Hình học của các đường cong tham số hóa hữu tỉ

Lời nói đầu Bài toán tham số hóa siêu mặt đại số, đặc biệt đường cong đại số mặt đại số chủ đề thú vị Hình học đại số Hơn nữa, vấn đề có nhiều ứng dụng thiết thực lĩnh vực thiết kế đồ họa máy tính Vì vậy, trở thành đối tượng nghiên cứu nhiều nhà toán học tin học Năm 2008, J R Sendra cộng cho đời sách có tựa đề "Rational Algebraic Curvers" Đây số sách đề cập toán tham số hóa Nội dung sách nhằm tìm phép tham số hóa hữu tỉ đường cong đại số cho trước phép tham số hóa tồn tìm phép tham số hóa tốt đồng thời phân loại phép tham số hóa Như vậy, câu hỏi tự nhiên là, đường cong cho phép tham số lợi ích mà phép tham số hóa mang lại nói việc nghiên cứu tính chất hình học có hạn chế so với đường cong cho dạng đa thức? Cụ thể việc tìm bậc đường cong, tìm số bội điểm từ xác định điểm kì dị, đếm số điểm kì dị, có khó khăn? Một câu trả lời S Pérez-Díaz, ba tác giả sách nói trên, đưa báo ([4]) vào năm 2007 Bản luận văn kết Công việc người viết trình bày lại nội dung nêu đồng thời tính toán thêm nhiều ví dụ tương đối phức tạp Qua tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng dẫn khoa học mình, TS Phó Đức Tài Thầy tận tình bảo, hướng dẫn giúp đỡ tác giả từ ngày đầu làm quen với Hình học đại số, đến trình viết bảo vệ luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô khoa Toán - Cơ - Tin, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, đặc biệt thầy cô Bộ môn Đại số - Hình học Tô pô tạo điều kiện cho tác giả học tập nghiên cứu môi trường khoa học Xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Hà Nội, mùa hè năm 2012 Học viên Hà Đăng Toàn i Mục lục Lời nói đầu i Kiến thức chuẩn bị 0.1 Đường cong đại số trường hàm hữu tỉ 0.2 Ánh xạ hữu tỉ song hữu tỉ 0.3 Số giao hệ tuyến tính đường cong 0.4 Giải kì dị đường cong đại số 0.5 Không gian ước giống Định lí Riemann Các thuật toán tham số hóa hữu tỉ 1.1 Đường cong hữu tỉ phép tham số hóa 1.2 Tham số hóa đường thẳng 1.3 Tham số hóa đường cong liên hợp 10 Hình học đường cong tham số hóa hữu tỉ 13 2.1 Chỉ số vết tính thực phép tham số hóa hữu tỉ 13 2.2 Phép tham số hóa chuẩn 14 2.3 Hình học đường cong hữu tỉ cho dạng tham số hóa 15 Kết luận 17 Tài liệu tham khảo 18 ii Chương Kiến thức chuẩn bị Ở toàn luận văn, ta xét k trường đóng đại số, có đặc số Còn khái niệm đường cong hiểu đường cong thành phần bội, cụ thể là, đa thức định nghĩa không chứa thừa số bội 0.1 Đường cong đại số trường hàm hữu tỉ 0.1.1 Không gian afin không gian xạ ảnh 0.1.2 Tập đại số Đa tạp afin, đa tạp xạ ảnh Giả sử F ∈ k[X1 , , Xn ], điểm P = (a1 , , an ) An gọi không điểm F F (P ) = F (a1 , , an ) = Nếu F không số tập tất không điểm F gọi siêu mặt định nghĩa F kí hiệu V (F ) Tổng quát hơn, S tập đa thức k[X1 , , Xn ], ta kí hiệu V (S) = {P ∈ An |F (P ) = 0, ∀F ∈ S}, tức V (S) = ∩F ∈S V (F ) Một tập X ⊂ An gọi tập đại số afin X = V (S) với S Đặc biệt, A2 ta có định nghĩa: Định nghĩa 0.1 Một đường cong đại số afin phẳng k tập đại số C = V (F ) = {(a, b) ∈ A2 (k)|F (a, b) = 0}, F (X, Y ) ∈ k[X, Y ] đa thức khác Khi F gọi đa thức định nghĩa C (và tất nhiên, đa thức G = c.F , với c = thuộc k, định nghĩa đường cong) Định nghĩa 0.2 Một đường cong đại số xạ ảnh phẳng k định nghĩa tập hợp C = V (F ) = {[a : b : c] ∈ P2 (k)|F (a, b, c) = 0}, với đa thức khác không chứa thừa số bội F (X, Y, Z) ∈ k[X, Y, Z] Ta gọi F đa thức định nghĩa C Khái niệm bậc, thành phần tính bất khả quy (như định nghĩa 0.1 cho đường cong afin) sử dụng cho đường cong xạ ảnh cách tương tự Nếu đường cong afin định nghĩa đa thức F (X, Y ) ta nhận đường cong xạ ảnh C∗ tương ứng cách hóa F (X, Y ) thành F ∗ (X, Y, Z) Nghĩa là, nếu: F (X, Y ) = Fr (X, Y ) + Fr+1 (X, Y ) + + Fm (X, Y ), thì: F ∗ (X, Y, Z) = Fr (X, Y )Z m−r + Fr+1 (X, Y )Z m−r−1 + + Fm (X, Y ), C ∗ = {[a : b : c] ∈ P2 (k)|F ∗ (a, b, c) = 0} Định nghĩa 0.3 Đường cong xạ ảnh tương ứng với đường cong afin C k gọi bao đóng xạ ảnh C P2 (k) 0.1.3 Nón tiếp xúc điểm kì dị đường cong phẳng Trước hết, ta cần có khái niệm điểm kì dị đường cong afin phẳng Định nghĩa 0.4 Cho C đường cong afin k định nghĩa F (X, Y ) ∈ k[X, Y ] P = (a, b) ∈ C Ta nói P có bội r C đạo hàm riêng (theo X, Y ) F bậc r − triệt tiêu P đạo hàm riêng bậc r không triệt tiêu P Ta ký hiệu bội P C multP (C) Khi đó, multP (C) = P ∈ / C, multP (C) = ta nói P điểm đơn C, multP (C) = r > ta gọi P điểm kỳ dị (hay kỳ dị) bội r C hay điểm bội r Ta nói đường cong không kì dị (hay trơn) điểm kì dị Định nghĩa 0.5 Một kì dị P bội r đường cong afin C gọi thông thường r tiếp tuyến với C P phân biệt, không thông thường ngược lại Mệnh đề 0.6 ([5], chương 2, Định lý 2.10) Một đường cong afin phẳng có hữu hạn điểm kì dị Mệnh đề 0.7 ([5], chương 2, Định lý 2.13) Giả sử P điểm đơn đường cong xạ ảnh C xác định đa thức F (X, Y, Z) Khi đó: X ∂F ∂F ∂F (P ) + Y (P ) + Z (P ) ∂Y ∂Y ∂Z đa thức định nghĩa tiếp tuyến với C P Mệnh đề 0.8 ([5], chương 2, Định lý 2.14) Điểm P ∈ P2 (k) kỳ dị đường cong xạ ảnh C ∂F ∂F ∂F (định nghĩa đa thức F (X, Y, Z)) (P ) = (P ) = (P ) = ∂X ∂Y ∂Z Mệnh đề 0.9 ([5], chương 2, Định lý 2.15) Giả sử C đường cong xạ ảnh định nghĩa đa thức F (X, Y, Z) bậc m Khi P ∈ P2 (k) điểm có bội r (r ≤ m) đạo hàm riêng thứ r − F triệt tiêu P 0.1.4 Vành tọa độ trường hàm hữu tỉ đường cong Mệnh đề 0.10 ([1], chương 2, Mệnh đề 2.) Tập hợp điểm cực hàm hữu tỉ tập đại số V Γ(V ) = OP (V ) P ∈V Mệnh đề 0.11 ([1], chương 2, Mệnh đề 2) OP (V ) miền nguyên Noether địa phương Mệnh đề 0.12 ([1], chương 3, Định lí 1.) P điểm đơn C OP (C) vành giá trị rời rạc Trong trường hợp đó, L = aX + bY + C đường thẳng qua P không tiếp xúc C P ảnh l L OP (C) tham số đơn trị OP (C) 0.1.5 Ánh xạ đa thức phép biến đổi tọa độ Định nghĩa 0.13 Giả sử V ⊂ An , W ⊂ Am đa tạp Một ánh xạ ϕ : V → W gọi ánh xạ đa thức tồn đa thức T1 , T2 , , Tm ∈ k[X1 , X2 , , Xn ] cho ϕ(a1 , a2 , , an ) = (T1 (a1 , a2 , , an ), T2 (a1 , a2 , , an ), , Tm (a1 , a2 , , am )), với (a1 , a2 , , an ) ∈ V Mệnh đề 0.14 ([1], chương 2, Mệnh đề 1.) Giả sử V ⊂ An , W ⊂ Am đa tạp Khi đó, có tương ứng tự nhiên − ánh xạ đa thức ϕ : V → W đồng cấu ϕ˜ : Γ(W ) → Γ(V ) Mọi ánh xạ ϕ hạn chế ánh xạ đa thức từ An tới Am 0.2 Ánh xạ hữu tỉ song hữu tỉ 0.2.1 Tôpô Zariski khái niệm đa tạp tổng quát số chiều đa tạp 0.2.2 Ánh xạ hữu tỉ, ánh xạ song hữu tỉ tương đương song hữu tỉ đường cong Giả sử ϕ : X → Y ánh xạ hai tập hợp X, Y ⊂ An Phép hợp thành với ϕ tạo nên đồng cấu vành ϕ˜ : F(Y, k) → F(X, k) tức ϕ(f ˜ ) = f ◦ ϕ Định nghĩa 0.15 Cho X Y đa tạp Một cấu xạ từ X tới Y ánh xạ ϕ : X → Y cho ϕ liên tục; Với tập mở U Y, f ∈ Γ(U, OY ) ϕ(f ˜ ) = f ◦ ϕ ∈ Γ(ϕ−1 (U ), OX ) Một đẳng cấu X với Y cấu xạ − từ X lên Y cho ϕ−1 cấu xạ Mệnh đề 0.16 ([1], chương 6, Mệnh đề 2) Giả sử X, Y đa tạp afin.Khi đó, có tương ứng tự nhiên − cấu xạ ϕ : X → Y đồng cấu ϕ˜ : Γ(Y ) → Γ(X) Nếu X ⊂ An , Y ⊂ Am cấu xạ ánh xạ đa thức từ X tới Y Mệnh đề 0.17 ([1], chương 6, Hệ Mệnh đề 7) Giả sử f, g : X → Y cấu xạ Khi đó, tập {x ∈ X|f (x) = g(x)} tập đóng X Hơn nữa, f g đồng tập trù mật X f = g Định nghĩa 0.18 Một lớp tương đương f cấu xạ từ X tới Y gọi ánh xạ hữu tỉ từ X tới Y Ánh xạ hữu tỉ f gọi trội f (U ) trù mật X, với U đa tạp mở X Một ánh xạ hữu tỉ F : X → Y gọi ánh xạ song hữu tỉ tồn tập mở U ⊂ X, V ⊂ Y đẳng cấu f : U → Y đại diện lớp tương đương F Khi đó, ta nói đa tạp X Y tương đương song hữu tỉ Mệnh đề 0.19 ([1], chương 6, Mệnh đề 12) Hai đa tạp tương đương song hữu tỉ trường hàm chúng đẳng cấu Hệ 0.20 Mọi đường cong tương đương song hữu tỉ với đường cong phẳng Ta nói đa tạp hữu tỉ tương đương song hữu tỉ với An Pn với n Đặc biệt, ta có khái niệm quan trọng sau Định nghĩa 0.21 Một đường cong đại số gọi đường cong hữu tỉ tương đương song hữu tỉ với A1 P1 0.2.3 Bậc ánh xạ hữu tỉ trội Định nghĩa 0.22 Cho ánh xạ hữu tỉ trội ϕ : W1 → W2 với dim W1 = dim W2 Ta định nghĩa bậc ϕ bậc mở rộng hữu hạn đại số k(W1 ) ϕ(k(W ˜ )), tức là: deg(ϕ) = [k(W1 ) : ϕ(k(W ˜ ))] 0.3 Số giao hệ tuyến tính đường cong 0.3.1 Số giao đường cong Định lí Bézout Định lý 0.23 (Định lý Bezout) Cho F G đường cong xạ ảnh bậc m, n tương ứng Giả sử F G nhân tử chung Khi IP (F, G) = mn P ∈P2 0.3.2 Chu trình giao Định lí Max Noether 0.3.3 Hệ tuyến tính đường cong Bổ đề 0.24 ([1], chương 5, Bổ đề mục 5.2) (1) Giả sử P ∈ P2 Khi đó, tập hợp đường cong phẳng xạ ảnh bậc d qua P siêu mặt P d(d+3) (2) Nếu T : P2 → P2 phép biến đổi tọa độ ánh xạ F → F T từ tập đường cong bậc d vào phép biến đổi tọa độ P d(d+3) Giả sử P1 , P2 , , Pn điểm P2 , r1 , r2 , , rn số nguyên không âm Đặt V (d, r1 P1 , r2 P2 , , rn Pn ) tập hợp đường cong bậc d mà mPi (F ) ≥ ri , (1 ≤ i ≤ n) Mệnh đề 0.25 ([1], chương 5, Định lí 1) V (d, r1 P1 , r2 P2 , , rn Pn ) đa tạp tuyến tính P d(d+3) − Nếu d ≥ 0.4 d(d+3) với số chiều không nhỏ ri (ri +1) ri dim V (d, r1 P1 , r2 P2 , , rn Pn ) = d(d+3) − ri (ri +1) Giải kì dị đường cong đại số 0.4.1 Phép nổ điểm không gian afin 0.4.2 Phép nổ điểm không gian xạ ảnh 0.4.3 Phép biến đổi bậc hai Trong P2 ta gọi điểm P = [0 : : 1], P ′ = [0 : : 0], P ′′ = [1 : : 0] điểm sở; L = V (Z), L′ = V (Y ), L′′ = V (X) đường thẳng cá biệt Chú ý P giao điểm L′ L′′ , L qua P ′ P ′′ Kí hiệu U = P2 \V (XY Z) Định nghĩa 0.26 Phép biến đổi Q : P2 \{P, P ′ , P ′′ } → P2 định nghĩa Q([x : y : z]) = [yz : xz : xy], gọi phép biến đổi bậc hai chuẩn hay phép biến đổi Cremona chuẩn Với phép biến đổi tọa độ T ta gọi Q ◦ T phép biến đổi bậc hai Cho C đường cong xạ ảnh bậc n định nghĩa đa thức F điểm sở P, P ′ , P ′′ có bội tương ứng r1 , r2 , r3 C Giả sử F˜ dạng biến đổi bậc hai F C˜ đường cong định nghĩa F˜ Các kết sau chứng minh [1] (1) Z r1 lũy thừa cao Z mà ước F Q ˜ = F, F˜ bất khả quy C˜ = V (F˜ ) (2) deg(F˜ ) = 2n − r1 − r2 − r3 , F˜ (3) C˜ có bội n − r2 − r3 , n − r1 − r3 , n − r1 − r2 , tương ứng P, P ′ , P ′′ (4) Nếu C có vị trí tốt C˜ có vị trí tốt ˜ ≤ I(Pi , C˜∩L) (5) Nếu C có vị trí tốt P1 , P2 , , Ps điểm sở C˜∩L mPi (C) s I(Pi , C˜ ∩ Z) = r1 i=1 (6) Nếu C có vị trí hoàn hảo C˜ có tính chất sau: (a) Có tương ứng bảo toàn bội, bảo toàn tính chất điểm bội C˜ U với điểm bội C U (b) P, P ′ , P ′′ điểm bội thông thường có số bội n, n − r1 , n − r1 (c) Trên C˜ ∩ L′ C˜ ∩ L′′ điểm điểm sở Giả sử C˜ ∩ L có s ˜ ≤ I(Pi , C˜ ∩ L) điểm P1 , , Ps điểm sở mP (C) I(Pi , C˜ ∩ L) = i i=1 r1 (7) Với đường cong xạ ảnh C giả thiết có điểm kì dị có bội rP = mP (C), kí hiệu g∗ (C) = (n − 1)(n − 2) − rP (rP − 1) ta chứng minh số không âm s ri (ri −1) ˜ = g ∗ (C) − ˜ P1 , , Ps Nếu C có vị trí hoàn hảo g∗ (C) , với ri = mPi (C) 1=1 điểm khác sở C˜ ∩ L Bổ đề 0.27 ([1], chương 7, Bổ đề 1) Cho C đường cong xạ ảnh phẳng bất khả quy, P điểm C Khi đó, có phép biến đổi tọa độ T cho F T có vị trí hoàn hảo T ([0 : : 1]) = P Mệnh đề 0.28 ([1], chương 7, Định lí 2) Bằng dãy hữu hạn phép biến đổi bậc hai, đường cong xạ ảnh bất khả quy biến đổi thành đường cong có kì dị thường Định nghĩa 0.29 Cho C đường cong phẳng xạ ảnh bất khả quy, P ∈ Sing(C) Nếu P kì dị thông thường lân cận P bao gồm nút đơn P Còn P kì dị không thông thường lân cận P có P gốc lân cận điểm kì dị lân cận P lân cận thứ Đồ thị lân cận P , ký hiệu Ngr(C), tập lân cận tất điểm kì dị C Định nghĩa 0.30 Một đường cong xạ ảnh C ′ gọi liên hợp đường cong bất khả quy C multP (QP (C ′ )) ≥ multP (QP (C)) − với ∀P ∈ Ngr(C) Ta nói C ′ đường cong liên hợp bậc m C C ′ liên hợp C deg(C ′ ) = m 0.4.4 Mô hình không kì dị đường cong đại số Mệnh đề 0.31 ([1], chương 7, Định lí 3) Cho C đường cong xạ ảnh Khi có đường cong xạ ảnh không kì dị X cấu xạ song hữu tỉ f từ X lên C Nếu f ′ : X ′ → C mô tồn đẳng cấu g : X → X ′ cho f ′ ◦ g = f 0.5 Không gian ước giống Định lí Riemann 0.5.1 Giới thiệu ước không gian L(D) Một ước X tổng hình thức D = P ∈X nP P , nP ∈ Z có hữu hạn nP khác không Như thế, ước X làm thành nhóm abel tự tập X Với z ∈ k(C) định nghĩa ước z, div(z) = hữu hạn cực không điểm Ta kí hiệu (z)0 = (z)∞ = div(zz ′ ) P ∈X ordP (z)P Đây định nghĩa tốt z có ordP (x)>0 ordP (z)P ước không điểm ordP (x) 1, tìm điểm P bội d − C Không tính tổng quát giả sử P = [a : b : 1] Bước Đặt G(X, Y ) := F (X + a, Y + b, 1) Giả sử Gd Gd−1 tương ứng thành phần bậc d bậc d − G(X, Y ) Bước Phép tham số hóa cần tìm P(t) = (−Gd−1 (1, t)+aGd (1, t), −tGd−1 (1, t)+bGd (1, t), Gd (1, t)) 1.2.2 Lớp đường cong tham số hóa đường thẳng Mệnh đề 1.13 ([5], chương 4, Định lý 4.49) Cho C đường cong xạ ảnh phẳng bất khả quy bậc d > Các phát biểu sau tương đương: C tham số hóa chùm đường thẳng H(t) C có điểm bội d − điểm sở H(t) 1.3 Tham số hóa đường cong liên hợp Định nghĩa 1.14 Một hệ tuyến tính đường cong H tham số hóa C nếu: dim H = 1, Giao phần tử H C bao gồm điểm khác mà tọa độ phụ thuộc hữu tỉ vào tham số tự H C thành phần đường cong H Khi đó, ta nói C tham số hóa H Bổ đề 1.15 ([5], chương 4, Bổ đề 4.52) Cho H(t) hệ tuyến tính đường cong tham số hóa C, tồn giao điểm khác phần tử H(t) C phụ thuộc t phép tham số hóa thực C Mệnh đề 1.16 ([5], chương 4, Định lý 4.53) Cho F (X, Y, Z) đa thức định nghĩa C, H(t, X, Y, Z) đa thức định nghĩa hệ tuyến tính H(t) tham số hóa C Khi đó, phép tham số hóa P(t) sinh H(t) nghiệm P2 (k(t)) hệ phương trình đại số    ppt (ResY (F, H)) =   pp (ResX (F, H)) = t Định lý sau đưa điều kiện đủ để hệ tuyến tính đường cong hệ tham số hóa Mệnh đề 1.17 ([5], chương 4, Định lý 4.54) Cho H hệ tuyến tính đường cong bậc m B tập điểm sở H Nếu 10 dim H = 1, P ∈B multP (C, C ′ ) = dm − với C ′ ∈ H, C không thành phần đường cong H, H tham số hóa C Trong thực tế, C có kì dị thông thường tập hợp đường cong liên hợp bậc m C hệ tuyến tính sinh ước: (multP (C) − 1)P P ∈Sing(C) Như vậy, tập hợp tất đường cong liên hợp C bậc m, m ∈ N gọi hệ liên hợp C với bậc m Ta kí hiệu hệ Am (C) Mệnh đề 1.18 ([5], chương 4, Định lý 4.57) C đường cong xạ ảnh bậc d có giống cho m ≥ d − Khi Am (C) = ∅ Số chiều hệ tuyến tính đường cong liên hợp đường cong bất khả quy C xác định Vì ta kết ta có định lý sau: Mệnh đề 1.19 ([5], chương 4, Định lý 4.58) Cho C đường cong xạ ảnh hữu tỉ bậc d, m ≥ d − dim(Am (C)) ≥ m(m + 3) (d − 1)(d − 2) − 2 Bổ đề 1.20 ([5], chương 4, Bổ đề 4.59) Cho C đường cong xạ ảnh bất khả quy bậc d, cho m ∈ {d, d − 1, d − 2}, F ⊂ C\ Sing(C) tập hữu hạn Hm = Am (C) ∩ H(m, P ) Khi ta có khẳng định: Nếu m = d, ∀C ′ ∈ Hd với (λ, µ ∈ k) ∈ k2 ta có: λC + µC ′ ∈ Hd λC + µC ′ không chứa thành phần bội Nếu m ∈ d − 1, d − 2, C ′ ∈ Hm , đường cong xạ ảnh M bậc d − m (λ, µ) ∈ k2 ta có P ) µMC ′ + λC không chứa thành phần bội µMC ′ + λC ∈ Hd ∩ H(d, P ∈M∩C Bổ đề 1.21 ([5], chương 4, Bổ đề 4.60) Cho C1 C2 hai đường cong xạ ảnh bậc d1 d2 , thành phần chung thành phần bội Khi đó: d1 d2 ≥ multP (QP (C1 )) multP (QP (C2 )) , P ∈NgrP ′ (C1 ) P ′ ∈C1 ∩C2 đó, NgrP ′ (C1 ) = P ′ P ′ ∈ [C1 ∩ C2 ]\ Sing(C1 ) 11 Mệnh đề 1.22 ([5], chương 4, Định lý 4.61) Cho C đường cong xạ ảnh bậc d có giống Với m ∈ {d − 1, d − 2} Sm ⊂ C\ Sing(C) cho card(Sm ) = md − (d − 1)(d − 2) − Khi đó: Am (C) ∩ H m, P P ∈Sm tham số hóa C Mệnh đề 1.23 ([5], chương 4, Định lý 4.62) Cho C đường cong xạ ảnh bậc d có giống 0, giả sử Q ∈ / C, Sd ⊂ C\ Sing(C) cho card(Sd ) = 3d − Khi Ad (C) ∩ H(d, Q + P ), P ∈Sd tham số hóa C Mệnh đề 1.24 ([5], chương 4, Định lý 4.63) Một đường cong đại số C hữu tỉ giống C Ta thu thuật toán tham số hóa đường cong hữu tỉ sau: Cho đa thức định nghĩa F (X, Y, Z) đường cong xạ ảnh bất khả quy C bậc d có giống Tìm phép tham số hóa hữu tỉ C Bước Nếu d ≤ Sing(C) chứa điểm bội d − ta áp dụng thuật toán tham số hóa đường thẳng Bước Chọn m ∈ {d − 2, d − 1, d} tìm đa thức định nghĩa Am (C) Bước Chọn tập hợp S ⊂ C\ Sing(C) cho card(S) = dm − (d − 1)(d − 2) − P ), ngược lại, (nghĩa m = d) Bước Nếu m < d tìm đa thức H Am (C) ∩ H(m, P ∈S chọn Q ∈ / C tính đa thức định nghĩa Am (C) ∩ H(m, Q + P ) P ∈S Bước Đặt tham số H giả sử t tham số lại H Trở nghiệm P2 (k(t)) {ppt (ResY (F, H)) = 0, ppt (ResX (F, H)) = 0} 12 Chương Hình học đường cong tham số hóa hữu tỉ 2.1 2.1.1 Chỉ số vết tính thực phép tham số hóa hữu tỉ Chỉ số vết phép tham số hóa hữu tỉ Với đường cong, khái niệm bậc ánh xạ hữu tỉ nói đến chương gọi số vết ánh xạ hữu tỉ Định nghĩa 2.1 Cho C đường cong afin hữu tỉ giả sử P(t) phép tham số hóa C Khi bậc ánh xạ hữu tỉ P gọi số vết phép tham số hóa cho kí hiệu index(P(t)) Mệnh đề 2.2 ([5], chương 4, Định lí 4.28) index(P(t)) = degt (gcd(f (s, t), g(s, t))) Chứng minh Xem [5], chương 4, định lí 4.28 2.1.2 Tính thực phép tham số hóa hữu tỉ Định nghĩa 2.3 Giả sử f (t) = kí hiệu deg f, sau: fn (t) ∈ k(t) có dạng tối giản Khi đó, ta định nghĩa bậc f (t), fd (t) deg f = max{deg fn , deg fd } Còn P(t) = (f (t), g(t)) ta gọi max{deg f, deg g} bậc P(t), kí hiệu deg(P(t)) Bổ đề 2.4 ([5], chương 4, Bổ đề 4.17) Giả sử P(t) phép tham số hóa thực đường cong hữu tỉ C, P ′ (t) phép tham số hóa hữu tỉ khác C Tồn hàm hữu tỉ khác r(t) ∈ k(t) cho P ′ (t) = P(R(t)) 13 P ′ (t) thực tồn hàm hữu tỉ tuyến tính l(t) ∈ k(t) cho P ′ (t) = P(l(t)) Bổ đề 2.5 ([5], chương 4, bổ đề 4.19) Giả sử f (X), g(X) ∈ k[X]∗ nguyên tố cho đa thức khác Khi đó, tồn số hữu hạn giá trị a ∈ k cho đa thức f (X) − ag(X) có nghiệm bội Mệnh đề 2.6 ([5], chương 4, Định lí 4.21.) Giả sử C đường cong afin xác định k với đa thức định nghĩa F (X, Y ) ∈ k[X, Y ] giả sử P(t) = (f (t), g(t)) phép tham số hóa C Khi đó, P(t) thực deg(P(t)) = max{degX (F ), degY (F )} Hơn nữa, P(t) thực f (t) khác không deg f = degY (F ); tương tự, g(t) khác không deg g = degX (F ) Hệ 2.7 Giả sử C đường cong afin xác định k với đa thức định nghĩa F (X, Y ) ∈ k[X, Y ] giả sử P(t) = (f (t), g(t)) phép tham số hóa C Khi đó, f (t) khác không deg(g(t)) deg(f (t)) ; tương tự, g(t) khác không degX (F ) = degY (F ) = index(P) index(P) Mệnh đề 2.8 ([5], chương 4, Định lí 4.30) Phép tham số hóa P(t) thực index(P(t)) = Trước kết thúc mục ta xét ví dụ 2.2 Phép tham số hóa chuẩn Bổ đề 2.9 ([5], chương 6, Bổ đề 6.19) Giả sử ℓ1 (X) = lc(f (X, t), t), ℓ2 (Y ) = lc(g(Y, t), t) Khi đó: P(k) = {(a, b) ∈ C| gcd(f (a, t), g(b, t)) = 1} Hơn nữa, C\P(k) ⊂ {(a, b) ∈ C|ℓ1 (a) = ℓ(b) = 0} Hệ 2.10 Nếu P(t) bậc mẫu số mà nhỏ bậc tử số tương ứng P(t) chuẩn Mệnh đề 2.11 ([5], chương , Định lí 6.22) Trong phép tham số hóa P(t) giả sử deg(fn ) = p, deg(Fd ) = q, deg(gn ) = r, deg(gd ) = s a = coeff(fn , q), b = coeff(fd , q), c = coeff(gn , s), d = coeff(gd , s) Khi đó: Nếu p > q r > s P(t) phép tham số hóa chuẩn 14 Nếu p ≤ q r ≤ s P(t) chuẩn deg(gcd(afn (t) − bfn (t), cgd (t) − dgn (t))) ≥ Hơn nữa, P(t) không chuẩn điểm C sinh P(t) trừ điểm ( ab , dc ) (đây điểm C.) Điểm ( ab , dc ) xác định mệnh đề (nếu có) phép tham số hóa hữu tỉ gọi điểm tới hạn phép tham số hóa 2.3 Hình học đường cong hữu tỉ cho dạng tham số hóa 2.3.1 Khảo sát kì dị đường cong g Mệnh đề 2.12 Nếu gcd(lc(f (s0 , t), t), lc(g(s0 , t), t)) = 0, Rest (f (s0 , t), g(s0 , t)) = 0, fd (s0 )gd (s0 ) = P(s0 ) điểm đơn C Mệnh đề 2.13 ([4], Định lí 11) Nếu P = [a1 : a2 : a3 ] ∈ P2 điểm kì dị đường cong C với đa thức định nghĩa F (X1 , X2 , X3 ) phát biểu sau đúng: a Với i ∈ {1, 2, 3} cho = ( aji , aaki ), j, k ∈ {1, 2, 3} j = i = k, điểm tới hạn phép tham số hóa P∗,Xi tối giản P = P ∗ (s0 ) với gcd(lc(f (s0 , t), t), lc(g(s0 , t), t))(s0 ) = 0; P = P ∗ (s0 ) với Rest ( g(s0 , t) f (s0 , t) , ) = 0; gcd(f (s0 , t), g(s0 , t)) gcd(f (s0 , t), g(s0 , t)) P = P ∗ (s0 ) với fd (s0 )gd (s0 ) = 2.3.2 Bậc đường cong hữu tỉ cho dạng tham số hóa hữu tỉ Mệnh đề 2.14 ([4], Định lí 6) Giả sử (a, b) ∈ / C Khi đó, deg deg(C) = (gn (t) − bgd (t))fd (t) (fn (t) − afd (t))gd (t) deg ϕP 15 2.3.3 Số bội điểm đường cong hữu tỉ Mệnh đề 2.15 ([4], Định lí 8) Giả sử (a, b) ∈ k2 Khi deg mult[a:b:1] (C ∗ ) = mult(a,b) (C) = deg(C) − (gn (t) − bgd (t))fd (t) (fn (t) − afd (t))gd (t) deg ϕP Mệnh đề 2.16 ([4], Định lí 9) Ta có công thức sau: fd (t)gd (t) deg (g (t)f n d (t) − kgd (t))fn (t) mult[1:k:0] (C ∗ ) = deg(C) − deg ϕP fd (t) deg fn (t) mult[0:1:0] (C ∗ ) = deg(C) − deg ϕP 16 Kết luận Như vậy, chương trình bày trọn vẹn hai khía cạnh toán tham số hóa đường cong hữu tỉ Bao gồm, thuật toán xác định giống đường cong (đồng nghĩa với việc xác định tính hữu tỉ đường cong) thuật toán tham số hóa hữu tỉ đường cong liên hợp Phương pháp xác định giống đường cong mà trình bày luận văn phương pháp kiểm tra điều kiện cần đủ để có phép tham số hóa hữu tỉ Hơn nữa, cho phép xác định đồ thị lân cận trường hợp đường cong có kì dị không thông thường, tức trường hợp tổng quát toán tham số hóa Đồ thị lân cận điểm kì dị thu giải kì dị dựa dãy phép biến đổi bậc hai (phép nổ kì dị, hợp thành phép biến đổi tuyến tính ánh xạ Cremona) Dựa đồ thị lân cận điểm kì dị thu bước hệ thống tuyến tính, trình bày thuật toán tham số hóa đường cong liên hợp Vấn đề ngược lại đề cập chương hai, cho đường cong dạng tham số, cách khử tham số (dùng kết thức) ta tìm đa thức định nghĩa đường cong để từ nghiên cứu tính chất hình học đường cong Tuy nhiên, nhờ việc khảo sát bậc ánh xạ đa thức hay số vết phép tham số hóa hữu tỉ nhanh chóng tìm tính chất hình học bậc địa phương, bậc toàn cục, xác định tập điểm kì dị đường cong 17 Tài liệu tham khảo [1] W Fulton (1989), Algebraic Curvers, Addison-Wesley [2] J Gutierrez, R Rubio, Jie-Tai Yu (2002), "D-Resultant for rational functions", American Mathematical Society, Volume 130, Number 8, Pages 2237-2246 [3] M Namba (1984), Geometry Projective of Algebraic Curvers, Dekker [4] S Pérez-Díaz (2007), "Computation of the singularities of parametric plane curves", Journal of Symbolic Computation 42, Pages 835-857 [5] J R Sendra, F Winkler & S Pérez Díaz (2008), Rational Algebraic Curvers, Springer [6] A van der Essen, Jie-Tai Yu (1997), "The D-Resultant, singularities and the degree of unfaithfulness", American Mathematical Society, Volume 125, Number 3, Pages 689-695 [7] R.J Walker (1950), Algebraic Curvers, Princeton Univ Press 18 [...]... 2 Hình học của các đường cong tham số hóa hữu tỉ 2.1 2.1.1 Chỉ số vết và tính thực sự của một phép tham số hóa hữu tỉ Chỉ số vết của một phép tham số hóa hữu tỉ Với các đường cong, khái niệm bậc của ánh xạ hữu tỉ đã nói đến trong chương 0 sẽ được gọi là chỉ số vết của ánh xạ hữu tỉ Định nghĩa 2.1 Cho C là một đường cong afin hữu tỉ và giả sử P(t) là một phép tham số hóa của C Khi đó bậc của ánh xạ hữu. .. lý 4.63) Một đường cong đại số C là hữu tỉ khi và chỉ khi giống của C bằng 0 Ta thu được thuật toán tham số hóa các đường cong hữu tỉ như sau: Cho đa thức định nghĩa F (X, Y, Z) của một đường cong xạ ảnh bất khả quy C bậc d và có giống bằng 0 Tìm một phép tham số hóa hữu tỉ của C Bước 1 Nếu d ≤ 3 hoặc Sing(C) chứa đúng một điểm bội d − 1 thì ta áp dụng thuật toán tham số hóa bằng các đường thẳng Bước... số, sao cho F (f (t), g(t)) = 0 Khi đó, (f (t), g(t)) là phép tham số hóa hữu tỉ của C Mệnh đề 1.9 ([5], chương 4, Định lý 4.11) Nếu một đường cong đại số là hữu tỉ thì giống của nó bằng 0 Định nghĩa 1.10 Một phép tham số hóa afin P(t) của một đường cong hữu tỉ C là thực sự nếu ánh xạ P : A1 (k) → C, t → P(t) là song hữu tỉ Nói cách khác, hầu hết các điểm trên C sinh bởi đúng một giá trị của tham số. .. dạng tham số, bằng cách khử tham số (dùng kết thức) ta có thể tìm được đa thức định nghĩa của đường cong để từ đó nghiên cứu các tính chất hình học của đường cong Tuy nhiên, nhờ việc khảo sát bậc của ánh xạ đa thức hay chỉ số vết của phép tham số hóa hữu tỉ chúng ta có thể nhanh chóng tìm được các tính chất hình học như bậc địa phương, bậc toàn cục, xác định được tập các điểm kì dị của đường cong 17... nghịch đảo của phép tham số hóa thực sự P(t) là ánh xạ hữu tỉ ngược của P, và kí hiệu là P −1 Từ định nghĩa 1.10 và định nghĩa 0.21 ta có bổ đề sau: Bổ đề 1.11 ([5], chương 4, Bổ đề 4.13) Mọi đường cong hữu tỉ đều có phép tham số hóa thực sự 1.2 1.2.1 Tham số hóa bằng các đường thẳng Phép tham số hóa các đường cong có một điểm bội lớn Mệnh đề 1.12 ([5], chương 4, Định lý 4.46) Cho C là đường cong xạ... này là cơ sở của H(t) 1.3 Tham số hóa bằng các đường cong liên hợp Định nghĩa 1.14 Một hệ tuyến tính các đường cong H tham số hóa C nếu và chỉ nếu: 1 dim H = 1, 2 Giao của một phần tử bất kỳ trong H và C bao gồm một điểm khác hằng mà tọa độ của nó phụ thuộc hữu tỉ vào tham số tự do trong H 3 C không phải là thành phần của bất kỳ đường cong nào trong H Khi đó, ta cũng nói rằng C tham số hóa được bởi... toán tham số hóa hữu tỉ bằng các đường cong liên hợp Phương pháp xác định giống của đường cong mà chúng tôi trình bày trong luận văn cũng là phương pháp kiểm tra điều kiện cần và đủ để có phép tham số hóa hữu tỉ Hơn nữa, nó còn cho phép xác định đồ thị lân cận trong trường hợp đường cong có các kì dị không thông thường, tức là trường hợp tổng quát nhất của bài toán tham số hóa Đồ thị lân cận của một... chương 4, Định lí 4.9) Một đường cong afin C là tham số hóa hữu tỉ được khi và chỉ khi k(C) là đẳng cấu với k(t) (với t là một phần tử siêu việt) Bổ đề 1.6 ([5], chương 4, Bổ đề 4.5) Cho C là một đường cong afin bất khả quy và C ∗ là đường cong xạ ảnh tương ứng Khi đó C là hữu tỉ khi và chỉ khi C ∗ là hữu tỉ Hơn nữa, một phép tham số hóa của C có thể tính từ một phép tham số hóa của C ∗ và ngược lại Bổ... là các thành phần thuần nhất bậc d và bậc d − 1 của G(X, Y ) Bước 3 Phép tham số hóa cần tìm P(t) = (−Gd−1 (1, t)+aGd (1, t), −tGd−1 (1, t)+bGd (1, t), Gd (1, t)) 1.2.2 Lớp các đường cong có thể tham số hóa bằng các đường thẳng Mệnh đề 1.13 ([5], chương 4, Định lý 4.49) Cho C là đường cong xạ ảnh phẳng bất khả quy bậc d > 1 Các phát biểu sau là tương đương: 1 C là tham số hóa được bằng một chùm các đường. .. là hữu tỉ và một phép tham số hóa hữu tỉ của nó là Q(t) = (−Fd−1 (1, t), −t.Fd−1 (1, t), Fd (1, t)) Như vậy, nếu F (X, Y, Z) là đa thức định nghĩa của một đường cong xạ ảnh bất khả quy C bậc d với một điểm bội d − 1, thuật toán tìm một phép tham số hóa của C như sau: 9 Bước 1 Nếu d = 1 vấn đề là tầm thường, ta sẽ tham số hóa C bằng 1 điểm không thuộc đường thẳng Nếu d > 1, tìm điểm P bội d − 1 của