Mửc lửc M Ưu Mởt số kián thực cỡ b£n 1.1 Khæng 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 gian Hilbert Khỉng gian ành chu©n Khæng gian Hilbert nh xÔ khổng gian Hilbert Mởt số khĂi niằm cừa giÊi tẵch lỗi 3 Tẵnh yáu thữớng cừa nghiằm bĐt ng thực bián phƠn v Ăp dửng 10 2.1 2.2 2.3 BĐt ng thực bián phƠn v mởt số tẵnh chĐt cừa têp Nghiằm yáu thữớng cừa bĐt ng thực bián phƠn Tẵnh dứng hỳu hÔn 2.3.1 Ph÷ìng ph¡p iºm ph¡p tuy¸n 2.3.2 Phữỡng phĂp im phĂp tuyán chẵnh xĂc 2.3.3 Phữỡng phĂp chiáu Ôo hm Kát luên Ti liằu tham kh£o nghi»m 10 13 18 20 22 24 28 29 M Ưu BĐt ng thực bián phƠn l mët nhúng l¾nh vüc quan trång cõa to¡n håc vợi nhiÃu ựng dửng cĂc lắnh vỹc toĂn hồc kh¡c cơng nh÷ c¡c khoa håc kh¡c nh÷ kinh tá, iằn, giao thổng, cỡ hồc, Viằc nghiản cựu và sỹ tỗn tÔi nghiằm v cĂc tẵnh chĐt cuÊ têp nghiằm cừa bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn v mối liản hằ cụng nhữ ựng dửng cừa chúng văn thu hút nhiÃu nh toĂn hồc Burke v Ferris [3] giợi thiằu khĂi niằm yáu thữớng cho nghiằm cừa bi toĂn tối ữu mối liản hằ vợi hm chưn v ữa cĂc c trững dữợi dÔng cĂc iÃu kiằn hẳnh hồc Marcotte v Zhu [8] dỹa trản c trững hẳnh hồc ny ữa khĂi niằm yáu thữớng cho têp nghiằm cừa bi toĂn bián phƠn Hồ cụng ữa cĂc c trững cho tẵnh yáu thữớng cừa têp nghiằm bi toĂn bián phƠn mối liản hằ vợi hm chưn ối ngău Sau õ nhiÃu nh toĂn hồc cụng  nghiản cựu cĂc c trững cho tẵnh yáu thữớng cừa nghiằm bi toĂn bián phƠn v ÷a c¡c ùng dưng cõa chóng nh÷ Wu v Wu [14], Liu v Wu [7] Mët c¡c ựng dửng quan trồng nhĐt cừa tẵnh yáu thữớng cừa têp nghiằm bi toĂn bián phƠn õ l Êm bÊo tẵnh dứng hỳu hÔn cừa cĂc dÂy số sinh bi cĂc thuêt toĂn giÊi cĂc bi toĂn bián phƠn CĂc ựng dửng nhữ vêy ữủc nghiản cựu bi nhiÃu nh toĂn hồc (xem, chng hÔn, [7, 8, 9, 10, 14, 1] v cĂc ti liằu ữủc trẵch dăn õ) tẳm hiu và tẵnh yáu thữớng cừa têp nghiằm cừa bi toĂn bián phƠn cụng nhữ cĂc ựng dửng cõa nâ, chóng tỉi chån · t i " " cho khoĂ luên cừa mẳnh Nởi dung chẵnh cừa khoĂ luên dỹa trản cĂc kát quÊ gƯn Ơy bi bĂo [1] Tẵnh yáu thữớng cừa têp nghiằm cừa bi toĂn bián phƠn v ựng dửng Chữỡng Mởt số kián thực cỡ bÊn Trong chữỡng ny, chúng tổi trẳnh by mởt số khĂi niằm v tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa giÊi tẵch hm v giÊi tẵch lỗi Ti liằu tham kh£o cho ch÷ìng n y l [2, 4, 5, 13] 1.1 Khỉng gian Hilbert 1.1.1 Khỉng gian ành chu©n ành nghắa 1.1 Cho X l mởt khổng gian vector trản R Mởt chuân trản l mởt Ănh xÔ || à || : X [0, ) thoÊ mÂn ba tẵnh ch§t sau: (i) ||x|| = suy x = (ii) λx|| = |λ|||x|| vỵi måi x ∈ X v λ ∈ R (iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| vỵi måi x, y ∈ X Khỉng gian ành chu©n l mët c°p (X, || · ||) vỵi X l mët khỉng gian vector v || · || l mởt chuân trản X X Mởt số vẵ dử và khổng gian nh chuân Vẵ dử 1.1 nh xÔ || à || : Rm [0, ), x¡c ành bði: ||x|| = m X ! 12 x2i , x = (x1 , · · · , xm ), Rm i=1 l mởt chuân trản Rm, gồi l chuân thổng thữớng cừa Rm Do õ Rm vợi chuân nhữ trản l khổng gian nh chuân Vẵ dử 1.2 GiÊ sỷ X l têp tĐt cÊ cĂc h m li¶n tưc f : [a, b] → R Khi â ||f || = sup{|f (x)| : x ∈ [a, b]}, f X, l mởt chuân trản X Khi õ X vợi chuân trản l khổng gian nh chuân v ta thữớng kỵ hiằu X = C[a, b] khỉng gian c¡c h m thüc li¶n tưc tr¶n [a, b] nh nghắa 1.2 DÂy số {xn} khổng gian nh chuân (X, ||Ã||) ữủc gồi l hởi tử tợi x ∈ X n¸u ||xn − x|| → n → ∞ Ta k½ hi»u xn → a n → ∞ ho°c lim xn = x n→∞ Ta câ cĂc mằnh à sau Mằnh à 1.1 Giợi hÔn cừa dÂy số náu tỗn tÔi l nhĐt Mằnh à 1.2 DÂy số {xn} khổng gian nh chuân (X, || · ||) hëi tư tỵi a ∈ X v ch¿ måi d¢y cõa {xn} hëi tư tợi a nh nghắa 1.3 DÂy số {xn} khổng gian nh chuân (X, ||Ã||) ữủc gồi l dÂy Cauchy n¸u lim ||xn − xm || = n,m→∞ M»nh · 1.3 Måi d¢y hëi tư ·u l d¢y Cauchy nh nghắa 1.4 Khổng gian nh chuân (X, || à ||) ữủc gồi l Ưy ừ náu mồi dÂy Cauchy Ãu hởi tử nh nghắa 1.5 Khổng gian nh chuân Ưy ừ ữủc gồi l khổng gian Banach Vẵ dử 1.3 Khổng gian Rn vợi chuân thổng thữớng l Ưy ừ Q khổng Ưy ừ vợi chuân thổng thữớng ành ngh¾a 1.6 Cho a l mët iºm khỉng gian nh chuân X v r > Hẳnh cƯu m tƠm a bĂn kẵnh r l têp B(a, r) = {x ∈ X : ||x − a|| < r} Hẳnh cƯu õng tƠm a bĂn kẵnh r l têp ¯ r) = {x ∈ X : ||x − a|| r} B(a, Hẳnh cƯu m (tữỡng ựng, õng) tƠm bĂn kẵnh r = ữủc kẵ hiằu l B (tữỡng ựng, B ) nh nghắa 1.7 Cho A l mët tªp cõa X v x ∈ X Khi õ (i) Náu tỗn tÔi mởt hẳnh cƯu m tƠm x nơm A thẳ x ữủc gồi l im cừa A Têp tĐt cÊ cĂc im cừa A ữủc kẵ hiằu l textintA (ii) Náu tỗn tÔi mởt hẳnh cƯu tƠm x nơm phƯn bũ cừa A thẳ x ữủc gồi l im ngoi cừa A (iii) Náu mồi hẳnh cƯu tƠm x Ãu cõ giao khĂc rộng vợi cÊ A v phƯn bũ cừa A thẳ x ữủc gồi l im biản cừa A Têp tĐt cÊ cĂc im v im biản cừa A ữủc gồi l bao õng cừa A, kẵ hiằu clA nh nghắa 1.8 Mởt têp A khổng gian nh chuân X ữủc gồi l m náu A khổng chựa bĐt kẳ im biản no, v A ữủc gồi l õng náu nõ chựa mồi im biản Mằnh · 1.4 Gi£ sû tªp A cõa khỉng gian nh chuân X l õng Khi õ, náu {xn} A hởi tử tợi a thẳ a A nh nghắa 1.9 Têp A khổng gian nh chuân X ữủc gồi l b chn náu vợi mồi b X , tỗn tÔi M > cho ||a − b|| ≤ M vỵi måi a ∈ A ành nghắa 1.10 Têp A khổng gian nh chuân X ữủc gồi l compact náu mồi dÂy số A ·u câ d¢y hëi tư A M»nh · 1.5 Måi tªp compact ·u âng v bà ch°n ành ngh¾a 1.11 Gi£ sû (X, || · ||X ) v (Y, || · ||Y ) l hai khæng gian ành chuân nh xÔ f : X Y ữủc gồi l liản tửc tÔi a X náu vợi mồi dÂy {xn } X hởi tử tợi a thẳ dÂy số {f (xn )} hởi tử tợi f (a) Y 1.1.2 Khỉng gian Hilbert ành ngh¾a 1.12 Cho X l mët khỉng gian vector thüc T½ch vổ hữợng trản X l mởt Ănh xÔ hÃ, Ãi : X ì X R thọa mÂn cĂc tẵnh chĐt: (i) Vợi mồi x X , hx, xi ≥ v hx, xi = v ch¿ x = (ii) hx, yi = hy, xi vỵi måi x, y ∈ X (iii) hx, αy + βzi = αhx, yi + βhx, zi vỵi måi x, y, z ∈ X v α, β ∈ R Khi õ, X vợi tẵch vổ hữợng hÃ, Ãi ữủc gåi l khæng gian ti·n Hilbert Cho X l khæng gian tiÃn Hilbert vợi tẵch vổ hữợng hÃ, Ãi Trản X ta ành ngh¾a q ||x|| = hx, xi, ∀ x X Thẳ || à || l mởt chuân trản X v ữủc gồi l chuân sinh bi tẵch vổ hữợng hÃ, Ãi Ta cõ mằnh à sau: Mằnh à 1.6 (BĐt ng thực Cauchy -Schwarz) Vợi mồi x, y ∈ X , ta câ hx, yi ≤ ||x||.||y|| nh nghắa 1.13 Khổng gian tiÃn Hilbert Ưy ừ vợi chuân sinh bi tẵch vổ hữợng ữủc gồi l khổng gian Hilbert Vẵ dử 1.4 Khổng gian Rn vợi tẵch vổ hữợng hx, yi = n X xi yi , x = (x1 , · · · , xn ), y = (y1 , · · · , ym ) ∈ Rn i=1 l khỉng gian Hilbert V½ dư 1.5 Khæng gian `2 = {(x1, x2, · · · ) : xi R, Pi=1 |xi|2 < } vợi tẵch vổ hữợng hx, yi = X i=1 l khổng gian Hilbert xi yi C¡c kh¡i ni»m v· d¢y hởi tử, hm liản tửc, têp õng, têp m, têp compact khổng gian Hilbert X ữủc hiu theo nghắa khổng gian nh chuân vợi chuân sinh bi tẵch vổ hữợng Trong trữớng hủp ny, sỹ hởi tử (liản tửc) ữủc gồi l hởi tử (liản tửc) theo chuân hoc hởi tử (liản tửc) mÔnh Mằnh à 1.7 Tẵch vổ hữợng hÃ, Ãi l hm liản tửc 1.1.3 nh xÔ khổng gian Hilbert Tứ phƯn ny tr i, n¸u khỉng câ ph¡t biºu kh¡c, H l khỉng gian Hilbert vợi tẵch vổ hữợng hÃ, Ãi vợi chuân || à || sinh bi tẵch vổ hữợng Trong phƯn ny, chóng tỉi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v· ¡nh xÔ s ữủc dũng phƯn sau KhĂi niằm Ưu tiản l và Ănh xÔ Lipschitz nh nghắa 1.14 nh xÔ F : H H ữủc gồi l Lipschitz vợi hơng số L>0 náu ||f (x) F (y)|| ≤ L||x − y||, ∀ x, y ∈ H Ti¸p theo l mởt số loÔi ỡn iằu cừa Ănh xÔ nh nghắa 1.15 Cho X l mởt têp khĂc rộng cừa H nh xÔ F : ữủc gồi l (a) ỡn iằu trản X náu vợi mồi x, y ∈ X , X→H hF (x) − F (y), x yi 0; (b) ỡn iằu ngữủc mÔnh trản X náu tỗn > cho vợi måi x, y ∈ X , hF (x) − F (y), x − yi ≥ µ||F x − F y||2 ; (c) giÊ ỡn iằu trản X náu vợi mồi x, y ∈ X , hF (x), y − xi ≥ ⇒ hF (y), y − xi ≥ 0; (d) giÊ ỡn iằu mÔnh trản X náu tỗn tÔi µ > cho vỵi måi x, y ∈ X , hF (x), y − xi ≥ hF (y), y − xi ≥ µ||y − x||2 ; ⇒ (e) giÊ ỡn iằu+ trản X náu F giÊ ỡn iằu trản X v vợi mồi x, y X , hF (x), y − xi ≥ hF (y), y − xi = ⇒ F (x) = F (y) Nhên xt 1.1 Dạ thĐy rơng (b) (a), (a) ⇒ (c), (d) ⇒ (c) v (e) ⇒ (c) Tuy nhiản cĂc chiÃu ngữủc lÔi khổng úng 1.1.4 Mởt số khĂi niằm cừa giÊi tẵch lỗi Trong phƯn n y chóng tỉi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m cì bÊn cừa giÊi tẵch lỗi s ữủc sỷ dửng phƯn sau nh nghắa 1.16 Cho X l mởt khổng gian vector v C l têp cừa X ã Têp C ữủc gồi l lỗi náu vợi mồi x, y ∈ C v α ∈ [0, 1], ta ·u câ αx + (1 − α)y ∈ C Tªp C ữủc gồi l mởt nõn náu x C vợi mồi X C v > ã Têp C ữủc gồi l mởt nõn lỗi náu nõ l mởt nõn ỗng thới l têp lỗi ã Cho A, B l c¡c tªp cõa H v λ ∈ R Khi â A + B := {a + b : a ∈ A, b ∈ B} v λA := {λa : a ∈ A} ành ngh¾a 1.17 Cho C l tªp cõa H Tªp cüc cõa C , kẵ hiằu bi C o, l têp xĂc nh bði C o = {x∗ ∈ H : hx∗ , xi 0} nh nghắa 1.18 nh xÔ F tứ mởt têp lỗi X cừa H vo R ữủc gồi l lỗi náu F (x + (1 )y) ≤ λF (x) + (1 − λ)F (y) vỵi måi x, y ∈ X v λ ∈ (0, 1) ành nghắa 1.19 Cho C l mởt têp cừa H v x ∈ H Kho£ng c¡ch tø x tỵi C ữủc nh nghắa bi dist(x, C) := inf{||y x|| : y C} Hẳnh chiáu cừa x lản C ữủc nh nghắa bi PC (x) := {y C : ||y − x|| = dist(x, C)} Khi C l têp khĂc rộng, õng v lỗi cừa H thẳ PC (x) chựa nhĐt mởt im Khi õ PC l Ănh xÔ khổng giÂn, tực l ||PC (x) − PC (y)|| ≤ ||x − y||, ∀ x, y ∈ C M»nh · 1.8 [5] Gi£ sû X l têp õng lỗi cừa H Khi õ yx X l hẳnh chiáu PX (x) v ch¿ hx − yx , y − yx i ≤ ∀ y ∈ X ành ngh¾a 1.20 Cho C l mởt têp khĂc rộng, lỗi cừa H v x ∈ C Nân ph¡p tuy¸n cõa C tÔi x, ữủc kẵ hiằu l NC (x), l têp ÷đc x¡c ành bði: NC (x) = {x∗ ∈ H : hx∗ , y − xi ≤ for all y C} Nõn tiáp tuyán cừa C tÔi x, kẵ hiằu l TC (x), l têp ữủc xĂc nh bði: TC (x) = cl [ C −x λ λ>0 Ta cõ tẵnh chĐt sau NC (x) = [TC (x)]o ! Chữỡng Tẵnh yáu thữớng cừa nghiằm bĐt ng thực bián phƠn v Ăp dửng 2.1 BĐt ng thực bián phƠn v mởt số tẵnh chĐt cừa têp nghiằm Trong phƯn ny, chúng tổi trẳnh by khĂi niằm và bi toĂn bián phƠn, têp nghiằm v mởt số tẵnh chĐt liản quan án têp nghiằm Nhỳng khĂi niằm v tẵnh chĐt ny l cỡ bÊn (xem, chng hÔn, [2, 4]) nh nghắa 2.1 Cho X l mởt têp khĂc rộng, lỗi, õng cừa H v F l Ănh xÔ tứ H vo H Bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn, kẵ hiằu l V IP , l b i to¡n t¼m x∗ ∈ X cho hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ ∀ x X (2.1) Bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn ối ngău, kẵ hiằu l DV IP , l b i to¡n t¼m x∗ ∈ X cho hF (x), x − x∗ i ≥ ∀ x ∈ X (2.2) Têp nghiằm cừa V IP ữủc kẵ hiằu l X v têp nghiằm cừa DV IP ữủc kẵ hi»u l X∗ V½ dư 2.1 X²t khỉng gian hai chiÃu bĐt ng thực bián phƠn vợi X = [−1, 0] × [−2, −1] v F (x) = (x1 − 1, x2 + 1) måi x = (x1 , x2 ) Khi â tªp nghi»m X ∗ l tªp c¡c gi¡ trà x∗ = (x∗1 , x∗2 ) ∈ X cho (x∗1 − 1)(x1 − x∗1 ) + (x∗2 − 1)(x2 − x∗2 ) ≥ 10 V¼ tk > v v ∈ NX ∗ (x∗ ), ta câ x∗ = PX ∗ (x∗ + tk v) Bi tẵnh khổng dÂn cừa toĂn tỷ chiáu, ta ữủc ∗ ∗ ∗ (x + tk vk ) x − P X vk + − v