Vì tính tiện ích to lớnvà khả năng ứng dụng rộng rãi nên nhiều thuật toán đã được thiết lập để tìmnghiệm của các bài toán nói trên.. Phương pháp kiểuloại này được đề xuất lần đầu bởi Tak
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN TRUNG DŨNG HAI THUẬT TOÁN CHIẾU GIẢI HỆ BÀI TOÁN CÂN BẰNG HỖN HỢP TỔNG QUÁT VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC Hướng dẫn 1: TS Nguyễn Song Hà Hướng dẫn 2: TS Đinh Diệu Hằng THÁI NGUYÊN - 2023 ii LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô Ban Giám hiệu, Khoa Toán-Tin, Phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi và giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Song Hà và TS Đinh Diệu Hằng đã tận tình hướng dẫn và đưa ra những lời khuyên bổ ích giúp em giải quyết được các vấn đề gặp phải, trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn Mặc dù đã có nhiều cố gắng song luận văn khó tránh những thiếu sót nhất định Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý Thầy Cô giáo và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn Em xin chân thành cảm ơn! Tác giả Nguyễn Trung Dũng Mục lục Trang bìa phụ i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt iv Danh sách bảng v Mở đầu 1 Chương 1 Kiến thức cơ sở 3 1.1 Sơ lược về cấu trúc hình học không gian Banach 3 1.2 Phép chiếu tổng quát 6 1.3 Một số loại ánh xạ, hàm số thường dùng 10 1.4 Một số bổ đề bổ trợ 15 Chương 2 Hai thuật toán chiếu giải hệ bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát và bài toán điểm bất động 21 2.1 Mô hình bài toán nghiên cứu 21 2.2 Thuật toán chiếu co hẹp 24 2.3 Thuật toán chiếu lai ghép 33 2.4 Các thử nghiệm số 39 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt E Không gian Banach thực E∗ Không gian đối ngẫu của E E ∗∗ Không gian đối ngẫu thứ hai của E PC (x) Phép chiếu mêtric phần tử x lên tập C ΠC (x) Phép chiếu tổng quát phần tử x lên tập C ak → a Dãy {ak} hội tụ mạnh đến a ak ⇀ a Dãy {ak} hội tụ yếu đến a ∥a∥ Chuẩn của phần tử a ⟨a, x∗⟩ Giá trị của x∗ ∈ E∗ tại a ∈ E J Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E I Ánh xạ đơn vị của E S[a, r] Hình cầu đóng tâm a bán kính r > 0 int(S[a, r]) Phần trong của S[a, r] ∂S[a, r] Biên của S[a, r] S[0, 1] Hình cầu đơn vị của E ∂S[0, 1] Mặt cầu đơn vị của E lim inf xn Giới hạn dưới của dãy {xn} Giới hạn trên của dãy {xn} n→∞ Tập nghiệm của bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát lim sup xn n→∞ GMEP(Θ, Ψ, φ) Fix(T ) Tập điểm bất động của ánh xạ T Danh sách bảng 2.1 Kết quả tính toán số với αn = 1/100 40 2.2 Kết quả tính toán số với αn = 1/1000 40 2.3 Kết quả tính toán số với TOL=10−4, M = N = 100 42 Mở đầu Cho E∗ là không gian đối ngẫu thứ nhất của không gian Banach thực E Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của E Cho j ∈ {1, 2, , M } và i ∈ {1, 2, , N } Giả sử Θj : C × C → R là các song hàm, Ψj : E → E∗ và Ti : C → C là các ánh xạ phi tuyến còn φj : C → R là các hàm số thực Hệ bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát có dạng: M (0.1) Tìm u ∈ GMEP(Θj, Ψj, φj), j=1 trong đó, GMEP(Θj, Ψj, φj) tương ứng là tập nghiệm của bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, đó là tập hợp tất cả các phần tử u ∈ C có tính chất Θj(u, y) + ⟨Ψj(u), y − u⟩ + φj(y) − φ(u) ≥ 0, ∀y ∈ C, với mỗi j = 1, 2, , M Bài toán điểm bất động chung được phát biểu như sau: N (0.2) Tìm u ∈ Fix(Ti), i=1 trong đó, Fix(Ti) = {x ∈ C : Ti(x) = x} lần lượt là tập điểm bất động của các ánh xạ Ti với mỗi i = 1, 2, , N Hai bài toán trên là mô hình tổng quát của nhiều bài toán lí thuyết và thực tiễn quan trọng Chẳng hạn, trong trường hợp M = 1, Bài toán (0.1) không chỉ bao hàm nhiều lĩnh vực lí thuyết đa dạng khác nhau như lí thuyết tối ưu (Θ1 = 0, Ψ1 = 0), bài toán cân bằng (Ψ1 = 0, φ1 = 0), bất đẳng thức biến phân (Θ1 = 0, φ1 = 0), bài toán cân bằng hỗn hợp (Ψ1 = 0), bài toán cân bằng tổng quát (φ1 = 0), bất đẳng thức biến phân hỗn hợp kiểu Browder (Θ1 = 0) mà còn liên hệ chặt chẽ với nhiều bài toán thực tế như khôi phục tín hiệu, xử lí ảnh, xử lí tín hiệu băng tần, kiểm soát năng lượng, phân phối băng thông Bên cạnh đó, trong trường hợp N = 1, Bài toán (0.2) 2 được biết đến là một trong những công cụ rất hữu ích và hiệu quả của toán học Nó cung cấp một nền tảng lí thuyết thống nhất để nghiên cứu và giải quyết nhiều vấn đề nảy sinh một cách tự nhiên trong nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau như vật lí, cơ học, y sinh, kinh tế hay quân sự, (có thể xem [1, 2, 3, 4, 5] cùng tài liệu dẫn để biết thêm chi tiết) Vì tính tiện ích to lớn và khả năng ứng dụng rộng rãi nên nhiều thuật toán đã được thiết lập để tìm nghiệm của các bài toán nói trên Đây cũng là cơ sở quan trọng để đưa các nghiên cứu lí thuyết ứng dụng vào giải quyết các vấn đề trong thực tiễn Năm 2023, Nguyễn Song Hà và Trương Minh Tuyên [5] đã nghiên cứu kết hợp mô hình Bài toán (0.1) và Bài toán (0.2) Đó là bài toán: Tìm u ∈ N M (0.3) Fix(Ti) GMEP(Θj, Ψj, φj) i=1 j=1 Các tác giả đã đề xuất hai thuật toán lặp mới tìm nghiệm của Bài toán (0.3) Thuật toán thứ nhất sử dụng phương pháp chiếu co hẹp Phương pháp kiểu loại này được đề xuất lần đầu bởi Takahashi và đồng sự năm 2008 trong [9] Trong khi đó, thuật toán thứ hai sử dụng phương pháp chiếu lai ghép, được giới thiệu đầu tiên bởi Haugazeau năm 1968 trong [6] Điểm nổi bật là hai thuật toán đó có thể tính toán song song và có thể ứng dụng giải các bài toán đã đề cập ở trên như một trường hợp riêng Theo đó, mục đích chính của luận văn là trình bày lại có hệ thống về các kết quả công bố trong [5] Với mục tiêu như vậy, cấu trúc luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo Chương 1 dùng để sơ lược những kiến thức cơ bản về giải tích hàm và giải tích lồi trong không gian Banach Chương 2 dành để giới thiệu chi tiết nội dung, sự hội tụ mạnh của hai thuật toán chiếu nêu trên cùng các kết quả tính toán thử nghiệm số Chương 1 Kiến thức cơ sở Trong chương này, chúng tôi hệ thống lại một số kiến thức cơ bản phục vụ cho việc trình bày các nội dung chính ở phần sau của luận văn Cấu trúc của chương được chia thành bốn phần: Mục 1.1 chúng tôi trình bày sơ lược về cấu trúc hình học các không gian Banach Mục 1.2 dành để nhắc lại các khái niệm và tính chất thường dùng về phép chiếu tổng quát Một số khái niệm cơ bản về ánh xạ đơn điệu, liên tục và không giãn được chi tiết trong Mục 1.3 Phần cuối chương, Mục 1.4 nhắc lại một số bổ đề thường dùng trong các ước lượng hoặc chứng minh Nội dung phần này chủ yếu tham khảo từ [2, 3, 5] 1.1 Sơ lược về cấu trúc hình học không gian Banach Cho E là không gian Banach thực, E∗ và E∗∗ lần lượt là không gian đối ngẫu thứ nhất và thứ hai của E Nếu không sợ nhầm lẫn thì chuẩn trên các không gian này đều được viết là ∥ · ∥ Định nghĩa 1.1 Không gian Banach E được gọi là: (i) lồi chặt nếu với hai phần tử phân biệt a, b ∈ ∂S[0, 1] bất kì ta đều có ∥(1 − t)a + tb∥ < 1, ∀t ∈ (0, 1) (ii) lồi đều nếu với mọi 0 < ε ≤ 2 và với mọi phần tử a, b ∈ E có tính chất ∥a∥ ≤ 1, ∥b∥ ≤ 1, ∥a − b∥ ≥ ε thì tồn tại một số δ = δ(ϵ) > 0 sao cho a+b ≤ 1 − δ 2 (iii) trơn nếu với mỗi a ∈ ∂S[0, 1] tồn tại duy nhất một phiếm hàm x∗ ∈ E∗ có tính chất ⟨a, x∗⟩ = ∥a∥ và ∥x∗∥ = 1 (iv) trơn đều nếu với mỗi ε > 0 cho trước, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi a ∈ S[0, 1] và b ∈ S[0, δ] thì bất đẳng thức sau bảo đảm ∥a + b∥ + ∥a − b∥ − 1 < ε∥b∥ 2 4 Mệnh đề 1.1 [1, 2] Ta có các khẳng định sau: (i) Không gian Banach lồi đều là lồi chặt (ii) Không gian Banach trơn đều là trơn Chú ý 1.1 Mọi không gian Hilbert thực đều là lồi đều [1, 2] và vì thế cũng là lồi chặt Chú ý 1.2 Mọi không gian Hilbert thực đều là trơn đều [1, 2] và vì thế cũng là trơn Ví dụ 1.1 Ta có n 1 2 (a) Không gian Rn với chuẩn ∥x∥ = xi2 là không gian trơn đều và i=1 lồi đều Tuy nhiên, nếu xét với chuẩn ∥x∥ = max {|xi|} thì nó không lồi 1≤i≤n chặt và cũng không lồi đều (b) Không gian lp các dãy số thực khả tổng bậc 1 < p < ∞ là không gian Hibert khi và chỉ khi p = 2 (xem [1, 2]) Do đó, l2 là không gian lồi đều, trơn đều, trơn và lồi chặt (c) Không gian l∞ các dãy số thực bị chặn không lồi đều nên cũng không lồi chặt Chẳng hạn, trong l∞ ta lấy hai phần tử a = (1, 1, 1, 0, , 0) và b = (1, 1, −1, 0, , 0) Khi đó, ta có a̸ = b, ∥a∥ = ∥b∥ = 1 và ∥a − b∥ = 2 > 1 = ε nhưng a+b = 1 > 1 − δ, ∀δ > 0 2 (d) Không gian Lp[a, b] các hàm số khả tích bậc 1 < p < ∞ trên [a, b] ⊂ R là các không gian Banach trơn Các không gian Banach c0, l1, L1[a, b] và l∞ là không trơn Định nghĩa 1.2 Hàm δE(ε) : [0, 2] → [0, 1] được gọi là môđun lồi của E nếu a+b δE(ε) = inf 1 − 2 : ∥a∥ ≤ 1, ∥b∥ ≤ 1, ∥a − b∥ ≥ ε Chú ý 1.3 [1, 2] Ta có δE(0) = 0 và δE(t) ≥ 0 với mọi t ≥ 0 Hơn nữa, môđun lồi của không gian Banach E là hàm số xác định, liên tục và tăng trên đoạn [0, 2] 5 Định nghĩa 1.3 Hàm ρE : R+ → R+ được gọi là môđun trơn của E nếu ρE(t) = sup ∥a + b∥ + ∥a − b∥ − 1 : ∥a∥ = 1, ∥b∥ = t 2 = sup ∥a + tb∥ + ∥a − tb∥ − 1 : ∥a∥ = ∥b∥ = 1 , t ≥ 0 2 Chú ý 1.4 [1, 2] Ta có ρE(0) = 0 và ρE(t) ≥ 0 với mọi t ≥ 0 Hơn nữa, môđun trơn của không gian Banach E là hàm lồi, tăng và liên tục Ví dụ 1.2 Cho H là không gian Hilbert thực Ta có (a) δH(ε) = 1 − ε2 1 − , ε ∈ (0, 2] 4 (b) ρH(t) = 1 + t2 − 1 Mệnh đề 1.2 [1, 2] Ta có các khẳng định sau: (i) Không gian Banach E lồi đều nếu và chỉ nếu δE(ε) > 0 với mọi ε > 0 (ii) Không gian Banach E lồi chặt nếu và chỉ nếu δE(2) = 1 (ii) Không gian Banach trơn đều nếu và chỉ nếu ρE(t)/t → 0 Định nghĩa 1.4 Chuẩn của E được gọi là: (i) khả vi Gâteaux tại điểm s ∈ ∂S[0, 1] nếu với mỗi y ∈ ∂S[0, 1] đều tồn tại giới hạn lim ∥s + λy∥ − ∥s∥ := ⟨y, ∇∥s∥⟩ λ→0 λ Ta gọi ∇∥s∥ là gradient của hàm chuẩn ∥x∥ tại x = s (ii) khả vi Gâteaux nếu nó khả vi Gâteaux tại mọi điểm của ∂S[0, 1] (iii) khả vi Gâteaux đều nếu với mỗi y ∈ ∂S[0, 1] giới hạn trên tồn tại đều theo x ∈ ∂S[0, 1] Ví dụ 1.3 Chuẩn trên không gian Hilbert thực H là khả vi Gâteaux tại mọi x x̸ = 0 và ∇∥x∥ = ∥x∥ Mệnh đề 1.3 [1, 2] Không gian Banach E trơn khi và chỉ khi chuẩn của E là khả vi Gâteaux trên E\{0}