Sơ lược về đường cong elliptic trên trường hữu hạn

Nếu V là đa tạp aphin thì vành tọa độ ¯k[V ] là miềnnguyên đồng thời là ¯k− đại số hữu hạn sinh.. Tập Y ⊂ An được gọi là đa tạp aphin nếu Y làtập đại số và tập bất khả qui.. Không gian t

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Phương

SƠ LƯỢC VỀ ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC

TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Phương

SƠ LƯỢC VỀ ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC

TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN

Chuyên ngành: Hình học

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

Phạm Thanh Tâm

Hà Nội – Năm 2016

Mục lục

1.1 Trường hữu hạn 2

1.1.1 Trường 2

1.1.2 Đặc số của trường 3

1.1.3 Tính chất trường hữu hạn 3

1.2 Đa tạp aphin 4

1.3 Đa tạp xạ ảnh 9

1.3.1 Cấu xạ trên đa tạp 13

1.3.2 Cấu xạ Frobenius 15

1.4 Đường cong Elliptic 16

1.4.1 Luật nhóm trên đường cong Elliptic 18

1.4.2 Đẳng giống 19

2 Tập điểm của đường cong Elliptic trên trường hữu hạn 24 2.1 Số các điểm hữu tỉ 24

2.2 Hàm zêta của một đa tạp xạ ảnh 25

2.3 Giả thuyết Riemann cho đường cong elliptic 26

2.4 Giả thuyết Weil cho đường cong elliptic 28

Chương 1

Đường cong Elliptic

1.1 Trường hữu hạn

Một vành giao hoán có đơn vị có nhiều hơn một phần tử và mọi phần

tử khác không đều khả nghịch (đối với phép nhân) được gọi là mộttrường

Như vậy một tập k với 2 phép toán cộng và nhân là một trường nếuthỏa mãn:

• k là nhóm Aben với phép toán cộng có phần tử trung hòa

• k\{0} là nhóm aben với phép toán nhân có phần tử đơn vị

• Với mọi a,b,c thuộc k ta có:

c.(a + b) = c.a + c.b(a + b).c = a.c + b.c (luật phân phối)

1.1.2 Đặc số của trường

Cho k là một trường với phần tử đơn vị e Khi đó số tự nhiên nhỏnhất n 6= 0 sao cho bội ne = 0 được gọi là đặc số của trường k Trongtrường hợp ngược lại ta nói k có đặc số 0

Ví dụ: Các trường Q,R,C đều có đặc số 0

Kí hiệu: Char(k)

Có thể thấy rằng nếu trường k có đặc số n 6= 0 thì n là một số nguyên

tố nào đó Trong trường hợp này mọi phần tử khác 0 của nhóm cộng

• Trong trường hữu hạn F nhóm nhân các phần tử khác 0 là xyclic

• Giả sử F là trường hữu hạn có q = pn phần tử Khi đó cấp củanhóm Galoa G = G(F/Zp) bằng n Hơn nữa, G là nhóm xyclicsinh bởi tự đẳng cấu ϕ : a 7→ ap, với mọi a ∈ F

• Mỗi trường hữu hạn F có q = pn phần tử là một trường chiađường tròn bậc q − 1 trên trường nguyên tố P ' Zp

• Cho p là số nguyên tố Bao đóng đại số của Fp là hợp của dãytăng các trường hữu hạn có đặc số p : Fp = S

Gọi a là ideal của R sinh bởi tập T ⊂ R thì Z(T ) = Z(a) Vành

R là vành Noether nên tồn tại các đa thức f1, , fn ∈ R sao choZ(a) = Z(f1, , fn)

Định nghĩa 1.2.1 Cho Y ⊂ An Tập Y được gọi là tập đại số (aphin)nếu tồn tại T ⊂ R sao cho Y = Z(T )

Các tập đại số thỏa mãn tiên đề dành cho các tập đóng của khônggian tô pô Tô pô cảm sinh bởi các tập đại số được gọi là tô pô Zariski.Định nghĩa 1.2.2 Cho X là không gian tô pô, ∅ 6= Y ⊂ X Tập Yđược gọi là tập bất khả qui nếu Y không là hợp của hai tập con đóngthực sự của Y

Ví dụ 1.2.3 Không gian A1 là tập bất khả qui vì các tập con đóngthực sự của A1 chỉ là các tập hữu hạn.

Định nghĩa 1.2.4 Cho Y ⊂ An Ideal của Y trong vành R là tậpđược xác định

I(Y ) = {f ∈ R|f (P ) = 0, ∀P ∈ Y }

Tập đại số Y được gọi là xác định trên k nếu ideal I(Y ) của nósinh bởi các đa thức trong k[x1, , xn], kí hiệu Y /k

Mệnh đề 1.2.5 1 Nếu T1 ⊂ T2 ⊂ R thì Z(T1) ⊃ Z(T2)

2 Nếu Y1 ⊂ Y2 ⊂ An thì I(Y1) ⊃ I(Y2)

3 Mọi tập con Y1, Y2 ⊂ An ta có I(Y1 ∪ Y2) = I(Y1) ∩ I(Y2)

4 Mọi a là ideal của R ta có I(Z(a)) = rad(a)

5 Mọi tập con bất kì Y của An ta có Z(I(Y )) = Y

Vì vậy, tập Y ⊂ An là đa tạp aphin khi và chỉ khi ideal I(Y ) làideal nguyên tố của vành R

Định lý 1.2.6 (Định lí không điểm Hilbert) Cho a là một ideal củavành ¯k[x1, , xn], đa thức f ∈ ¯k[x1, , xn] sao cho f (P ) = 0, ∀P ∈Z(a) Khi đó tồn tại số r > 0 sao cho fr ∈ a

Hệ quả 1.2.7 Có một sự tương ứng 1−1 giữa các tập đại số của An vàcác ideal căn của vành R cho bởi Y ⊂ An 7→ I(Y ) và a ⊂ R 7→ Z(a).Hơn thế nữa, tập Y ⊂ An là bất khả qui khi và chỉ khi I(Y ) là idealnguyên tố của R

Định nghĩa 1.2.8 Cho Y ⊂ An là tập đại số Vành tọa độ của Ytrên ¯k (kí hiệu ¯k[Y ]) là vành được xác định

¯k[Y ] = R/I(Y )

Nếu Y là tập đại số xác định trên k Vành tọa độ của Y trên kđược định nghĩa

k[Y ] = k[x1, , xn]/I(Y )

Trong trường hợp Y /k là đa tạp aphin thì vành tọa độ của Y làmiền nguyên Trường các thương của nó, kí hiệu là k(Y ), được gọi làtrường hàm của Y trên k Tương tự ta định nghĩa ¯k(Y ).

Nhận xét 1.2.9 Nếu V là đa tạp aphin thì vành tọa độ ¯k[V ] là miềnnguyên đồng thời là ¯k− đại số hữu hạn sinh Ngược lại, nếu B là đại

số hữu hạn sinh, miền nguyên thì B = R/a trong đó a là ideal nguyên

tố Khi đó B là vành tọa độ của đa tạp xác định bởi V = Z(a)

Định nghĩa 1.2.10 Tập Y ⊂ An được gọi là đa tạp aphin nếu Y làtập đại số và tập bất khả qui Một tập mở của một đa tạp aphin đượcgọi là đa tạp tựa aphin

Định nghĩa 1.2.11 Không gian tô pô X được gọi là không gian tô

pô Noether nếu trong X mọi dãy giảm các tập con đóng đều là cácdãy dừng

Ví dụ 1.2.12 Không gian An là một không gian tô pô Noether vìmọi dãy giảm Y1 ⊃ Y2 ⊃ các tập con đóng của An cảm sinh tươngứng dãy tăng I(Y1) ⊂ I(Y2) ⊂ các ideal căn của vành R Lại cóvành R là vành Noether nên dãy tăng các ideal phải là dãy dừng Vìvậy tồn tại r > 0 sao cho Ys = Yr, ∀s ≥ r

Mệnh đề 1.2.13 Cho X là không gian tô pô Noether Khi đó mọitập đóng ∅ 6= Y ⊂ X luôn tồn tại các tập con đóng bất khả qui

Yi, i = 1, , n sao cho Y = Y1 ∪ ∪ Yn Hơn nữa, nếu Yi 6= Yj, ∀i 6= jthì biểu diễn trên là duy nhất

Vì vậy mọi tập đại số trong không gian An đều có thể biểu diễnduy nhất thành hợp của hữu hạn các đa tạp aphin

Định nghĩa 1.2.14 Cho X là không gian tô pô Số chiều của X, kíhiệu dimX là số cực đại n sao cho tồn tại một xích các tập con đóngbất khả qui phân biệt của X :

X0 X1 Xn ⊂ X

Số chiều của một đa tạp aphin được định nghĩa là số chiều củakhông gian tô pô Noether tương ứng.

Ví dụ 1.2.15 Trong không gian X = A1 mọi tập con đóng bất khảqui của A1 đều là tập gồm một điểm Do đó số chiều của không gian

A1 bằng 1

Định nghĩa 1.2.16 Cho p là ideal nguyên tố của R Độ cao của p,

kí hiệu height(p) là số n cực đại sao cho có xích các ideal nguyên tốrời nhau

¯

k[Y ] Vì vậy nếu Y ⊂ An là tập đại số thì dimY = dim(¯k[Y ])

Định lý 1.2.17 Cho k là trường, B là miền nguyên đồng thời làk−đại số hữu hạn sinh Khi đó

1 Số chiều của B bằng bậc siêu việt của trường thương ¯k(B) của

B trên ¯k

2 Mọi ideal nguyên tố p trong B

height(p) + dim(B/p) = dimB

Hệ quả 1.2.18 Cho V là đa tạp của An Khi đó

height(I(V )) + dim¯k[V ] = dim(¯k[x1, , xn]) = n

Ví dụ 1.2.19 Không gian An có số chiều bằng n Thật vậy, ta cóI(An) = 0 nên dimAn = n − 0 = n

Mệnh đề 1.2.20 Cho A là vành Noether Khi đó

1 Nếu x ∈ A khác đơn vị và không là ước của không thì mọi idealnguyên tố cực tiểu p chứa (x) có height(p) = 1.

2 Miền nguyên A là miền phân tích duy nhất khi và chỉ khi mọiideal nguyên tố có height bằng 1 đều là ideal chính

Mệnh đề 1.2.21 Cho V là đa tạp của không gian An Khi đó dim(V ) =n−1 khi và chỉ khi tồn tại đa thức bất khả qui f ∈ R sao cho V = Z(f ).Chứng minh Nếu dim(V ) = n−1 thì theo định lí trên height(I(V )) =

1 Giả thiết vành R là miền phân tích duy nhất nên tồn tại đa thức

f ∈ R sao cho I(V ) = (f ) Do I(V ) là ideal nguyên tố nên đa thức fbất khả qui Ngược lại, từ V = Z(f ) trong đó f là đa thức bất khảqui trong vành R suy ra dim(V ) = n − 1

Định nghĩa 1.2.22 Cho V là một đa tạp, P ∈ V và f1, , fm ∈ R

là hệ sinh của I(V ) Đa tạp V gọi là trơn tại P nếu hạng của ma trậnJacobi

 ∂fi

∂xj(P )



0≤i≤m 0≤j≤n

bằng n − dimV Đa tạp V gọi là trơn nếu V trơn tại mọi điểm P của

V Ngược lại, đa tạp V gọi là có điểm kì dị tại P

Ví dụ 1.2.23 1 Cho V là đa tạp xác định bởi đa thức bất khả qui

f ∈ R Khi đó V kì dị tại điểm P ∈ V khi và chỉ khi ∂x∂f

Mệnh đề 1.2.25 Cho V là đa tạp aphin, P ∈ V và MP là ideal cực

đại của ¯k[V ] Khi đó MP/M2

P là một ¯k−không gian vecto hữu hạn chiều

Hơn nữa, đa tạp V trơn tại P khi và chỉ khi dim¯kMP/M2

P = dimV Định nghĩa 1.2.26 Cho V là đa tạp aphin và P ∈ V , ¯k[V ] là vành

tọa độ của V Địa phương hóa của ¯k[V ] tại MP được gọi là vành địa

phương của V tại P , kí hiệu ¯k[V ]P

Ví dụ 1.2.27 Cho đa tạp V : y2 = x3 + x, đa tạp V trơn tại điểm

P (0, 0) Ta có MP là ideal của ¯k[V ] sinh bởi x, y, MP2 là ideal của ¯k[V ]

sinh bởi x2, xy, y2 Trên V lại có x = y2− x3 = 0(modMP2) nên MP/M2

P

sinh bởi y Do dimV = 1 và V trơn tại P (0, 0) nên dim(MP/M2

P) = 1

1.3 Đa tạp xạ ảnh

Không gian xạ ảnh n−chiều trên ¯k là tập tất cả các lớp tương đương

Pn = {[a0, , an]|ai ∈ ¯k, có ít nhất một ai nào đó khác 0}

trong đó quan hệ tương đương

(a0, , an) ∼ (b0, , bn) ⇔ tồn tại 0 6= λ ∈ ¯k sao cho bi = λai, ∀i = 0, 1, 2, , n.Tập các k−điểm trong Pn

Pn(k) = {[a0, , an]|ai ∈ k, có ít nhất một ai nào đó khác 0}

Định nghĩa 1.3.1 Đa thức F ∈ ¯k[x0, , xn] = ¯k[x] được gọi là đa

các nhóm Abel thỏa mãn ∀d1, d2 ≥ 0|Sd1Sd2 ⊂ Sd1+d2 Nhóm Sd đượcgọi là thành phần thuần nhất bậc d của vành S.

Xét S = ¯k[x0, , xn], mỗi đa thức thuần nhất F ∈ S ta có

Định nghĩa 1.3.4 Cho Y ⊂ Pn là tập đại số Ideal của Y , kí hiệuI(Y ) là ideal sinh bởi các đa thức {F ∈ Sd : F (P ) = 0, ∀P ∈ Y, d =

0, 1, }

Tập đại số V ⊂ Pn được gọi là đa tạp xạ ảnh nếu ideal thuần nhấtI(V ) của nó là ideal nguyên tố (⇔ V là tập xạ ảnh bất khả qui) Mộttập con mở của một đa tạp xạ ảnh được gọi là đa tạp tựa xạ ảnh.Cho Y ⊂ Pn Vành tọa độ thuần nhất của Y , kí hiệu S(Y ) đượcđịnh nghĩa là S(Y ) = S/I(Y ) Trong trường hợp V là tập xạ ảnh vànhtọa độ S(V ) của V là miền nguyên

Cho Y ⊂ Pn tập đại số, tập Y được gọi là xác định trên k nếu idealI(Y ) có một hệ sinh gồm các đa thức thuần nhất của k[x]

Ví dụ 1.3.5 Cho V : X2+ Y2 = Z2 trong P2 Đa thức F (X, Y, Z) =

X2 + Y2 − Z2 bất khả qui nên ideal I(V ) là ideal nguyên tố của

¯

k[X, Y, Z] Vì vậy V là một đa tạp xạ ảnh Hơn nữa, tập các k−điểm

V (k) đẳng cấu với P1(k) qua ánh xạ

Φ : P1(k) −→ V (k); [s, t] 7→ [s2 − t2, 2st, s2 + t2]

Trong không gian Pn, xét ánh xạ

φi : An −→ Pn, (x1, , xn) 7→ [x1, , xi−1, 1, xi, , xn]

Đặt Ui = {Xi 6= 0} ⊂ Pn Ta có Ui ∼ An qua song ánh φ−1i :

Ui −→ An Với V là tập đại số xạ ảnh cùng với ideal I(V ) Khi đó

V ∩ An = φ−1i (V ∩ Ui) là tập đại số aphin với ideal I(V ∩ An) cho bởi

I(V ∩An) = {f (y0, , yi−1, yi+1, , yn) = F (x0, , xn)/Xid; d = degF, F ∈ I(V )}.Mọi đa thức f (x1, , xn) ∈ ¯k[x1, , xn] tồn tại đa thức cho bởi

F (x0, , xn) = xd0f (x1/x0, , xn/x0); d = degf

là đa thức thuần nhất bậc d

Định nghĩa 1.3.6 Cho V ⊂ An là tập đại số aphin cùng với ideal

I(V ), coi V như là tập con của Pn thông qua ánh xạ φi Bao đóng xạ

ảnh của V , kí hiệu ¯V , là tập đại số xạ ảnh cho bởi ideal thuần nhất

2 Nếu V là một đa tạp aphin (xạ ảnh) xác định trên k thì tươngứng ¯V (V ∩ An) cũng là xác định trên k.

Chứng minh 1 Nếu V là đa tạp aphin Theo định nghĩa ta dễ dàng

chứng minh được I( ¯V ) = {F (x0, , xn) : f ∈ I(V )} là ideal nguyên

Ví dụ 1.3.8 Trong không gian xạ ảnh Pn cho đa tạp xạ ảnh V xác

định bởi phương trình V : x3 + 17 = y2, lúc đó đa tạp V có phương

trình thuần nhất V : X3+ 17Z3 = Y2Z, tập các Q−điểm của V được

xác định

V (Q) = {(x, y) ∈ A2(Q) : x3 + 17 = y2} ∪ [0, 1, 0]

Định nghĩa 1.3.9 Cho V là đa tạp xạ ảnh xác định trên k, chọn An

sao cho V ∩ An 6= ∅ Khi đó

1 Số chiều của V , kí hiệu dimV , là số chiều của V ∩ An

2 Trường hàm của V , kí hiệu k(V ), là trường hàm của V ∩ An.Tương tự, ta định nghĩa k(V )

3 Đa tạp V được gọi là trơn tại P nếu đa tạp aphin V ∩ An trơntại P

4 Vành địa phương của V tại P , kí hiệu ¯k[V ]P được định nghĩa là

vành địa phương của V ∩ An tại P Hàm F ∈ ¯k(V ) được gọi là chínhqui ( xác định) tại P nếu F ∈ ¯k[V ]P.

Mệnh đề 1.3.10 Cho V là đa tạp xạ ảnh Khi đó mọi F ∈ ¯k(V ) đều

có dạng F (X) = f (X)g(X) trong đó

1 f, g là các đa thức thuần nhất cùng bậc

2 g /∈ I(V )

3 f (X)g(X) = fg00 (X)(X) ⇔ f g0− gf0 ∈ I(V )

1.3.1 Cấu xạ trên đa tạp

Định nghĩa 1.3.11 Cho V1, V2 là các đa tạp xạ ảnh Ánh xạ hữu tỉ

Định nghĩa 1.3.14 1) Cho V1, V2 là các đa tạp xạ ảnh Ánh xạ hữu

tỉ từ V1 vào V2 là ánh xạ có dạng

φ : V1 −→ V2; φ = [F0, , Fn]

trong đó các hàm Fi là các đa thức thuần nhất cùng bậc không cùngthuộc vào I(V1) thỏa mãn tính chất ∀F ∈ I(V2) thì F (F0(X), , Fn(X)) ∈I(V1)

2) Ánh xạ hữu tỉ φ : V1 −→ V2; φ = [F0, , Fn] được gọi là chínhqui tại P ∈ V1 nếu tồn tại các đa thức thuần nhất G0, , Gn ∈ ¯k[X]thỏa mãn

1 degG0 = degG1 = · · · = degGn

2 GiFj = GjFi đồng dư (I(V1)); ∀i, j

3 Tồn tại Gi(P ) 6= 0 với i nào đó

Nếu điều này xảy ra giá trị của ánh xạ hữu tỉ φ tại P

φ(P ) = [G0(P ), , Gn(P )]

Ví dụ 1.3.15 Ánh xạ φ : Pm −→ Pn; φ = [F0, , Fn] là ánh xạ hữu

tỉ, trong đó các Fi là các đa thức thuần nhất cùng bậc của vành ¯k[X]

Do ¯k[X] là miền phân tích duy nhất nên ta có thể giả sử các đa thức

F0, , Fn nguyên tố cùng nhau Khi đó φ là ánh xạ chính qui tại Pkhi và chỉ khi tồn tại các đa thức thuần nhất G0, , Gn ∈ ¯k[X] thỏamãn:

1 degG0 = degG1 = · · · = degGn

2 GiFj = GiFj = 0(mod(I(Pn))); ∀i, j

3 Tồn tại Gi(P ) 6= 0 với i nào đó

Từ điều kiện 1) và 2) tồn tại các đa thức Gi = BCN N (F0 , ,Fn)

Giả sử rằng char(k) = p > 0 và q = pr với số r > 0 nào đó Mọi

đa thức f (x) ∈ k[x] định nghĩa đa thức f(q) là đa thức thu được khinâng q−lũy thừa các hệ số của đa thức f (x) Tức là, nếu đa thức

f (x) = a0+ a1x + + anxn thì đa thức f(q)(x) = aq0+ aq1x + + aqnxn.Tương tự, đường cong C xác định bởi ideal I(C), lúc đó ta có thể địnhnghĩa đường cong C(q) là đường cong xác định bởi ideal

I(C(q)) = ideal sinh bởi các đa thức (f(q), f ∈ I(C))

Mỗi điểm P [x0, , xn] của đường cong C thì f(q)([xq0, , xqn]) =(f ([x0, , xn]))q = 0 Cấu xạ tự nhiên

πC : C −→ C(q); [x0, x1, , xn] 7→ [xq0, xq1, , xqn]được gọi là cấu xạ q−lũy thừa Frobenius của C

Mệnh đề 1.3.17 Giả sử rằng char(k) = p > 0 và q = pr với số r > 0nào đó Cấu xạ πC là cấu xạ q−lũy thừa Frobenius của C Khi đó

1 π∗Ck(C(q)) = k(C)(q) = {f(q) : f ∈ k(C)};

2 πC là hoàn toàn không tách được;

3 degπC = q

1.4 Đường cong Elliptic

Định nghĩa 1.4.1 Trong không gian xạ ảnh P2, đường cong trơn Eđược gọi là đường cong elliptic nếu E xác định bởi phương trình códạng (phương trình Weiertrass của E)

E : Y2Z + a1XY Z + a3Y Z2 = X3 + a2X2Z + a4XZ2 + a6Z3

trong đó a1, , a6 ∈ ¯k Điểm O[0, 1, 0] ∈ E được gọi là điểm vô tậncủa đường cong elliptic E Đường cong elliptic được gọi là đường congxác định trên k nếu các hệ số a1, , a6 ∈ k

Thông thường người ta thường mô tả đường cong elliptic thôngqua một phương trình đa thức không thuần nhất, bằng cách đặt x =X/Z; y = Y /Z

E : y2 + a1xy + a3y = x3 + a2x2 + a4x + a6

và luôn nhớ rằng E có một điểm ở vô tận O[0, 1, 0]

Ví dụ 1.4.2 Đường cong elliptic

∆.Giá trị ∆ được gọi là biệt thức của phương trình Weiertrass và j

là j−bất biến của đường cong elliptic

Cho P ∈ E là điểm kì dị trên đường cong

E : f (x, y) = y2 + a1xy + a3y − x3 − a2x2 − a4x − a6 = 0

Khai triển Taylor của đa thức f (x, y) tại điểm P (x0, y0) ta được

f (x, y) = [(y − y0) − α(x − x0)][(y − y0) − β(x − x0)] − (x − x0)3.Định nghĩa 1.4.3 Đường cong E được gọi là có nút tại P nếu α 6= β.Khi đó tại P đường cong E có hai tiếp tuyến