Một số phương pháp thiết lập các bài toán về dãy số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐẶNG XUÂN HIẾU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THIẾT LẬP CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN Bình Định - Năm 2020 ĐẶNG XUÂN HIẾU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THIẾT LẬP CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS TRỊNH ĐÀO CHIẾN LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan viết luận văn tìm tịi, học hỏi thân hướng dẫn tận tình thầy TS Trịnh Đào Chiến Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác có trích dẫn cụ thể Luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa công bố phương tiện Tôi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Bình Định, ngày 30 tháng năm 2020 Tác giả luận văn Đặng Xuân Hiếu LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy TS Trịnh Đào Chiến, người trực tiếp hướng dẫn bảo tận tình tơi q trình hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo, cô giáo trường đại học Quy Nhơn tạo điều kiện nhiệt tình giúp đỡ tơi khố Cao học Tôi chân thành cảm ơn đến bạn bè gia đình, người ln ln bên cạnh hỗ trợ động viên suốt thời gian làm luận văn Mặc dù cố gắng nhiều kiến thức thân cịn hạn chế luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, mong nhận ý kiến thầy cô, bạn bè để luận văn hồn thiện Xin chân thành cảm ơn Bình Định, ngày 30 tháng năm 2020 Tác giả luận văn Đặng Xuân Hiếu Muc luc Tài liêu tham khảo 80 việc thiết lập số toán dãy số đặt Đó mục tiêu luận văn Mở đầu Lý chọn đề tài Dãy số vấn đề liên quan đến dãy số phần quan trọng Đại số Giải tích tốn học Dãy số khơng đối tượng để nghiên cứu mà cơng cụ đắc lực mơ hình rời rạc Giải tích lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn, Trong chương trình Tốn phổ thơng, đặc biệt mơn học Giải tích, dãy số chiếm vị trí quan trọng Nó có mặt nhiều dạng tốn khó kỳ thi Trung học phổ thông quốc gia, tuyển sinh vào Cao đẳng - Đại học, đặc biệt kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia, khu vực Olympic Toán quốc tế Các toán ước lượng tính giá trị tổng, tích toán cực trị xác định giới hạn biểu thức cho trước thường có mối liên hệ đến đặc trưng dãy tương ứng Đối với giáo viên học sinh giỏi phổ thông, đối diện tốn khó dãy số, sau tìm lời giải nó, cách tự nhiên thường đặt câu hỏi: Những tốn đến từ đâu? Bằng cách nào, người ta thiết lập nó? Cơ sở lý thuyết liên quan “ẩn” sau đề toán phương pháp giải nó? Ta tự vài toán tương tự hay không? Những câu hỏi ấy, thực không dễ trả lời Tuy nhiên, góc độ đó, phần giáo viên vận dụng số kiến thức Toán học cao cấp học chương trình Đại học - Cao đẳng để tự thiết lập nên số dạng tốn dãy số, phục vụ cho cơng việc giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Và thế, song song với việc thiết lập, ta có cách giải tốn Điều tài liệu hành đề cập Và thế, nhu cầu Mục tiêu nghiên cứu Luận văn đề cập đến số phương pháp thiết lập toán dãy số Đó khơng phương pháp áp dụng số kết Giải tích, mà cịn việc áp dụng số kết Đại số, Số học Lượng giác Đối tương phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu dãy số phương pháp thiết lập toán dãy số Phạm vi nghiên cứu số kiến thức toán cao cấp, áp dụng để thiết lập tốn phổ thơng dãy số Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm, tổng hợp số nội dung từ tài liệu hình thành luận văn, hướng dẫn người hướng dẫn Ý nghĩa khoa học thực tiễn luận văn Luận văn có ý nghĩa khoa học áp dụng kiến thức toán cao cấp để thiết lập toán dãy số phổ thơng Cấu trúc luận văn Ngồi nội dung quy định cấu trúc luận văn Thạc sĩ, nội dung luân văn chia thành ba chương: Chương Phương pháp áp dụng số kết Đại số Số học Chương đề cập đến phương pháp chéo hóa ma trận Đại số tuyến tính phương pháp áp dụng tính chất nghiệm phương trình Đại số, phương trình nghiệm nguyên Số học Chương Phương pháp áp dụng số kết Giải tích Chương đề cập đến phương pháp sử dụng phương trình sai phân, sử dụng tính chất hàm phân tuyến tính hàm sinh Chương Phương pháp áp dụng số kết Lương giác Chương đề cập đến số kết hình thành từ phương pháp Lượng giác việc thiết lập số toán dãy số đặt Đó mục tiêu luận văn Chương Phương pháp áp dụng số kết Đại số Số học 1.1Phương pháp chéo hoá ma trận Đại số tuyến tính Nội dung mục tham khảo [6] Định nghĩa 1.1 Số A G K gọi giá trị riêng ma trận A vuông cấp n tồn vectơ x = (x , x , x , x , ,x )t E K, x = 0, cho n (1.1) Ax = Ax Khi vectơ x gọi vectơ riêng ma trận A ứng với giá trị riêng A Nhận xét Từ (1.1), ta có (A — AE) x = 0, x = Định nghĩa 1.2 Cho A = (a j) có m hàng, n cột, A G K i mn a ii — Aa a PAA = det (A — AE) = a 2i mi i2 a22 — A a m2 i) Đa thức gọi đa thức đặc trưng ma trận A a a in a 2n mn matầm nghiệm trận A giá A Giải trị phương trình ma trận đặc trưng, A.của ứng ta với thu giá trị không riêng A, ta thường giải phương củariêng trình làcủa vectơ riêng (A ma — AE) trận x = A.0 Nghiệm Định lý 1.3 Cho ma trận vuông A Nếu tồn ma trận khả đảo cho P -1AP ma trận đường chéo, ta nói ma trận A chéo hoá ma trận P chéo hoá ma trận A, hay ma trận A đưa dạng chéo hoá nhờ ma trận P Định lý 1.4 Điều kiện cần đủ để ma trận vuông A cấp n chéo hố có n vectơ riêng độc lập tuyến tính Định lý 1.5 Nếu ma trận A vng cấp n đưa dạng chéo hố B, phần tử đường chéo B giá trị riêng ma trận A Ví dụ 1.6 Cho hai dãy số (a ), (b ) xác định sau n n a = a, b = b, (a, b cho trước) (1.2) an+1 = an + 4bn, n > 0, (1.3) (1.4) 0 bn+1 = 2an + 3bn, n > Với cách xác định hai dãy số trên, ta có a, a1 b b1 = 2a0 + 3b0 = 2a + 3b = a0 + 4b0 = a + 4b, a2 = a1 + 4b1 b2 = =(a+4b)+4(2a+3b) =9a+16b, 2a1 + 3b1 =2(a+4b)+3(2a+3b) =8a+17b G R, Tóm lại, với a, b cho trước, a, b (a ), (b ) xác định sau n n (an) : a0 (bn) : a1 a 8a + 17b, 2a + 3b, bi Nhận xét rằng, từ giả thiết (1.3) (1.4), ta viết lại dạng ma trận a a aa n n+1 b (1.5) b n+1 n sau Ta viết lại (1.5) sau a a n1 (1.6) n > b n Đặt A = 4^ Khi (1.6) viết lại sau V b |X 4^n-1 Từ ma trận hệ số vừa lấy ta cần tìm giá trị riêng vectơ riêng (ứng với giá trị riêng tìm được) a a a a A giá = AA an-2n = V 3I= A aan tìm= Ta n-1 trị riêng A= b b b n-b2n b n-1 trưngPcủa Ta cónlại, đa thức An = AX =ma dettrận (A —AXE) Tóm ta có đặc n-1 a a 4= A b1 n > 1.3X n aao b0 =A n a V ) (1.7) Giải phương trình đặc trưng X1 = —1, PA (X) = o (1 — X) (3 — X) — = o X — 4X — = o X2 = Ma trận A ma trận vuông cấp 2, nên xét khơng gian R , vectơ riêng có dạng gồm số Tìm vectơ riêng (tương ứng) việc giải phương trình (phương trình ma trận) (A — XE) x = - Trường hợp X = —1, ta giải phương trình ma trận sau (X x X1 x o X1 x2 b n-1 870 871 872 873 874 875 876 877 878 879 880 881 882 883 884 885 886 887 888 889 890 891 892 893 894 895 896 897 898 899 900 x 95 Ngoài ra, ta biết 901 (3.10) lim xn = 0, lim yn = n^+rx n^+rx Từ (3.8), (3.9) (3.10) ta thiết lập toán sau Bài toán 3.7 (VMO 2014) Cho hai dãy số dương (x ), (y ), (n = 1,2, ) xác định x = n 1, y n v'3 {xn+1yn+1 — xn x n+1 + yn = ; Vn (3.11) Chứng minh hai dãy số hội tụ tìm giới hạn chúng Lời giải (Cách 1) Bước Ta có số giá trị ban đầu hai dãy số ( xn) (yn) sau ỈX = + V1 = V3 x yị = - Với n = 1, từ điều kiện (3.11), ta có ỈXìVì = X1 I X2 Vì = x + Vi = xì + V'3 x y = x1 2 x2 x _2 _ yì _1 = x = 2-V3 2 - ựă Vậy xì + = (2 - V3) + (2 + V3) = - Với n = 2, từ điều kiện (3.11), ta có x3 y3 = x2 x + y2 = 2 x2 y = -ĨÍ3 - Vì 902 903 904 905 Ta chứng x2 ( x2y3 = xì X2 [ x3+ Vì =2 x - y2 (2 - V3) (2 + \ ■ ựã) minh phương pháp quy nạp 906 + Với n =1 ta có: X1 + y2 = + = v / = W2 W3 96 + Giả sử công thức với Vn > 1, tức xn + y2 = 4, Vn > Ta chứng minh công thức với n +1 Tức là: xn + yn = 4, Vn 907 908 +1 n+1 + y n= X +1 (3.12) - yn n+1 = 909 910Thật 911 912 913 X n+1yn+1 xn = - n+1 = xn n+1 = y 914 x n+1 (3.13) ~y2=Ạ-=4 =2+ = _ y =2 + yn 915 y x y yn - 917 y x 916 n n Từ (3.12) (3.13) suy xn + y2 = 4, Vn 918 Bước Nhận xét (Tính vài giá trị ban đầu) 919 ỈX = 1, I X2 = 72 — 73 < X1 = 1, +1 +1 +1 920 921 923 925 926 ' V3 I =X= = /2 + - 7—7 X3 929 n n (3.14) y1 < y2 < y3 < Giả sử yn-1 < yn < Ta chứng minh yn < yn+1 < (3.15) Thật 932 (3 15) 72 + yn-1 < 72 + yn < 933 934 , > /2+73 = y2 ự2 — /7+73 n 930 931 y- Ta thấy x giảm, y tăng Ta chứng minh (y ) tăng bị chặn quy nạp Theo bước thử đầu tiên, ta có: 927 928 > X3 = 72 — y2 = \J2 — /2 + 73 < 7/2 — 73 = X2, 922 924 73 =72+ yi = 73 'I y2=t = o yn-1 < yn < (đúng, 2+y n-1 < 2+y n< (3.14)) Suy (y ) có giới hạn, giả sử y Chuyển đẳng thức (3.13) yn = + y , n +1 ta có y = + y Vậy y = Vậy lim y = 2 n 935 n^+w n 97 936 Bởi (3.12) ta có xn = — y Suy x = ự2 — y nên lim x = lim ự2 — yn_ n-1 n n-1 n = lim ỵ/2 — = Vậy lim xn = 937 Bước Giả sử dãy (xn) hội tụ có giới hạn x Dãy (y ) hội tụ có n giới hạn y 938 Chuyển đẳng thức (3.11) qua giới hạn, ta xy — x = 0, x x (y — 1) = 0, x + y = 939 x = 0, y = 2, 940 941 942 x = 1, y = + y = Bước (Dự đoán x ,y biểu diễn qua hệ thức lượng giác) n n Ta có x = = 2.;-n=' 22 sin 77 = sin n 3.21 n a n Lưu ý: a n 3.2 n3.2 a 2n ——, Dự đốn Và, ta có xn = 23sin 3.2 n Để đơn giản, ta đặt an -« A32 /3n ’ n > Thế n n n yi = V = 2.—— = 22 cos — = 6cos —— =3.2 cos 3.2 26 n (3.16) n n T n n+1 n+1 n n 1 943 944 946 947 x = sin a , n n n Dự đoán 948 n 945 n yn = 3.2 cos ——, n yn = 2cosan, n > 949 Bước Chứng minh (3.16) (3.17) quy nạp 950 Rõ ràng với n =1, (3.16) (3.17) Giả sử (3.16) (3.17) với n Ta chứng minh (3.16) (3.17) với n +1, nghĩa 951 952 953 954 ÍXn+1 = 2sinan+1, n > (1) yn+1 = 2cos ữn+1, n > (2) (3.17) 955 315 Ta có 316 x - I + yn — xn+1 n 317 — ự2 - yn — ự2 - cos an — ự2 (1 - cos ơn) 318 aan n 320 a n n 319 321 2.2 sin —ị — sin ^ — sin n+1.a n 322 Vậy (1) chứng minh 323 Hơn 324 xn+1yn+1 xn — y n+1 956 957 958 Xn x n+1 sin a n 959 sin ơn sin 962 c 964 n 965 sin a n x +y 966 n n 967 960 a a 961 n n sin —- cos —963 22 325 sin a n 968 969 970 326 328 a n a n 331 — cos an sin 327 ^- 329 c o s minh — 330 333 Do 339 n 347 n 1, 334 x 340 sin n — —, 335 y 341 3.2 n 342 n 348 — 336 Bước Suy lim xn — 2.0 — 0; 343 cos 2.1 337 n^ +-TO — —, 338 Tiếp tục thiết lập toán dãy — 344 3.2 số Xét hai dãy số lượng giác 345 lim yn sau 357 X0 350 cos a n 346cotna^ — c , 351 Cn n n 358 < 352 sin a+nTO 359 yo 353 362 V 366 354 cn • 3n 367 : 369 x — n 355 sin a 365 n— 373 a 2, co t + n —n 349 360 Ta Từ đây, ta có mối liên hệ 363 2sin 368 = \ 356 Z 372 sau có 374 378 xn y cos (cos + 1) c ''364aựã , a3= (c.n-1 acot an-1) = 2xn“2/ 361 - Mối thứ=nhất: cn cot a370 n-1 = (2cn-1) cot n-1 -1 n hệ377 +1 liên 332 Vậy (2) chứng n n n n n 375 an 376 — Cn 971 972 973 974 975 976 977 978 979 980 981 982 983 984 985 986 987 988 989 990 991 992 993 994 995 996 997 998 999 1000 1001 1002 1003 0 - Mối liên hệ thứ hai: 1004 1005 379 380 (cos 385 ữcos n+1V an+1 1 381 —386 I Cn+l I _ I cn+1I ■I cn ) ( 2cn II; ) 382 sina 387n+1 sinan+1 sinan sin2an+1 cos a _ c2 J 383 388 22 n+1 n+1 cosan+1 sin an 384 2C389 n + sinan+1.2 sina 390 V—y 391 ) ■ _ yn+1 392 ( cn+1 393 \ x y n+1 n n+1 n+1 +1 sin an+1 1006 1007 1008 1009 1010 1011 y n+1 — ựxn+1yn 1012 1013 xn { nên ta chưa thể dùng hai dãy để thiết lập tốn Tiếp tục 11 Khi n Đặt Xn — —, yn — T~ , a bn n n /3 ' 3.2 , n —sin —— /3 3.2 n+1 cn cot an _ cn cot an — n~- sin an Lúc này, ta n c n~ c 1014 1015 1016 sin an yn 0.^, 1017 n dạnga /x b n dạng a y n+1 — / xn+1yn b , Khi nn —a + xn + yn x n+1 — n n+1 1018 1019 b 1020 Bài toán 3.8 (VMO n+1 Từ đây, ta thiết lập toán sau n a n+1 tan u un+1 — ỵ/ n+1 n sin u b a b b n a n+1 2anbn a n + bn ) 1993) Cho hai dãy số (a ), (b ) xác định sau n 1021 ~ n a — 2, b — 2anbn an — 0 „ 1022 a n + bn ; n n — Ậ/ an+1bn b Chứng minh dãy có giới hạn tính giới hạn n +rc) 1024 Lời giải 1023 1 10 394 1) 395 396 2n+\ n 397 tan —— 398 3.2 a n n 1027 1030 1025 n tan —— 1026 n 3.2« 1028 tan —— 1029 3.2« 2n 400 n 399 t 401 a n 402 13 ” 1031 313 1032 n 1033 sin —— 1035 n sin —— 403 404 \2n+1y 405 Hain) (H 408 V3 3.2ô1 409 \2n ã ~ I 3.2 +1 213n 406 1037 1034 3.2 n 1036 3.2 n 410 n 411 n « n 407 412 2) n 413 bn 414 n 416 s i n 415+ 13 418 s i n — — 417 n 1038 1039 31« 2n 1040 313 1041 2a b nn 444 ( — tan an \ Cn 445 (c tan an 446 n a 447 an n 448 sin —- cos —- — 2— 449 C n2 cos a On a 429 450 — 1427 n+1bn — \j^ 425 2ỵ n 424 tan c 430 423 Viết /ã an n n gọn451 428 b ỈỈ 431 — sin 432 452 c 426 /( n n 419 3.2n\ n 420 - J 3.2” 421 n 422 « Để thiết lập nhiều toán dãy số, ta tiếp tục xét hai dãy số lượng giác sau 1079 1080 n 1081 xn = cot ——, n 1, 1082 3.2 1083 yn = tan I —— ) 1084 3.2 n n n n n n = cot _ , = cot ———— 3.2 3.2 n = tan —— = tan a x n+1 n+1 y n+1 /1 n \ cot - • ——n V2 3.2 J n a = cot — 10851086 Ta có nhận xét 1087 Với điều kiện ban đầu n x = cot = I X1 = cot = ựã, I K ựã [ V1 = tan = f 1088 Từ ta có mối liên hệ sau 1+x = + cot a — sin a = —^- = \/1 + xn + Xn sina cos2 3a 2 2 n n A/ 1+xn + cos a sin a n + yn = _ + tan 2a = Vn y n n+1 2 ự x aa sin — cos — 22 10891090 - Mối liên hệ thứ nhất: 10911092 - Mối liên hệ thứ hai: 1+ 11 cos a + cot a = — + -: -sin a sin a sin a 1+ cos 2a - Suy mối liên hệ thứ ba: 1094 Ta có 1095 cos 2a sin 2a cos 2a cos 2a + cos 2a \/1+yn =1 + tan 2a + cos 2a cos 2a sin a cos a 1093 cos 2a sin a = tan a cos a x = cot a = -—-—, 1096 tan a n + cos 2a cos 2a 1097 1098 tan a Vn = tan 2a = -— 1099 tan a Suy x y nn—~ ,9 — tan a ,a n tan a — tan n Với n — 1, a — ,6’’ Khi n tăng a giảm Khi n +rc), a Vậy n _, „ v'3 „ , n 3.2 V3 < tan a < < tan2 a ^ 1- ... HỌC QUY NHƠN Bình Định - Năm 2020 ĐẶNG XUÂN HIẾU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THIẾT LẬP CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS TRỊNH ĐÀO CHIẾN LỜI... dụng số kết Đại số, Số học Lượng giác Đối tương phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu dãy số phương pháp thiết lập toán dãy số Phạm vi nghiên cứu số kiến thức toán cao cấp, áp dụng để thiết lập. .. hình thành từ phương pháp Lượng giác 8 việc thiết lập số toán dãy số đặt Đó mục tiêu luận văn Chương Phương pháp áp dụng số kết Đại số Số học 1. 1Phương pháp chéo hố ma trận Đại số tuyến tính