Áp dụng định lý 3.2.5 về điểm bất động trên một nón của Guo- Krasnoselskii’s, ta có :
3.3.1. Định lý 3.3.1
Giả sử (H\)-(H2) đủng. Neu tồn tại hai hằng sổ dưong Rị, R2 sao cho R]<CR2 với c là hằng so, c e (0;1) vd một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn:
Ẩt, x) +yổ2x > , V (í, x) e [0,1] X [c^i, Rị]
M rị
At,x)+P2x <Ặ-, Vftx)E[0,l]x[ci?2,i?2] (3.22)
M Khi đỏ bài toán (3.3)-(3.5) Cớ một nghiệm dưoĩig.
Chứng minh
Đặt: Q, = {* e C[0,1]: 11*11 < i?,}, Q 2 = ịx e C[0,1]: 11*11 < R2 Ị Ta có Qi, £22 là các tập con mở bị chặn của C[0,1] và 0 e Qi,
cz Q 2 .
.Trường hợp giả thiết (3.21):
Với mỗi X e p, ||x II = R J , ta có : g(s, x(s)) = f ( s , x(s)) + p2x(s- = Kết họp với bổ đề 3.2.2, được : 1 |U| 1 ||7JC|| = max J G(t,s)g(s,x(s))ds < — max| G(t,s)ds < 11*1 Do đó : ||r*|| < ||*||, Vxe PíìổQị (3.23) Mặt khác, với mỗi X e p, II* II — R2 , ta có :
Tx(t) = I G(t,s)(f(s,x(s)) + /Ỉ2x(s))ds(do
(3.18) và (3.5)) 0
Do (3.21) và Bổ đề (3.2.2), kết hợp với ước lượng cận tích phân, suy ra:
Tx(t) > í G(t,s)ds > R2 = 11*11 Morjị
Mod i
33
Từ (3.23) và (3.24) do (i) của định lỷ 3.2.5 ta suy ra T có điểm bất động Vo trong p n (Q2 \ Qj), hay v0 là nghiệm dương của (3.3)-(3.5).
.Trường hợp giả thiết (3.22):
Với mỗi X e p, 11*11 = Rị , ta có :
Tx{t)= '\G{t,s)(f(s,x{s)) + l32x(s))ds(do (3.18) và (3.5))
0
R r „
~ M J G(t,s)ds (do giả thiết (3.22))
M ón 0 R }
> — Mads (do bô đê 3.2.2 và ước lương cân tích phân) = Ri = I I * I I
Do đó : ||7*|| > ||x||, Vv E p n ổ£2j (3.25) Mặt khác, với mỗi X e p, II* II = ^2 , ta có :
Tx(t) = J G(t, s)(f (s, v(^)) + J32x(s))ds R Ị. _ Mds (do BỔ đề 3.2.2) M ị = R 2 = 11*11 Do đó : \\Tx\\ < ||v||, Vx G p n ỠQ2 (3.26) Từ (3.25) và (3.26), điều kiện (ii) của định lý 3.2.5 được thỏa mãn. Do vậy T có điểm bất động v0 trong p n (Q2 \ Q J), hay v0 là nghiệm dương của (3.3M3.5).
Định lý 3.3.1 được chứng minh . □ Áp dụng thuật toán lặp đơn, ta có :
3.3.2. Định lý 3.3.2 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Giả sử (Hì), (H2 ) đủng. Giả sử tồn tại hai so dưong RỊ <R2sao cho :
sup g(t,R2)< K; inf (3.27)
Khỉ đó bài toán (3.3)-(3.5) có các nghiệm dưong X Ì , X * 2 , X Ì và
X 2 CÓ thế trùng nhau với:
Rị < X ị < R2 và lim Tnxa = Xj với X o ( t ) = R2, t e [0,1] và R\ < x*2 < R2 và lim Tnx0 = X* với X0(t) = /?J, t e [0,1] /í—>+0O Chứng minh Chúng ta định nghĩa : P[Rx R2] = s p : Rx < ||x|| < R21 Lấy X G P[R R ], ta có : cRx < cỊỊxịl < x(í) < ||x|| < R2ĩ Vte [0,1]. Sử dụng (H2), (3.27) và bổ đề 3.2.2 ta có : 1 D 1 Tx(t) = I G(t,s)g(s,x(s))ds < — Ị G(t,s)ds < R2 0 M ồ 1 1 n R
và Tx(t) = !<?(*,í)g(s,x(s))fik > Jơ(í,s)g(s,c.RI)í/1s > ịMo-^—ds =R{
0 0 0 ^ oH
Do định nghĩa của P[Ri tRĩ ], suy ra : TP[R] >/?2 ] c= P[R] ĩRi J.
Bây giờ, đặt x0 (t) = R2 , te [0,1], ta có Xo e P [ R ] R 2 ] . Chúng ta đặt:
Xn+1 = Txn = T+1Xo, n = l,2,... (3.28)
= x*2 e (3.33)
35
Do bổ đề 3.2.4, tồn tại dãy con Ixnk I của Ị sao cho :
(3.29)Mặt khác, từ giả thiết (H2), dễ thấy T: P[RẢ,R2] —> P[R} R 2 ] không giảm. Mặt khác, từ giả thiết (H2), dễ thấy T: P[RẢ,R2] —> P[R} R 2 ] không giảm. Hơn nữa, vì : 0 < Xj(í) < ||xj|| < R2 = xo(t), t e [0,1] nên ta có Tx 1 < Tx0
nghĩa là X2<X\.
Giả sử có : Xn+1 < xn, với ne +. Do Tkhông giảm nên ta có: Txn+1 < Txn, tức là xn+2 < Xn+1' Vậy ta có :
Xn+1 <xn, với mọi n = 1,2,... (3.30) Kết hợp (3.29), (3.30), chúng ta thu được :
lim x„ =xj (3.31)
Từ (3.28), cho n —► +00 ta được : Txl = XỊ . Vậy X* là một điểm bất là một nghiệm dương của bài toán (3.3)-(3.5).
Đặt: xỡ(0 = Rl9 t G [0,1]
xn+1 = Txn = Tn+ìx0 , n = 1,2,.... (3.32)
Ta có x0 e P [ R ] Ị R 2 ] nên xn G P[Jĩlf*2], với mọi ne +. Do bổ đề 3.2.4, tồn tại dãy con I của !*„ Ị sao cho :
Mặt khác, do T : P [ R ì /?2]—► P [ R i R 2 ] không giảm. Sử dụng thêm (3.27) và bổ đề 3.2.2, ta có :
Txa(t) > J G(t,s)g(s,cRỉ)ds >
0 0 M ữĩỊ
Hay •*! — XQ. Do T không giảm nên ta có : Txì > Txa , tức là /V .
x2> X x .
Giả sử có : Xn+1 — Xn , với ne + . Vì T không giảm nên ta có :
Txn+Ỉ > Txn tức là xn+2 > xn+ỉ. Vậy ta có : xn+x > xn , với mọi n = 1,2,...
Kết hợp (3.33), (3.34), chúng ta thu được : lim X = X* (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
«—»+00
Từ (3.32), cho « —► +00 ta được : 7x* = Xj. Vậy X2 là một điểm bất động của T hay x2 là một nghiệm dưong của bài toán (3.3)-(3.5).
Định lý 3.3.2 được chứng minh. □ Chúng ta kỷ hiệu :
so _x- _ f(t,x) f(t,x)
/ = lim sup max——— , / = lim sup max———
77o: ;7o,iĩ X 7-++« 'ẽĩouĩ X
/ =liminfmịn^+l
xKo+ +[0,1] X f
J = liminí min X
3.3.3. HỆ quả 3.3.3
Giả sử (H\y (H2) đủng. Khi đó bài toán biền (3.3)-(3.5) có ít nhất một nghiệm dưong trong mỗi trường hợp sau :
( i ) v à / 00^ 77— (đặc biệt r =-f32,L=-
(ii) fo — 77 và f'--p2 +77 (đặc biệt fo=^f=-Ịỷ)Mor]c M
Chứng minh
J y ’ - L < p2
Moĩl
x_>+0 X M0 Ĩ J C
37
2 1 ,
Vì /° < ~p +— nên tôn tai sô Rị > 0 sao cho vói 0 < X < Ru ta có :
M f(t,x) <x(-fi2+-^) hay f(t,x) + p2 x~ ^
Do đó, f(t,x) + p2 x< V(t,x)e[0,ì]x[cRl,R}]
Vì /oo ^~rr— nên .lim —t-L—^- ^ -77-— (đúng với mọi te [0,1] ).
M TỊC *^+0° X M ữ 1JC
Đăt L = lim ( L ^ ——7). Khi đó với p2 > 0 tồn tai
X M ữrjc
số R2 , CR2 > Ri sao cho với X > cR2, ta có :
f (t, x) 2
X
Ta đi đến : f(t,x) + p2x >Lx , Vx e [ci?2, i?2 ] (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
> T^> Vxe[c*2,*2] MarỊC Rj = — , Vx e [ci?2, i?2 ] M0rj ^ 2J Do đó : /(í,x) + /?2x > V ( / , x ) e [0,l]x [ci?2,j?2] .
Như vậy tồn tại 0 < Rị < cR2 và giả thiết (3.21) của định lý 3.3.1 được thỏa mãn.
Trường hợp (ii) :
f ^ 1 ,. f (t,x) ^ 1
Vì / ( ) - , / „ nên lim ——— > ——-— (đúng với mọi t e [0,1]).
Moĩ]C *->“o X M077 C v & L ’ J/
Đặt L = lim ^ —— ( L > —!— ). Khi đó, với p2 > 0, tồn tại số dưong RỊ sao cho với cRỊ <X<R], ta có :
ịlẮLXL-Lịs^
38 Ta đi đến ; f(t,x) + p2X > Lx , Vx e [ci?j, Rị ] > ZfR' , Vx e [ci?,, Moric = ỉ~, Vxe[Cfí„fi,] M0tl Do đó : /(í,x) + /?2x>-^- , V(Í,X)G[0,1]X[C/?,,Ì?,]. M„TỊ
Vì /”<-/?2+— nên tồn tại số R2, ci?2 > /? I sao cho với cR2 <X<R2 ta có : y(f,x)<x(-/?2 +3-) hay
M M
Do đó, y(í,x)+/?2x^ -77-, V(í,x)€[0,l]x[ci?2,/?2]
M
Như vậy tồn tại 0 < R\ < cR2 và giả thiết (3.22) của định lý 3.3.1 được thỏa mãn .
Áp dụng định lý 3.3.1, hệ quả 3.3.3 được chúng minh. □
3.3.4. HỆ quả 3.3.4
Giả sử (Hì), (H2) đúng. Hon nữa :
lim inf sup < -/?2 + —, (đăc biêt liminf sup = ~p2) (3.36) : lim sup inf f(t,xì > —ỉ— (đặc biệt lim sup inf f(t,x^ = +00 ) (3.37)
xZ+Z *Ê[o7l] X M nĩ]C ' xZ+Z íê[o7l] X
Khi đó tồn tại hai số dưong Rị < R2 sao cho bài toán (3.3)-(3.5) có các nghiệm dưong X J , X 2 , X J và X *2 có thể trùng nhau , với:
Rx< Xn
^ R2 và lim T"xữ = Xj vói x0(t) = R2, t e [0,1] (3.38)
n—>+co
Jim r”x0 = X* với x0(t) = Rị, te [0,1] (3.39)
39
Vì
R2, ta có :
x^ < ~p2 +— nên tồn tại số R2 > 0 sao cho khi X =
-x^+oc íe[0,l] X M í f(t,R2) <~p2+ — M sup ifit,R2) +fR2)<^- SUP g(t,R2) < Í€[0,1] M
>—!— nên với p1 > 0, tồn tại SỐRỊ,0< *->0~ te“0’^ X M 0Ĩ]C (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
sao cho với cRi < X < RỊ, ta có :
Do đó : Suy ra : ^[0,1] X MorỊc MÍỉ^*-±r-p MĨỊC inf(/(í,cẴl) + /?2c/?l)>-^ ^t0’1] Ma77 g(t,cRx)> R, M07
Như vậy, tồn tại 0 < R\ < R2 và giả thiết (3.27) của định lý 3.3.2 được thỏa mãn.
Áp dụng định lý 3.3.2, hệ quả 3.3.4 được chứng minh. □