Một số bài toán cực trị trên mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”.
2.2 Bài toán Đẳng chu trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”.
chuẩn “max”.
Trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”, bài toán đẳng chu là bài toán yêu cầu đi tìm hình có diện tích lớn nhất trong tất cả các hình có cùng chu vi hoặc đi tìm hình có chu vi nhỏ nhất trong tất cả các hình có cùng diện tích.
Từ lâu người Hy Lạp đã chỉ ra đường tròn là nghiệm của bài toán đẳng chu trong mặt phẳng Euclid.
Năm 1870, K. Weierstrass đã đưa ra một chứng minh đầy đủ cho bài toán đẳng chu. Chứng minh của Weierstrass có phần khó vì nó là hệ quả của lý thuyết các phép tính biến phân, bài toán cực tiểu (cực đại) một tích phân nào đó. Về sau nhiều chứng minh đã được đưa ra. Có lẽ chứng minh đơn giản nhất là của E. Schmidt vào năm 1936.
chu trong không gian với mật độ ...
Bây giờ chúng ta sẽ đi tìm hiểu bài toán đẳng chu trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”, liệu rằng nghiệm của bài toán có phải là đường tròn nữa không? Để biết rõ, chúng ta đi vào tìm hiểu bài toán đẳng chu đơn giản.
Bài toán
Trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”, cho ba điểm A, B, C, trong tất cả các hình đi qua 3 điểm A, B, C, có cùng chu vi l = AB +BC +AC, hình nào có diện tích lớn nhất?
Để tìm nghiệm của bài toán, ta tiến hành các bước giải như sau: Dựng hình vuông đỉnh B, cạnh bằng |xC −xB|+|yC −yB|
2 và đi qua điểm C. Gọi
Hình 2.8: Hình cùng chu vi có diện tích lớn nhất.
M là đỉnh kề đỉnh B và nằm trên cạnh chứa điểm C. Khi đó, ta có
M B =|yB −yM| =|xB −xM|
M C =|yM −yC| = |xM −xC| ⇒M B +M C =|yB −yM|+|yM −yC|
=yB −yM +yM −yC =yB −yC =BC.
Hay đường gấp khúc [B, M, C] là đường ngắn nhất nối hai điểm B, C.
nằm cùng phía với M so với BC.
Do đường gấp khúc [B, N, C] không nằm trong đường gấp khúc [B, M, C] nên N
không nằm trong tam giác BM C, ta sẽ xét các vị trí của N. ∗ Với yN > yB, ta có yN −yC > yB −yC ⇒N C > BC (vì BC =yB −yC) ⇒N B +N C > BC. (I) ∗ Với yM ≤yN < yB, ta có Hình 2.9: Hình cùng chu vi có diện tích lớn nhất. N B = max{|xN −xB|,|yN −yB|} ≥ |xN −xB| >|yN −yB|. ⇒N B > yB −yN. (1) N C = max{|xN −xC|,|yN −yC|} ≥ |yN −yC| ≥ yN −yC. (2) Từ (1) và (2) suy ra N B +N C > yB −yN +yN −yC. > yB −yC. > BC. (do BC =yB −yC) (II) ∗ Với yC ≤ yN < yM, ta có N B = max{|xN −xB|,|yN −yB|} ≥ yB −yN (3) N C = max{|xN −xC|,|yN −yC|} ≥ |xN −xC| > yN −yC. (4) Từ (3) và (4) suy ra N B +N C > yB −yN +yN −yC. > yB −yC = BC. (III)
∗ Với yN < yC, ta có N B > yB −yN > yB −yC. ⇒N B > BC
⇒N B +N C > BC. (IV)
Từ (I), (II), (III) và (IV) suy ra đường gấp khúc [B, N, C] không phải là đường ngắn nhất nối hai điểm B, C.
Vậy tất cả các đường ngắn nhất nối hai điểm B vàC nằm cùng phía với đường gấp khúc [B, M, C] so với BC, đều nằm trong đường gấp khúc [B, M, C].
Tương tự, ta dựng hình vuông đỉnh B, cạnh bằng |xB −xA|+|yB −yA|
2 và đi qua
điểm A.
Gọi K là đỉnh kề đỉnh B và nằm trên cạnh chứa điểm A. Khi đó, tất cả các đường ngắn nhất nối hai điểm A và B nằm cùng phía với đường gấp khúc [A, K, B] so với
AB, đều nằm trong đường gấp khúc [A, K, B].
Dựng hình vuông đỉnh C, cạnh bằng |xC −xA|+|yC −yA|
2 và đi qua điểm A.
Gọi H là đỉnh kề đỉnh C và nằm trên cạnh đi qua điểm A. Khi đó, tất cả các đường ngắn nhất nối hai điểm A và C nằm cùng phía với đường gấp khúc [A, H, C] so với
AC , đều nằm trong đường gấp khúc [A, H, C].
Ta nhận thấy hình chữ nhật BKHM đi qua 3 điểm A, B, C và có chu vi bằng l. Gọi clà đường cong lồi đi qua3điểm A, B, C và có cùng chu vil= AB+BC+AC. Giả sử c = c1∪c2 ∪c3, trong đó c1, c2, c3 lần lượt là phần đường cong của c nối A
và B, B và C, C và A. Ta có µ(c) =µ(c1) +µ(c2) +µ(c3) = AB+BC +AC.
Giả sử µ(c1)> AB (hoặc µ(c2)> BC hoặc µ(c3)> AC).
Khi đó, ta có µ(c) = µ(c1) +µ(c2) +µ(c3)> AB+BC +AC (mâu thuẫn)
⇒ µ(c1) = AB µ(c2) = BC µ(c3) = AC
µ(c1) = AB ⇒c1 là đường ngắn nhất nối hai điểm A và B
⇒ c1 nằm trong tam giác AKB.
µ(c2) = BC ⇒c2 là đường ngắn nhất nối hai điểm B và C
⇒ c2 nằm trong tam giác BM C.
µ(c3) = AC ⇒c3 là đường ngắn nhất nối hai điểm A và C
⇒ c3 nằm trong tam giác AHC.
⇒ S1 ≤ SBKHM, với S1 là diện tích miền trong bao bởi đường cong c, SBKHM là diện tích hình chữ nhật BKHM.
Do đó, hình chữ nhật BKHM có diện tích lớn nhất.
Vậy trong tất cả các hình đi qua 3điểmA, B, C có cùng chu vi l =AB+BC+AC, hình chữ nhật BKHM có diện tích lớn nhất.