x, y) ∈ R[x, y] Đặt n = degx f (x, y) Nếu f (x, y) = g(x, y) = f (x, y)q(x, y) + r(x, y), (2.1) q(x, y) r(x, y) đa thức biến x với hệ số R(y) degx r ≤ n Chứng minh Vì g(x, y), f (x, y) ∈ R[x, y] nên f (x, y), g(x, y) đa thức biến x với hệ số R(y) Nói cách khác, đặt K = R(y) K trường f (x, y), g(x, y) ∈ K[x] Do f (x, y) = nên theo định lý chia với dư đa thức biến x trường K, tồn hai đa thức q1 (x), r1 (x) ∈ K[x] cho g(x, y) = f (x, y)q1 (x) + r1 (x), r1 (x) = degx r1 (x) < degx f (x, y) Chú ý q1 (x) có hệ số K, q1 (x) = q(x, y), r1 (x) = r(x, y), q(x, y), r(x, y) đa thức biến x với hệ số R(y) 33 Ví dụ 2.3.1 a) Cho g(x, y) = 5x3 − f (x, y) = x − 3y Chia g cho f ta có g(x, y) = f (x, y) 5x2 + 15yx + 45y + 135y − b) Cho f (x, y) = 2x4 − 3x g(x, y) = yx2 + yx Chia f cho g ta có f (x, y) = g(x, y) 2x2 2x − + y y y − 5x Chú ý Ví dụ 2.3.1(a), thương dư đa thức hai biến, Ví dụ 2.3.1(b), thương đa thức với hệ số phân thức biến y Nhắc lại rằng, tập hợp X gọi tập vô hạn đếm có song ánh từ X đến tập số tự nhiên Chẳng hạn, tập Z đếm có song ánh ϕ từ Z đến N cho ϕ(n) = 2n n ≥ ϕ(n) = −2n − n < Người ta Q tập đếm tích đề hai tập đếm đếm Trường hợp X tập vô hạn mà không song ánh đến tập số tự nhiên ta nói X tập vô hạn không đếm Chẳng hạn, R tập vô hạn không đếm Thực tế, R tập vô hạn có lực lượng continum Bổ đề 2.3.2 Cho f (x, y) ∈ R[x, y] Nếu degy f degx f số lẻ tập nghiệm f (x, y) tập vô hạn không đếm Chứng minh Giả sử degx f số lẻ Viết f (x, y) theo lũy thừa giảm dần x dạng f (x, y) = qn (y)xn + qn−1 (y)xn−1 + + q0 (y)x0 , qi (y) ∈ R[y] với i = 1, , n qn (y) = Cố định số thực y0 xét đa thức f (x, y0 ) Nó đa thức biến x giả sử đa thức có bậc n 34 Chú ý f (x, y0 ) đa thức biến x với hệ số thực có bậc lẻ nên phải có nghiệm thực Điều với số thực y0 Như với số thực y0 ∈ R thỏa mãn qn (y0 ) = tồn x0 nghiệm f (x, y0 ), tức f (x0 , y0 ) = Do để chứng minh f (x, y) có tập nghiệm tập vô hạn không đếm được, ta phải chứng minh qn (y) khác tập vô hạn không đếm Vì qn (y) đa thức biến y với hệ số thực qn (y) = nên số nghiệm qn (y) không vượt deg qn (y) := k Giả sử nghiệm qn (y) a1 , , at t ≤ k Do qn (y) khác tập R \ {a1 , , at } Rõ ràng R \ {a1 , , at } tập vô hạn không đến Chú ý 2.3.1 Từ Bổ đề 2.3.2 ta thấy đa thức R[x, y] có tập nghiệm vô hạn đếm tập nghiệm hữu hạn degx f degy f phải đồng thời số chẵn Nếu F không đóng đại số kết luận Định lý 2.2.1 không Chẳng hạn, cho F = R, n = xét đa thức f (x, y) = x2 + y g(x, y) = x4 + y R[x, y] F không đóng đại số Tập nghiệm hai đa thức gồm điểm (0, 0), chúng nhân tử chung Thật vậy, ta có g(x, y) = x4 +y = (x2 +y )2 −2x2 y Gọi d(x, y) = gcd(g, f ) Khi d ước g ước f Ta có f −g = 2x2 y Suy d ước 2x2 y Do d ∈ {1, x, y, xy, x2 y, xy , x2 y } Chú ý x, y, xy, x2 y, xy , x2 y không ước g(x, y) Do d = Vì tập nghiệm chung ước chung lớn f g tập rỗng Trong Z(f ) = Z(g) = {(0, 0)} 35 Nếu n = degx f , có nhiều ví dụ đa thức R[x, y] có tập nghiệm cắt vô hạn đường nằm ngang n điểm phân biệt Kết trình bày với điều kiện xác định tập nghiệm thỏa mãn, kết Định lý 2.2.1 mở rộng cho lớp đa thức R[x, y] Định lý 2.3.1 Cho f (x, y), g(x, y) ∈ R[x, y] hai đa thức có tập nghiệm n = degx f Nếu có vô hạn đường thẳng nằm ngang mà cắt tập nghiệm đa thức f n điểm phân biệt f g có ước d cho Z(f ) = Z(g) = Z(d) Chứng minh Đặt n = degx f giả sử có vô hạn đường thẳng song song cắt tập nghiệm f g n điểm phân biệt Theo Bổ đề 2.3.1, ta chia g(x, y) cho f (x, y) ta g (x, y) = q (x, y) f (x, y) + r (x, y) , (2.2) r(x, y) q(x, y) đa thức biến x với hệ số R(y) degx r < degx f = n Đặt h(y) mẫu chung hệ số q r Nhân hai vế (2.2) với h(y) Khi ta có hg = q˜.f + r˜, q˜ = hq r˜ = hr đa thức hai biến x, y với hệ số R Vì h ∈ R[y], degx r ≤ n − nên degx hr = degx r Do ta viết r˜(x, y) = hr = rn−1 (y)xn−1 + + r0 (y), ri (y) ∈ R[y] Bây (x0 , y0 ) nghiệm tập nghiệm chung f g g(x0 , y0 ) = f (x0 , y0 ) = Vì = q˜(x0 , y0 ).0 + r˜(x0 , y0 ) 36 Điều suy r˜(x0 , y0 ) = Theo giả thiết có vô hạn đường nằm ngang cắt tập nghiệm chung f g n điểm phân biệt Gọi y0 tung độ điểm đường thẳng nằm ngang Từ suy có n giá trị phân biệt x cho r˜(x, y0 ) = Nghĩa đa thức r˜(x, y0 ) (một biến biến x) có n nghiệm phân biệt Nhưng deg r˜ ≤ n − số nghiệm đa thức với hệ số R vượt bậc nên suy r˜(x, y0 ) = Vì hệ số 0, tức rn−1 (y0 ) = rn−2 (y0 ) = = r0 (y0 ) = Theo giả thiết, có vô hạn đường nằm ngang cắt tập nghiệm chung f g n điểm Điều có nghĩa có vô số giá trị y0 mà ứng với hệ thức đúng, tất ri đa thức biến y nên chúng phải đa thức Vì r˜(x, y) = Thay vào đẳng thức hg = q˜.f + r˜, ta suy hg = q˜f (2.3) Do f ước hg Theo Mệnh đề 1.1.1(i), R[x] miền phân tích Vì (R[x])[y] ∼ = R[x, y] miền phân tích theo Mệnh đề 1.1.1(i) Do f bất khả quy viết dạng tích nhân tử bất khả quy Bây ta hai trường hợp f g có nhân tử chung d Z(f ) = Z(g) = Z(d) Nếu f bất khả quy phần tử vành R[x, y] Do f phải ước h f ước g Trước hết ta giả sử f 37 ˜ với h ˜ ∈ R[x, y] Vì h đa thức biến ước h Khi h = hf y nên f đa thức biến y Vì tập nghiệm đa thức biến y với hệ số R tập hữu hạn, điều vô lý f không ước h phải ước g Do f ước chung f g Chọn d = f Khi Z(d) = Z(f ) = Z(g) Giả sử f không bất khả quy Khi f viết thành tích nhân tử bất khả quy f1n1 f2n2 fknk với k số nguyên dương đó, f1 , , fk đa thức bất khả quy đôi không bội n1 , , nk số nguyên dương Rõ ràng tập nghiệm f hợp tập nghiệm nhân tử fi Vì nhân tử phải phần tử nguyên tố vành R[x, y] nên nhân tử fi ước g ước h Giả sử tất fi ước h Vì h đa thức biến y với hệ số R nên đa thức fi đa thức biến với hệ số R Vì fi có tập nghiệm tập hữu hạn Do tập nghiệm f tập hữu hạn Vì có hữu hạn đường nằm ngang cắt tập nghiệm f n điểm Điều xảy giả thiết có vô hạn đường nằm ngang có tính chất Vì vậy, nhân tử fi phải ước g Nếu nhân tử fj ước h tập nghiệm fj phải chứa đường nằm ngang y = aj , tập nghiệm g phải chứa đường nằm ngang y = aj Điều xảy fj ước g Do tất nhân tử fj với j = 1, , k ước g Chọn d = f1 fk Khi d ước chung f g Z(d) = Z(f1 fk ) = Z(f1n1 fknk ) = Z(f ) = Z(g) 38 Thay vai trò x vai trò y Định lý 2.3.1, ta chứng minh kết sau Định lý 2.3.2 Cho f (x, y), g(x, y) ∈ R[x, y] hai đa thức có tập nghiệm n = degy f Nếu có vô hạn đường thẳng đứng cắt tập nghiệm chung f g n điểm phân biệt f g có nhân tử chung d thỏa mãn Z(f ) = Z(g) = Z(d) 39 Kết luận Luận văn trình bày số vấn đề vành đa thức biến nhiều biến với hệ số trường Luận văn đặc biệt quan tâm đến toán hai đa thức tập nghiệm f g có ước chung d cho tập nghiệm d trùng với tập nghiệm f tập nghiệm g Tài liệu tham khảo luận văn báo [3] M Balaich M Cocos, sách [1] GS Lê Thị Thanh Nhàn Các nội dung luận văn là: Nhắc lại số kiến thức đa thức biến, đa thức nhiều biến, tập nghiệm họ đa thức iđêan vành đa thức Chứng minh Định lý sở Hilbert Định lý không điểm Hilbert Trình bày toán hai đa thức có tập nghiệm Giải toán cho trường hợp sau: a) Đa thức biến trường bất kỳ; b) Đa thức hữu hạn biến trường đóng đại số; c) Đa thức hai biến với hệ số thực thỏa mãn số điều kiện 40 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Lê Thị Thanh Nhàn (2015), Lý thuyết đa thức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [2] R M Aron and P Hajek (2006), "Zero sets of polynomials in several variables", Arch Math., 86, 561-568 [3] M Balaich and M Cocos (2015), "Zero sets and factorization of polynomials of two variables", Journal of Algebra and Applied Mathematics, 13, 1-8 [4] A Schinzel (2000), Polynomials with special regards to reducibility, Cambridge Univiversity Press 41 ... K trường Kí hiệu N tập số nguyên dương N0 tập số nguyên không âm Trong chương tập trung trình bày kiến thức chuẩn bị đa thức đa thức biến, đa thức nhiều biến, đa thức nhất, tập nghiệm họ đa thức, ... tập nghiệm Trong Tiết 2.2 dành để giải toán cho trường hợp đa thức biến trường trường hợp đa thức nhiều biến 27 trường đóng đại số Tiết 2.3 dành để giải toán cho trường hợp đa thức hai biến trường. .. theo biến xk đa thức số lớn số mũ xk xuất từ đa thức Chú ý 1.2.1 i) Ta không định nghĩa cho bậc đa thức 12 ii) Đa thức khác không đa thức có bậc iii) Các đa thức bậc đa thức tuyến tính Đa thức