Các điểm hữu tỷ trên các đường cong elliptic trên trường hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH LA HỒNG NGỌC CÁC ĐIỂM HỮU TỶ TRÊN CÁC ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN Chuyên ngành: Hình học tôpô Mã số: 604610 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Tiến sĩ Phan Dân Thành phố Hồ Chí Minh - 2010 LỜI CẢM ƠN Với việc hoàn thành Luận văn này, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy - TS Phan Dân - người nhiệt tình bước hướng dẫn thực việc nghiên cứu đề tài: từ việc gợi ý, cung cấp tài liệu nghiên cứu, hướng dẫn phương pháp thực hiện, truyền đạt nhiều kiến thức quý báu suốt trình thực luận văn đến việc chỉnh sửa hoàn chỉnh nội dung luận Tôi xin chân thành cảm ơn Quý Thầy tổ Bộ môn Hình Học, khoa Toán - Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh giúp hoàn thành tất học phần Khóa học giúp nâng cao trình độ kiến thức chuyên môn phương pháp học tập hữu ích, giúp hoàn thành học trình, đặc biệt luận văn tốt nghiệp Chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, phòng Khoa học Công Nghệ Sau Đại học, phòng Tổ chức Hành chính, phòng Kế hoạch-Tài Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh; Cảm ơn Sở Giáo Dục-Đào Tạo Tiền Giang, Ban Giám Hiệu trường THPT Bình Đông thị xã Gò Công tỉnh Tiền Giang toàn thể quý đồng nghiệp, bạn khóa học, gia đình động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn tốt nghiệp Chân thành cảm ơn! Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 07 năm 2010 Tác giả La Hồng Ngọc DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU An Không gian afin n-chiều D Biệt thức đa thức bậc deg Bậc đường cong phẳng E(k) Tập điểm hữu tỷ đường cong elliptic E trường k E(Fp) Tập hợp điểm hữu tỷ E trường Fq #E(Fp) Cấp E(Fp) | Ek  Cr | Số điểm chung đường cong elliptic họ đường tròn q Trường hữu hạn q phần tử Ga Nhóm cộng tính Nhóm nhân Gm (a) Gm Nhóm xoắn G(k) Nhóm điểm hữu tỷ gcd( ) Ước số chung lớn (X) Ideal triệt tiêu X k[x1, …, xn] Vành đa thức k với n biến k[ X ] Trường hàm hữu tỷ X Np(f(x)) Số nghiệm phương trình đồng dư f ( x )  0(mod p) N(p) Số cặp thặng dư bậc modulo p liên tiếp Fp N(p) * Số cặp số nguyên liên tiếp Fp (X) Vành hàm quy X Pn Không gian xạ ảnh n-chiều (trên trường k đóng đại số) Qp Tập hợp thặng dư bậc modulo p T(A) Nhóm xoắn A  X(k) Tổng trực tiếp Tập tất điểm k-hữu tỷ X MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong lý thuyết đường cong Elliptic, vấn đề số điểm hữu tỷ đường cong cách xác định điểm vấn đề quan trọng Đối với cấu trúc nhóm điểm hữu tỷ đường cong Elliptic Q tính chất điểm xoắn chúng (được mô tả qua Định lý Mordell-Weil, Mazur Nagell-Lutz) kết đẹp chủ yếu mang ý nghĩa mặt lý thuyết, thực tế việc xác định đối tượng mô tả không đơn giản (đối với trường hợp tổng quát), chí trường hợp xét đường cong trường hữu hạn tập điểm hữu tỷ có lực lượng hữu hạn có cấu trúc nhóm việc tính toán không dễ dàng Một mặt khác, thời gian gần lý thuyết đường cong Elliptic không lĩnh vực nghiên cứu riêng nhà Hình học hay nhà nghiên cứu thuộc lĩnh vực Hình học Đại số Một ứng dụng quan tâm phát triển mạnh “sử dụng kết nghiên cứu đường cong elliptic trường hữu hạn vào lĩnh vực bảo mật, mã hoá thông tin” Vì vậy, có vấn đề đặt tự nhiên thử tìm hướng tiếp cận đến số thuật toán tính toán để xác định điểm hữu tỷ đường cong elliptic trường hữu hạn Chúng lựa chọn đề tài thuộc lĩnh vực Hình học Đại số với ý tưởng tiếp cận giới thiệu số kiến thức chuyên môn “Lý thuyết đường cong Elliptic trường hữu hạn” với việc xét tính chất số họ đường cong cụ thể để thực việc mô tả cấu trúc nhóm điểm hữu tỷ chúng xây dựng thuật toán tính toán tương ứng Trong phạm vi đề tài, xét đường cong Elliptic trường hữu hạn mô tả dạng Weierstrass Vì vậy, luận văn có tên gọi là: “Các điểm hữu tỷ đường cong elliptic trường hữu hạn” Lịch sử vấn đề Cơ sở lý thuyết công cụ nghiên cứu phương pháp giải vấn đề Luận văn dựa số kết sau đây: a) Định lý Hasse mô tả cận lực lượng nhóm E(Fq) đường cong elliptic trường hữu hạn Fq b) Các kết phương pháp mô tả luật nhóm nhóm điểm hữu tỷ đường cong Elliptic trường hữu hạn c) Các kết mô tả nhóm abel hữu hạn sinh Luận văn tập trung giải số vấn đề về: xác định nhóm điểm hữu tỷ số họ đường cong trường Fq cho dạng Weierstrass: y = x + Ax + B Trong trường hợp đường cong xét trường Zp vấn đề xét thuật toán xác định nhóm điểm hữu tỷ tập điểm đường cong Một số kết nghiên cứu thuộc hướng tiếp tục phát triển thời gian gần nhiều tác giả, đề tài thường trực Hội nghị Khoa học “Lý thuyết trường hữu hạn ứng dụng” – vấn đề trọng Lý thuyết mã hóa thông tin Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu cấu trúc nhóm điểm hữu tỷ số họ đường cong elliptic dạng Weirstrass trường hữu hạn - Xét số họ đường cong có phương trình dạng: y2 =x +kx , y =x + b với k , b  Fq , Fq có q phần tử có đặc số p, nhằm mục đích mô tả nhóm điểm hữu tỷ chúng Đề tài giới hạn phạm vi xét đường cong Elliptic E không kỳ dị trường hữu hạn F với ý tưởng mô tả cấu trúc nhóm tập điểm hữu tỷ E(F) mô tả thuật toán tính toán nêu (với F mô tả trên) Mục đích nghiên cứu - Mô tả cấu trúc nhóm tập điểm hữu tỷ E(F) đường cong Elliptic không kỳ dị E F - Mô tả điểm hữu tỷ số lớp đường cong Elliptic: y  x3  kx , y  x3  b trường Fq Trình bày phương pháp chứng minh số Định lý mô tả cách xác định đối tượng liệt kê họ đường cong xét Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng kết tổng quát biết tính chất đường cong Elliptic trường hữu hạn để mô tả xác định nhóm điểm hữu tỷ họ đường cong xét - Sử dụng phương pháp, công cụ Đại số Lý thuyết số để giải toán xác định nghiệm phương trình đồng dư trường hữu hạn, với kết Định lý Hasse khoảng giới nội lực lượng nhóm E(F) để xây dựng thuật toán tính toán Đây số hướng nghiên cứu phương pháp dùng phổ biến việc nghiên cứu đường cong elliptic trường hữu hạn Các phương pháp nghiên cứu kỹ thuật thuật toán dùng Luận văn dựa công cụ nghiên cứu sử dụng [6], [24], [30] Cấu trúc luận văn Luận văn bao gồm: phần mở đầu, chương: nội dung, phần kết luận Cụ thể sau: Phần mở đầu: Nêu xuất sứ vấn đề đặt toán nghiên cứu Chương 1: Một số kiến thức Chương trình bày số khái niệm kết nghiên cứu công bố nhiều tài liệu chuyên ngành Toán: - Các định lý nhóm abel hữu hạn sinh - Một số kết quen biết lĩnh vực Lý thuyết số Trường hữu hạn - Các đa tạp xạ ảnh, afin - Các khái niệm, kết nghiên cứu công bố đường cong elliptic Các đường cong trường hữu hạn Các định lý mô tả cấu trúc nhóm điểm hữu tỷ đường cong elliptic trường hữu hạn Chương 2: Các đường cong Elliptic dạng Weierstrass trường hữu hạn - Tổng quan đường cong dạng Weierstrass trường hữu hạn - Các điểm hữu tỷ đường cong Elliptic trường hữu hạn - Mô tả chung luật nhóm - Nhóm điểm hữu tỷ họ đường cong y  x3  kx , y  x3  b , với k , b  Fq Phần kết luận: Mô tả tóm tắt nêu kết luận vấn đề, nội dung thực Luận văn CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN §1 CÁC BƯỚC MỞ ĐẦU Trong chương này, ta xem lại số định nghĩa kết Đại số giao hoán Lý thuyết phạm trù, ta suy số thuật toán cho việc nghiên cứu vành đa thức 1.1 ĐẠI SỐ Cho A vành Một A-đại số vành B với phép đồng cấu iB : A  B Phép đồng cấu A-đại số từ B  C phép đồng cấu vành  : B  C cho  (iB (a ))  iC (a ), a  A Một A-đại số B sinh phần tử x1, x2, , xn nêú phần tử B biểu diễn đa thức xi với tọa độ iB(A) Nghĩa là, phép đồng cấu A-đại số A[X1, X2, … , Xn]  B biến Xi thành xi song ánh  A[ X , X , , X n ]  B    song ánh X i  xi   Khi ta viết: B = (iBA)[x1, … , xn] Một A-đại số B gọi hữu hạn sinh (hoặc loại hữu hạn A) sinh tập hữu hạn phần tử Một phép đồng cấu vành A  B hữu hạn, B A-đại số hữu hạn, B hữu hạn sinh A-module Cho k trường, cho A k-đại số Khi l  A, ánh xạ k  A đơn ánh, ta đồng k với ảnh Ta xem k vành A Khi l = vành A, A vành 0, A = {0} Cho A[X] vành đa thức ký hiệu X với hệ số A Nếu A miền xác định nguyên, deg(fg) = deg(f) + deg(g), suy A[X] miền xác định nguyên; A[X]X = AX 1.2 IDEALS Cho A vành A vành A tập chứa l mà bị đóng phép cộng, phép nhân, cấu thành đại lượng âm Một ideal a A tập cho: (a) a nhóm A xem nhóm có phép cộng (b) a  a, rA  r a  a Ideal sinh tập S A tập giao tất ideal a chứa Athực chất ideal, bao gồm tất tổng hữu hạn dạng  ri si với ri  A, si  S Khi đó, S ={s1, s2, … }, ta viết là: (s1, s2, …) o Cho a b hai ideal A Tập {a + b | aa, bb} ideal, kí hiệu: a + b Ideal sinh bởi: {ab | aa, bb}, ký hiệu: ab Rõ ràng, ab bao gồm tất tổng hữu hạn  aibi với  a bi b, a = ( a1 , , am ) b = (b1,, …, bn), ab = ( a1b1 , , aib j , , ambn ) Chú ý rằng: ab  a  b o Cho a ideal A Tập hợp lớp a A hình thành vành A/a, a  a  a phép đồng cấu  : A  A/a Ánh xạ b   1 (b) tương ứng một-một ideal A/a ideal A chứa a o Một ideal p nguyên tố p  A ab  p  a  p b  p Do p số nguyên tố A/p khác có tính chất: ab = 0, b   a = 0, nghĩa là: A/p miền nguyên o Một ideal m tối đại m  A không tồn ideal n chứa cách nghiêm ngặt m A Do m tối đại A/m khác ideal khác thích hợp, trường Chú ý rằng: m tối đại  m nguyên tố Các ideal A x B tập tất dạng a x b với a b ideal A B Chú ý rằng, c ideal A x B (a, b)c, thì: (a, 0) = (1, 0)(a, b)  c (0, b) = (0, 1)(a, b)  c Vì thế, c = a x b với a = {a | (a, 0)  c}, b = {b | (0, b)  c} Định lý 1.2.1: ( Định lý số dư Trung hoa) Cho a1, a2, … , an ideal vành A Nếu số nguyên tố với aj (nghĩa là: + aj = A), với i  j, ánh xạ: A  A/ a1 x x A/an song ánh, với hạt nhân: Chứng minh: (1) ker  =  Đầu tiên giả sử n = Khi a1 + a2 = A, tồn  cho: a1 + a2 = Khi x = a1x2 + a2x1 ánh xạ vào (x1 mod a1, x2 mod a2), cho chứng tỏ (1) song ánh Với i, tồn phần tử  a1 bi  cho: + bi = 1, với i  Tích  i2 (a i  bi )  nằm a1 +  i ai, đó: a1 +  = A i2 Áp dụng định lý trường hợp n = để thu phần tử y1 A cho: y1  1mod a1 , y1  mod  a1 i2 y1  1mod a1 , y1  0mod aj , với j >1 Suy Tương tự, tồn phần tử y2, … , yn cho: yi  1mod , yi  0mod aj , j  i Phần tử x  x y i i ánh xạ vào (x1 mod a1, … , xn mod an), để chứng tỏ (1) song ánh Điều chứng minh rằng:  =  Ta ý rằng:    Đầu tiên giả sử rằng: n = 2, cho a1 + a2 = 1, trước Vì c  a1  a2, ta có: c = a1c + a2c  a1.a2 Ta chứng minh: a1  a2 = a1a2 Việc chứng minh dựa vào phương pháp quy nạp toán học Điều cho phép giả sử rằng: i 2 =  i a i Ta chứng minh trên: a1  i  nguyên tố nhau, đó: a1.(  ai) = a1 ( ai) =  i 2 1.3 Các vành Noether i2 Mệnh đề 1.3.1: Các điều kiện sau vành A tương đương: (a) Mọi ideal A hữu hạn sinh; (b) Mọi dãy tăng ideal a1  a2  trở thành số, nghĩa với số m, a m  am1  , (c) Mọi tập khác rỗng ideal A có phần tử lớn (nghĩa là: phần tử không tương thích chứa ideal tập) Chứng minh: (a)  (b): Nếu a1  a2  dãy tăng, a =  ideal  tồn tập hữu hạn {a1, , an } phần tử sinh Với m,   am ta suy ra: am = am + = … = a (b)  (c): Cho S tập khác rỗng ideal A Cho a1  S, a1 không lớn S, tồn ideal a2  S thích hợp chứa a1 Tương tự, a2 không lớn S, tồn ideal a3S thích hợp chứa a2, vân vân…Trong cách này, ta thu dãy tăng ideal a1  a2  a3  S xác định giới hạn ideal ideal lớn S (c)  (a): Cho a ideal, cho S tập ideal b  a hữu hạn sinh Khi S tập khác rỗng, chứa phần tử lớn c = ( a1 , a2 , , ar ) Nếu c  a, tồn phần tử a  a\c, ( a1 , a2 , , ar , a ) ideal hữu hạn sinh a thích hợp chứa c Điều mâu thuẫn với định nghĩa (c)  (điều phải chứng minh) Một vành A Noether thỏa mãn điều kiện mệnh đề Ta lưu ý vành Noether, ideal thích hợp chứa ideal lớn (áp dụng (c) tất ideal thích hợp A chứa ideal cho) Thực tế, điều với vành, việc chứng minh vành không Noether phải sử dụng tiên đề lựa chọn Một vành A xem địa phương có xác ideal m tối đại Bởi vành không đơn vị chứa ideal lớn nhất, vành địa phương AX = A \ m Mệnh đề 1.3.2: (Bổ đề Nakayama’s) Cho A vành noether địa phương với ideal tối đại m, cho M A-module hữu hạn sinh (a) Nếu M = mM, M = (b) Nếu N module M cho M = N + mM, M = N Chứng minh: (a) Cho x1, x2, … ,xn sinh M, viết: xi   a x , với a ij j ij  m j Khi x1, x2, … , xn nghiệm hệ n phương trình với n biến sau:  ( ij  aij ) x j  0,  ij  Kronecker delta j Do đó, theo quy luật Cramer cho ta: det(ij – a ij)xj = 0, với i Nhưng det(ij – a ij)  m, đơn vị Suy ra, xi = 0, M = (b) Giả thuyết M/N = m(M/N), M/N = 0, nghĩa là: M = N Do đó, cho A vành Noether địa phương với ideal tối đại m Khi ta xem m Amodule, tác động A thừa số m/m2 với k = A/m Hệ 1.3.3: Các phần tử a1 , , an m sinh m ideal thặng dư module m2 sinh m/m2 không gian vectơ k Đặt biệt, số nhỏ phần tử sinh ideal tối đại số chiều không gian vectơ m/m2 Chứng minh: Nếu a1 , , an sinh m, thặng dư sinh m/m2 Ngược lại, giả sử thặng dư chúng sinh m/m2, cho m = ( a1 , , an ) + m2 Vì A noether m hữu hạn sinh Áp dụng bổ đề Nakayama với M = m N = ( a1 , , an ), chứng minh rằng: m = ( a1 , , an ) Định nghĩa 1.3.4: Cho A vành Noether (a) Độ cao ht(p) ideal nguyên tố p  A chiều dài lớn dãy ideal nguyên tố: p = pd  pd-1 … p0 (2) (b) Số chiều Krull A sup{ht(p) | p  A, p nguyên tố} Do đó, số chiều Krull vành A cận chiều dài dãy ideal nguyên tố A (chiều dài chuỗi số kẻ hở, chiều dài (2) d) Ví dụ, trường có số chiều Krull 0, ngược lại miền nguyên số chiều Krull trường Chiều cao ideal nguyên tố khác miền xác định ideal 1, vành có số chiều Krull Chiều cao ideal nguyên tố vành noether hữu hạn, số chiều Krull vành vô hạn (Ví dụ: xét Nagata, vành địa phương, 1962, appendix; phụ lục A1) Trong ví dụ Nagata, có ideal tối đại p1, p2, p3, … A cho dãy ht(pi) hướng tới vô hạn Định nghĩa 1.3.5: Một vành noether địa phương số chiều Krull d xem quy ideal tối đại sinh phần tử d Nó suy từ hệ (1.3.3) mà vành noether địa phương quy số chiều Krull với số chiều không gian vectơ m/m2 Bổ đề 1.3.6: Cho A vành Noether Tập phần tử sinh cho ideal A chứa tập hữu hạn sinh Chứng minh: Cho a ideal sinh tập S A Khi a = ( a1 , , an ) với  A Mỗi nằm ideal sinh tập hữu hạn Si S Bây  S hữu hạn sinh i a Định lý 1.3.7: (Định lý tương giao Krull) Trong vành địa phương noether A với ideal tối đại m,  n 1 mn  {0} Chứng minh: Cho a1 , , ar sinh m Khi mn sinh đơn thức bậc n Mặt khác, mn bao gồm tất phần tử A mà g( a1 , , ar ) cho số đa thức g(X1, , Xr)  A[X1, , Xr] bậc n Cho Sm tập tất đa thức f có bậc m cho f( a1 , , ar )  n1 m n , cho a ideal sinh tất S m Theo bổ đề 1.3.6, tồn tập hữu hạn f1, f2, , fs phần tử  S m mà sinh a Cho d i = degfi , cho d = maxd i Cho b   n 1 mn ; đặc biệt b md+1, b = f( a1 , , ar ) với số đa thức f bậc d + Từ định nghĩa, f Sd +1  a, đó: f = g1f1 + + gsfs, với gi  A Khi f fi nhất, từ g i ta bỏ qua tất số hạng bậc degf – degfi, số hạng triệt tiêu lẫn Do đó, ta chọn g i bậc degf - degfi = d + – di > Khi đó: b  f (a1 , a2 , , ar )   gi ( a1 , a2 , , ar ) fi (a1 , a2 , , ar )  m  m n Do đó,  m n  m  m n , từ bổ đề Nakayama ta suy ra: 1.4  mn  Nhân tử hóa Cho A miền xác định nguyên Một phần tử a A phần tử tối giản khác 0, không đơn vị, cho nhân tử hóa tầm thường, nghĩa là: a  bc  b c đơn vị Nếu phần tử không đơn vị khác không A viết tích hữu hạn phần tử tối giản cách xác cách (đối với đơn vị bậc nhân tử), A gọi miền tầm thường hóa địa phương Như vành, phần tử tối giản a chia tích bc nhân tử tối giản b c (viết bc = aq biểu diễn b, c, q tích phần tử rút gọn) Mệnh đề 1.4.1: Cho (a) ideal thích hợp khác miền nguyên A Nếu (a) ideal nguyên tố, a tối giản, ngược lại A miền nhân tử hóa Chứng minh: Giả sử (a) số nguyên tố Bởi (a) không (0) A, a khác mà không đơn vị Nếu a = bc bc  (a), (a) số nguyên tố, nghĩa b c thuộc (a), ta nói b = aq Bây a = bc = aqc, nghĩa qc = 1, c đơn vị Ngược lại, giả sử a tối giản Nếu bc  (a), a|bc (mà ta ý trên) nghĩa a|b a|c, nghĩa là: b c  (a) Mệnh đề 1.4.2: (Bổ đề Gauss) Cho A miền nhân tử hóa với trường phân số F Nếu thừa số f(X)  A[X] tích hai đa thức không số F[X], tích hai đa thức không số A[X] Chứng minh: Cho f = gh F[X] Cho c, d A, đa thức g = cg h1 = dh có hệ số A, ta có nhân tử hóa cdf = g1h1 A[X] Nếu phần tử tối giản p A chia cho cd, đó, tìm modulo (p), ta thấy rằng: = g1.h1 (A/(p))[X] Theo mệnh đề 1.4.1, (p) số nguyên tố, (A/(p))[X] miền xác định nguyên Do vậy, p chia hết cho tất hệ số đa thức nhỏ g1, h1, giả sử g1, g = pg2 với g2  A[X] Do đó, ta có nhân tử hóa (cd/p)f = g2h A[X] Tiếp tục phương pháp này, ta di chuyển lại toàn thừa số tối giản cd, ta thu nhân tử hóa f A[X] Cho A miền nhân tử hóa Một đa thức khác f  a0  a1 X   am X m A[X] nói nguyên hàm nhân tử chung (khác đơn vị) Mỗi đa thức f A[X] viết f = c(f).f1 với c(f)  A f1 nguyên hàm, phân tích đến đơn vị A Phần tử c(f), định nghĩa tốt phép nhân đơn vị, gọi dung lượng f Bổ đề 1.4.3 Tích hai đa thức nguyên hàm nguyên hàm Chứng minh: Cho f  a0  a1 X   am X m , g  b0  b1 X   bn X n , đa thức nguyên hàm, cho p phần tử tối giản A Cho ai0 hệ số f chia p b j0 hệ số g chia p Khi tất số hạng  i  j i  j0 aib j chia p, ngoại trừ ai0 b j0 , chia p Do đó, p chia hệ số thứ-(i0 + j0) fg Ta chứng minh phần tử tối giản A chia tất hệ số fg, phải nguyên hàm Bổ đề 1.4.4: Cho đa thức f, g  A[X], c(fg) = c(f) Khi đó, nhân tử A[X] đa thức nguyên hàm nguyên hàm Chứng minh: Lấy f = c(f)f1 g = c(g)g1 với f1, g1 nguyên hàm Khi fg = c(f)c(g)f1g1 với f1g1 nguyên hàm, đó: c(fg) = c(f)c(g) Mệnh đề 1.4.5: Nếu A miền nhân tử hóa nhất, A[X] miền nhân tử hóa Chứng minh: Đầu tiên ta chứng minh phần tử f A[X] tích phần tử tối giản Từ nhân tử hóa f = c(f)f1 với f1 nguyên hàm, ta thấy đủ để làm điều f nguyên hàm Nếu f tối giản A[X], có thừa số f = gh với g, h đa thức nguyên hàm A[X] bậc thấp Thực tiếp tục ta thu nhân tử hóa cần tìm Từ nhân tử hóa f = c(f)f1 với f1 nguyên hàm, ta thấy phần tử tối giản A[X] tìm đa thức số đa thức nguyên hàm Lấy f  c1 cm f1 f n  d1 d r g1 g s hai nhân tử hóa phần tử f A[X] vào phần tử tối giản với số ci, dj đa thức nguyên hàm fi, gj Khi đó: c ( f )  c1 cm  d1 d r (tùy vào đơn vị A) Tiếp tục sử dụng A miền nhân tử hóa nhất, ta thấy m = r phân biệt ci từ d i đơn vị xếp thứ tự f1 f n  g1 g s (tùy vào đơn vị A) Do Bổ đề Gauss chứng minh fi, gj đa thức tối giản F[X] và, sử dụng F[X] miền xác định nhân tử hóa nhất, ta thấy n = s khác fi từ gi đơn vị F xếp thứ tự chúng Nhưng f i  a g j với a b phần tử khác A, đó: b bfi = a gj Khi fi gj nguyên hàm, ta suy b = a (tùy vào đơn vị A) Do §2 a đơn vị A b CÁC NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH Phần giới thiệu số kết quen biết nhóm abel hữu hạn sinh Định nghĩa 2.1: Một nhóm abel A hữu hạn sinh có hữu hạn phần tử a1 , a2 , , an  A cho với x  A , có số nguyên k1, k2, … , kn cho: n x   i 1 ki Định nghĩa 2.2: Cho A nhóm abel Nhóm xoắn A, ký hiệu T(A), tập: T(A) = {a  A | n   : na  0} Định nghĩa 2.3: Một nhóm abel A gọi xoắn T(A) = {0} Bổ đề 2.4: Cho A nhóm abel Khi A/T(A) xoắn Định nghĩa 2.5:  n      tổng n gọi nhóm abel hạng n Định lý 2.6: Nếu A nhóm abel xoắn hữu hạn sinh mà có tập hợp phần tử sinh có lực lượng bé với n phần tử, A đẳng cấu với nhóm abel tự hạng n Chứng minh: Bằng phương pháp quy nạp số phần tử sinh cực tiểu A Nếu A cyclic (nghĩa sinh phần tử khác 0), A   Giả sử mệnh đề với cho thấy tất nhóm abel xoắn hữu hạn sinh với tập hợp phần tử sinh cực tiểu có n phần tử Giả sử A xoắn { a1 , a2 , , an } tập phần tử sinh cực tiểu A Nếu T(A/< a1 >)={0} A/< a1 > xoắn sinh n - phần tử, kết suy từ phép quy nạp < a1 >   Nếu T(A/< a1 >) không nhóm tầm thường có nhóm B  A cho: T(A/< a1 >)  B/< a1 > Như với phần tử  b  B tồn số nguyên  i  cho ib< a1 > Nhưng, ib  ja1 với số nguyên j   Định nghĩa ánh xạ f :B (và f(0) = 0) Ta kiểm tra ánh xạ b  f(b) = j/i phép đồng cấu nhóm abel, dễ dàng kiểm tra ánh xạ có hạt nhân tầm thường, đơn ánh suy B  f ( B) Vì vậy, B hữu hạn sinh (vì  vành Noether) B cyclic Thật vậy, giả sử B = Khi đó: f(B) = < f(b1), … , f(b m) > = nhóm nhóm cyclic , cyclic Nếu B = A A tự sinh phần tử Nếu không, đó: A / B  a1 , , an  a2 , , an  A / B  ( A/  a1 ) / ( B /  a1 )  ( A/  a1 ) / T ( A/  a1 ) Do đó, A/B xoắn sinh nhiều n – phần tử, abel tự hạng m < n phương pháp quy nạp Suy ra: A  B   m cho: B  A /  m hữu hạn sinh Do trên, B cyclic nên suy kết Chú ý, m = n – n cực tiểu Định nghĩa 2.7: Cho A nhóm abel, cho B C nhóm A Ta nói A tổng trực tiếp B C, ký hiệu A  B  C , A = B + C B  C  {0} , với B + C = { b + c | bB cC} Định nghĩa 2.8: Cho P phạm trù cho X Y vật P Một cấu xạ f : X  Y gọi đơn xạ với vật Z P cặp cấu xạ: i, j : Z  X, f  i  f  j i = j Định nghĩa 2.9: Cho P phạm trù cho X Y vật P Một cấu xạ f : X  Y gọi toàn xạ với vật Z P cặp cấu xạ: i, j : Y  Z, i  f  j  f i = j Định nghĩa 2.10: Cho A B nhóm abel Tổng trực tiếp A B phạm trù nhóm abel, ký hiệu A  B nhóm abel A  B với phép đồng cấu tắc i : A  A  B j: B  A  B thỏa mãn điều kiện với nhóm abel C cấu xạ f : A  C g : B  C, tồn ánh xạ k : A  B  C cho biểu đồ sau giao hoán: i j A   A  B  B f k g C Suy i, j phép đơn cấu Định lý 2.11: Cho A nhóm abel hữu hạn sinh Khi tồn phép đẳng cấu: f : A  T ( A)  A / T ( A) Chứng minh: Giả sử A  a1 , , an  Khi A / T ( A)  a1 , , an  nên A/T(A) hữu hạn sinh Giả sử  x1 , , xm  tập hợp cực tiểu phần tử sinh A/T(A) Nếu a  A / T ( A) a  Suy ra: Do đó,  m k x i với số nguyên ki   i 1 i m a   i 1 ki xi  T ( A) A =  x1 , , xm  T ( A) Hơn nữa, A/T(A) xoắn, suy  x1 , , xm  T ( A)  {0} đó: A =  x1 , , xm  T ( A) Chú ý: Nếu:  : A  A / T ( A) đồng cấu thương  : A / T ( A)  A cho  ( xi )  xi    phép đồng cấu đồng A/T(A)  phép đơn cấu Hệ 2.12: Mỗi nhóm abel hữu hạn sinh tổng trực tiếp nhóm hữu hạn nhóm abel tự hạng n với số nguyên n   Chứng minh: Ta kiểm tra rằng: T(A) nhóm hữu hạn, A/T(A) hữu hạn sinh xoắn Và thế, định lý 2.6, A/T(A) nhóm abel tự hạng n với số nguyên n   §3 MỘT SỐ KẾT QUẢ QUEN BIẾT VỀ LĨNH VỰC LÝ THUYẾT SỐ VÀ TRƯỜNG HỮU HẠN Trong phần giới thiệu đến số khía cạnh số học đường cong elliptic, nhằm nêu lại kiến thức Lý thuyết số Hình học Đại số 3.1 Các đường cong phẳng Cho k trường Ví dụ chẳng hạn, k trường  số hữu tỷ, trường  số thực, trường  số phức, trường  p số p – adic, trường hữu hạn q q phần tử Cho k bao đóng đại số k Một đường cong phẳng X k xác định phương trình f ( x, y )  , f ( x, y )   aij x i y j  k [ x, y ] bất khả qui k Ta định nghĩa bậc X f sau: deg X = deg f = max{i + j : aij  0} Một điểm k-hữu tỷ (hoặc đơn giản k-điểm) X điểm ( a, b ) với tọa độ thuộc k cho f ( x, y )  Tập tất điểm k- hữu tỷ X ký hiệu: X(k) Ví dụ: Phương trình x y  y  11  xác định đường cong phẳng X  bậc (5, )  X(  ) Tại điểm ta phát biểu toán mở, mà nhiều kỷ dùng động lực thúc đẩy cho phát triển nhiều ngành toán học Câu hỏi: Cho đường cong phẳng X  , tồn hay không thuật toán xác định X(  ) (liệu X(  ) có khác rỗng hay không)? Mặc dù X(  ) không thiết hữu hạn, ta thấy rằng, luôn thừa nhận mô tả hữu hạn, vấn đề xác định X(  ) xác hóa cách sử dụng khái niệm máy Turing; xem [8] để tiếp cận định nghĩa Vì có mối quan hệ câu hỏi với toán thứ 10 Hilbert, xin xem tổng quan [16] Hiện có tồn phương pháp tính toán trả lời câu hỏi cho X đặc biệt, chưa chứng minh phương pháp làm việc chung Thậm chí vấn đề sau bỏ ngỏ : (1) Có hay không thuật toán cho đa thức bậc bốn f(x)  [x], liệu có xác định y  f ( x) có điểm hữu tỷ? (2) Có hay không thuật toán cho đa thức f ( x, y ) [ x, y ] bậc 3, liệu có biết f ( x, y )  có điểm hữu tỷ? Thực ra, ta nhận thấy vấn đề (1) (2) tương đương 3.2 Các đường cong trường hữu hạn Cách xác định X(): phân chia nhỏ theo bậc Ta trở lại vấn đề xác định tập hợp điểm hữu tỷ X() X đường cong phẳng afin f ( x, y )  hoặc bao đóng xạ ảnh Cho d = deg f Ta xét toán tăng dần giá trị d Bậc d = 1: X đường thẳng Ta tham số hóa điểm hữu tỷ đường thẳng ax  by  c  với a, b, c  ; a, b, c  Bậc d = 2: X đường conic Legendre chứng minh đường conic thỏa mãn nguyên lý Hasse Điều nghĩa là: X có  -điểm X có  điểm  p- điểm với số nguyên tố p Vì đường conic xạ ảnh mô tả dạng bậc hai có biến, kết Legendre xem trường hợp đặc biệt định lý Hasse-Minkowski [21, Chương IV, 3.2] Định lý Legendre dẫn đến thuật toán để xác định tồn đường conic X  -điểm Đây thuật toán: bổ sung bình phương, nhân với số, tập trung bình phương vào biến, để cảm sinh trường hợp aX  bY  cZ  2, a, b, c  , không phương, đôi nguyên tố Khi ta chứng minh tồn  - điểm a, b, c không dấu phương trình đồng dư: ax  b  (mod c) by  c  (mod a) cy  a  (mod b) giải tập số nguyên Hơn nữa, trường hợp này, aX  bY  cZ  có nghiệm không tầm thường tập số nguyên X, Y, Z thỏa mãn | X || bc |1/2 , | Y || ac |1/2 , | Z || ab |1/2 Xem [22] Trong trường hợp đường conic X có  -điểm P0, vấn đề mô tả tập hợp tất  -điểm Vì có cách làm hợp lý là: với điểm P  X(  ) vẽ đường qua P0 P,, giả sử t hệ số góc  (hoặc  ) Ngược lại, cho t   , từ định lý Bézout suy đường qua P0 với hệ số góc t cắt đường conic điểm khác (miễn đường không tiếp xúc với conic P0), điểm hữu tỷ Ví dụ: X đường tròn x2  y  P0(-1, 0), thì:   t 2t  t  ,  1 t2   t  y  ( x, y ) x 1 Hình 1.1: Tham số hóa hữu tỷ đường tròn Định nghĩa ánh xạ song hữu tỷ từ 1 đến X ngược lại, nghĩa bỏ qua hữu hạn tập có số chiều nhỏ (một vài điểm), chúng ánh xạ cho hàm hữu tỷ [...]... về số học của các đường cong elliptic, nhằm nêu lại một ít kiến thức nền trong Lý thuyết số và Hình học Đại số 3.1 Các đường cong phẳng Cho k là một trường Ví dụ chẳng hạn, k có thể là trường  của các số hữu tỷ, trường  của các số thực, trường  của các số phức, trường  p của số p – adic, hoặc trường hữu hạn q của q phần tử Cho k là một bao đóng đại số của k Một đường cong phẳng X trên k được xác... có một điểm hữu tỷ? Thực ra, ta có thể nhận thấy rằng các vấn đề (1) và (2) là tương đương 3.2 Các đường cong trên trường hữu hạn Cách xác định X(): sự phân chia nhỏ theo bậc Ta trở lại vấn đề xác định tập hợp các điểm hữu tỷ X() ở đây X là một đường cong phẳng afin f ( x, y )  0 trên hoặc bao đóng xạ ảnh của nó Cho d = deg f Ta xét bài toán khi tăng dần giá trị của d Bậc d = 1: X là các đường. .. rằng đường qua P0 với hệ số góc t sẽ cắt đường conic tại một điểm khác (miễn là đường này không tiếp xúc với conic tại P0), và đây sẽ là một điểm hữu tỷ Ví dụ: nếu X là đường tròn x2  y 2  1 và P0(-1, 0), thì:  1  t 2 2t  t  ,  2 1 1 t2   t  y  ( x, y ) x 1 Hình 1.1: Tham số hóa hữu tỷ của một đường tròn Định nghĩa các ánh xạ song hữu tỷ từ 1 đến X và ngược lại, nghĩa là bỏ qua hữu hạn các. .. ] là bất khả qui trên k Ta định nghĩa bậc của X và f như sau: deg X = deg f = max{i + j : aij  0} Một điểm k -hữu tỷ (hoặc đơn giản là k -điểm) trên X là một điểm ( a, b ) với tọa độ thuộc k sao cho f ( x, y )  0 Tập tất cả các điểm k- hữu tỷ trên X được ký hiệu: X(k) Ví dụ: Phương trình x 2 y  6 y 2  11  0 xác định một đường cong phẳng X trên  bậc 3 và (5, 1 )  X(  ) 2 Tại điểm này ta có thể... hóa các điểm hữu tỷ trên đường thẳng ax  by  c  0 với a, b, c  ; a, b, c  0 Bậc d = 2: X là các đường conic Legendre đã chứng minh rằng các đường conic thỏa mãn nguyên lý Hasse Điều này nghĩa là: X có một  -điểm nếu và chỉ nếu X có  điểm và một  p- điểm với mỗi số nguyên tố p Vì một đường conic xạ ảnh được mô tả bởi một dạng bậc hai có 3 biến, kết quả của Legendre có thể được xem như một trường. .. 2.12: Mỗi nhóm abel hữu hạn sinh là tổng trực tiếp của một nhóm hữu hạn và một nhóm abel tự do của hạng n với số nguyên n   Chứng minh: Ta có thể kiểm tra rằng: T(A) là một nhóm hữu hạn, và A/T(A) hữu hạn sinh và không có xoắn Và vì thế, do định lý 2.6, A/T(A) là một nhóm abel tự do hạng n với số nguyên n   §3 MỘT SỐ KẾT QUẢ QUEN BIẾT VỀ LĨNH VỰC LÝ THUYẾT SỐ VÀ TRƯỜNG HỮU HẠN Trong phần này chúng... giải được trong tập các số nguyên Hơn nữa, trong trường hợp này, aX 2  bY 2  cZ 2  0 có một nghiệm không tầm thường trong tập các số nguyên X, Y, Z thỏa mãn | X || bc |1/2 , | Y || ac |1/2 , và | Z || ab |1/2 Xem [22] Trong trường hợp đường conic X có một  -điểm P0, vấn đề là mô tả tập hợp của tất cả các  -điểm Vì có một cách làm hợp lý là: với mỗi điểm P  X(  ) vẽ một đường qua P0 và P,,... nguyên hàm, ta suy ra b = a (tùy vào một đơn vị trong A) Do đó §2 a là một đơn vị trong A b CÁC NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH Phần này giới thiệu một số kết quả quen biết về các nhóm abel hữu hạn sinh Định nghĩa 2.1: Một nhóm abel A là hữu hạn sinh nếu có hữu hạn phần tử a1 , a2 , , an  A sao cho với bất kỳ x  A , có các số nguyên k1, k2, … , kn sao cho: n x   i 1 ki ai Định nghĩa 2.2: Cho A là một nhóm... là một phần tử tối giản nếu nó khác 0, không là một đơn vị, và chỉ cho các nhân tử hóa tầm thường, nghĩa là: a  bc  b hoặc c là một đơn vị Nếu mọi phần tử không đơn vị khác không trong A có thể được viết như một tích hữu hạn của các phần tử tối giản được một cách chính xác trong một cách nào đó (đối với các đơn vị và bậc của các nhân tử), khi đó A được gọi là một miền tầm thường hóa địa phương Như... Amodule, tác động của A trên các thừa số m/m2 với k = A/m Hệ quả 1.3.3: Các phần tử a1 , , an của m sinh ra m như một ideal nếu và chỉ nếu các thặng dư module m2 sinh ra m/m2 như một không gian vectơ trên k Đặt biệt, số nhỏ nhất của các phần tử sinh vì ideal tối đại bằng số chiều của không gian vectơ m/m2 Chứng minh: Nếu a1 , , an sinh ra m, các thặng dư sinh ra m/m2 Ngược lại, giả sử rằng các thặng dư của