Là y-trơ n, thì 

Nếu E 

p là y- trơn , thì E 

p | K, do định nghĩa của K và do định lý Hasse rằng

 

#E   p 1 2 p

p .

Mỗi phép thử dẫn đến O(logN) phép tốn luật nhĩm, địi hỏi mỗi log N0(1) tốn tử bit thực hiện trong thời gian tổng cộng là:

 1 0(1)

R 0 s  (logK)(log N) .

Đặt L(x) = exp (log )(log log )x x , sao cho log xL(x)x khi x . Đặt yL(P)a

với a > 0. Để diễn tả thời gian chạy R trong giới hạn những tham số của thuật tốn, gọi tên là N, P, và a, trước tiên ta tính K: 1 y 1 y 1 y log P K l P P            log Ky log PL(P)a O(1)

Kế đĩ, ta cần ước lượng về xác suất trơn s. Đinh lý của Canfield, Erdos, và Pomerance [2] chỉ ra rằng xác suất để một số nguyên bất kỳ thuộc 1,x để L(x)a–trơn là L x( )1/(2 )a O (1) khi

x . Dùng thuật tốn Deuring số đường cong elliptic trơn được cho trên  p, ta cĩ thể chỉ ra rằng #E 

p là gần với phân bố đều trên hầu hết các khoảng biến thiên Hasse

1 2 ; 1 2

 

p  p p  p . 

Để tiếp tục, ta giả sử rằng kết quả của định lý Canfield – Erdos – Pomerance cho số nguyên bất kỳ là nhỏ hơn nhiều. Thì s = L(P)1/(2a) O(1) .

Theo giả thiết, tổng thời gian cần thiết của phương pháp đường cong elliptic là: (1)

( ) (log )

 a+1/(2a)+0(1) O

R L P N .

Đẳng thức đĩ sẽ đạt tối ưu hĩa khi 1 2 a , y = 1 2 L(P) và 2 0(1) 0(1) RL(P)  (log N) .

Để hồn thành phân tích N, ta đặt P N, và tính thời gian chạy của L(N)1 0(1) . Một thuận lợi của phương pháp đường cong elliptic so với phần lớn các phương pháp phân tích thành thừa số khác là thời gian thực hiện chỉ phụ thuộc vào kích cỡ của phần tử được tìm thấy, nĩ cĩ khả năng tìm thấy những phần tử nhỏ mà nhanh hơn.

Trong thực tế, việc thực hiện phương pháp đường cong Elliptic là hợp lý do tối hĩa cách chọn y và K phụ thuộc vào P. Hơn nữa, nếu khơng tìm được thừa số ta cĩ thể thực hiện lại bằng cách gia tăng dãy các giá trị của P. Cuối cùng nếu khơng tìm được những phần tử nào đủ nhỏ thì chuyển sang sàng trường số, nĩ sẽ tiếp cận nhanh hơn nếu những nhân tử là lớn.

5.10.8. Những kết quả của phương pháp đường cong Elliptic:

Thừa số lớn nhất được tìm thấy bởi phương pháp đường cong elliptic là một nhân tử nguyên tố gồm 54 chữ số:

484061254276878368125726870789180231995964870094916937

của 6431421. Richard Bent đã suy ra rằng những kết quả của phương pháp đường cong

elliptic là một con số gồm D chữ số trong năm:

Y(D):9,3. D 1932,3 Ví dụ: như Y(54) = 2000,6 và Y(60) = 2004, 3

CHƯƠNG II