các điểm hữu tỷ trên các đường cong elliptic trên trường hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH LA HỒNG NGỌC CÁC ĐIỂM HỮU TỶ TRÊN CÁC ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN. Chuyên ngành: Hình học và tôpô. Mã số: 604610 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Tiến sĩ Phan Dân Thành phố Hồ Chí Minh - 2010 LỜI CẢM ƠN Với việc hoàn thành bản Luận văn này, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới Thầy - TS. Phan Dân - người đã nhiệt tình từng bước hướng dẫn tôi thực hiện việc nghiên cứu đề tài: từ việc gợi ý, cung cấp các tài liệu nghiên cứu, hướng dẫn các phương pháp thực hiện, truyền đạt nhiều kiến thức quý báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn đến việc chỉnh sửa và hoàn chỉnh nội dung của bài luận. Tôi xin chân thành cảm ơn Quý Thầy trong tổ Bộ môn Hình Học, khoa Toán - Tin của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp tôi hoàn thành tất cả các học phần của Khóa học giúp tôi nâng cao được trình độ kiến thức chuyên môn và các phương pháp học tập hữu ích, giúp tôi hoàn thành các học trình, đặc biệt là luận văn tốt nghiệp. Chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, phòng Khoa học Công Nghệ Sau Đại học, phòng Tổ chức Hành chính, phòng Kế hoạch-Tài chính Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh; Cảm ơn Sở Giáo Dục-Đào Tạo Tiền Giang, Ban Giám Hiệu trường THPT Bình Đông thị xã Gò Công tỉnh Tiền Giang cùng toàn thể quý đồng nghiệp, các bạn cùng khóa học, gia đình đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Chân thành cảm ơn! Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 07 năm 2010. Tác giả La Hồng Ngọc. DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU A n Không gian afin n-chiều. D Biệt thức của đa thức bậc 3. deg Bậc của đường cong phẳng. E(k) Tập điểm hữu tỷ của đường cong elliptic E trên trường k. E(F p ) Tập hợp các điểm hữu tỷ của E trên trường F q . #E(F p ) Cấp của E(F p ). 2 | | k r E C  Số các điểm chung của đường cong elliptic và họ đường tròn.  q Trường hữu hạn q phần tử. G a Nhóm cộng tính. G m Nhóm nhân. G ( ) a m Nhóm xoắn. G(k) Nhóm các điểm hữu tỷ. gcd( ) Ước số chung lớn nhất. (X) Ideal triệt tiêu của X. k[x 1 , …, x n ] Vành đa thức trên k với n biến. [ ] k X Trường các hàm hữu tỷ trên X. N p (f(x)) Số nghiệm của phương trình đồng dư ( ) 0(mod ) f x p  . N(p) Số cặp của các thặng dư bậc 2 modulo p liên tiếp trong F p . N(p) * Số cặp của các số nguyên liên tiếp trong F p . (X) Vành các hàm chính quy trên X. P n Không gian xạ ảnh n-chiều (trên trường k đóng đại số). Q p Tập hợp các thặng dư bậc 2 modulo p. T(A) Nhóm con xoắn của A  Tổng trực tiếp. X(k) Tập tất cả các điểm k-hữu tỷ trên X. MỞ ĐẦU 1 . Lý do chọn đề tài Trong lý thuyết các đường cong Elliptic, vấn đề về số các điểm hữu tỷ trên các đường cong và cách xác định các điểm đó là một trong những vấn đề hết sức quan trọng. Đối với cấu trúc của nhóm các điểm hữu tỷ trên các đường cong Elliptic trên Q cũng như tính chất của các điểm xoắn trên chúng (được mô tả qua các Định lý Mordell-Weil, Mazur và Nagell-Lutz) là những kết quả rất đẹp nhưng chủ yếu mang ý nghĩa về mặt lý thuyết, bởi vì trong thực tế việc xác định các đối tượng đã được mô tả cũng không đơn giản (đối với trường hợp tổng quát), thậm chí ngay cả trường hợp chỉ xét các đường cong trên trường hữu hạn thì tập các điểm hữu tỷ như vậy cũng chỉ có lực lượng hữu hạn và có cấu trúc nhóm nhưng việc tính toán cũng không dễ dàng. Một mặt khác, trong thời gian gần đây lý thuyết về các đường cong Elliptic không còn là lĩnh vực nghiên cứu riêng của các nhà Hình học hay các nhà nghiên cứu thuộc lĩnh vực Hình học Đại số. Một trong những ứng dụng được quan tâm phát triển rất mạnh hiện nay là “sử dụng các kết quả nghiên cứu về đường cong elliptic trên trường hữu hạn vào lĩnh vực bảo mật, mã hoá thông tin”. Vì vậy, có một vấn đề tiếp theo được đặt ra rất tự nhiên là thử tìm hướng tiếp cận đến một số thuật toán tính toán để xác định các điểm hữu tỷ trên các đường cong elliptic trên trường hữu hạn. Chúng tôi lựa chọn đề tài này thuộc lĩnh vực Hình học Đại số với ý tưởng tiếp cận và giới thiệu một số kiến thức chuyên môn về “Lý thuyết về các đường cong Elliptic trên trường hữu hạn” cùng với việc xét tính chất của một số họ đường cong cụ thể để thực hiện việc mô tả cấu trúc của nhóm các điểm hữu tỷ trên chúng và xây dựng thuật toán tính toán tương ứng. Trong phạm vi đề tài, chúng tôi sẽ xét các đường cong Elliptic trên trường hữu hạn được mô tả dưới dạng Weierstrass. Vì vậy, luận văn có tên gọi là: “Các điểm hữu tỷ trên các đường cong elliptic trên trường hữu hạn”. 2. Lịch sử của vấn đề Cơ sở lý thuyết và công cụ nghiên cứu cũng như phương pháp giải quyết vấn đề trong Luận văn dựa trên một số kết quả sau đây: a) Định lý Hasse mô tả cận trên của lực lượng nhóm E(F q ) của đường cong elliptic trên trường hữu hạn F q . b) Các kết quả và phương pháp mô tả luật nhóm trên nhóm các điểm hữu tỷ trên các đường cong Elliptic trên trường hữu hạn . c) Các kết quả mô tả về các nhóm abel hữu hạn sinh. Luận văn của chúng tôi tập trung giải quyết một số vấn đề về: xác định nhóm các điểm hữu tỷ trên một số họ đường cong trên trường F q được cho dưới dạng Weierstrass: 2 3 y = x + Ax + B . Trong trường hợp đường cong được xét trên trường Z p thì vấn đề được xét sẽ là các thuật toán xác định nhóm các điểm hữu tỷ và tập các điểm trên đường cong. Một số kết quả nghiên cứu thuộc các hướng này đã và đang được tiếp tục phát triển trong thời gian gần đây bởi nhiều tác giả, và là đề tài thường trực trong các Hội nghị Khoa học về “Lý thuyết trường hữu hạn và ứng dụng” – một trong các vấn đề rất được chú trọng trong Lý thuyết mã hóa thông tin. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu cấu trúc của nhóm các điểm hữu tỷ trên một số họ đường cong elliptic dưới dạng Weirstrass trên trường hữu hạn. - Xét một số họ các đường cong có phương trình dạng: 2 3 y =x +kx , 2 3 y =x + b với , q k b F  , q F có q phần tử và có đặc số p, nhằm mục đích là mô tả nhóm các điểm hữu tỷ trên chúng. Đề tài chỉ giới hạn trong phạm vi xét các đường cong Elliptic E không kỳ dị trên trường hữu hạn F với ý tưởng là mô tả cấu trúc nhóm của tập các điểm hữu tỷ E(F) và mô tả các thuật toán tính toán đã nêu (với F như đã mô tả ở trên). 4. Mục đích nghiên cứu - Mô tả cấu trúc nhóm của tập các điểm hữu tỷ E(F) của đường cong Elliptic không kỳ dị E trên F. - Mô tả các điểm hữu tỷ trên một số lớp đường cong Elliptic: 2 3 y x kx   , 2 3 y x b   trên trường q F . Trình bày phương pháp chứng minh một số Định lý mô tả cách xác định các đối tượng đã liệt kê ở trên đối với các họ đường cong được xét. 5. Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng các kết quả tổng quát đã biết về tính chất của các đường cong Elliptic trên trường hữu hạn để mô tả và xác định nhóm các điểm hữu tỷ trên các họ đường cong được xét. - Sử dụng các phương pháp, công cụ của Đại số và Lý thuyết số để giải quyết bài toán xác định nghiệm của phương trình đồng dư trên trường hữu hạn, cùng với kết quả của Định lý Hasse về khoảng giới nội của lực lượng của nhóm E(F) để xây dựng các thuật toán tính toán. Đây là một số hướng nghiên cứu và các phương pháp được dùng khá phổ biến trong việc nghiên cứu các đường cong elliptic trên trường hữu hạn. Các phương pháp nghiên cứu và các kỹ thuật cũng như các thuật toán được dùng trong Luận văn này dựa trên những công cụ nghiên cứu đã được sử dụng trong [6], [24], [30]. 6. Cấu trúc luận văn Luận văn bao gồm: phần mở đầu, 2 chương: nội dung, và phần kết luận. Cụ thể như sau: Phần mở đầu: Nêu xuất sứ của vấn đề và đặt bài toán nghiên cứu. Chương 1: Một số kiến thức cơ bản. Chương này trình bày một số khái niệm và các kết quả nghiên cứu đã được công bố trong nhiều tài liệu về các chuyên ngành Toán: - Các định lý cơ bản về các nhóm abel hữu hạn sinh. - Một số kết quả quen biết về lĩnh vực Lý thuyết số và Trường hữu hạn. - Các đa tạp xạ ảnh, afin. - Các khái niệm, các kết quả nghiên cứu đã được công bố về đường cong elliptic. Các đường cong trên trường hữu hạn. Các định lý cơ bản mô tả về cấu trúc của nhóm các điểm hữu tỷ trên các đường cong elliptic trên trường hữu hạn. Chương 2: Các đường cong Elliptic dạng Weierstrass trên trường hữu hạn. - Tổng quan về các đường cong dạng Weierstrass trên trường hữu hạn. - Các điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic trên trường hữu hạn - Mô tả chung về luật nhóm. - Nhóm con các điểm hữu tỷ của các họ đường cong 2 3 y x kx   , 2 3 y x b   , với , q k b F  . Phần kết luận: Mô tả tóm tắt và nêu kết luận về các vấn đề, nội dung đã thực hiện trong Luận văn CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN §1. CÁC BƯỚC MỞ ĐẦU Trong chương này, ta xem lại một số định nghĩa và các kết quả cơ bản trong Đại số giao hoán và Lý thuyết phạm trù, và ta suy ra một số thuật toán cho việc nghiên cứu trong các vành đa thức. 1.1. ĐẠI SỐ Cho A là một vành. Một A-đại số là một vành B với một phép đồng cấu : B i A B  . Phép đồng cấu của A-đại số từ B C  là một phép đồng cấu vành : B C   sao cho ( ( )) ( ), a A. B C i a i a     Một A-đại số B sinh ra các phần tử x 1 , x 2 , , x n nêú như mọi phần tử của B có thể được biểu diễn như một đa thức trong x i với tọa độ trong i B (A). Nghĩa là, nếu phép đồng cấu của A-đại số A[X 1 , X 2 , … , X n ]  B biến X i thành x i là một song ánh. 1 2 i [ , , , ] X n i A X X X B x         là song ánh. Khi đó ta viết: B = (i B A)[x 1 , … , x n ] Một A-đại số B được gọi là hữu hạn sinh (hoặc của một loại hữu hạn trên A) nếu nó được sinh ra bởi một tập hữu hạn các phần tử. Một phép đồng cấu vành A B  là hữu hạn, và B là một A-đại số hữu hạn, nếu B hữu hạn sinh như một A-module. Cho k là một trường, và cho A là một k-đại số. Khi l 0  trong A, ánh xạ k  A là đơn ánh, và ta có thể đồng nhất k với ảnh của nó. Ta có thể xem k như một vành con của A. Khi l = 0 trong vành A, thì A là vành 0, A = {0}. Cho A[X] là vành đa thức ký hiệu X với các hệ số trong A. Nếu A là một miền xác định nguyên, thì deg(fg) = deg(f) + deg(g), và suy ra A[X] cũng là một miền xác định nguyên; hơn nữa A[X] X = A X . 1.2. IDEALS. Cho A là một vành. A vành con của A là một tập con chứa l mà bị đóng dưới phép cộng, phép nhân, và sự cấu thành của các đại lượng âm. Một ideal a trong A là một tập con sao cho: (a) a là một nhóm con của A được xem như một nhóm có phép cộng. (b) a  a, rA  r a  a. Ideal được sinh ra bởi một tập con S của A là tập giao của tất cả các ideal a chứa trong A- thực chất đây là một ideal, và nó bao gồm tất cả các tổng hữu hạn của dạng i i rs  với . , i i r A s S   Khi đó, S ={s 1 , s 2 , … }, ta viết là: (s 1 , s 2 , …). o Cho a và b là hai ideal trong A. Tập {a + b | aa, bb} là một ideal, kí hiệu: a + b. Ideal sinh bởi: {ab | aa, bb}, ký hiệu: ab. Rõ ràng, ab bao gồm tất cả các tổng hữu hạn i i a b  với i a  a và b i b, và nếu a = 1 ( , , ) m a a và b = (b 1 ,, …, b n ), thì ab = 1 1 ( , , , , ). i j m n a b a b a b Chú ý rằng: ab  a  b. o Cho a là một ideal của A. Tập hợp của các lớp của a trong A hình thành một vành A/a, và a a   a là một phép đồng cấu  : A  A/a. Ánh xạ b 1    (b) là một sự tương ứng một-một giữa các ideal của A/ a và các ideal của A đang chứa a. o Một ideal p là nguyên tố nếu p  A và ab  p  a  p hoặc b  p. Do đó p là số nguyên tố nếu và chỉ nếu A/ p khác 0 và có tính chất: ab = 0, b  0  a = 0, nghĩa là: A/p là một miền nguyên. o Một ideal m l à tối đại nếu m  A và không tồn tại ideal n chứa một cách nghiêm ngặt giữa m và A. Do đó m là tối đại nếu và chỉ nếu A/m khác 0 và không có các ideal khác 0 thích hợp, và do đó nó là một trường. Chú ý rằng: m tối đại  m nguyên tố. Các ideal của A x B là tập tất cả các dạng a x b với a và b là các ideal trong A và B. Chú ý rằng, nếu c là một ideal trong A x B và (a, b)c, thì: (a, 0) = (1, 0)(a, b)  c và (0, b) = (0, 1)(a, b)  c. Vì thế, c = a x b với a = {a | (a, 0)  c}, b = {b | (0, b)  c}. Định lý 1.2.1: ( Định lý số dư Trung hoa). Cho a 1 , a 2 , … , a n là các ideal trong một vành A. Nếu a i là số nguyên tố cùng nhau với a j (nghĩa là: a i + a j = A), với bất kỳ i  j, khi đó ánh xạ: A  A/ a 1 x . . . x A/a n (1) là song ánh, với hạt nhân: ker  a i =  a i . Chứng minh: Đầu tiên giả sử rằng n = 2. Khi a 1 + a 2 = A, tồn tại a i  a i sao cho: a 1 + a 2 = 1. Khi đó x = a 1 x 2 + a 2 x 1 ánh xạ vào (x 1 mod a 1 , x 2 mod a 2 ), sao cho chứng tỏ rằng (1) là song ánh. Với mỗi i, tồn tại các phần tử a i  a 1 và b i  a i sao cho: a i + b i = 1, với mọi 2 i  . Tích 2 (a b ) 1     i i i và nằm trong a 1 + 2 i   a i , và do đó: a 1 + 2 i   a i = A. Áp dụng định lý trong trường hợp n = 2 để thu được một phần tử y 1 của A sao cho: 1 1mod  y a 1 , 1 2 y 0mod    i a 1 . Suy ra 1 1mod  y a 1 , 1 y 0mod  a j , với mọi j >1. Tương tự, tồn tại các phần tử y 2 , … , y n sao cho: 1mod  i y a i , y 0mod  i a j , j  i. Phần tử i i x x y   ánh xạ vào (x 1 mod a 1 , … , x n mod a n ), để chứng tỏ rằng (1) là song ánh. Điều đó chứng minh rằng:  a i =  a i . Ta chú ý rằng:  a i   a i . Đầu tiên giả sử rằng: n = 2, và cho a 1 + a 2 = 1, như trước. Vì c  a 1  a 2 , ta có: c = a 1 c + a 2 c  a 1 .a 2 Ta chứng minh: a 1  a 2 = a 1 a 2 . Việc chứng minh dựa vào phương pháp quy nạp toán học. Điều này cho phép chúng ta giả sử rằng:   2 i a i = 2 i   a i . Ta đã chứng minh ở trên: a 1 và 2   i a i là nguyên tố cùng nhau, và do đó: a 1 .( 2   i a i ) = a 1 2 ( i    a i ) =  a i . 1.3. Các vành Noether Mệnh đề 1.3.1: Các điều kiện sau trên vành A là tương đương: (a) Mọi ideal trong A đều là hữu hạn sinh; (b) Mọi dãy tăng của các ideal 1 2 a a   dần dần trở thành hằng số, nghĩa là với một số m, 1 , m m a a    (c) Mọi tập khác rỗng của ideal trong A có một phần tử lớn nhất (nghĩa là: một phần tử không tương thích chứa trong bất kỳ ideal nào đó trong một tập). Chứng minh: (a)  (b): Nếu 1 2 a a   là một dãy tăng, khi đó a =  a i là một ideal  tồn tại một tập hữu hạn 1 { , , } n a a các phần tử sinh. Với mọi m,  i a  a m ta suy ra: a m = a m + 1 = … = a. (b)  (c): Cho S là một tập khác rỗng của các ideal trong A. Cho a 1  S, nếu a 1 không lớn nhất trong S, khi đó tồn tại một ideal a 2  S thích hợp chứa a 1 . Tương tự, nếu a 2 không lớn nhất trong S, thì tồn tại một ideal a 3 S thích hợp chứa a 2 , vân vân…Trong cách này, ta thu được một dãy tăng các ideal a 1  a 2  a 3  trong S và xác định được giới hạn trong một ideal là ideal lớn nhất trong S. (c)  (a): Cho a là một ideal, và cho S là một tập của các ideal b  a hữu hạn sinh. Khi đó S là một tập khác rỗng, do đó nó chứa một phần tử lớn nhất c = ( 1 2 , , , ) r a a a . Nếu c  a, thì tồn tại một phần tử a  a\c, và 1 2 ( , , , , ) r a a a a sẽ là một ideal hữu hạn sinh trong a thích hợp chứa c. Điều này mâu thuẫn với định nghĩa của (c)  (điều phải chứng minh). Một vành A là Noether nếu nó thỏa mãn các điều kiện của mệnh đề. Ta lưu ý trong một vành Noether, mọi ideal thích hợp được chứa trong một ideal lớn nhất (áp dụng (c) đối với tất cả các ideal thích hợp của A chứa các ideal đã cho). Thực tế, điều này đúng với mọi vành, nhưng việc chứng minh các vành không Noether phải sử dụng các tiên đề lựa chọn. Một vành A được xem là địa phương nếu nó có chính xác một ideal m tối đại. Bởi vì mọi vành không đơn vị được chứa trong một ideal lớn nhất, vì một vành địa phương A X = A \ m. Mệnh đề 1.3.2: (Bổ đề Nakayama’s). Cho A là một vành noether địa phương với ideal tối đại m, và cho M là một A-module hữu hạn sinh. (a) Nếu M = mM, thì M = 0. [...]... về số học của các đường cong elliptic, nhằm nêu lại một ít kiến thức nền trong Lý thuyết số và Hình học Đại số 3.1 Các đường cong phẳng Cho k là một trường Ví dụ chẳng hạn, k có thể là trường  của các số hữu tỷ, trường  của các số thực, trường  của các số phức, trường  p của số p – adic, hoặc trường hữu hạn q của q phần tử Cho k là một bao đóng đại số của k Một đường cong phẳng X trên k được xác... có số chiều nhỏ hơn (một vài điểm) , chúng là các ánh xạ được cho bởi các hàm hữu tỷ của các biến mà cảm sinh một song ánh giữa các  -điểm Những ánh xạ song hữu tỷ được định nghĩa trên  ; các hệ số của các hàm hữu tỷ thuộc  , vì thế chúng cũng cảm sinh một song ánh giữa các  điểm (bỏ qua các tập con như trước) Đặc biệt, tập hợp đầy đủ các nghiệm hữu tỷ của phương trình đường tròn x 2  y 2  1 là:... có một điểm hữu tỷ? Thực ra, ta có thể nhận thấy rằng các vấn đề (1) và (2) là tương đương 3.2 Các đường cong trên trường hữu hạn Cách xác định X(): sự phân chia nhỏ theo bậc Ta trở lại vấn đề xác định tập hợp các điểm hữu tỷ X() ở đây X là một đường cong phẳng afin f ( x, y )  0 trên hoặc bao đóng xạ ảnh của nó Cho d = deg f Ta xét bài toán khi tăng dần giá trị của d Bậc d = 1: X là các đường. .. rằng đường qua P0 với hệ số góc t sẽ cắt đường conic tại một điểm khác (miễn là đường này không tiếp xúc với conic tại P0), và đây sẽ là một điểm hữu tỷ Ví dụ: nếu X là đường tròn x2  y 2  1 và P0(-1, 0), thì:  1  t 2 2t  t  ,  1 t2 1 t2   y  ( x, y ) x 1 Hình 1.1: Tham số hóa hữu tỷ của một đường tròn Định nghĩa các ánh xạ song hữu tỷ từ 1 đến X và ngược lại, nghĩa là bỏ qua hữu hạn các. .. của X và nó chính quy trên những miền xác định của nó Hơn nữa, ánh xạ đó còn là song hữu tỷ nếu nó có ánh xạ ngược hữu tỷ, khi đó X và Y được gọi là tương đương song hữu tỷ Định nghĩa 4.5.6.4: Một đa tạp X được gọi là hữu tỷ nếu nó tương đương song hữu tỷ với d Do đó, tương đương song hữu tỷ này được gọi là một tham số hóa của X Đa tạp X được gọi là đơn hữu tỷ nếu nó là ảnh hữu tỷ của một d Định lý... đa tạp xạ ảnh Sau đây ta chỉ xét các đa tạp tựa xạ ảnh Định nghĩa 4.5.5.2: Cho một đa tạp bất khả quy X   n, trường của các hàm hữu tỷ trên X (trường hàm của X) là một tập hợp các lớp tương đương { g / h g,h  R d mà d , h  0(mod (X))}|~ với g/h ~ g’/h’ nếu gh’ – hg’ = 0 (mod(X)) Các phần tử trên k(X) được gọi là các hàm hữu tỷ trên X Định nghĩa 4.5.5.3: Hàm hữu tỷ f : X  k là chính quy tại x... ] là bất khả qui trên k Ta định nghĩa bậc của X và f như sau: deg X = deg f = max{i + j : aij  0} Một điểm k -hữu tỷ (hoặc đơn giản là k -điểm) trên X là một điểm ( a, b ) với tọa độ thuộc k sao cho f ( x, y )  0 Tập tất cả các điểm k- hữu tỷ trên X được ký hiệu: X(k) Ví dụ: Phương trình x 2 y  6 y 2  11  0 xác định một đường cong phẳng X trên  bậc 3 và (5, 1 )  X(  ) 2 Tại điểm này ta có thể... hóa các điểm hữu tỷ trên đường thẳng ax  by  c  0 với a, b, c  ; a, b, c  0 Bậc d = 2: X là các đường conic Legendre đã chứng minh rằng các đường conic thỏa mãn nguyên lý Hasse Điều này nghĩa là: X có một  -điểm nếu và chỉ nếu X có  điểm và một  p- điểm với mỗi số nguyên tố p Vì một đường conic xạ ảnh được mô tả bởi một dạng bậc hai có 3 biến, kết quả của Legendre có thể được xem như một trường. .. Một ánh xạ hữu tỷ  : X  Y được gọi là trội, nếu ảnh của X qua  là trù mật trong Y Định nghĩa 4.5.4.3 Một ánh xạ hữu tỷ  : X  Y là song hữu tỷ (tương đương song hữu tỷ) nếu nó có ánh xạ ngược hữu tỷ, nghĩa là nếu có  :Y  X sao cho:  Cả  và  đều trội,     1Y và     1X , tại mọi nơi các phép hợp thành là xác định Khi đó, X và Y được gọi là tương đương song hữu tỷ (song hữu tỷ) Ví dụ... = 3: X các đường bậc 3 phẳng Lind [11] và Reichardt [17] đã khám phá ra nguyên lý Hasse có thể không đúng với các đường cong phẳng bậc 3 Ở đây là một ví dụ thích hợp thuộc về Selmer [20]: Đường cong 3X3 + 4Y3 + 5Z3 = 0 trong 2 có một  -điểm ((( -4/3)1/3:1:0) là một) và một  pđiểm với mỗi số nguyên tố p, nhưng nó không có  -điểm Vì p > 5, sự tồn tại các  p -điểm có thể được chứng minh bằng cách dùng . trường hữu hạn. Các định lý cơ bản mô tả về cấu trúc của nhóm các điểm hữu tỷ trên các đường cong elliptic trên trường hữu hạn. Chương 2: Các đường cong. cong Elliptic dạng Weierstrass trên trường hữu hạn. - Tổng quan về các đường cong dạng Weierstrass trên trường hữu hạn. - Các điểm hữu tỷ trên đường cong