Luận văn phương pháp sai phân trong các bài toán về dãy số và ứng dụng

MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong chương trình giải tích sơ cấp trường Đại học sư phạm hay trường Đại học có khoa sư phạm nước giới quan tâm nghiên cứu chủ đề “Phương trình sai phân” Trong giáo dục tốn học trường phổ thơng, đặc biệt THPT chủ đề dãy số ứng dụng giải toán quan tâm lớp chun mơn tốn Dãy số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi quốc gia Nhiều dạng tốn khó liên quan đến số học đại số, lượng giác tháo gỡ nhờ sử dụng phương trình sai phân phương trình sai phân cho phép chuyển toán phức tạp dãy số sang toán dạng quen thuộc Các dạng tốn bao gồm: tốn tìm số hạng tổng quát dãy số (xem [1, 4, 8]), toán lượng giác (xem [1, 3, 6]) Việc nghiên cứu trang bị cho giáo viên kiến thức phương trình sai phân kỹ năng, kỹ thuật giải tốn khó góp phần định hướng bồi dưỡng nghiệp vụ cho giáo viên, chuẩn bị kiến thức kỹ đáp ứng yêu cầu bồi dưỡng học sinh giỏi toán Nhiều toán Trường THPT giải cách sử dụng phương pháp tổng hợp (xem [1, 4, 9]), phương pháp lượng giác, phương pháp số học (xem [2, 4, 7]), giải nhờ sử dụng phương trình sai phân tính chất chúng Việc nghiên cứu đề tài góp phần bồi dưỡng tiềm lực cho giáo viên toán giải vấn đề toán học liên quan đến vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán Đối tượng nghiên cứu Phương trình sai phân Một số Bài tốn liên quan đến phương trình sai phân phổ thơng Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu số phương pháp giải phương trình sai phân Nghiên cứu áp dụng phương trình sai phân vào giải số toán liên quan Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết chuẩn bị phương trình sai phân Nghiên cứu phương pháp giải phương trình sai phân Nghiên cứu áp dụng phương trình sai phân vào giải tốn phổ thơng Phương pháp nghiên cứu Phân tích, tổng hợp hệ thống hóa lý thuyết để nghiên cứu tài liệu, giáo trình có liên quan đến phương trình sai phân, số tập áp dụng phương trình sai phân Ý nghĩa luận văn Luận văn góp phần bổ sung hồn thiện phương pháp giải toán dãy số phương pháp sai phân Cấu trúc luận văn Luận văn cấu trúc thành hai chương: Chương 1, trình bày số kiến thức phương pháp sai phân khái niệm dãy số, sai phân, phương trình sai phân tuyến tính, phi tuyến Chương 2, chương tác giả dựa vào nghiên cứu kiến thức sai phân chương để ứng dụng phương pháp sai phân vào toán dãy số tốn tính tổng, tốn tìm số hạng tổng qt giới hạn dãy số, phương trình hàm, tích phân Chương PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN VÀ CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức kết phương pháp sai phân sử dụng luận văn Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức kết phương pháp sai phân sử dụng luận văn 1.1 Một số nghiên cứu liên quan nước giới 1.1.1 Các nghiên cứu liên quan dãy số 1.1.2 Các nghiên cứu liên quan phương pháp sai phân 1.2 Một số kiến thức phương pháp sai phân 1.2.1 Khái niệm dãy số 1.2.2 Khái niện cấp số cộng, cấp số nhân 1.2.3 Khái niệm sai phân Giả sử f : R → R hàm số cho trước h số khác Ta gọi hiệu ∆0 f (x) = f (x) sai phân cấp không hàm số f (x) Và ∆1 f (x) = f (x + h) − f (x) sai phân cấp hàm số f (x) Và
∆2 f (x) = ∆ ∆1 f (x) = ∆ f (x + h) − ∆ f (x) = f (x + 2h) − f (x + h) + f (x) , sai phân cấp hai hàm số f (x) Từ
∆n f (x) = ∆ ∆n−1 f (x) = n ∑ Cnk ∆ f (x + hk) (−1)k+1, k=0 sai phân cấp n hàm số f (x) 1.2.4 Phương trình sai phân Phương trình sai phân tuyến tính hàm xn biểu thức tuyến tính giá trị hàm xn thời điểm khác Lh xn = a0 xn+k + a1 xn+k−1 + + ak xn = fn Trong (1.1) • Lh kí hiệu tốn tử tuyến tính tác động lên hàm xn , xác định lưới có bước lưới h • a0 , a1 , a2 , , ak , (a0 6= 0, ak 6= 0) số hàm số n, gọi hệ số phương trình vi phân • fn hàm sổ n gọi vế phải • xn giá trị cần tìm gọi ẩn Phương trình (1.1) gọi phương trình sai phân tuyến tính bậc k, để tính tất giá trị x, ta phải cho trước k giá trị liên tiếp x theo cơng thức truy hồi Hơn • Nếu fn ≡ (1.1) gọi phương trình sai phân tuyến tính • Nếu fn 6= (1.1) gọi phương trình sai phân tuyến tính khơng • Nếu fn ≡ a0 , a1 , , ak ,a0 6= số (1.1) trở thành Lh xn = a0 xn +k + a1 xn+k−1 + + ak xn = (1.2) Khi (1.2) gọi phương trình sai phân tuyến tính bậc k với hệ số số 1.2.5 phương trình sai phân tuyến tính cấp 1.2.6 phương trình sai phân tuyến tính cấp hai 1.3 1.3.1 Phương pháp sai phân tốn tìm số hạng tổng qt dãy số Cách tìm cơng thức tổng qt dãy số sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân DẠNG 1: Tìm số hạng tổng quát dạng đa thức biết số hạng Ví dụ 1.3.1 Cho dãy số (un ) có dạng khai triển sau 1, −1, −1, 1, 5, 11, 19, 29, 41, 55, Hãy tìm số hạng tổng quát dãy số Lời giải Bảng giá trị ban đầu uk -1 -1 11 19 29 41 55 ∆uk -2 10 12 14 ∆2 u k 2 2 2 2 Ta thấy hàng ∆2 uk không đổi nên dãy số dãy giá trị đa thức bậc hai un = an2 + bn + c, (a 6= 0) (1.3) n số thứ tự số hạng dãy Cho n = 1, 2, thay vào công thức (1.3) ta hệ phương trình sau      a =  a+b+c = 4a + 2b + c = −1 ⇒ b = −5    9a + 3b + c = −1 c = Vậy số hạng tổng quát un = n2 − 5n + Ví dụ 1.3.2 Cho dãy số (un ) có dạng khai triển sau −5, -3, 11, 43, 99, 185, 307, 471, Hãy tìm số hạng tổng quát dãy số Lời bình Cơng thức tìm không DẠNG Dạng sở Cho dãy (un ) biết u1 = a, un+1 = qun + d, n ≥ 1, với q, d số thực Ta xét trường hợp sau: • Trường hợp 1: Nếu q = u1 = a, un+1 = d, n ≥ Nên u1 = a, un = d, với n ∈ N∗ , n ≥ • Trường hợp 2: Nếu q = u1 = a, un+1 = un + d, n ≥ Suy (un ) cấp số cộng với số hạng đầu u1 = a công sai d Do un = a + (n − 1) d • Trường hợp 3: Nếu d = u1 = a, un+1 = qun , n ≥ Suy (un ) cấp số nhân với số hạng đầu u1 = a công bội q Do un = a.qn−1 • Trường hợp 4: Nếu q 6= 0, q 6= 1, d 6= Đặt dãy (vn ) cho d un = v n + 1−q Thay công thức (1.4) vào công thức truy hồi ta có   d d = q + + d vn+1 + 1−q 1−q Suy vn+1 = qvn , n ≥ Khi (vn ) cấp số nhân với số hạng đầu d d v = u1 − = a− 1−q 1−q công bội  q. d Nên = a − 1−q qn−1 , n ≥ Vậy   d d d un = + = a− qn−1 + 1−q 1−q 1−q (1.4) Ví dụ 1.3.4 ([1, 4, 9]) Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy (un ) biết a) u1 = −1, un+1 = un + 3, n ≥ b) u1 = 1, un+1 = 2un + 3, n ≥ Lời bình Dạng gọi dạng sở vì: • Với trường hợp 1,2 dãy số trở thành dãy đặc biệt là: Dãy số hằng, cấp số cộng cấp số nhân Các dãy số ta tìm cơng thức số hạng tổng qt • Trên sở dãy ,để giải trường hợp phương pháp đặt dãy số (vn ) liên hệ với dãy số (un ) biểu thức để đưa dãy số (vn )mà (vn )là dãy số cấp số nhân Vấn đề đặt quan hệ (un ) (vn ) biểu thức đưa dãy (vn ) thành dãy số cấp số cộng, cấp số nhân trường hợp Qua q trình tìm tịi, tác giả tìm số dạng sau LOẠI 2.1: u1 = a, un+1 = qun + cn + d, n ≥ với q, c, d ∈ R q, c 6= Ta xét trường hợp • Trường hợp 1: Nếu q = u1 = a un+1 = un + cn + d Cách 1: Ta có u1 = a u2 = u1 + c.1 + d u3 = u2 + c.2 + d u4 = u3 + c.3 + d un = un−1 + c (n − 1) + d Cộng vế với vế hệ thức trên, ta un = a + c.1 + c.2 + c.3 + + c (n − 1) + (n − 1) d cn (n − 1) + (n − 1) d Cách 2: Dùng công thức DẠNG (Viết dãy số theo dạng khai triển) cn • Trường hợp 2: Nếu q 6= 1thì đặt dãy (vn ) cho un = + , thay vào công 1−q thức truy hồi ta   c (n + 1) cn vn+1 + = q + + cn + d 1−q 1−q c ⇒ vn+1 = qvn + d − 1−q = a+ Từ ta có dãy (vn ) với v1 = u1 − c c , vn+1 = qvn + d − , n ≥ Khi dãy 1−q 1−q (vn ) lại có DẠNG Ví dụ 1.3.6 Tìm số hạng tổng qt dãy (un ) biết a) u1 = 5, un+1 = un + 3n − 2, n ≥ 1; b) u1 = 11, un+1 = 10un + − 9n, n ≥ 1; c) u1 = 1, un+1 = 3un − 6n + 1, n ≥ LOẠI 2.2 u1 = a, un+1 = qun + rcn , n ≥ 1,với q 6= Ta xét trường hợp sau: • Trường hợp 1: Nếu q = u1 = a, un+1 = un + rcn ta làm phương pháp sau: u1 = a u2 = u1 + rc1 u3 = u2 + rc2 u4 = u3 + rc3 un = un−1 + rcn−1 Cộng vế với vế hệ thức trên, ta un = a + c1 + c2 + c3 + + c
n−1
c cn−1 − r r = a + c−1 • Trường hợp 2: Nếu c 6= q u1 = a, un+1 = qun + rcn nên đặt dãy (vn ) cho un = v n + rcn c−q Thay vào công thức truy hồi ta   rcn+1 rcn vn+1 + = q + + rcn ⇒ vn+1 = qvn c−q c−q rc rc Suy (vn ) cấp số nhân với số hạng đầu v1 = u1 − = a− công bội c−q c−q q Khi   rc = a − qn−1 c−q Suy   rcn rc rcn n−1 un = + = a− q + c−q c−q c−q • Trường hợp 3: Nếu c = q u1 = a, un+1 = qun + rqn , đặt dãy un = qn , thay vào công thức truy hồi dãy (un ) ta r qn+1 vn+1 = q (qn ) + rqn ⇒ vn+1 = + q r u1 a = công sai d = Suy (vn ) cấp số cộng với số hạng đầu v1 = q q q  n Ví dụ 1.3.8 Cho dãy (un ) biết u1 = 1, un+1 = un + , với n ∈ N∗ Xác định số hạng tổng quát dãy số Ví dụ 1.3.9 Viết cơng thức số hạng tổng quát dãy số (un ) với a) u1 = 8, un+1 = 2un + 3n , n ≥ 1; b) u1 = 1, un+1 = 5un − 3n , n ≥ 1; c) u1 = 101, un+1 = 7un + 7n+1 , n ≥ 1; d) u1 = 1, un+1 = 2un + 6.2n , n ≥ 1; e) u1 = 0, un+1 = un + 2n.3n , n ≥ cun , n ≥ LOẠI 2.3 u1 = a, un+1 = q + dun Ta đặt dãy số (vn ) cho un = thay vào công thức truy hồi dãy (un ) ta vn+1 = c v1n q + d v1n ⇔ vn+1 = c q d ⇔ vn+1 = + qvn + d c c q d Nên (vn ) : v1 = , vn+1 = + , n ≥ a c c Quay DẠNG b + cun , n ≥ LOẠI 2.4 u1 = a, un+1 = p + run Ta đặt dãy số (vn ) cho un = + α thay vào công thức truy hồi dãy (un ) ta b + c (vn + α) p + r (vn + α) b + c.vn + cα − pα − rαvn − rα ⇔ vn+1 = p + r (vn + α)   −rα + (−p + c) α + b + (c − rα) ⇔ vn+1 = (p + rα) + rvn vn+1 + α = Để dãy (vn ) trở lại LOẠI 2.3, ta chọn α nghiệm phương trình −rα + (−p + c) α + b = Ví dụ 1.3.10 Tìm cơng thức số hạng tổng qt dãy (un ) sau, biết un a) u1 = 1, un+1 = , n ≥ 1; + un un b) u1 = 2, un+1 = , n ≥ 1; + un c) u1 = 12 , un+1 = , n ≥ 1; − un − 4un d) u1 = 1, un+1 = , n ≥ 1 − 6un 1.3.2 Phương trình sai phân tuyến tính a Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số Dưới ta trình bày số phương trình, hệ phương trình sai phân phương pháp giải chúng (không nêu cách chứng minh) Loại Phương trình sai phân tuyến tính cấp phương trình sai phân tuyến tính cấp phương trình sai phân dạng u1 = α, a.un+1 + b.un = fn , n ∈ N∗, a, b, α số, a 6= fn biểu thức n cho trước DẠNG Tìm un thỏa mãn điều kiện u1 = α, a.un+1 + b.un = 0, n ∈ N∗ a, b, α cho trước Ta giải phương trình đặc trưng aλ + b = để tìm λ Khi un = qλ n (q số), q xác định biết u1 = α Ví dụ 1.3.12 Xác định số hạng tổng quát cấp số nhân, biết số hạng bội Lời giải Ta có un+1 = 2un , u1 = phương trình đặc trưng λ − = có nghiệm λ = Vậy un = c2n Từ u1 = suy c = 12 Do un = 2n−1 DẠNG Tìm un thỏa mãn điều kiện u1 = α, a.un+1 + b.un = fn , n ∈ N∗ , fn đa thức theo n Ta giải phương trình đặc trưng aλ + b = ta tìm λ Ta có un = uen + u∗n , un nghiệm tổng quát phương trình a.un+1 + b.un = u∗n nghiệm riêng tùy ý phương trình không a.un+1 + b.un = fn Vậy uen = qλ n , q số xác định sau Ta xác định u∗n , a) Nếu λ 6= u∗n đa thức bậc với fn b) Nếu λ = u∗n = n.gn với gn đa thức bậc với fn Thay u∗n vào phương trình, đồng hệ số, ta tính hệ số u∗n Ví dụ 1.3.14 Tìm un thỏa mãn điều kiện u1 = 2, un+1 = un + 2n, n ∈ N ∗ DẠNG Tìm un thỏa mãn điều kiện u1 = α, a.un+1 + b.un = vµ n , n ∈ N∗ Ta giải phương trình đặc trưng aλ + b = để tìm λ Ta có un = un + u∗n , un = cλ n , c số chưa xác định, u∗n xác định sau a) Nếu λ 6= µ u∗n = Aµ n b) Nếu λ = µ u∗n = Anµ n Thay u∗n vào phương trình, đồng hệ số tính hệ số u∗n Biết u1 , từ hệ thức un = u˜n + u∗n , tính c Ví dụ 1.3.16 Tìm un thỏa mãn điều kiện u1 = 1, un+1 = 3un + 2n , n ∈ N∗ DẠNG Tìm un thỏa mãn điều kiện u1 = α, a.un+1 + b.un = f1n + f2n , n ∈ N∗ , f1n đa thức theo n f2n = vµ n Cách giải: Ta có un = u˜n + u∗n + u∗∗ n , u˜n nghiệm tổng quát phương trình a.un+1 + b.un = u∗n nghiệm riêng phương trình khơng a.un+1 + b.un = f1n u∗∗ n nghiệm riêng phương trình khơng a.un+1 + b.un = f 2n Ví dụ 1.3.18 Tìm un , biết u1 = 1, un+1 = 2un + n2 + 2.2n , n ∈ N∗ Loại phương trình sai phân tuyến tính cấp hai phương trình sai phân tuyến tính cấp hai phương trình sai phân dạng u1 = α, u2 = µ, aun+1 + bun + cun−1 = gn , n ∈ N∗ , a, b, c, α, µ số, a 6= gn biểu thức chứa n cho trước (tham khảo thêm [6, 8]) DẠNG Tìm un thỏa mãn điều kiện u1 = α, u2 = µ, aun+1 + bun + cun−1 = 0, n ∈ N∗ Cách giải: Giải phương trình đặc trưng aλ + bλ + c = 0, tìm λ a) Nếu λ1 λ2 hai nghiệm thực khác un = Aλ1n + Bλ2n , A B xác định biết u1 u2 b) Nếu λ1 λ2 nghiệm thực kép, λ1 = λ2 = λ un = (A + B.n) λ n , A B xác định biết u1 u2 c) Nếu λ nghiệm phức, λ = x + iy, ta đặt   p y −π π 2 r = |λ | = x + y , tan ϕ = , ϕ ∈ , x 2 Lúc λ = r (cosϕ + i sin ϕ) un = rn (A cos nϕ + B sin nϕ) , A B xác định biết u1 u2 Ví dụ 1.3.20 Tìm un , biết u1 = 0, u2 = 0, un+1 − un + un−1 = 0, n ∈ N∗ DẠNG Tìm un , biết u1 = α, u2 = β , aun+1 + bun + cun−1 = fn , n ≥ 2, a 6= 0, fn đa thức theo n cho trước Cách giải: Giải phương trình đặc trưng aλ + bλ + c = 0, để tìm λ Ta có, un = u˜n + u∗n , u˜n nghiệm tổng quát phương trình aun+1 + bun + cun−1 = u∗n nghiệm riêng tùy ý phương trình khơng aun+1 + bun + cun−1 = fn (1.5) Theo DẠNG ta tìm uen , hệ số A B chưa xác định, u∗n xác định sau: a) Nếu λ 6= u∗n đa thức bậc với fn b) Nếu λ = nghiệm đơn u∗n = n.gn , gn đa thức bậc với fn 10 c) Nếu λ = nghiệm kép u∗n = n2 gn , gn đa thức bậc với fn Thay u∗n vào phương trình, đồng hệ số, tính hệ số u∗n Biết u1 , u2 , từ hệ thức un = u˜n + u∗n tính A, B Ví dụ 1.3.22 Xác định un , biết u1 = 1, u2 = 0, un+1 − 2un + un−1 = n + 1, n ≥ DẠNG Tìm un , biết u1 = α, u2 = β , aun+1 + bun + cun−1 = vµ n , n ≥ Cách giải: Giải phương trình đặc trưng aλ + bλ + c = 0, để tìm λ Ta có un = u˜n + u∗n , u˜n tìm DẠNG 1, hệ số A B chưa xác định, u∗n xác định sau: a) Nếu λ 6= µ u∗n = k.µ n b) Nếu nghiệm đơn λ = µ u∗n = k.n.µ n c) Nếu nghiệm kép λ = µ u∗n = k.n2 µ n Thay u∗n vào phương trình, dùng phương pháp đồng hệ số tính hệ số k Biết u1 , u2 , từ hệ thức un = u˜n + u∗n , tính A, B Ví dụ 1.3.24 Tìm un , biết u1 = 0, u2 = 0, un+1 − 2un + un−1 = 2.2n , n ≥ DẠNG Tìm un biết u1 = α, u2 = β , aun+1 + bun + cun−1 = fn + gn , n ≥ Trong a 6= , fn đa thức theo n , gn = ν µ n Cách giải: Ta có un = u˜n + u∗n + u∗∗ n , u˜n nghiệm tổng quát phương trình aun+1 + bun + cun−1 = u∗n nghiệm riêng tùy ý phương trình khơng aun+1 + bun + cun−1 = fn u∗∗ n nghiệm riêng tùy ý phương trình khơng aun+1 + bun + cun−1 = gn Ví dụ 1.3.26 Tìm un biết u1 = , u2 = , un+1 − 2un − 3un−1 = n + 2n , n ≥ 11 DẠNG Tìm un biết u1 = α, u2 = β , aun+1 + bun + cun−1 = ν sin n + µ cos n, (a 6= 0) , n ≥ Cách giải: Giải phương trình đặc trưng aλ + bλ + c = ,tìm λ Ta có un = uen + u∗n ,trong uen nghiệm phương trình nhất, xác định DẠNG 1, hệ số A, B chưa xác định u∗n = k cos n + l sin n Thay u∗n vào phương trình aun+1 + bun + cun−1 = ν sin n + µ cos n, đồng hệ số tính k, l Từ hệ thức un = un + u∗n u1 , u2 ta tính hệ số A, B Ví dụ 1.3.28 Tìm un biết u1 = 1, u2 = 0, un+1 − 2un + un−1 = sin n , n ≥ Loại Hệ phương trình sai phân tuyến tính với hệ số Trong mục ta chủ yếu xét hệ phương trình sai phân dạng  xn+1 = pxn + qyn , x1 = a (1.6) y n+1 = rxn + syn , y1 = b Cách giải: Trong (1.6) thay n n + 1, ta nhận xn+2 = pxn+1 + qyn+1 = pxn+1 + q (rxn + syn ) = pxn+1 + qrxn + s (xn+1 − pxn ) Nên xn+2 − (p + s) xn+1 + (ps − qr) xn = 0, x1 = a Từ (1.6) ta lại có x2 = px1 + qy1 = pa + qb Như ta phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuấn x1 = , x2 = pa + qb , xn+2 − (p + s) xn+1 + (ps − qr) xn = , n ≥ Giải phương trình ta tìm xn Thay xn vào (1.6) ta tìm yn Ví dụ 1.3.30 Tìm xn , yn biết ( xn+1 = 4xn − 2yn , x1 = yn+1 = xn + yn , y1 = (1.7) b phương trình sai phân dạng hệ số biến thiên Loại phương trình sai phân tuyến tính cấp dạng hệ số biến thiên Định nghĩa 1.3.32 ([6, 7]) phương trình sai phân tuyến tính cấp với hệ số biến thiên có dạng xn+1 = qn xn + fn , n = 0, 1, 2, · · · (1.8) x0 = a , fn , qn hàm số n 12 Định lý 1.3.33 Nghiệm tổng quát (1.8) có dạng xn = xen + xn∗ , xen nghiệm tổng qt phương trình sai phân tuyến tính tương ứng xn+1 = qn xn , xn∗ nghiệm riêng tùy ý (1.8) Ví dụ 1.3.34 Giải phương trình sai phân   xn+1 = nxn + n.n! , x1 = , n = 1, 2, Loại phương trình sai phân tuyến tính cấp hai dạng hệ số biến thiên Định nghĩa 1.3.36 phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên có dạng xn+2 = pn xn+1 + qn xn + fn , n = 0, 1, 2, (1.9) Trong x0 = a; fn , qn , pn hàm số n Định lý 1.3.37 ([5]) Nghiệm tổng quát (1.9) có dạng xn = xen + xn∗ , xen nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính nhất, cịn xn∗ nghiệm riêng tùy ý (1.9) Ví dụ 1.3.38 Giải phương trình sai phân     1 1 4n2 − n + − xn+1 − 2xn + − − xn−1 = 2n 2n 2n 2n 2n2 1.3.3 Một số dạng sai phân phi tuyến tính - Một phương trình sai phân khơng tuyến tính gọi phương trình sai phân phi tuyến tính - Một số phương pháp giải phương trình sai phân phi tuyến trình bày bên Loại Sử dụng cơng thức lượng giác Kiến thức sử dụng ([5, 8]) Biểu diễn số hạng tổng quát dãy số công thức lượng giác để tính giới hạn: Cơng thức nhân đôi, nhân ba, đẳng thức lượng giác Ý tưởng Nhận dạng dùng cơng thức lượng giác phù hợp để biểu diễn số hạng dãy số Chú ý số hạng đầu giác trị lượng giác đặc biệt nào? Ví dụ 1.3.40 Cho dãy số u1 = un+1 = 2un − Tìm cơng thức tổng qt dãy 13 Phân tích Nhận thấy un+1 = 2un − có dạng giống cơng thức cos 2a = 2cos2 a − 1, Nên ta biến đổi sau: 2n π π Ta có u1 = = cos nên ta biểu diễn quy nạp un = cos 3 Ví dụ 1.3.41 Cho dãy số (un ):  √ u =    √ un + − √  un+1 = ∀n ≥    1− − un Tính u2019 Loại Tuyến tính hóa số phương trình sai phân Tuyến tính hóa phương trình sai phân ta đưa phương trình sai phân dạng phi tuyến dạng tuyến tính Một số phương trình sai phân với hệ số thay đổi biến đổi đưa phương trình sai phân tuyến tỉnh với hệ sổ số Cách giải Xét phương trình phi tuyến F (xn , xn+1 , , xn+k ) = (1.10) Từ phương trình (1.10) ta đưa phương trình dạng xn = ϕn (xn−k , xn−k+1 , , xn−k ) = (1.11) Với điều kiện ban đầu x1 = α1 , x2 = α2 , , xk = αk Giả sử (1.11) tuyến tính hóa được, tồn hệ số α1 , α2 , , αk để ta có xn = α1 xn−1 + α2 xn−2 + + ak xn−k (1.12) Ta tìm α1 , α2 , , αk cách giải hệ phương trình sau    xk+1 = α1 xk + α2 xk−1 + + αk x1     x = α x + α x + + α x k+2 k+1 k k      x2k = α1 x2k−1 + α2 x2k−2 + + αk xk Với α1 , α2 , , αk vừa tìm ta suy xn = α1 xn−1 + α2 xn−2 + + ak xn−k Đây điều kiện cần để phương trình (1.10) tuyến tính Ta cần kiểm tra điều kiện đủ phương pháp chứng minh quy nạp 14 pxn + q , x0 = a rxn + s Tổng quát: Nếu yn , zn nghiệm hệ ( yn+1 = pyn + qzn , y0 = a DẠNG 1: Dạng phân thức xn+1 = zn+1 = ryn + szn , z0 = xn = yn nghiệm phương trình zn Ví dụ 1.3.43 Tuyến tính hóa phương trình sau xn+1 = xn − , x0 = xn + xn−1 +c DẠNG 2: Dạng phân thức xn = xn−2 Tổng quát phương trình sai phân phi tuyến dạng phân thức   xn = xn−1 + c xn−2   x1 = a , x2 = b có dạng tuyến tính b2 + c a+ a x − x , (a, b 6= 0) xn = n−1 n−2 b Ví dụ 1.3.45 Tuyến tính hóa phương trình sau xn−1 +2 xn = (n = 3, ) , x1 = x2 = xn−2 DẠNG Dạng thức Ví dụ 1.3.46 Tuyến tính hóa phương trình sau q + (n = 3, 4, ) x1 = , x2 = , xn = 5xn−1 + 24xn−1 KẾT LUẬN CHƯƠNG Phương pháp sai phân phương pháp áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật Nội dung dẫn đối tượng cần xét việc giải phương trình vi phân Với mục đích bước đầu làm quen với phương pháp sai phân, Chương luận văn giới thiệu phương trình sai phân nhằm giúp học sinh nắm khái niệm kiến thức liên quan, phương pháp Giải phương trình sai phân Cụ thể phần trên, ta trình bày phần sau Phần Trình bày cách tìm cơng thức tổng quát dãy số 15 Phần Phần trình bày phương trình sai phân tuyến tính Phần Trình bày số dạng tốn sai phân phi tuyến tính Đây tảng kiến thức để giải số ứng dụng phương pháp sai phân toán dãy số chương sau 16 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN VÀ CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ Phần phần số ứng dụng phương pháp sai phân toán dãy số nhằm giúp học sinh hiểu yêu thích việc sử dụng sai phân để giải tốn khó 2.1 Các tốn tính tổng N Tính chất ∑ ∆k xn = ∆k−1 xN+1 − ∆k−1 xα với k ∈ Z∗ n=α N Tính chất ∑ ∆xn = xN+1 − xα với k = n=1 Nhận xét Thực chất tốn tính tổng ta thường đưa số hạng tổng quát f (k) dạng f (k) = g (k + 1) − g (k) n Từ ta tính ∑ f (k) = g (n) − g (1) k=1 Ví dụ 2.1.1 Tính tổng sau n k=1 k (k + 1) a) S1 = ∑ n k=1 k (k + 1) (k + 2) b) S2 = ∑ Lời giải a) Ta có 1 1 = − = −∆ k (k + 1) k k + k Nên n n 1 = − ∑ k (k + 1) ∑ ∆k = − n + k=1 k=1 b) Ta có   1 1 1 = − =− ∆ k (k + 1) (k + 2) k (k + 1) (k + 1) (k + 2) k (k + 1) Nên   1 n 1 1 =− ∑ ∆ = − ∑ k=1 k (k + 1) 2 n (n + 1) k=1 k (k + 1) (k + 2) n Ví dụ 2.1.3 Tính tổng sau n a) S3 = 1!1 + 2!2 + 3!3 + + n!n = ∑ k.k! k=1 n
b) S4 = ∑ k2 + k + k! k=1 17 Ví dụ 2.1.5 Tính tổng sau Tm = 1m + 2m + + nm với m = 1, 2, Ví dụ 2.1.7 Tính tổng sau Sn = sin x + sin 2x + + sin nx Cn = cos x + cos 2x + + cos nx Ví dụ 2.1.9 Cho dãy số (un ) xác định u1 = un+1 = p 3un + với n ≥ a) Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) b) Tính tổng S = u21 + u22 + u23 + + u22011 a) Tìm p ∈ N∗ cho hệ  p   ∑ xi =    i=1 Ví dụ 2.1.11 p ∑ x1−1 =    i=1  x > 0, ∀i ∈ 1, p i có nghiệm b) Với p tìm câu a xác định tập hợp tất giá trị tổng p với > ∑ i=1 − p ∑ a2i = i=1 Ví dụ 2.1.13 Cho dãy số thực {xn }được xác định sau x1 = 1, xn+1 = xn + , ∀n ∈ N 2xn Chứng minh [25x625 ] = 625 ( kí hiệu [x] phần nguyên số thực x) Ví dụ 2.1.15 Dãy số (un ) xác định sau u1 = 2, un+1 = u2n − un + 1, n ∈ N ∗ Chứng minh 1− 22015 2016 < 1 ∑ uk < − 222016 k=1 Ví dụ 2.1.17 Cho dãy số (un ) với n ∈ N∗ u1 = −1, u2 = −2, nun+2 − (3n + 1) un+1 + (n + 1) un = a) Chứng minh un = 2n − 3n 18 n−1 b) Đặt Sn = ∑ uk Chứng minh n SNT n > Sn chia hết cho n k=1 Ví dụ 2.1.19 Cho dãy số (un ) thỏa mãn với n ≥ xác định sau u1 = 2, un = 3un−1 + 2n3 − 9n2 + 9n − p−1 Chứng minh với SNT p 2014 ∑ ui chia hết cho p i=1 2.2 Các tốn tìm số hạng tổng qt giới hạn dãy số Ví dụ 2.2.1 Cho dãy số (un ) biết u1 = −2, un = 3un−1 − 1, ∀n ≥ Xác định số hạng tổng quát dãy Ví dụ 2.2.3 Cho dãy số (un ) xác định   n+4 un − u1 = 1; un+1 = n + 3n + với n ∈ N∗ Tìm cơng thức số hạng tổng quát un dãy số theo n Lời giải Với n ∈ N∗ , ta có   n+4 2un+1 = un − (n + 1)(n + 2)   − ⇔2un+1 = un + n+2 n+1     3 ⇔2 un+1 − = un − n+2 n+1   3 ⇔un+1 − = un − n+2 n+1 3 Dãy số (vn ), = un − cấp số nhân có cơng bội q = v1 = − 2  n−1 n +  Từ = − 2  n−1 3 Suy un = − với n ∈ N∗ n+1 2 Ví dụ 2.2.5 Tìm số hạng tổng quát dãy số (un ) biết u1 = , u2 = 673, 2(n + 2)2 un+1 − (n3 + 4n2 + 5n + 2)un (n ∈ N, n ≥ 1) un+2 = n+3 19 Ví dụ 2.2.6 Cho dãy số (xn ) xác định :x4 = xn+1 = xn + (n − 2) + (n − 3) + (n − 4) + · · · + (n − 2) 1, ∀n ≥ xn Tính giới hạn lim n→+∞ n Ví dụ 2.2.8 Cho dãy số (un ) xác định u4n + 20132 u1 = 2014, un+1 = , n ∈ N∗ un − un + 4026 n , n ∈ N∗ Tính lim + 2013 u k=1 k Ví dụ 2.2.10 Cho dãy (un ) xác định sau u1 = Đặt = ∑ un+1 = u2015 + 2un + n , n = 1, 2, u2014 − u + n n n Với số nguyên dương n, đặt = ∑ 2014 + i=1 ui Tìm lim n→+∞ Ví dụ 2.2.12 Cho dãy số (un ) xác định u2n + un , n ∈ N∗ u1 = 1; un+1 = 2015 Tìm giới hạn sau  lim n→+∞  u1 u2 un + + + u2 u3 un+1 Ví dụ 2.2.14 Cho dãy số (un ) xác định u1 = 1; u2 = 4; un+2 = 7un+1 − un − 2, n ∈ N ∗ Chứng minh un số phương với n ngun dương Ví dụ 2.2.16 Tìm số dãy số (un ) thỏa mãn điều kiện u2004 = , un+1 + 4u2n − 4un = 0, n ≥ Ví dụ 2.2.18 Cho x1 , x2 , , xn , nghiệm dương phương trình tan x = x theo thứ tự tăng dần Tính lim (xn − xn−1 ) n→+∞ Ví dụ 2.2.20 Cho hai dãy số {un } {vn } xác định sau u1 = 1, v1 = 2, un = un−1 + vn−1 √ , = un vn−1 n ≥ 2 Chứng minh hai dãy {un } {vn } có giới hạn tìm giới hạn 20 2.3 Các tốn khác Loại Ứng dụng sai phân toán phương trình hàm Ví dụ 2.3.1 Tìm hàm số f : R → R thoả mãn điều kiện f ( f (x)) = f (x) − 2x, với x ∈ R Ví dụ 2.3.2 Tìm tất hàm xác định N thoã mãn đồng thời điều kiện sau f (n) f (k + n) − f (k − n) = f (n) f (k), k ≥ n , f (1) = Ví dụ 2.3.3 Cho hàm số f (x) liên tục R thỏa mãn điều kiện f (x) = f (2x) với x ∈ R Tìm hàm số f (x) Ví dụ 2.3.5 ([6]) Tìm hàm số y = f (x) thỏa mãn điều kiện f (0) = 1, f (x) f (x) = − 2x , x ∈ R f (x) Ví dụ 2.3.7 Cho hàm số f (x), x ∈ Z, thoả mãn f (1) = 0, f (m + n) = f (m) + f (n) + 3(4mn − 1); m, n ∈ Z Tính f (19) Ví dụ 2.3.9 (Dự tuyển IMO) Cho hàm số f (x) thỏa mãn ( f (1) = f (x) + f (y) = f (x + y) − xy − 1; ∀x, y ∈ R Tìm số n ∈ Z cho f (n) = n Ví dụ 2.3.10 Cho hàm số f (n) xác định tập N∗ thoả mãn ( f ( f (n)) = 4n + , f (1) = , n ∈ N∗ n n+1 f (2 ) = + Tính f (1789) Ví dụ 2.3.12 ([5]) Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn đồng thời điều kiện sau a) f (x + y) ≤ f (x) + f (y) với x, y ∈ R b) f (x) ≤ ex − với x ∈ R Ví dụ 2.3.14 Cho hàm số f : (0; +∞) → (0; +∞) thỏa mãn điều kiện   f (3x) ≥ f f (2x) + 2x với x > Chứng minh f (x) ≥ x với x > 21 Loại Ứng dụng sai phân Bài tốn tích phân π R2 Ví dụ 2.3.15 Tính tích phân sau In = sinn x dx Ví dụ 2.3.17 Tính tích phân Zπ In = cosn x cos nx dx, n ∈ N∗ Ví dụ 2.3.18 Tính tích phân In = R1 − x2
n dx π R4 Ví dụ 2.3.19 Xét tích phân tann x dx với n ∈ N∗ Chứng minh In+2 = Ví dụ 2.3.20 ([2]) Xét tích phân In = R1 enx Chứng minh In = en−1 − n−1 Ví dụ 2.3.22 Xét tích phân Z1 − In n+1 + ex dx với n ∈ N∗ − In−1 √ xn − x dx với n ∈ N∗ Chứng minh In+1 = 2n + In 2n + KẾT LUẬN CHƯƠNG Một dạng toán hay khó chương trình phổ thơng trung học tốn dãy số, sai phân ứng dụng sai phân phần quan trọng khơng góp phần giải tốn dãy số mà cịn giúp giải số tốn khác như: phương trình hàm, đa thức, bất đẳng thức Qua chương 2, tơi trình bày số ứng dụng phương pháp sai phân vào việc giải số tốn chương trình trung học phổ thơng Các nội dung cụ thể ứng dụng sai phân trình bày dạng ứng dụng Ứng dụng phần trình bày tốn tính tổng Ứng dụng phần trình bày tốn tìm số hạng tổng quát tìm giới hạn dãy số Ứng dụng phần trình bày tốn phương trình hàm tốn tích phân truy hồi Trên nội dung luận văn hy vọng góp phần nhỏ bé vào cơng tác giảng dạy tốn phổ thơng nói chung đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng 22 KẾT LUẬN Bản luận văn nêu phương pháp Giải phương trình sai phân tuyến tính số dạng phương trình sai phân phi tuyến tính tuyến tính hóa Từ kiến thức nêu ứng dụng phương trình sai phân việc giải tốn trường trung học phổ thơng Phương pháp tuyến tính hóa cho ta cách giải độc đáo khác cho tốn có dạng đặc thù Tuy nhiên với toán liên quan đến phương trình sai phân khai thác phương pháp tổng quát xây dựng để giải Đây thành công mặt định hướng cho phương pháp giải toán Với thời gian nghiên cứu khả có hạn, tơi hy vọng luận văn giúp ích phần cho thầy, cô giáo em học sinh nhà trường phổ thơng việc học tập mơn tốn Luận văn hy vọng đóng gó pmột phần nhỏ bé vào việc mở rộng ứng dụng phương trình sai phân việc rèn luyện học sinh giỏi toán trung học phổ thông Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành sâusắc đến ban lãnh đạo, thầy cô Trường Đại học Hồng Đức tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu Đặc biệt hướng dẫn bảo tận tình, chu đáo, sâu sắc đầy kinh nghiệm Thầy-PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn – Giảng viên nhà trường giúp tơi hồn thành luận văn 23 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Tài Chung (2014), Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên khảo dãy số, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, Hà Nội [2] Phạm Văn Ga (2016), Rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh khá, giỏi thông qua dạy học giải tập số dạng phương trình sai phân, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội [3] Nguyễn Thành Giáp, Phạm Văn Quốc (2003), Một số Bài toán dãy số, NXB Đà Nẵng [4] Nguyễn Văn Mậu (2008), Chuyên đề chọn lọc dãy số ứng dụng, NXB Giáo dục [5] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thị Nhung(2003), Phương pháp lượng giác xác định dãy số tính giới hạn, NXB Sư phạm Hà Nội [6] Lê Đình Thịnh (2011), Bài tốn phương trình sai phân, NXB Giáo dục [7] Lê Đình Thịnh (Chủ biên ), Đặng Đình Châu,Lê Đình Định, Phan Văn Hạp (2001), Phương trình sai phân số ứng dụng, NXB Giáo dục [8] Lê Đình Thịnh, Lê Đình Định (2005), Các phương pháp sai phân, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [9] Nguyễn Tiến Tuấn, Lê Đình Định(2011), Phương trình sai phân ứng dụng, NXB Sư phạm Hà Nội 24