Các điểm xoắn hữu tỷ của đường cong elliptic trên trường hữu tỷ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH HỨA THỊ HẠ PHƯƠNG CÁC ĐIỂM XOẮN HỮU TỶ CỦA ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC TRÊN TRƯỜNG HỮU TỶ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH HỨA THỊ HẠ PHƯƠNG CÁC ĐIỂM XOẮN HỮU TỶ CỦA ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC TRÊN TRƯỜNG HỮU TỶ Chuyên ngành: Hình học tôpô Mã số: 604610 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC Tiến sĩ Phan Dân Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Với việc hoàn thành Luận văn này, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Phan Dân – người định hướng cho lựa chọn đề tài hướng dẫn suốt trình thực Tôi xin chân thành cảm ơn: Ban chủ nhiệm Khoa Quý Thầy tổ Bộ môn Hình học, Khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh giúp hoàn thành tất học phần khóa học Cao học, giúp nâng cao trình độ kiến thức chuyên môn phương pháp học tập hữu ích, giúp hoàn thành việc tiếp cận nội dung học trình định hướng đề tài cho luận văn tốt nghiệp Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, Phòng Tổ chức-Hành chính, Phòng Kế hoạch-Tài Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Ban Giám hiệu trường THPT Nguyễn Hữu Cầu huyện Hóc Môn thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ suốt trình học tập Các đồng nghiệp, bạn khóa học, gia đình động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn tốt nghiệp Thành Phố Hồ Chí Minh, 06/ 2012 Tác giả Hứa Thị Hạ Phương MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC CÁC KÝ HIỆU PHẦN MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Lịch sử vấn đề Đối tượng phạm vi nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Nhóm aben hữu hạn sinh 1.2 1.2 Đa tạp affine đa tạp xạ ảnh 1.2.1 Đa tạp affine 1.2.2 Đa tạp xạ ảnh 11 1.3 Tổng quan đường cong elliptic 16 1.4 Đường cong elliptic trường hữu hạn 𝔽𝒒 18 1T 1.5 Đường cong elliptic trường số thực ℝ 19 1T 1.6 Đường cong elliptic trường số phức ℂ 20 1T Chương 2:CÁC ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC DẠNG WEIERTRASS TRÊN ℚ 25 2.1 Tổng quan đường cong dạng Weiertrass ℚ 25 1T 2.1.1 Đường cong affine đường cong xạ ảnh 25 2.1.2 Phương trình Weiertrass dạng dài ngắn 25 2.1.3 j – bất biến đường cong elliptic 26 2.2 Các điểm hữu tỷ xoắn hữu tỷ đường cong elliptic ℚ 27 1T 2.2.1 Các định lý 27 2.2.2 Nhóm điểm hữu tỷ xoắn hữu tỷ 30 2.2.3 Sự phân bố điểm hữu tỷ xoắn hữu tỷ 30 2.2.4 Hạng đại số hai toán 30 2.3 Mô tả chung luật nhóm j – bất biến số họ đường cong 34 2.3.1 Luật nhóm số phương pháp xác định điểm bội 34 2.3.2 Các j – bất biến họ 𝒚𝟐 = 𝒙𝟑 − 𝒑𝒙, 𝒚𝟐 = 𝒙𝟑 − 𝒑𝟐 (𝒑 nguyên tố) 44 2.4 Mô tả nhóm xoắn số họ đường cong elliptic 44 2.4.1 Các thuật toán xác định điểm xoắn hữu tỷ 45 2.4.2 Các nhóm xoắn họ 𝒚𝟐 = 𝒙𝟑 − 𝒑𝒙, 𝒚𝟐 = 𝒙𝟑 − 𝒑𝟐 (𝒑 nguyên tố) 53 2.4.3 Nhóm xoắn họ 𝒚𝟐 = 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 56 1T 2.4.4 Các tính toán cho Bảng 2.1 57 KẾT LUẬN 61 Phụ lục A: BẢNG TÍNH TOÁN 62 Phụ lục B: CHU KỲ 𝝎𝟏 VÀ 𝝎𝟐, THUẬT TOÁN AM – GM 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO 72 CÁC KÝ HIỆU Ý nghĩa Ký hiệu ℤ Vành số nguyên 𝔽𝑞 Trường hữu hạn có 𝑞 phần tử � 𝕂 Bao đóng đại số trường 𝕂 ℚ Trường số thực ℝ ℂ 𝐼 (𝑉 ) 𝕂 [𝑋 ] Trường hữu tỷ Trường số phức Idean 𝐼 đa tạp 𝑉 Vành đa thức biến 𝑋 trường 𝕂 Δ(𝐸) Bậc đa thức 𝑓 𝑗(𝐸) j – bất biến đường cong elliptic 𝐸 deg (𝑓) 𝐸(ℚ) 𝐸 (ℚ)[𝑛] 𝐸 (ℚ)tor #𝐸(ℚ) 𝒪 𝒜𝑛 𝒫𝑛 ℘ 𝐺𝑘 𝜓𝑛 𝜌𝑝 𝐿 ℱ (𝐿 ) 𝜔𝑖 (𝐿) 𝑇(𝐴) Biệt thức đường cong elliptic 𝐸 Nhóm điểm hữu tỷ đường cong elliptic 𝐸 Nhóm điểm hữu tỷ có bậc hữu hạn chia hết 𝑛 Nhóm xoắn hữu tỷ đường cong elliptic 𝐸 Số điểm hữu tỷ đường cong elliptic 𝐸 Điểm vô tận 𝒪 đường cong elliptic 𝐸 Không gian affine 𝑛 chiều trường 𝕂 Không gian xạ ảnh 𝑛 chiều trường 𝕂 Hàm ℘ Weierstrass Chuỗi Eisenstein Đa thức chia thứ 𝑛 Phép quy gọn theo số nguyên tố 𝑝 Dàn 𝐿 Miền dàn 𝐿 Chu kỳ thứ 𝑖 dàn 𝐿 Nhóm xoắn nhóm aben 𝐴 𝐴⊕𝐵 gdc(𝑎, 𝑏) 𝑥 � � 𝑝 Tổng trực tiếp 𝐴 𝐵 Ước chung lớn 𝑎 𝑏 Ký hiệu Legendre PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong Lịch sử phát triển Toán học có nhiều giả thuyết nhiều toán mở mà tồn suốt thời gian dài làm cho nhiều hệ nhà Toán học dồn nhiều công sức niềm say mê nghiên cứu đặc biệt hầu hết toán có cách đặt vấn đề mô tả đơn giản – chẳng hạn toán chia ba góc thước compa, toán tô màu đồ, toán Hilbert, toán chứng minh Định lý lớn Fermat,… Riêng toán chứng minh Định lý lớn Fermat (còn gọi Định lí Fermat-Wiles) vấn đề thời Toán học suốt ba kỷ qua giải trọn vẹn vào năm 1994 Wiles Taylor có lẽ vấn đề thuộc loại thú vị nhà khoa học quan tâm nhiều Đây Bài toán thuộc lĩnh vực Lý thuyết số thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học Điều đặc biệt trình tìm kiếm lời giải cho giả thuyết Fermat, người ta phải sử dụng tới nhiều kiến thức kỹ thuật phương pháp nghiên cứu nhiều ngành khoa học khác Lý thuyết số, Đại số giao hoán, Giải tích, Giải tích phức, Hình học, Hình học Đại số, Lý thuyết Galois,…, số có đóng góp quan trọng ngành Hình học Đại số Lý thuyết đa tạp, đường cong đại số điểm hữu tỷ chúng, hàm elliptic, dạng modular,… khái niệm quan trọng kết nghiên cứu có liên quan tiệm cận theo nhiều hướng khác lời giải toán Fermat Chúng lựa chọn đề tài thuộc lĩnh vực Hình học Đại số với ý tưởng tìm hiểu giới thiệu số kiến thức “Lý thuyết đường cong Elliptic” với việc mô tả phân bố nhóm điểm xoắn hữu tỷ chúng Trong phạm vi đề tài, xét đường cong Elliptic trường số hữu tỷ mô tả dạng Weierstrass Vì đề tài mang tên: “Các điểm xoắn hữu tỷ đường cong Elliptic trường hữu tỷ” Lịch sử vấn đề Cơ sở lý thuyết công cụ nghiên cứu vấn đề “Các điểm hữu tỷ đường cong Elliptic Q”, phương pháp giải vấn đề nêu Luận văn dựa số kết sau đây: a) Một là: Xuất phát từ kết thú vị tính chất tách trực tiếp nhóm aben hữu hạn sinh (nghĩa Z-modun hữu hạn sinh) thành phần xoắn xoắn nó, phần tổng trực tiếp nhóm aben cyclic tách b) Hai là: Sự tiếp cận phương pháp mô tả cấu trúc nhóm điểm hữu tỷ (và nhóm xoắn nó) đường cong Elliptic Q , nhờ vào: - Định lí Mordell-Weil khẳng định tập điểm hữu tỷ đường cong elliptic nhóm aben hữu hạn sinh, - Định lí Mazur mô tả cấu trúc nhóm điểm có cấp hữu hạn nhóm điểm hữu tỷ - Định lý Nagell-Lutz mô tả đặc trưng nhóm điểm xoắn hữu tỷ họ đường cong Elliptic dạng Weierstrass: y2 = x3+Ax+B với A, B số nguyên Từ kết ta nhận thuật toán xác định điểm xoắn hữu tỷ c) Ba là: Các kết phương pháp mô tả luật nhóm nhóm điểm hữu tỷ đường cong Elliptic Nhìn qua người ta “nắm bắt” nhóm điểm hữu tỷ chúng có cách mô tả tường minh có hữu hạn phần tử Tuy nhiên thực hoàn toàn khác xa với điều đó, khó khăn gặp phải sử dụng thuật toán tìm kiếm mô tả điểm xoắn phần mềm máy tính Luận văn tập trung giải số vấn đề về: xác định nhóm điểm xoắn hữu tỷ số họ đường cong Q cho dạng Weierstrass Một số kết nghiên cứu thuộc hướng tiếp tục phát triển thời gian gần nhiều tác giả nước Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu mô tả cấu trúc nhóm điểm hữu tỷ số họ đường cong Elliptic dạng Weierstrass trường số hữu tỷ (Định lý MordellWeil) - Xét số họ đường cong có phương trình dạng: y2 = x3 –px, với p số nguyên tố, nhằm mục đích mô tả nhóm điểm xoắn hữu tỷ chúng - Phân loại xác định nhóm xoắn điểm hữu tỷ số họ đường cong có phương trình dạng: y2 = x3 - p2, với p số nguyên tố - Xét đường cong y2 = x3 + 2x2 - 3x giải toán mô tả nhóm điểm xoắn hữu tỷ Mục đích nghiên cứu - Mô tả cấu trúc nhóm tập điểm hữu tỷ E(Q) đường cong Elliptic E Q - Mô tả nhóm xoắn E(Q) số lớp đường cong Elliptic - Trình bày chi tiết thuật toán xác định nhóm xoắn điểm hữu tỷ đường cong Elliptic Q thông qua mối liên hệ với kết nghiên cứu họ đường cong trường hữu hạn đường cong trường số phức , phương pháp xác định trực tiếp cách sử dụng định lý Nagell-Lutz Phương pháp nghiên cứu Cơ sở xuất phát cho việc thực nội dung bàn tới luận văn dựa kết hợp kết (đã trình bày trên) về: - Cấu trúc nhóm aben hữu hạn sinh - Cấu trúc nhóm điểm hữu tỷ (Định lý Mordell-Weil) sử dụng công cụ nghiên cứu Đại số - Lý thuyết số để xác định mô tả đối tượng cần quan tâm Xuyên suốt nội dung, Định lí Nagell-Lutz Định lí Mazur dùng để xác định điểm xoắn số họ đường cong đặc biệt, với j-bất biến họ đường cong Đây hướng nghiên cứu phương pháp dùng phổ biến việc nghiên cứu đường cong Elliptic thời gian gần đây, sử dụng phát triển nhiều tác giả nhiều năm gần đây, gắn liền với Thuật toán máy tính Lý thuyết mã hóa thông tin Các phương pháp nghiên cứu kỹ thuật thuật toán dùng Luận văn dựa công cụ nghiên cứu sử dụng [2], [3], [13] Cấu trúc luận văn Luận văn bao gồm chương Chương 1: Kiến thức Chương trình bày số khái niệm kết nghiên cứu công bố nhiều tài liệu chuyên ngành Toán: - Các định lí mô tả tách trực tiếp nhóm aben hữu hạn sinh - Các đa tạp xạ ảnh, afin - Các khái niệm, kết nghiên cứu đường cong elliptic trường số Q, R, C F q Chương 2: Các đường cong Elliptic dạng Weierstrass Q - Tổng quan đường cong dạng Weierstrass Q Các j-bất biến - Các Định lí mô tả cấu trúc nhóm điểm hữu tỷ, điểm xoắn hữu tỷ đường cong Elliptic Q: Định lý Mordell-Weil, Định lý Nagell-Lutz Định lý Mazur - Các điểm hữu tỷ, xoắn hữu tỷ đường cong Elliptic Q - Mô tả chung luật nhóm, j-bất biến họ y2 = x3 –px, y2 = x3 - p2, với p số nguyên tố - Nhóm xoắn họ: y2 = x3 –px, y2 = x3 - p2 đường cong: y2 = x3 + 2x2 - 3x Phần kết luận Trong luận văn đưa kết luận về: - Các điểm xoắn hữu tỷ đường cong Elliptic Q, với số họ đường cong Elliptic cụ thể đưa mô tả chung luật nhóm, j-bất biến chúng - Nhóm xoắn họ y2 = x3 –px, y2 = x3 - p2 - Nhóm xoắn y2 = x3 + 2x2 - 3x Trong Luận văn giới thiệu nội dung ứng dụng Thuật toán Doud, Schoof, … Chương KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Nhóm aben hữu hạn sinh Trong phần giới thiệu số kết quen biết nhóm aben hữu hạn sinh Định nghĩa 1.1.1 Một nhóm aben 𝐴 gọi hữu hạn sinh tồn hữu hạn phần tử 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 ∈ 𝐴 cho với 𝑥 ∈ 𝐴, tồn số nguyên 𝑘1 , … , 𝑘𝑛 thỏa 𝑥 = ∑𝑛𝑖=1 𝑘𝑖 𝑎𝑖 Định nghĩa 1.1.2 Cho 𝐴 nhóm aben Nhóm xoắn 𝐴, kí hiệu 𝑇(𝐴), tập : 𝑇(𝐴) ≔ {𝑎 ∈ 𝐴: ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑛𝑎 = 0} Định nghĩa 1.1.3 Một nhóm aben 𝐴 gọi xoắn 𝑇(𝐴) = {0} Định nghĩa 1.1.4 ℤ𝑛 ≔ ℤ ⨁ … ⨁ ℤ (tổng 𝑛 ) gọi nhóm aben tự hạng 𝑛 Bổ đề 1.1.5 Cho 𝐴 nhóm aben, 𝐴/𝑇(𝐴) xoắn Định nghĩa 1.1.6 Cho 𝐴 nhóm aben 𝐵, 𝐶 nhóm 𝐴 Ta nói 𝐴 tổng trực tiếp 𝐵 𝐶, kí hiệu 𝐴 = 𝐵 ⊕ 𝐶, 𝐴 = 𝐵 + 𝐶 𝐵 ∩ 𝐶 = {0}, 𝐵 + 𝐶 = {𝑏 + 𝑐: 𝑏 ∈ 𝐵, 𝑐 ∈ 𝐶 } Định lý 1.1.7 Nếu 𝐴 nhóm aben hữu hạn sinh xoắn mà có tập sinh có lực lượng bé với 𝑛 phần tử 𝐴 đẳng cấu với nhóm aben tự có hạng 𝑛 Chứng minh Áp dụng phương pháp quy nạp số phần tử sinh nhỏ 𝐴 Nếu A nhóm xyclic (nghĩa nhóm sinh phần tử khác nhóm), 𝐴 ≅ ℤ Giả sử mệnh đề với tất nhóm aben hữu hạn sinh xoắn với tập sinh nhỏ có 𝑛 phần tử Giả sử 𝐴 xoắn {𝑎1 , … , 𝑎𝑛 } tập sinh nhỏ 𝐴 Nếu 𝑇(𝐴/〈𝑎1 〉) = {0} 𝐴/〈𝑎1 〉 xoắn sinh 𝑛 − phần tử, 〈𝑎1 〉 ≅ ℤ Nếu 𝑇(𝐴/ 〈𝑎1 〉) không nhóm tầm thường có nhóm 𝐵 𝐴 cho 𝑇(𝐴/〈𝑎1 〉) ≅ 𝐵/〈𝑎1 〉 Do đó, với phần tử 𝑏 ∈ 𝐵\{0}, tồn số nguyên 𝑖 ∈ ℤ\{0} cho 𝑖𝑏 ∈ 〈𝑎1 〉 Suy tồn 𝑗 ∈ ℤ cho 𝑖𝑏 = 𝑗𝑎1 Ta định nghĩa 𝑓: 𝐵 ⟶ ℚ: 𝑏 ⟼ 𝑗/𝑖 𝑓 (0) ≔ Khi đó, dễ thấy ker𝑓 = {0} ta có 𝑓 đơn ánh Suy 𝐵 ≅ 𝑓 (𝐵) Nếu 𝐵 nhóm hữu hạn sinh 𝐵 nhóm cyclic Giả sử 𝐵 = 〈𝑏1 , … , 𝑏𝑚 〉 Khi đó, 𝑓(𝐵) = 〈𝑓(𝑏1 ), … , 𝑓(𝑏𝑚 )〉 = 〈𝑗1 /𝑖1 , … , 𝑗𝑚 /𝑖𝑚 〉 nhóm nhóm cyclic cyclic Nếu 𝐵 = 𝐴 𝐴 nhóm tự sinh phần tử Nếu không, ta có 𝐴/𝐵 = 〈𝑎�1 , … , 𝑎�𝑛 〉 = 〈𝑎�2 , … , 𝑎�𝑛 〉 𝐴/𝐵 ≅ (𝐴〈𝑎1 〉)/ (𝐵〈𝑎1 〉) ≅ (𝐴〈𝑎1 〉)/𝑇(𝐴〈𝑎1 〉) Như 𝐴/𝐵 nhóm xoắn sinh nhiều 𝑛 − phần tử, theo quy nạp nóm aben tự có hạng 𝑚 < 𝑛 Suy 𝐴 ≅ 𝐵⨁ℤ𝑚 , từ 𝐵 ≅ 𝐴/ℤ𝑚 𝐵 nhóm hữu hạn sinh Định lý 1.1.8 𝐴/𝑇(𝐴) Chứng minh Cho 𝐴 nhóm aben hữu hạn sinh Khi 𝐴 ≅ 𝑇(𝐴) ⊕ Giả sử 𝐴 = 〈𝑎1 , … , 𝑎𝑛 〉 ∎ Khi 𝐴/𝑇(𝐴) = 〈𝑎�1 , … , 𝑎�𝑛 〉 Vì 𝐴/𝑇(𝐴) nhóm hữu hạn sinh Cho 〈𝑥̅1 , … , 𝑥̅𝑚 〉 tập sinh nhỏ 𝐴/𝑇(𝐴) Nếu 𝑎� ∈ 𝐴/𝑇(𝐴) 𝑎� = ∑𝑚 𝑖=1 𝑘𝑖 𝑥̅𝑖 với 𝑘𝑖 ∈ ℤ Dẫn đến 𝑎 − ∑𝑚 𝑖=1 𝑘𝑖 𝑥̅𝑖 ∈ 𝑇 (𝐴) Do đó, 𝐴 = 〈𝑥1 , … , 𝑥𝑚 〉 + 𝑇(𝐴) Hơn nữa, 𝐴/𝑇 (𝐴) xoắn nên 〈𝑥1 , … , 𝑥𝑚 〉 ∩ 𝑇(𝐴) = {0} Suy 𝐴 = 〈𝑥1 , … , 𝑥𝑚 〉 ⊕ 𝑇(𝐴) Hệ 1.1.9 Mỗi nhóm aben hữu hạn sinh tổng trực tiếp nhóm hữu hạn nhóm aben tự có hạng hữu hạn ∎ 1.2 1.2 Đa tạp affine đa tạp xạ ảnh Trong phần này, ta mô tả số đối tượng nghiên cứu hình � đóng đại số 𝕂 từ học đại số Ta dùng 𝕂 để ký hiệu trường 𝕂 sau 1.2.1 Đa tạp affine Định nghĩa 1.2.1.1 Không gian affine 𝑛 chiều tập 𝑛 phần tử 𝑛 � } 𝒜 𝑛 = 𝒜𝕂 � ≔ {𝑃 = (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ): 𝑥𝑖 ∈ 𝕂 Một cách tương tự, tập điểm 𝕂 – hữu tỷ 𝒜𝑛 tập 𝑛 𝒜𝕂 ≔ {𝑃 = (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) ∈ 𝒜𝑛 : 𝑥𝑖 ∈ 𝕂} � [𝑋 ] = 𝕂 � [𝑋 ] � [𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 ] vành đa thức 𝑛 biến cho 𝐼 ⊂ 𝕂 Cho 𝕂 𝑛 idean Với 𝐼 vậy, ta liên kết tập 𝒜𝕂 � 𝑛 𝑉𝐼 = {𝑃 ∈ 𝒜𝕂 � : 𝑓 (𝑃 ) = với 𝑓 ∈ 𝐼 } Định nghĩa 1.2.1.2 Một tập đại số (affine) tập có dạng 𝑉𝐼 Nếu 𝑉 tập đại số idean 𝑉 định nghĩa � {𝑋 }: 𝑓 (𝑃) = với 𝑃 ∈ 𝑉 } 𝐼 (𝑉 ) = {𝑓 ∈ 𝕂 Một tập đại số xác định 𝕂 idean 𝐼(𝑉) sinh đa thức 𝕂[𝑋 ] Ta ký hiệu tập 𝑉/𝐾 Nếu 𝑉 xác định 𝕂, tập điểm 𝕂 – hữu tỷ 𝑉 tập hợp Ví dụ 1.2.1.3 𝑛 𝑉𝕂 = 𝑉 ∩ 𝒜𝕂 Tập đại số 𝑉: 𝑌 = 𝑋 + 17 có nhiều điểm ℚ - hữu tỷ, chẳng hạn (−2,3), (234,378661), � 137 2651 � , 64 512 Định nghĩa 1.2.1.4 Một tập đại số affine 𝑉 gọi đa tạp affine 𝐼(𝑉) � [𝑋 ] idean nguyên tố 𝕂 Chú ý V định nghĩa 𝕂 không đủ ta kiểm tra I(V/K) có nguyên tố 𝕂[X] hay không Ví dụ, xét idean X12 − 2X 22 ℚ [X , X ] Định nghĩa 1.2.1.5 Cho 𝑉 đa tạp Chiều 𝑉, ký hiệu 𝑑𝑖𝑚(𝑉), bậc � (𝑉) 𝕂 � siêu việt 𝕂 Ví dụ 1.2.1.6 𝑛 � (𝑋1 , … , 𝑋𝑛 ) Tương tự, � �𝒜𝕂 Chiều 𝒜𝑛𝕂� 𝑛, 𝕂 �� = 𝕂 𝑉 ⊂ 𝒜𝑛𝕂� cho phương trình đa thức khác dim(𝑉 ) = n − Định nghĩa 1.2.1.7 𝑓(𝑋1 , … , 𝑋𝑛 ) = 0, � [𝑋] tập Cho 𝑉 đa tạp, 𝑃 ∈ 𝑉 𝑓1 , … , 𝑓𝑚 ∈ 𝕂 phần tử sinh 𝐼𝑉 Khi đó, 𝑉 không kỳ dị (hoặc trơn) 𝑃 ma trận 𝑚 × 𝑛 � 𝜕𝑓𝑖 (𝑃 )� 𝜕𝑋𝑗 1≤𝑖≤𝑚 1≤𝑗≤𝑛 có hạng 𝑛 − 𝑑𝑖𝑚(𝑉 ) Nếu 𝑉 không kỳ dị điểm ta nói 𝑉 không kỳ dị (hoặc trơn) Ví dụ 1.2.1.8 Cho 𝑉 định nghĩa phương trình đa thức khác 𝑓 (𝑋1 , … , 𝑋𝑛 ) = Khi Ví dụ 1.2.1.6 nói dim(𝑉 ) = 𝑛 − 1, 𝑃 ∈ 𝑉 điểm kỳ dị 𝜕𝑓 𝜕𝑓 (𝑃 ) = ⋯ = (𝑃) = 𝜕𝑋1 𝜕𝑋𝑛 1.2.2 Đa tạp xạ ảnh Định nghĩa 1.2.2.1 Không gian xạ ảnh 𝑛 chiều 𝕂, ký hiệu 𝒫 𝑛 hay 𝒫𝕂�𝑛 , tập tất ( 𝑛 + ) phần tử (𝑥1 , … , 𝑥𝑛+1 ) ∈ 𝔸𝑛+1 cho tồn phần tử 𝑥𝑖 khác Hai (𝑥1 , … , 𝑥𝑛+1 ) (𝑦1 , … , 𝑦𝑛+1 ) gọi tương đương tồn số � \{0} cho 𝑥𝑖 = 𝜆𝑦𝑖 với 𝑖 Một lớp quan hệ tương đương 𝜆∈𝕂 � \{0}} {(𝜆𝑥1 , … , 𝜆𝑥𝑛+1 ): 𝜆 ∈ 𝕂 ký hiệu [𝑥1 : … : 𝑥𝑛+1 ] 𝑥1 , … , 𝑥𝑛+1 gọi tọa độ điểm 𝒫 𝑛 Tập điểm 𝕂 – hữu tỷ 𝒫 𝑛 tập 𝒫𝕂𝑛 = {[𝑥1 : … : 𝑥𝑛+1 ] ∈ 𝒫 𝑛 :tất 𝑥𝑖 ∈ 𝕂} Nhận xét 1.2.2.2 Chú ý 𝑃 = [𝑥1 : … : 𝑥𝑛+1 ] ∈ 𝒫𝕂�𝑛 , ta suy 𝑥𝑖 ∈ 𝕂 Tuy nhiên, chọn 𝑖 cho 𝑥𝑖 ≠ ta có 𝑥𝑗 /𝑥𝑖 ∈ 𝕂 với 𝑗 � [𝑋 ] = 𝕂 � [𝑋1 , … , 𝑋𝑛+1 ] bậc 𝑑 Định nghĩa 1.2.2.3 Một đa thức 𝑓 ∈ 𝕂 � 𝑓 (𝜆𝑋1 , … , 𝜆𝑋𝑛+1 ) = 𝜆𝑑 𝑓(𝑋1 , … , 𝑋𝑛+1 ) 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝜆 ∈ 𝕂 � [𝑋] sinh đa thức Một idean 𝐼 ⊂ 𝕂 Với idean 𝐼 ta liên kết tập 𝒫𝕂�𝑛 quy tắc 𝑉𝐼 = �𝑃 ∈ 𝒫𝕂�𝑛 : 𝑓 (𝑃) = với 𝑓 ∈ 𝐼 nhất� Định nghĩa 1.2.2.4 Một tập đại số xạ ảnh tập có dạng 𝑉𝐼 với idean 𝐼 Nếu 𝑉 tập đại số xạ ảnh idean 𝑉, ký hiệu � [𝑋] sinh 𝐼(𝑉), idean 𝕂 � [𝑋 ]: 𝑓 𝑓 (𝑃) = với 𝑃 ∈ 𝑉� �𝑓 ∈ 𝕂 Một 𝑉 định nghĩa 𝕂, ký hiệu 𝑉/𝕂, idean 𝐼(𝑉) sinh đa thức 𝕂[𝑋 ] Nếu 𝑉 định nghĩa 𝕂 tập điểm 𝕂 – hữu tỷ 𝑉 tập 𝑉 (𝕂) = 𝑉 ∩ 𝒫𝕂𝑛 Ví dụ 1.2.2.5 Một đường 𝒫2 tập đại số cho phương trình tuyến tính 𝑎𝑋 + 𝑏𝑌 + 𝑐𝑍 = � không đồng thời Nếu giả sử 𝑐 ≠ đường với 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝕂 định nghĩa trường chứa 𝑎/𝑐 𝑏 /𝑐 Một cách tổng quát hơn, siêu phẳng 𝒫 𝑛 cho phương trình 𝑎1 𝑋1 + ⋯ + 𝑎𝑛+1 𝑋𝑛+1 = � không đồng thời với 𝑎𝑖 ∈ 𝕂 Nhận xét 1.2.2.6 Một điểm 𝒫ℚ𝑛 có dạng [𝑥1 : … : 𝑥𝑛+1 ] với 𝑥𝑖 ∈ ℚ Nhân với số hữu tỷ 𝜆 ∈ ℚ thích hợp, ta loại bỏ mẫu số nhân tử chung khỏi 𝑥𝑖 Nói cách khác, 𝑃 ∈ 𝒫ℚ𝑛 viết dạng tọa độ thỏa 𝑥1 , … , 𝑥𝑛+1 ∈ ℤ gcd(𝑥1 , … , 𝑥𝑛+1 ) = Như vậy, idean tập 𝑉/ℚ sinh đa thức 𝑓1 , … , 𝑓𝑚 ∈ ℚ[𝑋] việc mô tả 𝑉 (ℚ) tương đương với việc tìm nghiệm phương trình 𝑓1 (𝑋1 , … , 𝑋𝑛+1 ) = ⋯ = 𝑓𝑚 (𝑋1 , … , 𝑋𝑛+1 ) = với số 𝑥1 , … , 𝑥𝑛+1 nguyên tố Định nghĩa 1.2.2.7 Một tập đại số xạ ảnh gọi đa tạp xạ ảnh idean � [𝑋 ] 𝐼(𝑉) idean nguyên tố 𝕂 𝑛 Rõ ràng 𝒫𝕂�𝑛 chứa nhiều thành phần giống với 𝒜𝕂 � Chẳng hạn, với ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, ta có phép nhúng sau 𝜙𝑖 : 𝒜𝑛𝕂� ⟶ 𝒫𝕂�𝑛 , (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) ⟼ [𝑥1 : … : 𝑥𝑖−1 : 1: 𝑥𝑖 : … : 𝑥𝑛 ] Ta ký hiệu 𝐻𝑖 siêu phẳng 𝒫𝕂�𝑛 xác định 𝑋𝑖 = 0, 𝐻𝑖 = {𝑃 = [𝑥1 : : 𝑥𝑛+1 ] ∈ 𝒫𝕂�𝑛 : 𝑥𝑖 = 0}, Và 𝑈𝑖 phần bù 𝐻𝑖 , 𝑈𝑖 = {𝑃 = [𝑥1 : … : 𝑥𝑛+1 ] ∈ 𝒫𝕂�𝑛 : 𝑥𝑖 ≠ 0} = 𝒫𝕂�𝑛 \𝐻𝑖 Khi đó, tồn song ánh tự nhiên 𝑛 𝜙𝑖−1 : 𝑈𝑖 ⟶ 𝒜𝕂 �, 𝑥𝑖−1 𝑥𝑖+1 𝑥𝑛+1 𝑥1 𝑥2 [𝑥1 : … : 𝑥𝑛+1 ] ⟼ � , , … , � , ,…, 𝑥𝑖 𝑥𝑖 𝑥𝑖 𝑥𝑖 𝑥𝑖 Với 𝑖 cố định, thông thường ta xác định 𝒜𝑛𝕂� với tập 𝑈𝑖 𝒫𝕂�𝑛 thông qua ánh xạ 𝜙𝑖 � [𝑋 ] Khi đó, Bây cho 𝑉 tập đại số xạ ảnh với idean 𝐼(𝑉 ) ⊂ 𝕂 𝑛 𝑛 −1 � [𝑌] 𝑉 ∩ 𝒜𝕂 � = 𝜙𝑖 (𝑉 ∩ 𝑈𝑖 ) tập đại số affine với idean 𝐼�𝑉 ∩ 𝒜𝕂 �� ⊂ 𝕂 cho 𝐼�𝑉 ∩ 𝒜𝑛𝕂� � = {𝑓 (𝑌1 , … , 𝑌𝑖−1 , 1, 𝑌𝑖+1 , … , 𝑌𝑛 ): 𝑓 (𝑋0 , … , 𝑋𝑛 ) ∈ 𝐼(𝑉 )} [...]... về đường cong elliptic trên các trường số Q, R, C và F q Chương 2: Các đường cong Elliptic dạng Weierstrass trên Q - Tổng quan về các đường cong dạng Weierstrass trên Q Các j-bất biến - Các Định lí cơ bản mô tả về cấu trúc của nhóm các điểm hữu tỷ, các điểm xoắn hữu tỷ của các đường cong Elliptic trên Q: Định lý Mordell-Weil, Định lý Nagell-Lutz và Định lý Mazur - Các điểm hữu tỷ, xoắn hữu tỷ của đường. .. xoắn hữu tỷ của đường cong Elliptic trên Q - Mô tả chung về luật nhóm, các j-bất biến của các họ y2 = x3 –px, y2 = x3 - p2, với p là số nguyên tố - Nhóm con xoắn của các họ: y2 = x3 –px, y2 = x3 - p2 và của đường cong: y2 = x3 + 2x2 - 3x Phần kết luận Trong luận văn sẽ đưa ra các kết luận về: - Các điểm xoắn hữu tỷ của đường cong Elliptic trên Q, với một số họ các đường cong Elliptic cụ thể và đưa... tiết các thuật toán xác định nhóm con xoắn các điểm hữu tỷ của đường cong Elliptic trên Q thông qua mối liên hệ với các kết quả nghiên cứu các họ đường cong trên trường hữu hạn và các đường cong trên trường số phức , ngoài phương pháp xác định trực tiếp bằng cách sử dụng định lý Nagell-Lutz 5 Phương pháp nghiên cứu Cơ sở xuất phát cho việc thực hiện các nội dung được bàn tới trong luận văn này là dựa trên. .. hợp các kết quả cơ bản (đã trình bày ở trên) về: - Cấu trúc của các nhóm aben hữu hạn sinh - Cấu trúc của nhóm các điểm hữu tỷ (Định lý Mordell-Weil) và sử dụng các công cụ nghiên cứu cơ bản của Đại số - Lý thuyết số để xác định và mô tả các đối tượng cần quan tâm Xuyên suốt nội dung, các Định lí Nagell-Lutz và Định lí Mazur được dùng để xác định các điểm xoắn trên một số họ đường cong đặc biệt, với các. .. j-bất biến trên các họ đường cong này Đây là một trong những hướng nghiên cứu và các phương pháp được dùng khá phổ biến trong việc nghiên cứu các đường cong Elliptic trong thời gian gần đây, đã và đang được sử dụng và phát triển bởi nhiều tác giả trong nhiều năm gần đây, gắn liền với các Thuật toán máy tính và Lý thuyết mã hóa thông tin Các phương pháp nghiên cứu và các kỹ thuật cũng như các thuật toán... nhóm, các j-bất biến trên chúng - Nhóm con xoắn của các họ y2 = x3 –px, y2 = x3 - p2 - Nhóm con xoắn của y2 = x3 + 2x2 - 3x Trong Luận văn này cũng giới thiệu nội dung cơ bản và ứng dụng của các Thuật toán Doud, Schoof, … Chương 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Nhóm aben hữu hạn sinh Trong phần này sẽ giới thiệu một số kết quả quen biết về các nhóm aben hữu hạn sinh Định nghĩa 1.1.1 Một nhóm aben 𝐴 được gọi là hữu. .. một tập đại số thì idean của 𝑉 được định nghĩa bởi � {𝑋 }: 𝑓 (𝑃) = 0 với mọi 𝑃 ∈ 𝑉 } 𝐼 (𝑉 ) = {𝑓 ∈ 𝕂 Một tập đại số được xác định trên 𝕂 nếu idean 𝐼(𝑉) của nó được sinh bởi các đa thức trong 𝕂[𝑋 ] Ta ký hiệu tập này bởi 𝑉/𝐾 Nếu 𝑉 được xác định trên 𝕂, thì tập các điểm 𝕂 – hữu tỷ của 𝑉 là tập hợp Ví dụ 1.2.1.3 như 𝑛 𝑉𝕂 = 𝑉 ∩ 𝒜𝕂 Tập đại số 𝑉: 𝑌 2 = 𝑋 3 + 17 có nhiều điểm ℚ - hữu tỷ, chẳng hạn (−2,3), (234,378661),... định nghĩa trên 𝕂, ký hiệu là 𝑉/𝕂, nếu idean 𝐼(𝑉) của nó được sinh bởi các đa thức thuần nhất trong 𝕂[𝑋 ] Nếu 𝑉 được định nghĩa trên 𝕂 thì tập các điểm 𝕂 – hữu tỷ của 𝑉 là tập 𝑉 (𝕂) = 𝑉 ∩ 𝒫𝕂𝑛 Ví dụ 1.2.2.5 Một đường trong 𝒫2 là một tập đại số cho bởi phương trình tuyến tính 𝑎𝑋 + 𝑏𝑌 + 𝑐𝑍 = 0 � không đồng thời bằng 0 Nếu giả sử 𝑐 ≠ 0 thì một đường như vậy với 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝕂 được định nghĩa trên một trường. .. văn này dựa trên những công cụ nghiên cứu đã được sử dụng trong [2], [3], [13] 6 Cấu trúc luận văn Luận văn bao gồm 2 chương Chương 1: Kiến thức cơ bản Chương này trình bày một số khái niệm và các kết quả nghiên cứu đã được công bố trong nhiều tài liệu về các chuyên ngành Toán: - Các định lí cơ bản mô tả sự tách trực tiếp các nhóm aben hữu hạn sinh - Các đa tạp xạ ảnh, afin - Các khái niệm, các kết quả... nghĩa trên một trường bất kỳ chứa 𝑎/𝑐 và 𝑏 /𝑐 Một cách tổng quát hơn, một siêu phẳng trong 𝒫 𝑛 được cho bởi phương trình 𝑎1 𝑋1 + ⋯ + 𝑎𝑛+1 𝑋𝑛+1 = 0 � không đồng thời bằng 0 với các 𝑎𝑖 ∈ 𝕂 Nhận xét 1.2.2.6 Một điểm của 𝒫ℚ𝑛 có dạng [𝑥1 : … : 𝑥𝑛+1 ] với 𝑥𝑖 ∈ ℚ Nhân với một số hữu tỷ 𝜆 ∈ ℚ thích hợp, ta có thể loại bỏ mẫu số và các nhân tử chung khỏi các 𝑥𝑖 Nói cách khác, mỗi 𝑃 ∈ 𝒫ℚ𝑛 có thể viết dưới dạng tọa