Một số vấn đề về phần xoắn của đường cong elliptic

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN-CƠ-TIN HỌC LÊ VĂN NAM MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHẦN XOẮN CỦA ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC Chuyên nghành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Phó Đức Tài HÀ NỘI- 2014 Mục lục Mở đầu Các khái niệm đường cong elliptic 1.1 1.2 1.3 Đường cong elliptic nhóm aben 1.1.1 Đường cong elliptic 1.1.2 Luật cộng đường cong elliptic Điểm có cấp hữu hạn 1.2.1 Điểm có cấp hữu hạn 1.2.2 Định lý Nagell-Lutz 10 Phần xoắn hai lớp đường cong elliptic 14 Một số phân loại biết theo danh sách Kubert 18 2.1 Danh sách Kubert 18 2.2 Phân loại K Ono 20 2.3 Phân loại Qiu - Zhang 25 2.4 Nhóm xoắn nhận theo danh sách Kubert Bổ sung phân loại theo danh sách Kubert 30 32 3.1 Phần xoắn chứa điểm cấp 32 3.2 Phần xoắn chứa điểm cấp 34 3.3 Phần xoắn chứa điểm cấp 38 3.4 Phần xoắn chứa điểm cấp 44 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 Lời cảm ơn Nhân dịp này, muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS.Phó Đức Tài, thầy trực tiếp hướng dẫn tận tình bảo suốt trình thực luận văn suốt hai năm bước vào học thạc sĩ thầy giành tâm huyết bảo cách tiếp cận cách học đại số Đồng thời, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy giáo, cô giáo khoa Toán-Cơ-Tin, trường Đại học Khoa học Tự Nhiên- Đại học Quốc gia Hà Nội, dạy bảo tận tình suốt trình học tập khoa Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất người quan tâm, tạo điều kiện động viên cổ vũ để hoàn thiện nhiệm vụ Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2014 Học viên Lê Văn Nam Mở đầu Đường cong elliptic đối tượng quan trọng toán học Lịch sử phát triển đường cong elliptic trải qua thời gian dài ứng dụng đường cong elliptic tiếp tục khám phá Gần đây, ứng dụng quan trọng đường cong elliptic phát lý thuyết mật mã, phân tích số nguyên lớn, việc giải phương trình Diophante Định lý Mordell-Weil phát biểu nhóm điểm hữu tỉ đường cong elliptic (E(Q), +) nhóm aben hữu hạn sinh, E(Q) ∼ = T orsE(Q) Zr , phần xoắn T orsE(Q) nhóm hữu hạn hạng r hữu hạn Hơn nữa, phần xoắn T orsE(Q) xác định tường minh từ phương trình định nghĩa đường cong nhờ định lý Nagell-Luzt định lý Mazur Câu hỏi ngược lại toán phân loại (hoặc tìm) họ đường cong elliptic với nhóm xoắn cho trước Nội dung luận văn phân loại phần xoắn số họ biết bổ sung phân loại thiếu theo danh sách D.S Kubert (là danh sách (K) chương 2) Trong phân loại song song với chứng minh lý thuyết, sử dụng phần mềm đại số máy tính Sage để kiểm tra lại kết Bố cục luận văn trình bày sau: Chương 1: Các khái niệm đường cong elliptic Chúng trình bày tổng quan số kiến thức đường cong elliptic, định nghĩa dạng đường cong elliptic, xây dựng luật cộng đường cong elliptic, chứng minh định lý Nagell-Luzt, chọn hai ví dụ có ví dụ trình bày phân loại nhóm xoắn Chương 2: Một số phân loại biết theo danh sách D.S Kubert Chúng trình bày lại hai phân loại K Ono D Qiu-X Zhang cho hai lớp đường cong (2) (3) danh sách (K) D.S Kubert Chương 3: Bổ sung phân loại theo danh sách Kubert Mục đích bổ sung phân loại cho bốn lớp đường cong (4), (5), (9) (13) theo danh sách (K) D.S Kubert Chương Các khái niệm đường cong elliptic Mục đích chương trình bày lại số kết quan trọng lý thuyết đường cong elliptic, chẳng hạn định lý Nagell-Luzt, định lý Mazur, định lý Mordell-Weil hai ví dụ phần xoắn đường cong elliptic 1.1 1.1.1 Đường cong elliptic nhóm aben Đường cong elliptic Phương trình đường cong bậc tổng quát xác định trường K có dạng ax3 + bx2 y + cxy + dy + ex2 + f xy + gy + hx + iy + j = 0, a, b, c, e, f, g, h, i, j ∈ K a, b, c không đồng thời Khi phép đổi trục tọa độ hợp lý, chuyển phương trình bậc tổng quát dạng y + a1 xy + a3 y = x3 + a2 x2 + a4 x + a6 với a1 , a2 , a3 , a4 , a6 ∈ K Phương trình gọi phương trình Weierstrass tổng quát Khi char K = 2, phép đổi biến thích hợp, cụ thể với y := y − (a1 x + a3 ), phương trình trở thành y = x3 + Ax2 + Bx + C Phương trình gọi phương trình dạng Weierstrass đơn giản Khi char K = 3, phép đặt x := x + A3 chuyển phương trình Weierstrass đơn giản dạng y = x3 + Ax + B Phương trình gọi phương trình Weierstrass chuẩn tắc Một đường cong xác định phương trình dạng Weierstrass đơn giản y = x3 + Ax2 + Bx + C với A, B, C ∈ K gọi đường cong elliptic không kỳ dị, tức biệt thức D = −4A3 C + A2 B + 18ABC − 4B − 27C = Để đơn giản, ta dùng kí hiệu D thay cho biệt thức đường cong elliptic không nói thêm 1.1.2 Luật cộng đường cong elliptic Cho đường cong elliptic E có phương trình y = x3 + Ax2 + Bx + C hệ tọa độ xạ ảnh phương trình E Y Z = X + AX Z + BXZ + CZ Mỗi điểm mặt phẳng xạ ảnh có tọa độ P [X : Y : Z] Khi P = [X : Y : 0] điểm P tương ứng với điểm vô không gian afin mà ký hiệu điểm Θ Ký hiệu E(K) = {(x, y) ∈ K2 : y = x3 + Ax2 + Bx + C} ∪ {Θ} Để đơn giản, ta dùng kí hiệu E thay cho E(K) không nói thêm Luật cộng xác định cách hình học sau: Bắt đầu với điểm P1 (x1 , y1 ) P2 (x2 , y2 ) E(K), vẽ đường thẳng qua P1 , P2 cắt đường bậc điểm P1 ∗ P2 , lấy đối xứng điểm P1 ∗P2 qua trục hoành ta điểm P3 Khi ta định nghĩa P3 = P1 +P2 Trong trường hợp P1 ≡ P2 đường thẳng qua P1 , P2 tiếp tuyến với đường cong P1 , tọa độ điểm P3 (x3 , y3 ) tọa độ điểm 2P1 Với P1 , P2 = Θ, tọa độ P3 (x3 , y3 ) xác định sau: Nếu x1 = x2 −y1 x3 = λ2 − A − x1 − x2 , y3 = λ(x2 − x3 ) − y2 , với λ = xy22 −x Nếu x1 = x2 y1 = y2 P1 + P2 = Θ Nếu P1 ≡ P2 y1 = +B x3 = λ2 − A − 2x1 , y3 = λ(x1 − x3 ) − y1 , với λ = 3x1 +2Ax 2y1 Nếu P1 ≡ P2 y1 = P1 + P2 = Θ Qui ước P + Θ = P, ∀P ∈ E(K) Luật cộng điểm đường cong E có phương trình (E) : y + a1 xy + a3 y = f (x) = x3 + a2 x2 + a4 x + a6 Ta ký hiệu E(K) = {(x, y) ∈ K2 : y + a1 xy + a3 y = x3 + a2 x2 + a4 x + a6 } ∪ {Θ} Bắt đầu với điểm P1 (x1 , y1 ) P2 (x2 , y2 ) E(K), vẽ đường thẳng qua P1 , P2 cắt E điểm P1 ∗ P2 Lấy đối xứng điểm P1 ∗ P2 ta điểm P3 Khi ta định nghĩa qua đường thẳng y = − a1 x+a P3 = P1 + P Trường hợp Nếu x1 = x2 P1 = P2 , gọi phương trình đường thẳng qua P1 , P2 y = λx + β , y1 − y2 x1 − x2 Trường hợp Nếu x1 = x2 P1 = P2 P1 + P2 = Θ Trường hợp Nếu P1 = P2 , gọi phương trình tiếp tuyến qua P1 y = λx + β , f (x1 ) − a1 y1 λ= 2y1 + a1 x1 + a3 Ta gọi phương trình hoành độ giao điểm đường thẳng y = λx + β E λ= (λx + β)2 + a1 x(λx + β) + a3 (λx + β) = x3 + a2 x2 + a4 x + a6 , tương đương = x3 + (a2 − λ2 − λa1 )x2 + (a4 − 2λβ − a1 β − λa3 )x + (a6 − β − a3 β) Tọa độ P3 (x3 , y3 ) xác định sau Trong trường hợp (x3 , y3 ) = (x3 , −y3 − a1 x3 − a3 ) x3 = λ2 + λa1 − a2 − x1 − x2 , y3 = λx3 + β Trong trường hợp (x3 , y3 ) = (x3 , y3 − a1 x3 − a3 ) x3 = λ2 + λa1 − a2 − 2x1 , y3 = λx3 + β Định lý 1.1 E(K) với phép cộng xác định lập thành nhóm giao hoán với Θ phần tử đơn vị Chứng minh Có thể xem chứng minh định lý [14] Chú ý 1.1 Cho E đường cong elliptic có phương trình y = x3 + Ax2 + Bx + C, A, B, C ∈ Q Nếu cần thiết nhân hai vế phương trình với d6 , d ∈ Z∗ , ta thu (yd3 )2 = (xd2 )3 + d2 A(xd2 )2 + d4 B(xd2 ) + Cd6 Thay yd3 y xd2 x, ta chọn d cho d2 A, d4 B, Cd6 ∈ Z Vậy xét E : y = x3 + Ax2 + Bx + C Q giả sử A, B, C ∈ Z 1.2 1.2.1 Điểm có cấp hữu hạn Điểm có cấp hữu hạn Định nghĩa 1.1 Cho E : y = x3 + Ax2 + Bx + C , với A, B, C ∈ K Cho P (x0 , y0 ) ∈ E Cấp điểm P số nguyên dương m bé thỏa mãn mP = Θ Nếu tồn m P có cấp hữu hạn, P gọi điểm xoắn, ngược lại P gọi điểm có cấp vô hạn Ký hiệu E[n] tập điểm E có cấp n điểm Θ Vấn đề đặt làm để tìm tất điểm hữu tỷ có cấp hữu hạn E Để làm điều đó, ta cần đến kết quan trọng định lý Nagell-Lutz Tài liệu tham khảo [1] J Gebel and H.G Zimmer, Computing the Mordell-Weil group of an elliptic curve In H Kisilevsky et al., editors, Elliptic curves and related topics, volume of Proc and Lect Notes, page 61-83 Centre Rech Math., Montréal, Amer Math Soc., 1993 [2] F.Q Gouvêa, p-adic Numbers, Springer-Verlag, NewYork, Heidelderg Berlin, 1997 [3] D Husemoller, Elliptic curves, Springer-Verlag, NewYork, 2002 [4] N.H.V Hưng, Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục, 1997 [5] M A Kenku and F Momose, Torsion points on elliptic curves defined over quadratic fields, Nagoya Math J., Vol 109 (1988), 125-149 [6] D.S Kubert, Universal bounds on the torsion of elliptic curvers, Proc London Math Soc (3), 33 (1976), 193-237 [7] B Mazur, Rational isogenies of prime degree, Invent Math .44, 129162, 1978 [8] B Mazur, Modular curves and the Eisenstein ideal, IHES Publ Math.47(1977), 33-186 [9] B Mazur, Rational point on modular curves, Modular Functions of One Variable V, Lecture Notes in Math 601(1977), 107-148, SpringerVerlag, NewYork [10] M Oka, Elliptic curves from sextics, J Math Soc Japan, Vol 54, No 2, 2002 57 [11] K Ono, Euler’s concordant forms, Acta Arthmetica, LXX VIII 2(1996), 101-123 [12] D Qiu and X Zhang, Explicit classification for torsion subgroups of rational point of elliptic curves, Acta Mathematica Sinica (English Series), 18(2002.7), No.3, 539-548 [13] J Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer-Verlag, NewYork, 1986 [14] J Silverman and J Tate, Rational Points on Elliptic Curves, SpringerVerlag, NewYork, 1992 [15] L.C Washington, Elliptic curves: Number Theory and Cryptography, Chapman - Hall/CRC, 2003 [16] A Wiles, Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem, Ann Math 141, no 3(1995), 443-551 [17] H G Zimmer, Torsion of elliptic curves over cubic and certain biquadratic number fields, Arithmetic geometry, 203-220, Comtemp Math., 174, Amer Math Soc 58 [...]... the Mordell-Weil group of an elliptic curve In H Kisilevsky et al., editors, Elliptic curves and related topics, volume 4 of Proc and Lect Notes, page 61-83 Centre Rech Math., Montréal, Amer Math Soc., 1993 [2] F.Q Gouvêa, p-adic Numbers, Springer-Verlag, NewYork, Heidelderg Berlin, 1997 [3] D Husemoller, Elliptic curves, Springer-Verlag, NewYork, 2002 [4] N.H.V Hưng, Đại số đại cương, Nhà xuất bản giáo... Springer-Verlag, NewYork, 1986 [14] J Silverman and J Tate, Rational Points on Elliptic Curves, SpringerVerlag, NewYork, 1992 [15] L.C Washington, Elliptic curves: Number Theory and Cryptography, Chapman - Hall/CRC, 2003 [16] A Wiles, Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem, Ann Math 141, no 3(1995), 443-551 [17] H G Zimmer, Torsion of elliptic curves over cubic and certain biquadratic number fields,... NewYork [10] M Oka, Elliptic curves from sextics, J Math Soc Japan, Vol 54, No 2, 2002 57 [11] K Ono, Euler’s concordant forms, Acta Arthmetica, LXX VIII 2(1996), 101-123 [12] D Qiu and X Zhang, Explicit classification for torsion subgroups of rational point of elliptic curves, Acta Mathematica Sinica (English Series), 18(2002.7), No.3, 539-548 [13] J Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer-Verlag,... Springer-Verlag, NewYork, 2002 [4] N.H.V Hưng, Đại số đại cương, Nhà xuất bản giáo dục, 1997 [5] M A Kenku and F Momose, Torsion points on elliptic curves defined over quadratic fields, Nagoya Math J., Vol 109 (1988), 125-149 [6] D.S Kubert, Universal bounds on the torsion of elliptic curvers, Proc London Math Soc (3), 33 (1976), 193-237 [7] B Mazur, Rational isogenies of prime degree, Invent Math .44, 129162,