CÁC ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC DẠNG WEIERSTRASS TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN

TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN

Trong lý thuyết đường cong elliptic, số các điểm hữu tỷ trên các đường cong elliptic và việc

xác định các điểm này rõ ràng là một vấn đề quan trọng. Cho p là một số nguyên tố và Fp là một trường hữu hạn, kFp. Chúng ta biết rõ về các điểm mà đường cong y2 = x3 + kx cĩ và số các điểm

hữu tỷ của nĩ trên trường Fp. Ta cũng chú ý đến họ đường trịn x2 + y2 = r2. Điều đĩ cĩ thể làm cho chúng ta quan tâm đến việc xác định các điểm chung của hai họ đường cong này và tìm ra số các

điểm chung của chúng. Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu về vấn đề này.

Ta đã biết, Mordell đã mở đầu với bài báo [13] nổi tiếng của ơng với câu nĩi “Các nhà tốn học đã từng quen thuộc với rất ít các câu hỏi trong suốt một giai đoạn dài với thành tựu quá nhỏ trong các kết quả tổng quát, chẳng hạn như việc tìm ra các điểm hữu tỷ trên các đường cong elliptic”. Lý thuyết tốn học của các đường cong elliptic cũng đĩng vai trị quan trọng trong việc chứng minh định lý cuối cùng của Fermat trong [33].

§1. TỔNG QUAN VỀ CÁC ĐƯỜNG CONG DẠNG WEIERSTRASS TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN

1.1. Các đường cong elliptic dạng Weierstrass trên các trường hữu hạn.

Xét f trong k[x, y], ở đây k là một trường và f là một đường bậc 3 dưới dạng Weierstrass

tổng quát được cho bởi:

2 3 2

1 2 3 4 6.

f  y a xya yx a x a xa (1)

Nếu k là một trường, ta ký hiệu k là bao đĩng đại số của k. Nếu đặc số của k là khác 2 hoặc 3, ta biến đổi f thành hàm E mà được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.1.1: Một đường cong E trong k[x, y] được gọi là một đường cong elliptic nếu nĩ

được cho bởi dạng:

E = y2 – x3 – Ax – B (2)

với char(k)  2, 3, trong đĩ E khơng kỳ dị, nghĩa là các đạo hàm riêng khơng đồng thời bằng 0 với bất kỳ ( , )a b trên E. Thật dễ dàng chứng minh rằng điều này tương đương với phương trình

3

0

Bổ đề 1.1.2: E khơng kỳ dị nếu và chỉ nếu 4A3 + 27B2  0 trong k.

Chú ý: Đường cong elliptic cĩ dạng (2) ở trên cịn được gọi là đường cong elliptic được cho bởi dạng Weierstrass ngắn, với A, B k[x, y].

Thật vậy, vì ta giả sử p5, (1) cĩ thể cảm sinh ra phương trình dạng Weierstrass ngắn bằng cách thế y bởi 1 3 2 2 a a y x   và x bởi 2 1 2 ( 4 ) 3 a a x  .

Định nghĩa 1.1.3: Cho p là một số nguyên dương, Fp là một trường hữu hạn, Fp* Fp \ {0} và

p

F ký hiệu là bao đĩng đại số của Fp với char F( p)2,3. Một đường cong elliptic E trên Fp được xác định bởi một phương trình dưới dạng Weierstrass:

2 3

:

E y x axb, (2a)

với a b, Fp và 4a327b20. Biệt thức và j-bất biến của E được xác định theo thứ tự bởi:

3 2 16(4a 27b )     và 3 1728(4 ) . a j  

1.2. Luật tiếp xúc Chord của hợp thành:

Từ phương trình (2a), người ta cĩ thể thấy rằng đồ thị của đường cong sẽ đối xứng nhau qua trục x. Thật vậy, đĩ là một trong hai dạng đồ thị được chỉ ra trong hình 2.1 (được cho là khơng kỳ

dị). Hình 2.1: Hai loại đường cong elliptic khơng kỳ dị trên R2. Ta xét đường trong R2 được cho bởi phương trình y = mx + b với m, bQ.

Bổ đề 1.2.1 : Nếu y ≠ 0 và y = mx + b giao với (2) tại P1 và P2, với P1, P2  Q2, khi đĩ y = mx + b sẽ giao với (2) tại một điểm thứ 3 P3  Q2.

Nĩi một cách khác, cho hai điểm hữu tỷ trên E, cĩ thể được nối bởi một đường khơng thẳng đứng, khi đĩ cĩ một điểm cắt thứ 3 trên đường E này và cũng là điểm hữu tỷ.

a) a) b)

Việc chứng minh bổ đề này suy ra từ đại số tuyến tính và giả thiết mọi hệ số thuộc Q. Ta cĩ thể thấy rằng, cĩ một cách kết hợp hai điểm đã cho trong Q2 với điểm khác trong Q2 cho tất cả các trường hợp, ngoại trừ hai điểm này nằm trên một đường x = c, cQ.

Ta cĩ thể xem một đường cong elliptic E như một đường cong trên mặt phẳng xạ ảnh P2. Từ đĩ ta thu được hệ các phương trình như sau:

2 3 2 3

; .

   

   

x c y x A x B

Hệ này cĩ hai nghiệm tương ứng với các điểm trong Q2 trừ điểm tại vơ cực được cho bởi 0 :1 :0. Với phương pháp này, mỗi đường thẳng đứng cắt đồ thị của E tại ba điểm. Để sáng tỏ điều này, ta cĩ định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.2.2: Cho k là một trường và định nghĩa :

  { ,  |  ,  0}

E k  a b k2 E a b  {O} ở đây O kí hiệu điểm tại vơ cực, thuộc mỗi đường dạng x = c, c  k.

Cho bất kỳ hai điểm trong E(k), chúng ta cĩ một cách để kết hợp hai điểm này thành một điểm thứ ba, như sau :

Định nghĩa 1.2.3 : Cho P, Q  E(k). Ta định nghĩa PQ là điểm thứ ba của đường thẳng xác định bởi P và Q với đường cong elliptic E(k).

Ta cũng quy ước là: OO = O.

Sau đây là định nghĩa về luật tiếp xúc Chord của hợp thành trên đường cong elliptic.

Định nghĩa 1.2.4: Cho P, Q  E(k) với k là một trường. Khi đĩ ta định nghĩa :

P + Q = O(PQ)

Từ điểm này, khi ta nĩi cộng thêm hai điểm vào E(k), nghĩa là theo ý của Định nghĩa 1.2.4. Quá trình này được mơ tả trong hình 2.2 (luật tiếp xúc Chord của tổng trong R2).

Hình 2.2: Luật tiếp xúc chord của tổng trong R2.

1.3 Các phương trình tổng quát đối với phép cộng các điểm trên E(k) :

Khi cộng hai điểm P = (x1, y1) và Q = (x2, y2) trong E(k) chúng ta phải xét ba trường hợp sau :

1. Nếu x1 = x2 và y1y2 2. Nếu x1 = x2 và y1 = y2 3. Nếu x1 x2

Trường hợp 1 tương ứng với hai điểm trên một đường cĩ dạng x = c, và trong trường hợp

này P + Q = O.

Kiểm tra trường hợp này cũng thấy rằng nếu P = (a, b), thì: -P = (a, -b).

Kết quả cả trường hợp 2 và trường hợp 3 nhận được từ việc xét tương giao giữa đường y = mx + b với E = 0. Trong trường hợp 2 đường thẳng là tiếp tuyến với E và hệ số gĩc được cho bởi

2

1 1

(3 ) / 2 .

m x  A y (3)

Trong trường hợp 3, hệ số gĩc được xác định bằng cách sử dụng P và Q và được cho bởi :

2 1 2 1

( ) / ( )

m y  y x x . (4) Nếu chúng ta thay thế mx + b cho y trong E = 0 ta thu được như sau :

3 2 2 2

(2 ) 0

x m x  mB A xB  b

Ta biết rằng cả haix1 và x2 là các nghiệm của phương trình này, và từ đây suy ra rằng nghiệm thứ ba x3 được cho bởi

23 1 2 3 1 2 x  x x m (5) a) b) c)

Chúng ta cĩ thể viết lại ymx b sử dụng P như sau :

1 ( 1)

yy m xx

Sử dụng phương trình này và luật tiếp xúc chord của tổng chúng ta suy ra phương trình sau đối với y3 :

3 1 ( 1 3)

y  y m x x (6)

Do đĩ, phép cộng hai điểm trong E(k) cĩ thể được cho bởi phương trình (5) và (6). Và hệ số gĩc sẽ là phương trình (3) trong trường hợp 2 và phương trình (4) trong trường hợp 3.

Từ các định nghĩa trước ta suy ra rằng :

 Nếu P, Q  E(k) khi đĩ PQ  E(k).  O + O = O.

 P + Q = Q + P

 P + O = P

 Cho P = (a, b)  E(k), - P sẽ là điểm cắt nhau của đường x = a và E = 0 mà

khơng phải O.

Cĩ vài cách để chứng minh tính kết hợp: một trong những cách này là thiết lập một song ánh giữa một nhĩm con của nhĩm Abel tự do được sinh bởi E(k) và các điểm thực trên E(k). Việc chứng minh tính kết hợp trong E(k) khá dài và cĩ thể được tìm trong phần 4 và 5 của [3].

Định lý: E(k) hình thành một nhĩm Abel dưới luật tiếp xúc chord của tổng O là đơn vị.

Từ những khái niệm và chú ý ở trên ta cĩ thể chứng minh được định lý này.

§2. MƠ TẢ CHUNG VỀ LUẬT NHĨM

2.1. Định nghĩa luật nhĩm.

Một đường cong elliptic E trên k là một đa tạp nhĩm nghĩa đại thể là cĩ một ánh xạ “phép

cộng” E x E  E được cho bởi các hàm hữu tỷ, cảm sinh ra một cấu trúc nhĩm trên E(L) đối với trường mở rộng bất kỳ L của k.

Luật nhĩm được đặc trưng bởi hai quy luật sau:

(1) Điểm O = (0 : 1 : 0) tại vơ cực là đơn vị của nhĩm.

(2) Nếu một đường L cắt E tại 3 k-điểm P, Q, R  E(k), khi đĩ: P + Q + R = 0 theo luật nhĩm.

Hình 2.3: Phép tốn cộng nhĩm trên đường cong elliptic.

Từ những điều này ta suy ra:

a) Cho P  E(k), P  O, đường thẳng đứng qua P cắt E tại P, O, và một điểm thứ 3 là : - P. b) Cho P, Q  E(k) khác O, đường qua P và Q (lấy tiếp tuyến với E tại P nếu P = Q) cắt E

tại P, Q và điểm thứ 3 là R  E(k).

Nếu R = O, thì P + Q = 0, mặt khác P + Q = -R., ở đây - R cĩ thể được xây dựng như trong a).

Chú ý rằng: E(k) là một nhĩm abel.

2.2. Các cơng thức của luật nhĩm

Một cách tổng quát, tọa độ của P + Q cĩ thể được biểu diễn như các hàm hữu tỷ theo tọa độ của P và Q. Ở đây ta trình bày các cơng thức chi tiết cho một thuật tốn để tính P + Q. Sự tồn tại của các cơng thức này rất quan trọng trong phần (5.10.5: các đường cong elliptic trên / N) khi ta thực hiện phương pháp phân tích đường cong elliptic.

Để tính tổng R của các điểm P, Q  E(k) trên y2 = x3 + Ax + B trên k:

1. Nếu P = O, đặt R = Q và dừng lại. 2. Nếu Q = O, đặt R = P và dừng lại. 3. Mặt khác cho P = (x1 : y1 : 1) và Q = (x2 : y2 : 0). Nếu x1  x2, đặt:  = (y1 – y2) (x1 – x2)-1, x3 = 2 – x1 – x2, y3 = (x1 – x3) – y1, R = (x3 : y3 : 1) và dừng lại. 4. Nếu x1 = x2 và y1 = -y2, đặt R = O và ngừng. 5. Nếu x1 = x2 và y1  -y2 (như vậy P = Q), đặt:

 = (3x12A y)( 1y2)1,

y3 = (x1 – x3) – y1,

R = (x3 : y3 : 1) và dừng lại.

2.3. Các ví dụ về luật nhĩm.

Ví dụ 1 : Cho đường cong elliptic E : y2 = x3 – 25x là một phương trình khơng thuần nhất, nĩ được hiểu là bao đĩng xạ ảnh của đường cong afin này.

Vì x3 – 25x cĩ các nghiệm khác nhau, E khơng kỳ dị, vì thế E thật sự là một đường cong elliptic.

Đường thẳng L đi qua P := (-4, 6) và Q := (0, 0) cĩ phương trình: y = (-3/2)x. Ta tính LE bằng cách thay thế:

((-3/2)x)2 = x3 – 25x

 0 = (x + 4) x (x – 25/4) và tìm ra LE { , , }P Q R , với R := (25/4, - 75/8).

Do đĩ: P + Q + R = O theo luật nhĩm, và P + Q = - R = (25/4, 75/8). Giao của đường X = 0 trong 2

với E: Y2Z = X3 – 25XZ2 là X = 0 = Y2Z, mà (0 : 1 : 0) = O

và (0 : 0 : 1) = Q, cĩ bội 2. (Về mặt hình học, điều này tương ứng với đường x = 0 tiếp xúc với E tại

Q).

Do đĩ Q + Q + O = O, và 2Q = O; nghĩa là Q là một điểm cĩ cấp 2 và một điểm 2-xoắn. (Nhìn chung, các điểm 2-xoắn khác khơng trên y2 = x3 + Ax + B là (, 0) ở đây  là một nghiệm của x3 + Ax + B: chúng hình thành một nhĩm con của E k( ) đẳng cấu với

2 2

  .)

Ví dụ 2 : Minh họa phép cộng hai điểm trên một đường cong elliptic.

Hình 2.4 :Đồ thị của đường y2 =x3- 7x Hình 2.5 :Đồ thị của đường y2 =x3- 3x + 5

§3. CÁC HÀM HỮU TỶ VÀ CẤU TRÚC NHĨM E(k)

Trong mục này ta xem xét một số khái niệm và kết quả liên quan tới các đường cong elliptic và cấu trúc nhĩm các điểm hữu tỷ của chúng.

3.1. Các hàm hữu tỷ:

Chú ý rằng, vì E = 0 thỏa mãn đối với các điểm trong E(k), và vì chúng ta chỉ xét xem các đa thức trên E(k), chúng ta xem các đa thức như các phần tử trong

k[x, y]/ <E>

Định nghĩa 3.1.1: Nếu f là một phần tử của k[x, y]/ <E>, chúng ta gọi f là một đa thức trên E. Đơi

khi ta ký hiệu k[x, y]/ <E> là k[E].

Cĩ một vài sự mở rộng của các khái niệm mà liên quan đến các đa thức trong R[x] (nghĩa là: bậc, phép lấy vi phân, các nghiệm bội và cực bội) mà tương tự cho các đa thức trong k[E]; tuy nhiên, tất cả các khái niệm này phải tính đến E = 0 với các điểm trong E(k).

Sử dụng khái niệm của một hàm tiêu chuẩn (tương tự với chuẩn đối với C), chúng ta cĩ thể chứng minh rằng k[E] là một miền nguyên. Do đĩ, chúng ta cũng xây dựng trường các phân số, mà chúng ta sẽ ký hiệu là k(E).

Định nghĩa 3.1.2: Nếu r  k(E) và P là một điểm hữu hạn của E(k), nghĩa là, PO, khi đĩ ta nĩi

rằng r là hữu hạn tại P nếu tồn tại f, g  k[E], sao cho f/g = r và ( )g P 0. Hơn thế nữa, các hàm hữu tỷ mà hữu hạn tại P tạo thành một vành.

Định nghĩa 3.1.3: Cho r  k(E), chúng ta nĩi rằng r = 0 tại P  E(k) nếu r(P) = 0, và ta nĩi rằng r =  tại P nếu r(P) = .

3.2. Các nhĩm xoắn trong E(k):

Định nghĩa 3.2.1: Cho n  Z, ta định nghĩa E[n] = {P  E(k) | nP = O}.

Dễ dàng thấy rằng E[n] , vì nO =O  E[n], với mọi n. Các nhĩm xoắn này cũng cĩ các

tính chất quan trọng sau:

Định lý 3.2.2: E[n] chứa một số hữu hạn điểm đối với mọi n. Định lý 3.2.3:: Cho k là đĩng đại số.

Nếu (n, p) = 1 thì |E[n]| = n2 và E[n]    n n.

Các kết quả này chứng tỏ rằng, các nhĩm E[n] sẽ rất hữu ích trong việc kiểm tra cấp của E(k), đặc biệt trên các trường hữu hạn. Trong các nội dung đề cập ở đây chúng ta sẽ thấy rằng cĩ các đa thức trong k[E] cĩ quan hệ rất mật thiết đến các nhĩm xoắn này.

§4. CÁC ĐIỂM HỮU TỶ TRÊN CÁC ĐƯỜNG CONG