Hai thuật toán chiếu giải hệ bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát và bài toán điểm bất động

Vì tính tiện ích to lớnvà khả năng ứng dụng rộng rãi nên nhiều thuật toán đã được thiết lập để tìmnghiệm của các bài toán nói trên.. Phương pháp kiểuloại này được đề xuất lần đầu bởi Tak

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCHướng dẫn 1: TS Nguyễn Song HàHướng dẫn 2: TS Đinh Diệu Hằng

THÁI NGUYÊN - 2023

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô Ban Giám hiệu, Khoa Toán-Tin,Phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã tạo mọiđiều kiện thuận lợi và giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu.Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Song Hà và

TS Đinh Diệu Hằng đã tận tình hướng dẫn và đưa ra những lời khuyên bổích giúp em giải quyết được các vấn đề gặp phải, trong suốt quá trình nghiêncứu và hoàn thành luận văn

Mặc dù đã có nhiều cố gắng song luận văn khó tránh những thiếu sót nhấtđịnh Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý Thầy Cô giáo

và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Tác giảNguyễn Trung Dũng

Trang bìa phụ i

1.1 Sơ lược về cấu trúc hình học không gian Banach 3

1.2 Phép chiếu tổng quát 6

1.3 Một số loại ánh xạ, hàm số thường dùng 10

1.4 Một số bổ đề bổ trợ 15

Chương 2 Hai thuật toán chiếu giải hệ bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát và bài toán điểm bất động 21 2.1 Mô hình bài toán nghiên cứu 21

2.2 Thuật toán chiếu co hẹp 24

2.3 Thuật toán chiếu lai ghép 33

2.4 Các thử nghiệm số 39

E Không gian Banach thực

E∗ Không gian đối ngẫu của E

E∗∗ Không gian đối ngẫu thứ hai của E

PC(x) Phép chiếu mêtric phần tử x lên tập C

ΠC(x) Phép chiếu tổng quát phần tử x lên tập C

ak → a Dãy {ak} hội tụ mạnh đến a

ak ⇀ a Dãy {ak} hội tụ yếu đến a

⟨a, x∗⟩ Giá trị của x∗ ∈ E∗ tại a ∈ E

J Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E

S[a, r] Hình cầu đóng tâm a bán kính r > 0

int(S[a, r]) Phần trong của S[a, r]

∂S[a, r] Biên của S[a, r]

S[0, 1] Hình cầu đơn vị của E

∂S[0, 1] Mặt cầu đơn vị của E

lim inf

n→∞ xn Giới hạn dưới của dãy {xn}

lim sup

n→∞

xn Giới hạn trên của dãy {xn}

GMEP(Θ, Ψ, φ) Tập nghiệm của bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quátFix(T ) Tập điểm bất động của ánh xạ T

2.1 Kết quả tính toán số với αn = 1/100 402.2 Kết quả tính toán số với αn = 1/1000 402.3 Kết quả tính toán số với TOL=10−4, M = N = 100 42

Cho E∗ là không gian đối ngẫu thứ nhất của không gian Banach thực E.Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của E Cho j ∈ {1, 2, , M } và

được biết đến là một trong những công cụ rất hữu ích và hiệu quả của toánhọc Nó cung cấp một nền tảng lí thuyết thống nhất để nghiên cứu và giảiquyết nhiều vấn đề nảy sinh một cách tự nhiên trong nhiều lĩnh vực khoa họckhác nhau như vật lí, cơ học, y sinh, kinh tế hay quân sự, (có thể xem[1, 2, 3, 4, 5] cùng tài liệu dẫn để biết thêm chi tiết) Vì tính tiện ích to lớn

và khả năng ứng dụng rộng rãi nên nhiều thuật toán đã được thiết lập để tìmnghiệm của các bài toán nói trên Đây cũng là cơ sở quan trọng để đưa cácnghiên cứu lí thuyết ứng dụng vào giải quyết các vấn đề trong thực tiễn.Năm 2023, Nguyễn Song Hà và Trương Minh Tuyên [5] đã nghiên cứu kếthợp mô hình Bài toán (0.1) và Bài toán (0.2) Đó là bài toán:

đã đề cập ở trên như một trường hợp riêng

Theo đó, mục đích chính của luận văn là trình bày lại có hệ thống về cáckết quả công bố trong [5] Với mục tiêu như vậy, cấu trúc luận văn gồm phần

mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo Chương 1dùng để sơ lược những kiến thức cơ bản về giải tích hàm và giải tích lồi trongkhông gian Banach Chương 2 dành để giới thiệu chi tiết nội dung, sự hội

tụ mạnh của hai thuật toán chiếu nêu trên cùng các kết quả tính toán thửnghiệm số

Kiến thức cơ sở

Trong chương này, chúng tôi hệ thống lại một số kiến thức cơ bản phục vụcho việc trình bày các nội dung chính ở phần sau của luận văn Cấu trúc củachương được chia thành bốn phần: Mục 1.1 chúng tôi trình bày sơ lược vềcấu trúc hình học các không gian Banach Mục 1.2 dành để nhắc lại các kháiniệm và tính chất thường dùng về phép chiếu tổng quát Một số khái niệm cơbản về ánh xạ đơn điệu, liên tục và không giãn được chi tiết trong Mục 1.3.Phần cuối chương, Mục 1.4 nhắc lại một số bổ đề thường dùng trong các ướclượng hoặc chứng minh Nội dung phần này chủ yếu tham khảo từ [2, 3, 5].1.1 Sơ lược về cấu trúc hình học không gian Banach

Cho E là không gian Banach thực, E∗ và E∗∗ lần lượt là không gian đốingẫu thứ nhất và thứ hai của E Nếu không sợ nhầm lẫn thì chuẩn trên cáckhông gian này đều được viết là ∥ · ∥

Định nghĩa 1.1 Không gian Banach E được gọi là:

(i) lồi chặt nếu với hai phần tử phân biệt a, b ∈ ∂S[0, 1] bất kì ta đều có

∥(1 − t)a + tb∥ < 1, ∀t ∈ (0, 1)

(ii) lồi đều nếu với mọi 0 < ε ≤ 2 và với mọi phần tử a, b ∈ E có tính chất

∥a∥ ≤ 1, ∥b∥ ≤ 1, ∥a − b∥ ≥ ε thì tồn tại một số δ = δ(ϵ) > 0 sao cho

Mệnh đề 1.1 [1, 2] Ta có các khẳng định sau:

(i) Không gian Banach lồi đều là lồi chặt

(ii) Không gian Banach trơn đều là trơn

Chú ý 1.1 Mọi không gian Hilbert thực đều là lồi đều [1, 2] và vì thế cũng

là không gian trơn đều và

lồi đều Tuy nhiên, nếu xét với chuẩn ∥x∥ = max

1≤i≤n{|xi|} thì nó không lồichặt và cũng không lồi đều

(b) Không gian lp các dãy số thực khả tổng bậc 1 < p < ∞ là không gianHibert khi và chỉ khi p = 2 (xem [1, 2]) Do đó, l2 là không gian lồi đều,trơn đều, trơn và lồi chặt

(c) Không gian l∞ các dãy số thực bị chặn không lồi đều nên cũng khônglồi chặt Chẳng hạn, trong l∞ ta lấy hai phần tử a = (1, 1, 1, 0, , 0) và

b = (1, 1, −1, 0, , 0) Khi đó, ta có a ̸= b, ∥a∥ = ∥b∥ = 1 và ∥a − b∥ =

2 > 1 = ε nhưng

a + b

2 = 1 > 1 − δ, ∀δ > 0

(d) Không gian Lp[a, b] các hàm số khả tích bậc 1 < p < ∞ trên [a, b] ⊂ R

là các không gian Banach trơn Các không gian Banach c0, l1, L1[a, b] và

Định nghĩa 1.3 Hàm ρE : R+ → R+ được gọi là môđun trơn của E nếu

ρE(t) = sup ∥a + b∥ + ∥a − b∥

Chú ý 1.4 [1, 2] Ta có ρE(0) = 0 và ρE(t) ≥ 0 với mọi t ≥ 0 Hơn nữa,môđun trơn của không gian Banach E là hàm lồi, tăng và liên tục

Ví dụ 1.2 Cho H là không gian Hilbert thực Ta có

(ii) Không gian Banach trơn đều nếu và chỉ nếu ρE(t)/t → 0

Định nghĩa 1.4 Chuẩn của E được gọi là:

(i) khả vi Gâteaux tại điểm s ∈ ∂S[0, 1] nếu với mỗi y ∈ ∂S[0, 1] đều tồn tạigiới hạn

lim

λ→0

∥s + λy∥ − ∥s∥

λ := ⟨y, ∇∥s∥⟩.

Ta gọi ∇∥s∥ là gradient của hàm chuẩn ∥x∥ tại x = s

(ii) khả vi Gâteaux nếu nó khả vi Gâteaux tại mọi điểm của ∂S[0, 1]

(iii) khả vi Gâteaux đều nếu với mỗi y ∈ ∂S[0, 1] giới hạn trên tồn tại đềutheo x ∈ ∂S[0, 1]

Ví dụ 1.3 Chuẩn trên không gian Hilbert thực H là khả vi Gâteaux tại mọi

x ̸= 0 và ∇∥x∥ = x

∥x∥.Mệnh đề 1.3 [1, 2] Không gian Banach E trơn khi và chỉ khi chuẩn của E

là khả vi Gâteaux trên E\{0}

Mệnh đề 1.4 [1, 2] Cho E là không gian Banach phản xạ (tức là, E = E∗∗).

Ta có các khẳng định sau:

(i) E∗ là không gian lồi đều nếu và chỉ nếu E là không gian trơn đều

(ii) E∗ là không gian trơn đều nếu và chỉ nếu E là không gian lồi đều

(iii) E∗ là không gian lồi chặt nếu và chỉ nếu E là không gian trơn

(iv) E∗ là không gian trơn nếu và chỉ nếu E là không gian lồi chặt

Để kết thúc phần này, chúng tôi nhắc lại một khái niệm cơ bản sau đây về

sự hội tụ của một dãy trên các không gian Banach

Định nghĩa 1.5 Dãy {ak} ⊂ E được gọi là:

(i) hội tụ mạnh tới a ∈ E khi k → ∞ nếu lim

k→∞∥ak− a∥ = 0 và được kí hiệu

1.2 Phép chiếu tổng quát

Định nghĩa 1.6 Một ánh xạ đa trị J : E ⇒ E∗ xác định bởi

J (a) = {z∗ ∈ E∗ : ⟨a, x∗⟩ = ∥a∥∥z∗∥ và ∥z∗∥ = ∥a∥},được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E

Chú ý 1.5 Ánh xạ J tồn tại trên mọi không gian Banach Khẳng định nàyđược suy ra như một hệ quả trực tiếp của Định lí Hahn-Banach [2, 4] Nếuánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc là đơn trị thì ta sẽ kí hiệu là j.

Ví dụ 1.5 [1, 2, 4] Sau đây là một vài ví dụ cơ bản về J :

(a) J (a) = 1

2∂(∥a∥) với mọi a ∈ E.

(b) Nếu E ≡ H là không gian Hilbert thực H thì J = I

(c) Nếu E ≡ l2 thì J (a) = (|a1|sgn(a1), |a2|sgn(a2), , |ak|sgn(ak), ) với

(ii) J (a) là tập lồi đóng, bị chặn và khác rỗng với mỗi a ∈ E

(iii) J (αa) = αJ (a) với mọi a ∈ E và α ∈ R

(iv) J là ánh xạ đơn điệu, bức và thỏa mãn

⟨a − b, j(a) − j(a)⟩ ≥ (∥a∥ − ∥b∥)2 ∀j(a) ∈ J(a), j(b) ∈ J(b), ∀a, b ∈ E.Mệnh đề 1.6 [1, 2, 4] Các khẳng định sau tương đương:

(i) E là không gian trơn

(ii) J là đơn trị

(iii) Chuẩn của E là khả vi Gâteaux với ∇∥a∥ = ∥a∥−1J (a)

Mệnh đề 1.7 [1, 2, 4, 7] Nếu không gian Banach E có chuẩn khả vi Gâteaux(đều) thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j : E → E∗ liên tục (đều) mạnh-yếu∗(mạnh-mạnh) trên các tập con bị chặn của E

Chú ý 1.6 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j : E → E∗ được gọi là liên tụcmạnh-yếu∗ nếu với mọi dãy {xk} hội tụ mạnh tới điểm a thì j(xk) hội tụ tớij(a) theo tôpô yếu∗ trong E∗

Bây giờ, cho E là không gian Banach trơn Ta xét phiếm hàm Lyapunov

Φ : E × E → R có dạng

Φ(b, a) := ∥b∥2− 2⟨b, J(a)⟩ + ∥a∥2với mỗi a, b ∈ E

Nhận xét 1.3 Từ biểu thức xác định hàm Φ, các khẳng định sau bảo đảm:(i) ∥a∥2 + ∥b∥2 − 2∥a∥∥b∥ ≤ Φ(b, a) ≤ ∥a∥2 + ∥b∥2+ 2∥a∥∥b∥, ∀a, b ∈ E.(ii) Với mọi a, b, z ∈ E và α ∈ [0, 1] ta có

Φ(b, J−1(αJ (a) + (1 − α)J (z))) ≤ αΦ(b, a) + (1 − α)Φ(b, z)

(iii) Φ(z, a) + Φ(a, b) = Φ(z, b) + 2⟨a − z, J (a) − J (b)⟩, ∀a, b, z ∈ E

(iv) Nếu E là không gian lồi đều và trơn thì với mọi a, b ∈ E ta có

vì E lồi chặt nên hàm ∥ · ∥2 là lồi chặt và vì thế Φ(·, x) cũng là hàm lồi chặt

Do đó, phần tử x0 nói trên là duy nhất (Nhận xét 4.6 trong [1])

Do đó, ta hoàn toàn xác định ánh xạ ΠC : E → C xác định bởi

ΠC(x) = x0.Ánh xạ trên được gọi là phép chiếu tổng quát từ E lên C

Hiển nhiên, nếu E là không gian Hilbert H thì khái niệm phép chiếu tổngquát trên trùng với khái niệm phép chiếu mêtric, tức là

ΠC(x) = PC(x) := x0,với x0 ∈ C là xấp xỉ tốt nhất của x ∈ H bởi C, tức là

∥x0 − x∥ = inf

z∈C∥x0− z∥

Trong trường hợp này, chúng ta biết rằng, khi C là tập con đóng, lồi và khácrỗng thì luôn tồn tại phần tử xấp xỉ tốt nhất của x trên C [1, 3] Tuy vậy, khi

C không có cấu trúc đặc thù, việc xác định phần tử như thế vốn dĩ không

dễ dàng, thậm chí là cả ở trên các không gian hữu hạn chiều Để có thể xâydựng ví dụ ở phần cuối Chương 2, chúng tôi giới thiệu lại hai công thức tườngminh xác định phép chiếu mêtric từ một không gian Hilbert H lên các nửakhông gian đóng và hình cầu đóng của nó

1.3 Một số loại ánh xạ, hàm số thường dùng

Cho C là tập con khác rỗng của không gian Banach E và E∗ là không gianđối ngẫu của E

Định nghĩa 1.7 Ánh xạ Ψ : C → E∗ được gọi là:

(i) đơn điệu trên C nếu

⟨x − y, Ψ(x) − Ψ(y)⟩ ≥ 0, ∀x, y ∈ C (1.2)(ii) đơn điệu chặt trên C nếu

⟨x − y, Ψ(x) − Ψ(y)⟩ > 0, ∀x ̸= y ∈ C (1.3)(iii) α-đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại số thực dương α sao cho

⟨x − y, Ψ(x) − Ψ(y)⟩ ≥ α∥x − y∥2, ∀x, y ∈ C (1.4)Nhận xét 1.4 Ta có (1.4) ⇒ (1.3) ⇒ (1.2) nhưng (1.4) ⇏ (1.3) ⇏ (1.2)

(c) Ánh xạ Ψ(x1, x2) = (γx2, −γx1) là ánh xạ đơn điệu nhưng không đơnđiệu chặt và cũng không đơn điệu mạnh (ở đây γ là số thực dương).Định nghĩa 1.8 Cho ánh xạ T : C → C xác định trên C ⊂ E Phần tử

ak = k

k + 1 ∈ (0, 1) ∀k ≥ 1, ak → 1, ak− T (ak) = 0 → 0

Định nghĩa 1.9 Ánh xạ T : C → C được gọi là đóng nếu với mọi dãy{ak} ⊂ C mà ak → a và T (ak) → b thì T (a) = b.

Định nghĩa 1.10 Ánh xạ T : C → C được gọi là

(i) không giãn nếu

∥T (a) − T (b)∥ ≤ ∥a − b∥, ∀a, b ∈ C

(ii) không giãn tương đối nếu F (T ) = Fix(T ) và

Φ(p, T (a)) ≤ Φ(p, a), ∀a ∈ C, ∀p ∈ Fix(T )

(iii) Φ-không giãn nếu

Φ(T (a), T (b)) ≤ Φ(a, b), ∀a, b ∈ C

(iv) tựa Φ-không giãn nếu

Φ(p, T (a)) ≤ Φ(p, a), ∀a ∈ C, ∀p ∈ Fix(T )

Ví dụ 1.13 Sau đây là một số ví dụ đơn giản về các khái niệm nêu trên.(a) Ánh xạ T : R2 → R2 có dạng

là ánh xạ không giãn

(b) Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng trong không gian hữu hạn chiều

và T : C → C là ánh xạ không giãn Khi đó, T là không giãn tương đối.Chú ý rằng, sự hội tụ mạnh và yếu trên không gian hữu hạn chiều là nhưnhau và vì T là ánh xạ không giãn nên T liên tục đều trên C Do đó, nếu

ak → p thì T (ak) → T (p) hay suy ra F (T ) = Fix(T ) Mặt khác, ta cóΦ(p, T (a)) = ∥p − T (a)∥2 = ∥T (p) − T (a)∥2 ≤ ∥p − a∥2 = Φ(p, a),với mọi a ∈ C và p ∈ Fix(T )

(c) Trong không gian Hilbert thực, mọi ánh xạ không giãn đều là Φ-khônggiãn vì

Φ(T (a), T (b)) = ∥T (a) − T (b)∥2 ≤ ∥a − b∥2 = Φ(a, b), ∀x, y ∈ C.(d) Mọi ánh xạ Φ-không giãn, không giãn tương đối đều là tựa Φ-không giãn.(e) Ánh xạ T : [0, 1) → [0, 1) xác đinh bởi T (x) = x là tựa Φ-không giãnnhưng không là không giãn tương đối vì F (T ) ̸= Fix(T )

Định nghĩa 1.11 Tập C ⊆ E được gọi là:

(i) lồi nếu nó chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kì thuộc nó, tức là vớimọi x, y ∈ C và với mọi t ∈ [0, 1] ta có

tx + (1 − t)y ∈ C

(ii) đóng nếu với mọi dãy {ak} trong C mà ak → a thì a ∈ C

Ví dụ 1.14 Cho x∗ ∈ E∗, a ∈ E, ζ ∈ R và số thực r > 0 Khi đó, các tậphợp sau:

(a) Cζ := {x ∈ E : ⟨x, x∗⟩ ≤ ζ} (nửa không gian đóng),

(b) S[a, r] := {x ∈ E : ∥x − a∥ ≤ r} (hình cầu đóng),

là các tập hợp lồi, đóng

Trong khi đó, ta có

(c) int(Cζ) = {x ∈ E : ⟨x, x∗⟩ < ζ} là tập lồi nhưng không đóng,

(d) ∂S[a, r] := {x ∈ E : ∥x − a∥ = r} là tập đóng nhưng không lồi

Định nghĩa 1.12 Cho C là một tập con lồi khác rỗng của không gianBanach E Hàm φ : C → R được gọi là lồi trên C nếu với mọi x, y ∈ C vàvới mọi t ∈ [0, 1] ta có

Định nghĩa 1.13 Cho C là tập con khác rỗng trong không gian Banach E

và φ : C → R ∪ {±∞} là ánh xạ xác định trên C Khi đó, φ được gọi là:(i) nửa liên tục trên tại x ∈ C nếu với mọi dãy {ak} các phần tử trong C

mà ak → x ta đều có

φ(x) ≥ lim sup

k→∞

φ(ak),hoặc tương đương với

φ(x) ≤ lim inf

y→x φ(y)

(iv) nửa liên tục dưới trên C nếu nó nửa liên tục dưới tại mọi điểm x ∈ C

Chú ý 1.7 Một ánh xạ φ : C → R là liên tục nếu nó vừa nửa liên tục trên

và nửa liên tục dưới Nếu φ nửa liên tục dưới tại x ∈ C thì −φ nửa liên tụctrên tại x ∈ C và ngược lại

nếu x ̸= 0

là nửa liên tục trên tại x = 0 nhưng không tồn tại giới hạn trái (khôngliên tục trái) và giới hạn phải

(d) φ(x) = max{m ∈ Z : m ≤ x} là nửa liên tục trên tại mọi x ∈ R

(e) φ(x) = min{m ∈ Z : m ≥ x} là nửa liên tục dưới tại mọi x ∈ R

Bổ đề 1.2 [5] Cho E là không gian Banach lồi đều và trơn Cho C là tậpcon lồi, đóng và khác rỗng của E Cho T là một ánh xạ tựa Φ-không giãn vàđóng từ C vào chính nó Khi đó, Fix(T ) là tập con lồi và đóng của C.

Bổ đề 1.3 [5] Cho E là không gian Banach lồi đều và trơn Cho {xn}, {yn}

là hai dãy các phần tử trong E mà ít nhất một trong hai dãy {xn} và {yn} là

bị chặn Nếu Φ(xn, yn) → 0, thì ∥xn− yn∥ → 0

Chứng minh Vì Φ(xn, yn) → 0 nên {Φ(yn, xn)} bị chặn Do đó, nếu ít nhấtmột trong hai dãy {xn}, {yn} bị chặn thì dãy còn lại trong số chúng cũng bịchặn (theo Nhận xét 1.3) Theo Bổ đề 1.1, tồn tại một hàm lồi, liên tục vàtăng chặt g : [0, ∞) → [0, ∞) mà g(0) = 0 thỏa mãn

g(∥xn− yn∥) ≤ ∥yn+ (xn − yn)∥2 − ∥yn∥2− 2⟨xn− yn, J (yn)⟩

= ∥xn∥2 − ∥yn∥2 − 2⟨xn, J (yn)⟩ + 2∥yn∥2

= ∥xn∥2 − 2⟨xn, J (yn)⟩ + ∥yn∥2

= Φ(xn, yn)

Từ bất đẳng thức trên suy ra rằng, nếu Φ(xn, yn) → 0 thì g(∥xn− yn∥) → 0

Sử dụng tính chất của g ta có điều cần chứng minh

Bổ đề 1.4 [5] Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gianBanach trơn E và x0 ∈ E Khi đó, x = ΠC(x0) nếu và chỉ nếu

Trái lại, với mọi y ∈ C, ta để ý rằng

Φ(y, x) − Φ(x0, x) = ∥y∥2 − 2⟨y, J(x)⟩ + ∥x∥2

− ∥x0∥2 + 2⟨x0, J (x)⟩ − ∥x∥2

= ∥y∥2 − ∥x0∥2− 2⟨y − x0, J (x)⟩

≥ 2⟨y − x0, J (x0)⟩ − 2⟨y − x0, J (x)⟩

= 2⟨y − x0, J (x0) − J (x)⟩ ≥ 0

Điều này suy ra Φ(x0, x) = inf

y∈CΦ(y, x) Đó là điều cần chứng minh

Bổ đề 1.5 [5] Cho E là không gian Banach phản xạ, lồi chặt và trơn Cho

C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của E và x ∈ E Khi đó, ta có

Φ(y, ΠC(x)) + Φ(ΠC(x), x) ≤ Φ(y, x), ∀y ∈ C

Bổ đề 1.6 [5] Cho E là không gian Banach trơn Khi đó, ta có ước lượng

Φ(u, J−1(αJ (x) + (1 − α)J (y)) ≤ αΦ(u, x) + (1 − α)Φ(u, y),

= αΦ(u, x) + (1 − α)Φ(u, y)

Đó là điều cần chứng minh

Bây giờ, chúng ta giả sử song hàm f : C × C → R thỏa mãn các điều kiệntiêu chuẩn dưới đây:

(A1) f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C

(A2) f là đơn điệu, tức là f (x, y) + f (y, x) ≤ 0 với mọi x, y ∈ C

(A3) Với mọi x, y, z ∈ C ta có

lim sup

t↓0

f (tz + (1 − t)x, y) ≤ f (x, y)

(A4) f (x, ·) là hàm lồi và nửa liên tục dưới theo biến thứ hai với mọi x ∈ C

Bổ đề 1.7 [5] Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gianBanach phản xạ, lồi chặt và trơn E Cho f là một song hàm từ C × C vào Rthỏa mãn các điều kiện (A1)-(A4) Cho số thực dương r > 0 và x ∈ E Khi

đó, tồn tại u ∈ C sao cho

f (u, y) + 1

r⟨y − u, J(u) − J(x)⟩ ≥ 0, ∀y ∈ C

Bổ đề 1.8 [5] Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gianBanach phản xạ, lồi chặt và trơn đều E Cho f là một song hàm từ C × Cvào R thỏa mãn các điều kiện (A1)-(A4) Với mọi r > 0 và x ∈ E, địnhnghĩa ánh xạ:

Tr(x) = {u ∈ C : f (u, y) + 1

r⟨y − u, J(u) − J(x)⟩ ≥ 0, ∀y ∈ C}

Khi đó, ta có các khẳng định sau:

(i) Tr là ánh xạ đơn trị

(ii) Tr là ánh xạ không giãn vững, tức là

⟨Tr(x) − Tr(y), J (Tr(x)) − J (Tr(y))⟩ ≤ ⟨Tr(x) − Tr(y), J (x) − J (y)⟩.(iii) Fix(Tr) = EP(f ) := {u ∈ C : f (u, y) ≥ 0, ∀y ∈ C}

(iv) EP(f ) là tập đóng và lồi

Bổ đề 1.9 [5] Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gianBanach phản xạ, lồi chặt và trơn E Cho f là một song hàm từ C × C vào

R thỏa mãn các điều kiện (A1)-(A4) và r > 0 Khi đó, với mọi x ∈ E và

q ∈ Fix(Tr) ta có

Φ(q, Tr(x)) + Φ(Tr(x), x) ≤ Φ(q, x)

Bổ đề 1.10 [5] Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gianBanach phản xạ, lồi chặt và trơn E Cho Θ là một song hàm từ C × C vào

R thỏa mãn các điều kiện (A1)-(A4) Cho Ψ : C → E∗ là ánh xạ đơn điệu

và liên tục Cho φ : C → R là hàm lồi và nửa liên tục dưới Cho r > 0 và

x ∈ E Khi đó, tồn tại u ∈ C sao cho

Θ(u, y) + ⟨Ψ(x), y − u⟩ + φ(y) − φ(u) + 1

r⟨y − u, J(u) − J(x)⟩ ≥ 0, ∀y ∈ C.Chứng minh Ta định nghĩa song hàm f : C × C → R như sau:

f (z, y) = Θ(z, y) + ⟨Ψ(x), y − z⟩ + φ(y) − φ(z), ∀z, y ∈ C (1.6)Theo Bổ đề 1.7, ta chỉ cần chứng tỏ rằng song hàm f thỏa mãn các điều kiện

từ (A1) đến (A4)