Hình học trên các mặt phẳng Minkowski với chuẩn Max.: Khóa luận toán học

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN LÊ THỊ LONG HÌNH HỌC TRÊN MẶT PHẲNG MINKOWSKI VỚI CHUẨN “MAX” KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Bộ môn: Hình học Cán bộ hướng dẫn PGS. TS. ĐOÀN THẾ HIẾU Huế, tháng 5 năm 2011 i LỜI CẢM ƠN Qua bốn năm học tập và rèn luyện tại giảng đường trường Đại học Sư phạm Huế, được sự dìu dắt của quý thầy cô giáo, tôi đã tiếp thu được khá nhiều kiến thức hữu ích về chuyên môn cũng như nghiệp vụ. Khóa luận tốt nghiệp này được xem là thành quả quan trọng của cả quá trình học tập và rèn luyện. Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, giúp đỡ của Thầy giáo, PGS. TS. Đoàn Thế Hiếu. Tôi xin gửi đến thầy sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc. Chúng tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến quý thầy cô giáo đã giảng dạy lớp Toán B khóa 2007 - 2011 của trường ĐHSP Huế, đặc biệt là các thầy cô trong khoa Toán đã giảng dạy tận tình và sự quan tâm, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài. Cuối cùng, tôi gửi sự trân trọng và lòng biết ơn đến tất cả người thân, bạn bè và những người đã quan tâm động viên, giúp đỡ cho tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua. Huế, tháng 5 năm 2011 Lê Thị Long ii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cảm ơn ii Mục lục 1 Mở đầu 2 1 Mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”. 3 1.1 Kiến thức chuẩn bị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Độ dài, diện tích. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Các lục giác đều nội tiếp affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Các tập đặc biệt: Tập có độ rộng hằng, tập đều, tập có dây cung đều. 15 1.5 Một vài mặt phẳng Minkowski với chuẩn đặc biệt. . . . . . . . . . . 19 2 Một số bài toán cực trị trên mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”. 21 2.1 Bài toán đường ngắn nhất nối hai điểm. . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Bài toán Đẳng chu trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”. . . 26 2.3 Bài toán Fermat - Torricelli trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 1 MỞ ĐẦU Mặt phẳng Minkowski là hình học phi Euclid trong không gian 2 chiều. Trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”, khoảng cách được tính khác với khoảng cách trong mặt phẳng Euclid. Từ đó, dẫn đến nghiệm của cùng bài toán trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max” khác với trong mặt phẳng Euclid. Trong đề tài này chúng tôi đi sâu tìm hiểu các tính chất của mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”, đặc biệt là bài toán đường ngắn nhất nối hai điểm và bài toán Fermat. Nghiệm của bài toán đường ngắn nhất nối hai điểm trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max” không còn là duy nhất như trong mặt phẳng Euclid. Nghiệm của bài toán này là đường thẳng, đường gấp khúc và đường cong lồi nào đó. Bài toán Fermat-Torricelli yêu cầu tìm điểm x làm cực tiểu tổng khoảng cách đến n điểm bất kỳ x 1 , x 2 , , x n . Đây là bài toán cổ điển trong mặt phẳng Euclid phẳng, ở luận văn này chúng tôi sẽ đi tìm hiểu bài toán này trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”. Nội dung của luận văn gồm 2 chương. Chương 1 tìm hiểu độ dài, diện tích, tập có độ rộng hằng, tập đều, tập có dây cung đều trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”. Chương 2 tìm hiểu bài toán đường ngắn nhất nối hai điểm, bài toán đẳng chu, bài toán Fermat-Torricelli. Mặc dù đã hết sức cố gắng nhưng trong việc trình bày, luận văn vẫn không thể tránh những thiếu sót, chúng tôi mong rất mong được sự đóng góp để luận văn được hoàn thiện hơn. 2 Chương 1 Mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”. 1.1 Kiến thức chuẩn bị. Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm được sử dụng trong mặt phẳng Minkowski. Xét X là không gian véc tơ thực có số chiều là n. Định nghĩa 1.1.1. Cho K là một tập con khác rỗng của không gian véc tơ X. Tập K được gọi là lồi nếu αx + (1 − α)y ∈ K, ∀x, y ∈ K, ∀α ∈ [0, 1]. Với x, y ∈ X, ta định nghĩa: [x, y] = {αx + (1 − α)y | α ∈ [0, 1]}; [x, y = {αx + (1 − α)y | α ≤ 1}; x, y = {αx + (1 − α)y | α ∈ R}; lần lượt được gọi là đoạn thẳng nối x và y, tia gốc x và đi qua y, đường thẳng đi qua x và y. Không gian định chuẩn thực hữu hạn chiều còn được gọi là không gian Minkowski. Không gian Minkowski 2 chiều được gọi là mặt phẳng Minkowski. Xét không gian Minkowski X, ∀x = (a 1 , a 2 , , a n ) ∈ X với chuẩn của x có giá trị bằng max{|a 1 |, |a 2 |, , |a n |}, được gọi là chuẩn max. Chuẩn “max” được ký hiệu là . ∞ . Ta gọi tập B[x, r] = {y ∈ X : y − x ∞ ≤ r} là hình tròn tâm x bán kính r. Khi đó, B[O, 1] được gọi là hình tròn đơn vị tâm O(0, 0) và tập điểm ∂B = {x ∈ B : 3 x ∞ = 1} được gọi là đường tròn đơn vị tâm O(0, 0). Nhận xét 1.1.2. Trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”, hình tròn đơn vị tâm O(0, 0) chính là hình vuông đơn vị trong mặt phẳng Euclid. Hình 1.1: Hình tròn đơn vị. 1.2 Độ dài, diện tích. 1.2.1 Độ dài. Trong mục này chúng ta sẽ đi tìm hiểu về cách tính độ dài đường cong trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”. Định nghĩa 1.2.1. Cho ánh xạ : ϕ :I → R 2 t → ϕ(t), với I ⊂ R là một khoảng (mở, đóng, nửa mở, nửa đóng, nửa đường thẳng thực hoặc cả toàn bộ đường thẳng thực ). Gọi c = ϕ(I) ⊂ R 2 , ảnh của bộ tập I. Khi đó (c, ϕ) là một đường tham số với tham số hóa ϕ và tham số t. Đường cong c = {x : x = ϕ(t), t ∈ [a, b]} được gọi là đường cong đơn, đóng nếu hàm ϕ(t) liên tục trên [a, b] và ϕ(a) = ϕ(b). Định nghĩa 1.2.2. Một đường cong đơn, đóng được gọi là lồi nếu nó bao một tập lồi. Một đường cong c từ x 0 đến x 1 được gọi là lồi nếu c ∪ [x 0 , x 1 ] là đường cong đơn, đóng, lồi. 4 Ví dụ 1.2.3. 1. [x 1 , x 2 ] = {x(t)|x(t) = (1 −t)x 1 + tx 2 , t ∈ [0, 1]} là đoạn thẳng từ x 1 đến x 2 . 2. Hợp hữu hạn các đoạn thẳng kề nhau [x 1 , x 2 ] ∪[x 2 , x 3 ] ∪ ∪[x n−1 , x n ] cũng là một đường cong và ta gọi là đường gấp khúc, được kí hiệu [x 1 , x 2 , , x n ]. Khi đó x i , [x i−1 , x i ] lần lượt được gọi là đỉnh và cạnh của đường gấp khúc. 3. Hai đường cong c 1 và c 2 mà điểm cuối của c 1 trùng với điểm đầu của c 2 thì tạo thành một đường cong mới c 1 ∪ c 2 . Định nghĩa 1.2.4. Chiều dài của đường gấp khúc P = [x 0 , x 1 , , x n ] là µ(P ) = n  i=1 x i − x i−1  ∞ . Cho đường cong c = {x : x = ϕ(t), α ≤ t ≤ β} và α = t 0 < t 1 < < t n = β là một phân hoạch của [α, β], ta định nghĩa chiều dài của đường cong c như sau: Định nghĩa 1.2.5. Chiều dài của đường cong c, kí hiệu µ(c) được xác định µ(c) = sup{  n i=1 ϕ(t i ) −ϕ(t i−1 ) ∞ : {t 0 , t 1 , , t n } là một phân hoạch của [α, β]}. Nhận xét 1.2.6. Trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”, hình tròn đơn vị tâm O(0, 0) chính là hình vuông đơn vị trong mặt phẳng Euclid nên µ(∂B) = 8. Bổ đề 1.2.7. Cho 3 điểm x 1 , x 2 , x 3 phân biệt trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max” (X, . ∞ ), khi đó ta có x 1 − x 3  ∞ ≤ x 1 − x 2  ∞ + x 2 − x 3  ∞ . Chứng minh. Giả sử x 1 (a 1 , b 1 ), x 2 (a 2 , b 2 ), x 3 (a 3 , b 3 ) là ba điểm bất kỳ nằm trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”. Ta có: x 1 − x 3  ∞ = max{|a 1 − a 3 |, |b 1 − b 3 |}; x 1 − x 2  ∞ = max{|a 1 − a 2 |, |b 1 − b 2 |}; x 2 − x 3  ∞ = max{|a 2 − a 3 |, |b 2 − b 3 |}. Ta lần lượt xét các trường hợp có thể xảy ra • TH1: 5 Hình 1.2: Ba điểm bất kỳ.      x 1 − x 2  ∞ = |a 1 − a 2 | x 2 − x 3  ∞ = |a 2 − a 3 | ⇒      |a 1 − a 2 | ≥ |b 1 − b 2 | |a 2 − a 3 | ≥ |b 2 − b 3 | ⇒ |a 1 − a 2 | + |a 2 − a 3 | ≥ |b 1 − b 2 | + |b 2 − b 3 | ≥ |b 1 − b 3 |. (1) Mặt khác |a 1 − a 2 | + |a 2 − a 3 | ≥ |a 1 − a 3 |. (2) Từ (1) và (2) suy ra |a 1 − a 2 | + |a 2 − a 3 | ≥ max{|a 1 − a 3 |, |b 1 − b 3 |} ⇒x 1 − x 2  ∞ + x 2 − x 3  ∞ ≥ max{|a 1 − a 3 |, |b 1 − b 3 |} ⇒x 1 − x 2  ∞ + x 2 − x 3  ∞ ≥ x 1 − x 3  ∞ . • TH2:      x 1 − x 2  ∞ = |a 1 − a 2 | x 2 − x 3  ∞ = |b 2 − b 3 | ⇒      |a 1 − a 2 | ≥ |b 1 − b 2 | |b 2 − b 3 | ≥ |a 2 − a 3 | ⇒      |a 1 − a 2 | + |b 2 − b 3 | ≥ |b 1 − b 2 | + |b 2 − b 3 | |a 1 − a 2 | + |b 2 − b 3 | ≥ |a 1 − a 2 | + |a 2 − a 3 | ⇒      |a 1 − a 2 | + |b 2 − b 3 | ≥ |b 1 − b 3 | |a 1 − a 2 | + |b 2 − b 3 | ≥ |a 1 − a 3 | ⇒ |a 1 − a 2 | + |b 2 − b 3 | ≥ max{|a 1 − a 3 |, |b 1 − b 3 |} ⇒ x 1 − x 2  ∞ + x 2 − x 3  ∞ ≥ max{|a 1 − a 3 |, |b 1 − b 3 |} ⇒ x 1 − x 2  ∞ + x 2 − x 3  ∞ ≥ x 1 − x 3  ∞ . • TH3: 6      x 1 − x 2  ∞ = |b 1 − b 2 | x 2 − x 3  ∞ = |a 2 − a 3 | ⇒      |b 1 − b 2 | ≥ |a 1 − a 2 | |a 2 − a 3 | ≥ |b 2 − b 3 | ⇒      |b 1 − b 2 | + |a 2 − a 3 | ≥ |a 1 − a 2 | + |a 2 − a 3 | |b 1 − b 2 | + |a 2 − a 3 | ≥ |b 1 − b 2 | + |b 2 − b 3 | ⇒      |b 1 − b 2 | + |a 2 − a 3 | ≥ |a 1 − a 3 | |b 1 − b 2 | + |a 2 − a 3 | ≥ |b 1 − b 3 | ⇒ |b 1 − b 2 | + |a 2 − a 3 | ≥ max{|a 1 − a 3 |, |b 1 − b 3 |} ⇒ x 1 − x 2  ∞ + x 2 − x 3  ∞ ≥ max{|a 1 − a 3 |, |b 1 − b 3 |} ⇒ x 1 − x 2  ∞ + x 2 − x 3  ∞ ≥ x 1 − x 3  ∞ . • TH4:      x 1 − x 2  ∞ = |b 1 − b 2 | x 2 − x 3  ∞ = |b 2 − b 3 | ⇒      |b 1 − b 2 | ≥ |a 1 − a 2 | |b 2 − b 3 | ≥ |a 2 − a 3 | ⇒ |b 1 − b 2 | + |b 2 − b 3 | ≥ |a 1 − a 2 | + |a 2 − a 3 | ≥ |a 1 − a 3 |. (3) Mặt khác |b 1 − b 2 | + |b 2 − b 3 | ≥ |b 1 − b 3 |. (4) Từ (3) và (4) ta suy ra x 1 − x 2  ∞ + x 2 − x 3  ∞ ≥ max{|a 1 − a 3 |, |b 1 − b 3 |} ⇒x 1 − x 2  ∞ + x 2 − x 3  ∞ ≥ x 1 − x 3  ∞ . Vậy với 3 điểm phân biệt, ta luôn có bất đẳng thức tam giác x 1 − x 2  ∞ + x 2 − x 3  ∞ ≥ x 1 − x 3  ∞ . Định nghĩa 1.2.8. Cho c 1 là đường cong nối từ x đến y. Đường cong c 2 được gọi là nằm trong c 1 nếu mọi điểm nằm trên đường cong c 2 đều thuộc miền bao bởi đoạn thẳng [x, y] và đường cong c 1 . Định nghĩa 1.2.9. Cho c là một đường cong lồi từ x đến y. Một đường gấp khúc lồi P từ x đến y được gọi là nội tiếp c nếu mỗi đỉnh của P đều thuộc c. Một đường gấp khúc lồi P  từ x đến y được gọi là ngoại tiếp c nếu c nằm trong P  và mỗi cạnh của P  đều tiếp xúc với c. Nhận xét 1.2.10. Nếu c là đường cong lồi từ x đến y, P là đường gấp khúc nội tiếp đường cong c từ x đến y. Khi đó µ(P ) ≤ µ(c). 7 Hình 1.3: Đường gấp khúc nội tiếp. Bổ đề 1.2.11. Nếu P = [x 0 , x 1 , , x n ] là đường gấp khúc lồi từ x 0 đến x n và nằm trong [x 0 , y, x n ] thì n  i=1 x i − x i−1  ∞ ≤ y − x 0  ∞ + x n − y ∞ . (∗) Chứng minh. Ta sẽ chứng minh mệnh đề này bằng qui nạp. Với n = 1, bất đẳng thức (∗) đúng. Giả sử bất đẳng thức (∗) đúng với n = k. Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức (∗) cũng đúng với n = k + 1. Thật vậy, với n = k + 1, cho tia [x k+1 , x k  cắt [x 0 , y] tại m. Khi đó, ta có Hình 1.4: k+1  i=1 x i − x i−1  ∞ = k  i=1 x i − x i−1  ∞ + x k+1 − x k  ∞ ≤m −x 0  ∞ + x k − m ∞ + x k+1 − x k  ∞ (giả thiết qui nạp) ≤m −x 0  ∞ + x k+1 − m ∞ ≤m −x 0  ∞ + y −m ∞ + y −x k+1  ∞ ≤y − x 0  ∞ + y −x k+1  ∞ . Mệnh đề 1.2.12. Nếu c là đường cong lồi từ x 0 đến x n và nằm trong [x 0 , y, x n ] thì µ(c) ≤ y − x 0  ∞ + x n − y ∞ . 8 [...]... cung đều Hình 1.17: Tập có dây cung đều 1.5 1.5.1 Một vài mặt phẳng Minkowski với chuẩn đặc biệt Mặt phẳng Taxicab Như chúng ta đã biết, mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max” là một trong những mặt phẳng Minkowski với chuẩn đặc biệt Ngoài ra, còn có một số mặt phẳng Minkowski với chuẩn đặc biệt khác như là mặt phẳng Taxicab Sau đây, chúng tôi sẽ giới thiệu về mặt phẳng này Mặt phẳng Taxicab là hình học phi... bán kính a trong mặt phẳng Taxcicab chính là hình vuông cạnh a trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max” Đường tròn bán kính a trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max” chính là hình vuông cạnh 2a trong mặt phẳng Taxcicab Hình 1.18: Đường tròn trong mặt phẳng (X, dT ) và trong mặt phẳng (X, |.|∞ ) 20 Chương 2 Một số bài toán cực trị trên mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max” 2.1 Bài toán đường ngắn nhất... khi đó cách đây hơn 25 năm, bài toán chỉ giải quyết được trong trường hợp n = 29 2.3.2 Bài toán Fermat-Torricelli trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max” Bài toán Fermat-Torricelli trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max” là bài toán tìm điểm trong mặt phẳng sao cho tổng khoảng cách tới n điểm cho trước là nhỏ nhất Tập nghiệm của bài toán có bao nhiêu phần tử ? Trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn. .. khác 2 Ví dụ 1.3.6 Trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max” (X, ∞ ), tam giác đều 1 đơn vị OM N có độ dài các đường trung tuyến OK, N H lần lượt bằng và bằng 1 2 14 Hình 1.11: Trung tuyến 1.4 Các tập đặc biệt: Tập có độ rộng hằng, tập đều, tập có dây cung đều 1.4.1 Tập có độ rộng hằng (X, ) là mặt phẳng Minkowski với chuẩn thông thường (X, ∞) là mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max” Định nghĩa 1.4.1... chuẩn “max” Trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”, bài toán đẳng chu là bài toán yêu cầu đi tìm hình có diện tích lớn nhất trong tất cả các hình có cùng chu vi hoặc đi tìm hình có chu vi nhỏ nhất trong tất cả các hình có cùng diện tích Từ lâu người Hy Lạp đã chỉ ra đường tròn là nghiệm của bài toán đẳng chu trong mặt phẳng Euclid Năm 1870, K Weierstrass đã đưa ra một chứng minh đầy đủ cho bài toán. .. Trong mặt phẳng Euclid, hình tròn đơn vị có diện tích bằng π nhưng trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”, hình tròn đơn vị có diện tích bằng 4 Diện tích √ tam giác đều đơn vị trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max” có của 3 thể khác 4 2 Ví dụ 1.2.17 Cho tam giác đều có các đỉnh M ( , 0), N (1, 0), P (0, 1) Khi đó, diện 3 1 tích của M N P bằng (Hình 1.7) 2 Hình 1.7: Diện tích tam giác 11 1.3 Các. .. bài toán đường ngắn nhất nối hai điểm trong mặt phẳng Euclid Vậy nghiệm của bài toán đường ngắn nhất nối hai điểm trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max” là gì? Trong mục này chúng ta sẽ đi tìm nghiệm của bài toán này Bổ đề 2.1.1 Trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”, nếu P = [x0 , x1 , x2 , , xn ] là đường gấp khúc thì xn − x0 ∞ ≤ n i=1 xi − xi−1 ∞ Hình 2.1: Đường gấp khúc Bổ đề 2.1.2 Trong mặt. .. R Hình 1.13: Tam giác Reuleaux trong mặt phẳng (X, ) Nhận xét 1.4.6 Tam giác Reuleaux độ rộng hằng 2 trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn thông thường (X, ) tương ứng với hình tròn bán kính 1 trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max” (X, 1.4.2 ∞ ) Tập đều Định nghĩa 1.4.7 Một tập con S trong không gian tuyến tính thực n-chiều X được gọi là tập antipodal nếu mỗi cặp điểm p, q ∈ S tồn tại hai siêu phẳng. .. nằm trong hình chữ nhật BKHM 29 ⇒ S1 ≤ SBKHM , với S1 là diện tích miền trong bao bởi đường cong c, SBKHM là diện tích hình chữ nhật BKHM Do đó, hình chữ nhật BKHM có diện tích lớn nhất Vậy trong tất cả các hình đi qua 3 điểm A, B, C có cùng chu vi l = AB + BC + AC, hình chữ nhật BKHM có diện tích lớn nhất 2.3 Bài toán Fermat - Torricelli trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max” 2.3.1 Bài toán Fermat-Torricelli... nghiệm của bài toán có phải là đường tròn nữa không? Để biết rõ, chúng ta đi vào tìm hiểu bài toán đẳng chu đơn giản Bài toán Trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”, cho ba điểm A, B, C, trong tất cả các hình đi qua 3 điểm A, B, C, có cùng chu vi l = AB + BC + AC, hình nào có diện tích lớn nhất? Để tìm nghiệm của bài toán, ta tiến hành các bước giải như sau: |xC − xB | + |yC − yB | Dựng hình vuông đỉnh