Định lý tồn tại và duy nhất của bài toán ba điểm biên

BỢ GIÁO DỤC DỤC VÀ VÀ ĐÀO ĐÀO TẠO TẠO Bộ GIÁO TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC sưSư PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH ~ X Nguyên~ Ngọc An X Nguyên Ngọc An ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHÁT CỦA BÀI TOÁN BA ĐIỂM BIÊN ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHÁT A r X CUA BAI TOAN BA ĐIEM BIEN A Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 LUẬN LUẬNVĂN VĂNTHẠC THẠCSỸ SỸTOÁN TOÁNHỌC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VĂN ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 LỜI CẢM ƠN Trước tiên, xin vô cảm ơn PGS.TS Lê Hoàn Hoá, TS Nguyễn Văn Đông TS Lê Thị Phương Ngọc cung cấp tài liệu, tận tình hướng dẫn, giúp đỡ hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Giảng Viên thuộc hai trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh nhiệt tình giảng dạy, hướng dẫn suốt trình học tập Xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Chuyên Viên thuộc Phòng Khoa Học Công Nghệ-Sau Đại Học trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh giúp đỡ, tạo điều kiện cho hoàn thành khoá học Cuối cùng, xin cảm ơn bạn học viên lớp gắn bó, giúp đỡ hoàn thành nhiệm vụ Tp.Hồ Chí Minh, tháng năm 2009 Tác giả, Nguyễn Ngọc Ân MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương : GIỚI THIỆU BÀI TOÁN .3 Chương : TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BA DIÊM BIÊN 2.1 Giới thiệu toán 2.2 Kiến thức bổ trợ 2.3.Sự tồn nghiệm .8 2.4.Sự nghiệm .14 2.5.VÍ dụ 20 Chương 3: TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM DƯƠNG CỦA BÀI TOÁN BA ĐIÉM BIÊN 21 3.1 Giới thiệu toán 21 3.2 Kiến thức bổ trợ 22 3.3 Sự tồn nghiệm dương 31 3.4 Sự tồn vô số nghiệm dương 39 3.5 Sự tồn nghiệm dương 41 3.6 Ví dụ 44 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 MỞ ĐẦU Phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng có nhiều úng dụng thực tiễn, áp dụng nhiều lĩnh vực y học, xây dụng, kiến trúc, điện tử Bài toán ba điểm biên nhiều nhà toán học quan tâm Sự tồn nghiệm toán ba điểm biên nghiên cứu A.R.Aftabizadeh - Chaitan P.Gupta - Jian-Ming Xu, D.Krajcinovic, D.J 0’Regan nhà toán học khác.về nghiệm dương toán ba điểm biên có nghiên cứu tác giả nước Yongping Sun, Xiaoling Han, Nguyễn Thành Long-Lê Thị phương Ngọc-Lê Xuân Trường Từ việc nghiên cứu tài liệu trên, luận văn thiết lập kết điều kiện tồn nghiệm toán ba điểm biên Sau xét tồn nghiệm dương dạng toán ba điểm biên Mục đích nghiên cứu luận văn áp dụng định lỷ liên tục LeraySchauder để chứng minh tồn nghiệm toán ba điểm biên điều kiện nghiệm Sau đó, áp dụng định lý điểm bất động Guo- Krasnoselskii thuật toán lặp đon để chứng minh tồn nghiệm dưong nhiều nghiệm dương Cuối cùng, luận văn trường hợp tồn nghiệm dương toán ba điểm biên Nội dung luận văn gồm có phần mở đầu, ba chương nội dung phần kết luận Cụ thể sau : Phần mở đầu Chương : Giới thiệu toán Chương : Trình bày tồn nghiệm toán ba điểm biên Chương : Trình bày thêm tồn nghiệm dương nêu lên trường hợp có nghiệm dương toán ba điểm biên Phần kết luận Chương GIỚI THIỆU BÀI TOÁN Trong luận văn này, phần đầu xét tồn nghiệm toán giá trị biên ba điểm phi tuyến sau : u'" +j(ur).u" = g(x,u,u',u,r) + e(x) u'(ơ) = uỤ) = u(rj) = 0, 0 g(x, u) e đo (iii) Với r > 0, tồn hàm số thực gr(x) e Z/[0; ] cho với xe [0; 1] h.k.n, I g(x ,u) I < gr(x) với II u II < r 2.2 Kiến thức bổ trợ 2.2.1 Định nghĩa 2.2.1 IIu II00= SUP I u(x) I \\u II = \u (x)dx 0 X x Giả sử có : Xn+1 — Xn , với ne + Vì T không giảm nên ta có : Txn+Ỉ > Txn tức xn+2 > xn+ỉ Vậy ta có : xn+x > xn , với n = 1,2, Kết hợp (3.33), (3.34), thu : lim X = X* «—»+00 Từ (3.32), cho « —► +00 ta : 7x* = Xj Vậy X2 điểm bất động T hay x2 nghiệm dưong toán (3.3)-(3.5) Định lý 3.3.2 chứng minh □ Chúng ta kỷ hiệu : so _x_ f(t,x) f(t,x) / = lim sup max——— , / = lim sup max——— 77o: ;7o,iĩ X 7-++« 'ẽĩouĩ X / =liminfmịn^+l xKo+ +[0,1] X 3.3.3 f J = liminí X HỆ 3.3.3 Giả sử (H\y (H2) đủng Khi toán biền (3.3)-(3.5) có nghiệm dưong trường hợp sau : ( i ) v / 00^ 77— (ii) fo — 77 f' p2 +77 (đặc biệt fo=^f=-Ịỷ) Mor]c M Chứng minh Trường hợp (i): (đặc biệt r =-f32,L=- Jy’ x_>+0 X - L < p2 Moĩl M0 Ĩ J C 37 1: , X với cRỊ “o C ev [ci?2, & L ’ J/ M0rjX ^ 2J ^~rr— lim —t-L—^^ -77-—>(đúng với te [0,1] ) Đặt L = Vì lim/oo ^ —— ( L+nên >/?2x —!— đó, 0, tồn số Do : /(í,x) > ) VKhi ( /X , xvới) p2 e [0,l]x [ci?2,j?2] M TỊC *^+0° M ữ 1JC Đăt L = lim X ( L ^ ——7) Khi với p2 > tồn tai M ữrjc số R2 , CR2 > Ri cho với X > cR2, ta có : f (t, x) jr_>+0° te[0,l ] X M X^-HO Í€[0^-Ị X 38 Ta đến ; f(t,x) + p2X > Lx , Vx e [ci?j, Rị ] Moric M0tl > ZfR' , Vx e [ci?,, = ỉ~, Vxe[Cfí„fi,] Do : /(í,x) + /?2x>-^- , V(Í,X)G[0,1]X[C/?,,Ì?,] M„TỊ Vì /” /? I cho với cR2 J G(t,s)g(s,x(s))ds > Rln = ||x| 0 Do (3.41) Các bất đẳng thức (3.40) (3.41) chứng tỏ T thỏa điều kiện (i) định lý 3.2.5 trongp n -Do T có điểm bất động xn e JPn(n2/ i \ Q 2fl_1).Vậy, i?2M_1[...]... KCì) 22 Chúng ta sẽ chỉ ra sự tồn tại nghiệm dương và nhiều nghiệm dương của bài toán (3.1), (3.2) bằng cách áp dụng định lý điểm bất động của GuoKrasnoselskii và dùng thuật toán lặp đơn Cuối cùng, chúng ta sẽ chỉ ra trường họp tồn tại và duy nhất nghiệm dương của bài toán ba điểm biên 3.2 Kiến thức bỗ trợ Xét các không gian Banach C[0,1] và (^[0,1] được trang bị các chuẩn tương ứng... chú ý rằng các định lý 2.4.1-2.4.3 cho nghiệm duy nhất của các bài toán (2.8), (2.9) và (2.10), (2.11) Từ sự tồn tại và duy nhất nghiệm của (2.8), (2.9) và (2.10), (2.11) chúng ta có định lý chung của các mục 2.3 và 2.4 2.5.Ví dụ Xét phưong trình vi phân ìị/"’= k2 (x, yỳ) \ự' - a(x ,y/), xe [0; 1 ] vói điều kiện biên : y/f(0) =y/r(l) =y/(l/2) = 0 Nếu chúng ta giả sử rằng k2(x,y/) = 1 và a(x, iỊ/) =... ứ(jc)eC'[0,l], ố(jc)eC[0,l] thì theo Định lý 2.3.1, bài toán biên này có nghiệm Bây giờ, nếu chúng ta giả sử rằng k, aeC[[0;1] X tồn tại các hàm c(x) e C[0,1], d(x)eLl[0,1] sao cho c(x) >-n và : ìự\ a(x, ìịf) < c(x) ịụ/.ì/ị + d(x) 1^1 , ] và 21 Chương 3 Sự TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM DƯƠNG 3.1 Giới thiệu bài toán Trong chương này, phần đầu chúng ta xét bài toán giá trị biên 3 -điểm sau: x"(t)=AtAt)\ 0 Vậy, chúng ta có kết quả sau : 3.2.4 BỔ đề 3.2.4 Toán tử T = AoF: p —► p là toán tử hoàn toàn liên tục Dễ thấy rằng mỗi điểm bất động khác không của toán tử T là một nghiệm dương của bài toán (3.3)-(3.5) Chúng ta nhắc lại định lý điểm bất động của Guo-Krasnoselskii 3.2.5 Định lý 3.2.5 (... II u II 2 < c I II c [0;1J Định lý 2.3.1 đã được chứng minh □ Lập luận tương tự ta có Định lý 2.3.2 sau : 2.3.2 Định lý 2.3.2 Giả sử tất cả các điều kiện của Định lý 2.3.1 được thỏa mãn, ngoại trừ trong điều kiện (i) chủng ta giả thiết rằng a{x) e C[0;1], a(x) > -a0 và : v.g(x,u,v,w) > a(x) | V w I + ồ(x) V2 + c(x) I u V I + í/(x) I V I Khi đó, bài toán (2.1), (2.2) có ít nhất một nghiệm nếu : a0 n... có nghiệm Sử dụng phương pháp như trong Định lý 2.3.1, chúng ta chứng minh được định lý sau đối với bài toán biên (2.3), (2.4): 2.3.5 Định lý 2.3.5 Cho g: [0,1] X 3 —>thỏa điều kiện Carathéodory Giả thiết rằng : (i) Tồn tại các hàm a(x), b(x), c(i)eC[0;l], Ể/ộcỊeL^Oỉl] và các hằng số dưong a0, bữ, c0 sao cho : a{x) >- aữ, b(x) > -b0, c(x) > -Co , Vi e [0;1] và vói mọi u,v,w e , xe [0;1] h.k.rv g(x,u,v,w)... tục và giả thiết rằng vói X X 3 —► vỉ [ 0;I (2.6) 1] J^O,0,0,w) liên tục điều liên h.k.n, hàm theo u,v và w Giả sử tồn tại các số thực a0, bữ, Co > 0 với aữ 7T2 + bo 7T + 2 Co Mn 14 e [0;1] h.k.n và mọi u,v,w e Thêm vào đó, giả sử tồn tại một hàm liên tục : « : [0,1] X và p(x) eL^O,!] sao cho : \g(x,u,v,w)\ < Ia (x,u,v)\.\w\2 vói mọi +pự) u,v,w e và X e [0;1]A.*» Khỉ đó, vói mỗi e(x) GÌ.^0,1], bài toán. .. cho với mỗi ye Y, KyeD(L), LKy= y và với mỗi U&D(L), KLu = u, hơn nữa theo định lý Arzela-Ascoli K biến mỗi tập con bị chặn của Y thành tập con compact tuơng đối trong X Vậy : KN: X—>Xlầ một ánh xạ compact Chúng ta chú ý rằng u e C^Oỉl] là một nghiệm của bài toán giá trị biên (2.1), (2.2) nếu và chỉ nếu u là một nghiệm của phương trình toán tử: Lu + Nu = e Phương trình toán tử Lu + Nu = e tương đương ... bị Sau vào giải phần nội dung đề tài tồn nghiệm nghiệm Cuối cùng, có trình bày thêm ví dụ minh hoạ 5 Chương Sự TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BA ĐIỂM BIÊN toán giá trị biên ba điểm phi... kiện tồn nghiệm toán ba điểm biên Sau xét tồn nghiệm dương dạng toán ba điểm biên Mục đích nghiên cứu luận văn áp dụng định lỷ liên tục LeraySchauder để chứng minh tồn nghiệm toán ba điểm biên. .. Chương : GIỚI THIỆU BÀI TOÁN .3 Chương : TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BA DIÊM BIÊN 2.1 Giới thiệu toán 2.2 Kiến thức bổ trợ 2.3.Sự tồn nghiệm