B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌ C s P H Ạ M H À N Ộ I KHOA TOÁN N guyễn T hị Phương s LƯỢC VỀ ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC H N ộ i — N ăm 2016 BỘ GIÁO D Ụ C VÀ Đ ÀO TẠO T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌ C s P H Ạ M H À N Ộ I KHOA TOÁN N guyễn T hị Phương s LƯỢC VỀ ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN C huyên ngành: H ình học K H Ó A L U Ậ N T Ố T N G H IỆ P Đ Ạ I HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: P h m T h a n h T âm H N ội —N ăm 2016 M ụ c lục Đ ường cong E lliptic 1.1 Trường hữu h n 1.1.1 Trường 1.1.2 Đặc số trường 1.1.3 Tính chất trường hữu hạn 1.2 Đa tạp aphin 1.3 Đa tạp xạ ả n h 1.4 2 1.3.1 Cấu xạ đa t p 13 1.3.2 Cấu xạ Frobenius 15 Đường cong E lliptic 16 1.4.1 Luật nhóm đường cong E lliptic 18 1.4.2 Đẳng g i ố n g 19 Tập điểm đường cong E lliptic trường hữu hạn 24 2.1 Số điểm hữu t ỉ 24 2.2 Hàm zêta đa tạp xạ ả n h 25 2.3 Giả thuyết Riemann cho đường cong e llip t ic 26 2.4 Giả thuyết Weil cho đường cong elliptic 28 C hương Đ n g co n g E llip tic 1.1 Trường hữu hạn 1.1.1 Trường Một vành giao hoán có đơn vị có nhiều phần tử phần tử khác không khả nghịch (đối với phép nhân) gọi trường Như tập k với phép toán cộng nhân trường thỏa mãn: • k nhóm Aben với phép toán cộng có phần tử trung hòa • fc\{0} nhóm aben với phép toán nhân có phần tử đơn vị • Với a,b,c thuộc k ta có: c.(a + b) = c.a + c.b (a + b).c = a.c + b.c (luật phân phối) Ví dụ: Q, R, c Một trường có vô hạn phần tử (M) Một trường gọi hữu hạn có hữu hạn phần tử Ví dụ: Zp= { 0,1, ,p-l} , p số nguyên tố Zp trường hữu hạn 1.1.2 Đ ặc số trường Cho k trường với phần tử đơn vị e Khi số tự nhiên nhỏ n ^ cho bội ne = gọi đặc số trường k Trong trường hợp ngược lại ta nói k có đặc số Ví dụ: Các trường Q,K,C có đặc số Kí hiệu: Char(k) Có thể thấy trường k có đặc số n 7^ n số nguyên tố Trong trường hợp phần tử khác nhóm cộng k có cấp p 1.1.3 T ính chất trường hữu hạn • Số phần tử trường hữu hạn F lũy thừa pn với p đăc số trường F, p số nguyên tố.• • Hai trường hữu hạn đẳng cấu chúng có số phần tử • Với số nguyên tố p với số tự nhiên n > tồn trường hữu hạn cấp pn • Trong trường hữu hạn F nhóm nhân phần tử khác xyclic • Giả sử F trường hữu hạn có q = pn phần tử Khi cấp nhóm Galoa G = G {F /rLp) n Hơn nữa, G nhóm xyclic sinh tự đẳng cấu : a !-»■ ap, với a € F • Mỗi trường hữu hạn F có q = pn phần tử trường chia đường tròn bậc q — trường nguyên tố p ~ Zp • Cho p số nguyên tố Bao đóng đại số Fp hợp dãy tăng trường hữu hạn có đặc số p : u Fpn Fp = n e N* 1.2 Đa tạp aphin Không gian aphin n - chiều trường k tập có dạng An = {(oi, ,on)|oi € M = , n} Tập k—điểm không gian An tập An = { ( ữ i , an)\ai e k,i = 1, Mỗi đa thức / € R tập không điểm đa thức / Z ( f ) = { P e A n\f(P) = 0} Tương tự, với tập T c R ta có Z(T) = { P e A n\f(P) = o , V f e T } Gọi a ideal R sinh tập T c R Z ( T ) = Z ( a) Vành R vành Noether nên tồn đa thức E R cho Z(a) = Z ( f u J n) Đ ịn h nghĩa 1.2.1 Cho Y c An Tập Y gọi tập đại số (aphin) tồn T c R cho Y = Z{T) Các tập đại số thỏa mãn tiên đề dành cho tập đóng không gian tô pô Tô pô cảm sinh tập đại số gọi tô pô Zariski Đ ịnh nghĩa 1.2.2 Cho X không gian tô pô, ^ Y c X Tập Y gọi tập bất khả qui Y không hợp hai tập đóng thực Y V í dụ 1.2.3 Không gian A tập bất khả qui tập đóng thực A tập hữu hạn Đ ịnh nghĩa 1.2.4 Cho Y c An Ideal Y vành R tập xác định I{Y) = { / G R \f{P ) = 0,VP G Y } Tập đại số Y gọi xác định k ideal I(Y) sinh đa thức k[x\, ,xn], kí hiệu Y/k M ệnh đề 1.2.5 Nếu Tị c T2 c R Z{TX) D Z(T2) Nếu Yt c Y2 c An I{Y1) D I{Y2) Mọi tập Yị,Y c An ta có IịỴi u Y2) = I{Ỵi) n I { ỵ 2) ị Mọi a ideal R ta có I(Z(à)) = rad(a) Mọi tập Y An ta có Z Ự (Y )) = Y Vì vậy, tập Y c An đa tạp aphin ideal I{Ỵ) ideal nguyên tố vành R Đ ịnh lý 1.2.6 (Định lí không điểm Hilbert) Cho a ideal vành k ị x i , x n], đa thức f € k[xi, ,xn] cho f ( p ) = 0,VP G z(a) Khi tồn số r > cho f r G a H ệ 1.2.7 Có tương ứng 1—1 tập đại số An ideal vành R cho Y c An !-»■ I(Y) a c R !-»■ Z(a) Hơn nữa, tập Y c An bất khả qui khỉ I{Ỵ) ideal nguyên tố R Đ ịnh nghĩa 1.2.8 Cho Y c An tập đại số Vành tọa độ Y k (kí hiệu k[Y]) vành xác định k[Y] = R /I(Y ) Nếu Y tập đại số xác định k Vành tọa độ Y k định nghĩa k[Y] = k[xu ,xn]/I(Y) Trong trường hợp Y /k đa tạp aphin vành tọa độ Y miền nguyên Trường thương nó, kí hiệu k(Y), gọi trường hàm Y k Tương tự ta định nghĩa k(Y) N hận x ét 1.2.9 Nếu V đa tạp aphin vành tọa độ k [V] miền nguyên đồng thời k— đại số hữu hạn sinh Ngược lại, B đại số hữu hạn sinh, miền nguyên B = R / a a ideal nguyên tố Khi B vành tọa độ đa tạp xác định V — z(à) Đ ịnh nghĩa 1.2.10 Tập Y c An gọi đa tạp aphin Y ỉà tập đại số tập bất khả qui Một tập mở đa tạp aphin gọi đa tạp tựa aphin Đ ịn h nghĩa 1.2.11 Không gian tô pô X gọi không gian tô pô Noether X dãy giảm tập đóng dãy dừng V í dụ 1.2.12 Không gian An không gian tô pô Noether dãy giảm Yị D Y2 D tập đóng An cảm sinh tương ứng dãy tăng IiỴi) c I(Y2) c ideal vành R Lại có vành R vành Noether nên dãy tăng ideal phải dãy dừng Vì tồn r > cho Ys = yr,Vs > r M ệnh đề 1.2.13 Cho X không gian tô pô Noether Khi tập đóng Ỷ Y c X tồn tập đóng bất khả qui Yi,i = 1, , n cho Y — Yị u u Yn Hơn nữa, Yị ^ Yj,\/i ^ j biểu diễn Vì tập đại số không gian An biểu diễn thành hợp hữu hạn đa tạp aphin Đ ịn h nghĩa 1.2.14 Cho X không gian tô pô số chiều X , kí hiệu dim X số cực đại n cho tồn xích tập đóng bất khả qui phân biệt X : I o Ễ I i Ễ £ X n c X số chiều đa tạp aphin định nghĩa số chiều không gian tô pô Noether tương ứng V í dụ 1.2.15 Trong không gian X = A tập đóng bất khả qui A tập gồm điểm Do số chiều không gian A Đ ịnh nghĩa 1.2.16 Cho p ideal nguyên tố R Độ cao p, kí hiệu height(p) số n cực đại cho có xích ideal nguyên tố rời Po £ Pi £ £ Pn = p Số chiều vành R , kí hiệu dimR số cực đại độ cao ideal nguyên tố vành R Ta biết tập bất khả qui Y tương ứng —1 với ideal nguyên tố vành R chứa I(Y) Do tập bất khả qui Y tương ứng — với ideal nguyên tố vành tọa độ k[Y] Vì Y c An tập đại số dimY = dỉm(k[Y]) Đ ịn h lý 1.2.17 Cho k trường, B miền nguyên đồng thời k—đại số hữu hạn sinh Khi Số chiều B bậc siêu việt trường thương k(B) B k Mọi ideal nguyên tố p B height(p) + dim (B /p ) = dỉmB H ệ 1.2.18 Cho V đa tạp An Khỉ heightự(V)) + dimkịv] = dim(k[xi, , xn\) = n V í dụ 1.2.19 Không gian An có số chiều n Thật vậy, ta có I(A n) = nên dỉmAn = n —0 = n M ệnh đề 1.2.20 Cho A vành Noether Khi Nếu X e Ả khác đơn vị không ước không ideal nguyên tố cực tiểu p chứa (X) có height(p) = Miền nguyên A miền phẫn tích ỉdeal nguyên tố có height ideal M ệnh đề 2 Cho V đa tạp không gian An Khi d i m i y ) = n —1 tồn đa thức bất khả qui f e R cho V = z ( f ) Chứng minh Nếu d ỉ m ị y ) = 71—1 theo định lí h eig h tự iy)) = Giả thiết vành R miền phân tích nên tồn đa thức / e R cho u y ) = ( /) Do I(V) ideal nguyên tố nên đa thức / bất khả qui Ngược lại, từ V = z ự ) / đa thức bất khả qui vành R suy d ỉm ịy ) = 77—1 Đ ịnh nghĩa 1.2.22 Cho V đa tạp, p € V □ € R hệ sinh I{V) Đa tạp V gọi trơn p hạng ma trận Jacobi 0< i < m 0 ệ-^Q '), P ^ P + R Do đó, # r ‘ («') = # ộ - ỉ ( Q ) y ì y Ị y d e g ,( ộ ) = # ệ - ' ( Q ) ,V Q e E2 Lấy P,P' € Eị cho ệ(P) — ộ {P r) — Q đặt R — p — P' Khi Ộ(R) = o , ộ tr = ệ ■ Do eệ{P) = Cệ,TR{P) = e,(r*(P )).er„(P) = e^p' ) Vì vậy, điểm Ộ~1 (Q) có số rẽ nhánh Khi (■degsộ)(degiệ) = degệ = ^ eệ(P) = ( # _1(Q))e^(P) = degs(ộ)eệ(P) Peậ-HQ) Vậy điểm p G Eị eệ(p) = degi(ệ) H ệ 1.4.14 Cho E đường cong elliptic □ nhóm hữu hạn E Khi tồn đường cong elliptic E' đẳng giống tách (p : E — > E' cho K e r ộ = í> Đ ịn h nghĩa 1.4.15 Cho ệ : Ei — » E € Hom(Ei, E2), (Ị) Ỷ [0], degộ = m Đẳng giống ậ : E — * Eị thỏa mẫn ộ.ộ = [m\ gọi đẳng giống đối ngẫu 4> Đẳng giống đối ngẫu đẳng giống [0] đẳng giống [0] Đ ịn h lý 1.4.16 Cho ậ : Ei — » E e Hom(Eị, E2) Khỉ a) Đặt m = degệ Khi 4>.ộ = [m\ : Eị — > Eị ộ.ộ = [m] : E — » E2 22 b) Với : E — * E đẳng giống Khi ipệ = ộp c) ệ + p = ộ + p d) [m] = [m] degịm] = m e) degệ = degệ ỉ) ĩ = ộ- H ệ 1.4.17 Cho Elà đường cong elliptic xác định trường k, m G z m ^ Khi ( ) deg([m]) = m2 (2 ) Nếu m / trường k E[m] = Tj/rnL X Z/mZ (3) Nếu k trường có đặc số p hữu hạn Khi có hai trường hợp sau (i) E\pe] = {0} với e = 1,2, (ii) E\pe\ = z/pez với e = V í dụ 1.4.18 Cho E : y = 1, 2, X3 — X đường cong elliptic ánh xạ ệ : E — ►E : (x: y) (-Z , ¿y) đẳng giống E Ta có ệệ(x, y ) = ệ ( —x, ỉy) = (x, —y) = [—l](x,y) ệ ệ = [—1] deg[—1] = Như đẳng giống đối ngẫu ệ (Ị) degộ = degệ = 23 C hương T ập đ iểm củ a đ n g co n g E llip tic tr ê n trư n g hữ u h ạn Cho F trường hữu hạn, E đường cong Elliptic xác định F Do có hữu hạn cặp (x,y) , x ,y e F, nhóm E(F) hữu hạn Nhóm có nhiều tính chất, ví dụ tính thứ tự Trong chương nói đến giả thuyết đường cong Elliptic 2.1 Số điểm hữu tỉ Đ ịnh nghĩa 2.1.1 Cho E/ ¥g đường cong elliptic xác định trường hữu hạn Một điểm p e E xác định Fq gọi điểm hữu tỉ E Tập điểm hữu tỉ đường cong elliptic E kí hiệu E(¥q) N hận x ét 2.1.2 Cho E/¥q đường cong elliptic xác định trường hữu hạn F5 7TE '■ E — > E ánh xạ ợ—lũy thừa Frobenius Khi p € E(¥q) 7Te (P) = P- 24 2.2 Hàm zêta đa tạp xạ ảnh Đ ịnh nghĩa 2.2.1 Hàm zeta ỉà hàm có dạng ^ , , 1 C(s) — + “ b “ !-■■■ + “ h w 2s 3S ns Riemann số tính chất giải tích hàm zeta, ông chứng minh hàm C(s) hội tụ phần thực s lớn Đ ịnh lý 2.2.2 (S Lang) Mọi đường cong xạ ảnh trơn bậc xấc định trường hữu hạn Fạ có điểm xác định Fạ Chứng minh, c ố định điểm o € E, ta có luật nhóm + E Khi (E , +) nhóm Abel có đơn vị o , kí hiệu —p phần tử đối p Xét ánh xạ ộ : E — > E, ệ ( p ) = 7TE(P) —p 7ĨE : E — > E ánh xạ Frobenius Ta chứng minh (Ị) toàn ánh Thật vậy, giả sử trái lại Ộ(P) — Po,VP G E Khi 7ĩ e { P ) — p + Po,VP € E Vì 7ĩ e (P) — p + nPo, VP Ẽ F,Víỉ € N Mặt khác a G Fg a G Fg*, k Do 3nữ G N cho Vn > nữ E{F?n) í Xét Q € E ( ¥ qn),n > n Q — 7ĨE{Q) — Q + nPữ,Vn G N nP = 0,V n > n0, o phần tử đơn vị nhóm E(¥g) Khi 7r^(P) = p, VP G E,\/n > n0 Vì tồn số n cho E ( ¥ qn) = E ( ¥ q) Đây mâu thuẫn tập E(¥g) tập vô hạn Vì tồn điểm p G E cho 7Te (p ) —p = o p , tức p E E ( ¥ q) ĨĨE{P) = □ Chọn phương trình Weierstrass cho đường cong elliptic E với hệ số Fg, đặt ĨĨE ■ ’ E — > E l’ (x,y) I— > (xq, y q) cấu xạ q-lũy thừa Frobenius Từ nhóm Galois GjT/f sinh ánh 25 xạ q-lũy thừa Frobenius ¥q nên với điểm p £ E(¥g) p £ Eị¥q) -■ 7ĩe {P) = p Vì E(¥q) = Ker( —7Te )M ệnh đề 2.2.3 Cho Eị E hai đường cong eỉỉiptic xác định Fg Eị đẳng giống với E2 Khi # £ (F „ ) = # B '(F ,) Chứng minh Gọi ộ : Ei — ì E2 cấu xạ khác từ Ei vào E2, cấu xạ ĩĩEl 7Xe2 cấu xạ ợ—lũy thừa Frobenius Ei E2 Từ P' £ E2(¥q) TĨE2{P') = P ’ ộ toàn cấu nên tồn p £ Eị cho ệ(P) — P' Vì P' £ E (¥q) & 7Xe2 {ộ {P)) = ệ ( p) & P £ Ker{( - 7rẼ2 )ệ) Mặt khác, ệ~ (P') có degsộ phần tử nên từ sơ đồ giao hoán 1ĨE2 VEị Eị , >E2 Chứng minh Chọn phương trình Weierstrass đường cong E với hệ số trường F9 7ĨE cấu xạ q—lũy thừa Erobenius E Khi p E E (¥ qn) $ 7ĨE(P) = p Vì E ( ¥ qn) = K e r ( l —ĨĨE) Mặt khác cấu xạ (1 —Tĩ%) tách nên # E ( Fợn) = degs{ - ưn E) = deg( - ĨĨE) Ánh xạ bậc cấu xạ dạng toàn phương xác định dương với deg(7Tn) = qn nên \ #E( Fq« ) - q n - l \ < ự r □ 2.4 Giả thuyết Weil cho đường cong elliptic Đ ịnh lý 2.4.1 Cho v / ¥ q đa tạp xạ ảnh có số chiều N Khi 1) Hàm zêta v / ¥ q hàm hữu tỉ Z(V/¥,-,T) = ^ - e Q ( T ) đa thức P{ T) ] Q{ T) G Q [T] 2) Phương trình hàm: Tồn số nguyên e, gọi đặc số Euler đa tạp V , cho Z(V/V,- ỹ ) = ± q Sl/2r z ( v / ĩ , - , T ) 3) Giả thuyết Rỉemann: Hàm zêta đa tạp V phân tích 28 thành T, _ P i (T) P2 n - i " P„(T) P2W(T) ' Trong đa thức Pị(T) E z [T] với Po(T) = —T; P2JV —qNT thỏa mãn với i = , , N đa thức Pị(T) phân tích thành Pi{T) = nJ'.jil - a y T); |ay | = q‘! \ Đ ịn h nghĩa 2.4.2 Mỗi i = N gọi số bị(V) = degPịiT) định lí (2.Ậ.1) số Betti thứ %của đa tạp V Kí hiệu bị = bị(v) N hận x ét 2.4.3 Đặc số Euler đa tạp xác định thông qua số Betti theo công thức 2N i=0 Thật vậy, từ phương trình hàm Giả thuyết Riemann giả thuyết Weil ta có -P l(^ ) -P V ~ l(^ ) _ , N t/2rp*P l ( T ) P N - l { T ) Po( ^ ) P n ( ^ ) Pữ(T) P2 N(T) ■ Qui đồng mẫu số ta có số a b lũy thừa q thỏa mãn arfeo+62+ +62Jvp i ( r ) ^ p 2jv_i( r ) ^ bTbi+b3+- +b2N iP0 (T) P2N(T) i P1 ( ĩ) P 2, _ 1( ĩ ) q P0 (T) P 2N{T) • So sánh bậc đa thức tương ứng hai vế ta e= 60 + •••+ &2JV — bị — •••— &2JV-1- Vì 2N i=0 V í dụ 2.4.4 (K iể m tra g iả th u y ế t W eil cho V = p 1^ Ta có 29 hàm zeta p Z^^T) (1 _ T ^ _ gT) Do ta dễ dàng thấy Z ( P ' ; - ^ ) = qT2Z( P1;T) Từ hàm zeta thấy giả thuyết Riemann thỏa mãn với Pị(T) = bữ = 1, bị = 0, ỏ2 = nên đặc số Euler Pi e = V í dụ (K iể m tra g iả th u y ết W eil cho V = P^^Bài tập 5.1 tài liệu [1]) Theo ví dụ (??) ta có hàm zeta p^ = (1 —T )(l —gT) (l —qNT) e Kiểm tra ta có phương trình hàm sau Z(PN/V,-, = _ _ JV(JV+1)J.JV+1 {qN T - l ) { q N T - q ) { q N T - q N ) qN(N + l )j , N + l {T —l ) { q T —l ) H (qN ~ 1T —l ) ( q N T —l ) q q2 qN ( ±1 +1qN(N+1)/2JlN+1 ( l - T ) ( l - g T ) ( l - g JVT) Vậy ta có phương trình hàm Z lV N / p - _ ỉ _ l = ('± l ' 1^ + l„-W(JV+l)/2 T,Ar+ l _ _ Z(P (1 —T )(l —qT) (l —qNT) Từ phương trình hàm ta có đặc số Euler p^ e = N + 30 Tiếp theo ta kiểm tra giả thuyết Riemann cho V = PN Từ hàm zeta ta có P\{T) = P3(T) = • • • = P 2N_ị(T) = Pũ{T) = - T; p (T) = - qT; • • • ; P2N(T) = - qNT Vì số Betti FN: b0 — b2 — ■■■— b2N — 6i = 63 = • • • = &2ÌV-1 = Cho 1,1 Ỷ char(Fg); E/¥g đường cong elliptic Khi ánh xạ End(E) — > End(Ti(E))-, ộ I— > ội đơn ánh ( Xem chứng minh định lí (??)) M ệnh đề 2.4.6 Cho E/¥q đường cong elliptic, đặt Ộ-.E — > E; (x, y) I— > (xq, yq) tự đồng cấu q— lũy thừa Frobenius cho a = q + —# E ( ¥ q) Khi (a) Cho hai số a, /3 E c hai nghiệm phương trình T —aT+q Khi a ¡3 hai số phức liên hợp thỏa mãn Ịa Ị = Ị¡3Ị = ựq Hơn Vn > # E { ¥ gn) = qn + l - a n - l n (b) Tự đồng cấu Frobenius thỏa mẫn ệ —aộ + q — End(E) Chứng minh Theo mệnh đề (??) ta có det(ội) = deg(ộ);tr(ệi) = l + d e g ( ệ ) - d e g ( l - ộ ) = l+ g - # £ ( F g ) = a Do đa thức đặc trưng ội det(T - ội) = T —tr(ội)T + det(ội) = T - aT + q (a) Do đa thức đặc trưng ệi có hệ 31 số z nên phân tíc h n ó tr o n g c th n h det(T —ội) = T —aT + q = (T —a)(T - ạ) Moi số hữu tỉ — n ta có m , det(m - nội) det{— ~ VI) = - -= n nz deg(m - nệ) nz - ị - > - Vì đa thức bậc hai det(T — ội) = T — tr(ội)T + det(ệi = T —aT + q) không âm với T ễ K Khi đa thức đặc trưng ội có hai nghiệm phức liên hợp có nghiệm kép Trong hai trường hợp có |a| = \/3\ a.¡3 = q Vì |cc| = \/3\ — y/q Với n > ánh xạ ệ n cấu xạ qn—lũy thừa Frobenius thỏa mãn # E { F q„) = degil - ệ ny, tr(ệ?) = + qn - deg( - ộn) Kéo theo đa thức đặc trưng ệ n cho d e t { T - ộ Ị*) = (T —a n)(T —ậ n) = d e t { T - ộ Ị*) = T2-tr(
