TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅCNGUYN TRUNG THPHAI PH×ÌNG PHP CHIUGII BI TON BAO HM BIN PH NTRONG KHÆNG GIAN HILBERT... Tr÷ìng Minh Tuy¶n, TS... khæng ph£i lóc n o công hëi tö m¤nh trong
Mởt số °c trững cừa khổng gian Hilbert
Ta luổn giÊ thiát H l khổng gian Hilbert thỹc vợi tẵch vổ hữợng ữủc kẵ hiằu l h., i v chuân ữủc kẵ hiằu l k.k.
Trữợc hát, ta nhưc lÔi mởt °c trững hẳnh hồc quan trồng cừa khổng gian Hilbert.
Mằnh ã 1.1.1 Trong khổng gian Hilbert thỹc H ta luổn cõ ¯ng thực sau i) kx−yk 2 +kx−zk 2 =ky−zk 2 + 2hx−y, x−zi, vợi mồi x, y, z ∈H. ii) kλx+ (1−λ)yk 2 =λkxk 2 + (1−λ)kyk 2 −λ(1−λ)kx−yk 2 vợi mồix, y ∈H v mồi λ∈ [0,1].
Chựng minh i) Thêt vêy, ta cõ ky−zk 2 + 2hx−y, x−zi=hy, yi+hz, zi+ 2hx, xi −2hx, zi −2hx, yi
= [hx, xi −2hx, yi+hy, yi]
+ [hx, xi −2hx, zi+hz, zi]
=kx−yk 2 +kx−zk 2 ii) Ta câ kλx+ (1−λ)yk 2 =λ 2 kxk 2 + 2λ(1−λ)hx, yi+ (1−λ) 2 kyk 2
=λkxk 2 + (1−λ)kyk 2 −λ(1−λ)(kxk 2 −2hx, yi+kyk 2 )
Mằnh ã 1.1.2 Cho H l mởt khổng gian Hilbert thỹc Khi õ, náu vợi x, y ∈H thọa mÂn iãu kiằn
|hx, yi|= kxk.kyk, tực l bĐt ¯ng thực Schwars xÊy ra dĐu bơng thẳ hai v²c tỡ x v y l phử thuởc tuyán tẵnh.
Chựng minh GiÊ sỷ ngữủc lÔi rơng x6=λy vợi mồiλ ∈R Khi õ, tứ tẵnh chĐt cừa tẵch vổ hữợng, ta cõ
0 m.
GiÊ sỷ x 1 l nghiằm cừa phữỡng trẳnh A(x) = m, tực l A(x 1 ) = m Khi õ, x 1 > x 0 Theo ành lỵ giĂ trà trung bẳnh, tỗn tÔi x 2 ∈ (x 0 , x 1 ) sao cho n = A(x 2 ) ∈ (A(x 0 ), m) Tứ (x 0 , m) ∈ G(B) v (x 2 , A(x 2 )) ∈ G(A) ⊂ G(B), suy ra
Vẳ x 0 < x 2 , nản A(x 2 ) ≥ m, iãu n y mƠu thuăn vợi A(x 2 ) ∈ (A(x 0 ), m) Nhữ vêy, khổng thº xÊy ra trữớng hủp A(x 0 ) < m.
Vêy khổng tỗn tÔi toĂn tỷ ỡn iằu B trản R sao cho ỗ thà cừa B chựa thỹc sỹ ỗ thà cừa A Do õ, A l mởt toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi trản R.
0, náu x 0, ð Ơy R(I +λA) l miãn Ênh cừa I +λA.
Tứ chú ỵ trản ta cõ mởt vẵ dử khĂc dữợi Ơy vã toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi:
Vẵ dử 1.4.7 Cho T : H −→ H l mởt Ănh xÔ khổng giÂn Khi õ A=I −T l mởt toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi, ð Ơy I l Ănh xÔ ỗng nhĐt trản H.
Thêt vêy, vợi mồi x, y ∈H, ta cõ hA(x)−A(y), x−yi=kx−yk 2 − kT x−T yk 2 ≥0, suy ra A l mởt toĂn tỷ ỡn iằu.
Tiáp theo, ta ch¿ ra tẵnh cỹc Ôi cừa A Vợi mội λ > 0 v mội y ∈ H, x²t phữỡng trẳnh λA(x) +x=y (1.4)
Phữỡng trẳnh trản tữỡng ữỡng vợi x= 1
1 +λ(λT x+y), vợi mồi x ∈ H Dạ thĐy, f l Ănh xÔ co vợi hằ số co l λ
1 +λ ∈ (0,1) Do â, theo nguyản lỵ Ănh xÔ co Banach, phữỡng trẳnh (1.5) cõ duy nhĐt nghiằm Suy ra, phữỡng trẳnh (1.4) cõ duy nhĐt nghiằm.
Vêy A l mởt toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi. ành nghắa 1.4.8 Cho A : H −→ 2 H l mởt toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi Khi õ, Ănh xÔ J r A = (I +rA) −1 , r > 0 ữủc gồi l giÊi cừa A.
Chú ỵ 1.4.9 i) GiÊiJ r A cừa toĂn tỷ ỡn iằu cỹc ÔiA l mởt Ănh xÔ ỡn trà, khổng giÂn v A(x) 30 khi v ch¿ khi J r A (x) =x;
Thêt vêy, giÊ sỷ tỗn tÔi x ∈ H sao cho J r A (x) nhên ẵt nhĐt hai giĂ trà y v z Tứ ành nghắa cừa toĂn tỷ giÊi, suy ra x−y ∈rA(y), x−z ∈rA(z).
Tứ tẵnh ỡn iằu cừa A, suy ra h(x−y)−(x−z), y−zi ≥0.
Suy ra, ky−zk 2 ≤0 Do õ, y =z Vêy J r A l mởt Ănh xÔ ỡn trà.
Tiáp theo, ta ch¿ ra J r A l mởt Ănh xÔ khổng giÂn Vợi mồi x, y ∈ H, °t z1 =J r A (x) v z2 =J r A (y), tùc l x−z 1 ∈ rA(z 1 ), y−z 2 ∈rA(z 2 ).
Tứ tẵnh ỡn iằu cừa A, ta cõ hx−z 1 −y+z 2 , z 1 −z 2 i ≥0.
Suy ra kz 1 −z 2 k 2 ≤ hx−y, z 1 −z 2 i ≤ kx−yk.kz 1 −z 2 k.
Do õ, kz 1 −z 2 k ≤ kx−yk, hay J r A l mởt Ănh xÔ khổng giÂn.
GiÊ sỷ, x=J r A (x) iãu n y tữỡng ữỡng vợi x∈x+rA(x) hay A(x) 30. ii) Vợi mồi số dữỡng λ v à, ta luổn cõ ¯ng thực sau
Tứ tẵnh ỡn iằu cừa A, suy ra hàx+ (λ−à)z−λy −àx+àz, y−zi ≥0, tữỡng ữỡng vợi −λky − zk 2 ≥ 0 Suy ra, y = z v do õ ta ữủc iãu phÊi chùng minh.
Mằnh ã 1.4.10 Cho H l mởt khổng gian Hilbert v A : H −→ 2 H l mởt toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi vợi A −1 0 6= ∅ v cho J r A l toĂn tỷ giÊi cừa A vợi r > 0 Khi õ, vợi mồi r, λ >0, ta cõ
1 λkJ r A x−J λ A J r A xk ≤ 1 rkx−J r A xk, vợi mồi x∈D(A).
Chùng minh Theo Chó þ 1.4.9, ta câ
Do õ, tứ tẵnh khổng giÂn cừa J λ A (xem Chú ỵ 1.4.9), ta cõ
Mằnh ã ữủc chựng minh. ành nghắa 1.4.11 ToĂn tỷA : H → H ữủc gồi l α-ỡn iằu mÔnh ngữủc vợi α > 0 náu hx−y, Ax−Ayi ≥ αkAx−Ayk 2 ,vợi mồi x, y ∈H.
Phữỡng phĂp iºm gƯn kã quĂn tẵnh
Trữợc hát, chúng tổi trẳnh b y phữỡng phĂp iºm gƯn kã cho phữỡng trẳnh vợi toĂn tỷ ỡn iằu X²t b i toĂn
X¡c ành ph¦n tû x ∗ ∈ D(A) sao cho A(x ∗ ) 30, (1.7) vợi A : D(A) ⊂E −→ 2 E l mởt toĂn tỷ m-j-ỡn iằu.
Khi A l m-j-ỡn iằu trong khổng gian Hilbert H, nghắa l A l toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi, thẳ Rockafellar R T [14]  x²t phữỡng phĂp l°p c n Ax n+1 +x n+1 3x n , x 0 ∈H, (1.8) ð Ơy c n > c 0 >0 v gồi l phữỡng phĂp iºm gƯn kã Rockafellar cụng  ch¿ ra sỹ hởi tử yáu cừa dÂy l°p {x n } xĂc ành bði (1.8) vã mởt nghiằm cừa b i to¡n (1.7).
Chú ỵ 1.5.1 Phữỡng phĂp iºm gƯn kã ữủc Martinet B ã xuĐt lƯn Ưu tiản trong t i liằu [10] cho b i toĂn cỹc tiºu phiám h m lỗi, chẵnh thữớng v nỷa liản tửc dữợi ψ : H −→ R∪ {+∞} ð dÔng sau: x n+1 =argminy∈H ψ(y) + 1
Nôm 1991, Guler [8] Â xƠy dỹng mởt vẵ dử º ch¿ ra phữỡng phĂp l°p (1.8) khổng phÊi lúc n o cụng hởi tử mÔnh trong trữớng hủp tờng quĂt Mởt vẵ dử g¦n ¥y cõa c¡c t¡c gi£ Bauschke H H., Matouˇskov´a E v Reich S [4] công ch¿ ra rơng dÂy l°p {x n }xĂc ành bði (1.8) ch¿ hởi tử yáu m khổng hởi tử theo chuân Nôm 2001, Attouch H v Alvarez F [2] Â x²t mởt mð rởng cừa phữỡng phĂp iºm gƯn kã (1.8) ð dÔng c n A(x n+1 ) +x n+1 −x n 3γ n (x n −x n−1 ), x 0 , x 1 ∈H (1.10) v gồi l phữỡng phĂp iºm gƯn kã quĂn tẵnh, ð Ơy {c n } v {γ n } l hai dÂy số khổng Ơm Tuy nhiản, ngữới ta cụng ch¿ thu ữủc sỹ hởi tử yáu cừa dÂy l°p{x n } xĂc ành bði (1.10) vã mởt nghiằm cừa b i toĂn (1.7) trong khổng gianHilbert Kát quÊ cừa Attouch H v Alvarez F ữủc cho bði ành lẵ dữợi Ơy: ành lỵ 1.5.2 [2] Cho H l mởt khổng gian Hilbert v cho {x n } ⊂ H l mởt dÂy ữủc xĂc ành bði x n+1 = J λ A n x n +α n (x n −x n−1 )
, n= 1,2, (1.11) ð Ơy A : H −→ 2 H l mởt toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi vợi S = A −1 (0) 6= ∅ v cĂc tham số α n , λ n thọa mÂn cĂc iãu kiằn: i) Tỗn tÔi số λ > 0 sao cho λ n ≥λ, ∀n ≥ 1, ii) Tỗn tÔi α∈ [0,1) sao cho 0≤α n ≤α, ∀n≥ 1.
Náu iãu kiằn sau ữủc thọa mÂn
X n=1 α n kx n −x n−1 k 2 0, α n ∈ [0,1) v ∂ ε n f(x) l ε n -xĐp x¿ dữợi vi phƠn cừa h m lỗi f xĂc ành bði
∂ ε n f(x) ={u∈ H : f(y)−f(x)− hu, y−xi ≥ −ε n }. ặng  ch¿ ra rơng, náu cĂc dÂy số {λ n }, {α n }v {ε n } thọa mÂn cĂc iãu kiằn
0 ≤ α n ≤ 1, dÂy {λ n } bà ch°n dữợi bði mởt hơng số dữỡng, dÂy {α n /λ n } ỡn iằu giÊm v P∞ n=0λ n ε n 0 thẳ dÂy l°p {x n } xĂc ành bði (1.15) hởi tử mÔnh vã P A −1 0 x 0
Phữỡng phĂp chiáu thu hàp
Nôm 2008, Takahashi v cĂc cởng sỹ [15] Â ã xuĐt phữỡng phĂp l°p sau º tẳm iºm bĐt ởng cừa Ănh xÔ khổng giÂn T trản têp con lỗi õng C cừa khổng gian Hilbert H
Hồ Â ch¿ ra rơng dÂy l°p {x n } hởi tử mÔnh vã P F (T ) x 0 , khi {α n } ⊂ [0, a], vợi a∈ [0,1) Ngo i ra, hồ cụng ữa ra mởt phữỡng phĂp l°p tữỡng tỹ º tẳm khổng iºm cừa toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi A : H −→ 2 H , nhữ sau:
Náu {α n } ⊂ [0, a], vợi a ∈ [0,1) v r n → ∞, thẳ dÂy {x n } xĂc ành bði (1.17) hởi tử mÔnh vã P A −1 0 x 0
Mởt số bờ ã bờ trủ
Bờ ã 1.7.1 Cho A : D(A) ⊂ H −→ 2 H l mởt toĂn tỷ ỡn iằu Khi õ cĂc kh¯ng ành sau l óng. i) Vợi r≥ s >0, ta cõ kx−J s A xk ≤2kx−J r A xk vợi mồi x∈R(I H +rA)∩R(I H +sA). ii) Vợi mồi r >0 v mồi x, y∈ R(I H +rA), ta cõ hx−y, J r A x−J r A yi ≥ kJ r A x−J r A yk 2 iii) Vợi mồi r >0 v mồi x, y∈ R(I H +rA), ta cõ h(I H −J r A )x−(I H −J r A )y, x−yi ≥ k(I H −J r A )x−(I H −J r A )yk 2 iv) Náu S =A −1 (0) 6=∅, thẳ vợi mồi x ∗ ∈S v x∈R(I H +rA), ta cõ kJ r A x−x ∗ k 2 ≤ kx−x ∗ k 2 − kx−J r A xk 2 Chựng minh i) Tứ ¯ng thực (1.6), ta nhên ữủc kx−J s A (x)k ≤ kx−J r A (x)k+kJ r A (x)−J s A (x)k
≤ 2kx−J r A (x)k. ii) °t u =J r A x v v =J r A y Khi â, ta câ x∈ u+rA(u) v y ∈v+rA(v) Do õ, tứ tẵnh ỡn iằu cừa A, ta thu ữủc
Vẳ vêy, ta cõ hx−y, u−vi ≥ ku−vk 2 , tùc l , hx−y, J r A x−J r A yi ≥ kJ r A x−J r A yk 2 iii) Ta câ h(I H −J r A )x−(I H −J r A )y, x−yi
= k(I H −J r A )x−(I H −J r A )yk 2 +hx−y, J r A x−J r A yi − kJ r A x−J r A yk 2
Tứ ii) suy ra h(I H −J r A )x−(I H −J r A )y, x−yi ≥ k(I H −J r A )x−(I H −J r A )yk 2 iv) Vẳ x ∗ ∈A −1 (0), nản x ∗ ∈F(J r A ) Do õ, tứ iii) ta cõ kJ r A x−x ∗ k 2 = kJ r A x−x+x−x ∗ k 2
≤ kx−x ∗ k 2 +kx−J r A xk 2 −2kx−J r A xk 2
Bờ ã 1.7.2 (xem [7]) GiÊ sỷ T l mởt Ănh xÔ khổng giÂn tứ têp con lỗi, õng v khĂc rộng C cừa khổng gian Hilbert thỹc H v o chẵnh nõ Náu T cõ iºm bĐt ởng, thẳ I H −T l nỷa õng, tực l náu {x n } l mởt dÂy trong C hởi tử yáu vã phƯn tỷ x∈C v dÂy {(I H −T)x n } hởi tử mÔnh vã phƯn tỷ y, thẳ ta cõ (I H −T)x =y.
Chựng minh GiÊ sỷx−T x6=y Vẳx n * x, nảnx n −y * x−y Dox−y 6=T x, nản tứ Mằnh ã 1.1.3, ta cõ lim inf n→∞ kx n −xk0, ta ành nghắa
T τ =J τ B (I −τ A) = (I +τ B) −1 (I −τ A), khi õ, ta cõ cĂc kh¯ng ành dữợi Ơy.
(ii) Vợi 0< s≤ τ v x∈ H, ta cõ kx−T s xk ≤ 2kx−T τ xk.
Chùng minh (i) Ta câ x ∈ F(Tτ) khi v ch¿ khi J τ B (I −τ A)x = x hay t÷ìng ữỡng vợi x−τ Ax∈x+τ Bx, tực l 0∈τ(Ax+Bx) hay x∈ (A+B) −1 0. (ii) Vợi mồi τ ≥ s >0, tứ ành nghắa cừa T τ v T s , ta cõ x−T τ x τ −Ax ∈B(T τ x),x−T s x s −Ax ∈B(T s x).
Tứ tẵnh ỡn iằu cừa B, ta nhên ữủc hx−T s x s − x−T τ x τ , T s x−T τ xi ≥0.
Suy ra kT s x−T τ xk 2 ≥ (1− s τ)kT s x−T τ xkkx−T τ xk v do õ ta nhên ữủc kT s x−T τ xk ≤ (1− s τ)kx−T τ xk.
Tứ õ, ta cõ kx−T s xk ≤ kx−T τ xk+kT s x−T τ xk
Bờ ã 1.7.4 Cho H l mởt khổng gian Hilbert thỹc, A : H →H l mởt toĂn tỷ α-ỡn iằu mÔnh ngữủc v B : H → 2 H l mởt toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi. Khi õ, vợi mội τ >0, ta cõ kT τ x−T τ yk 2 ≤ kx−yk 2 −τ(2α−τ)kAx−Ayk 2 ,vợi mồi x, y∈ H.
Chựng minh Vợi mồi x, y∈ H, ta cõ kT τ x−T τ yk 2 =kJ r B (I −τ A)x−J r B (I −τ A)yk 2
=kx−yk 2 −2τhx−y, Ax−Ayi+τ 2 kAx−Ayk 2
≤ kx−yk 2 −2τ αkAx−Ayk 2 +τ 2 kAx−Ayk 2
Hai phữỡng phĂp chiáu giÊi b i toĂn bao h m bián ph¥n 25
B i toĂn bao h m bián phƠn
Trong chữỡng n y, chúng ta x²t b i toĂn sau: Tẳm mởt phƯn tỷ x˜ ∈ H sao cho
0∈ A˜x+Bx,˜ (2.1) trong õ A : H → H v B : H → 2 H lƯn lữủt l cĂc toĂn tỷ ỡn trà v a trà trản khổng gian Hilbert thỹc H.
Mởt trong nhỳng phữỡng phĂp phờ bián º xĐp x¿ nghiằm cừa B i toĂn (2.1) l phữỡng phĂp phƠn r tián-lũi, phữỡng phĂp n y ữủc xĂc ành nhữ sau: LĐy b§t ký x 1 ∈H v x¥y düng d¢y l°p {x n } bði x n+1 = (I +τ B) −1 (x n −τ Ax n ), n ≥ 1, (2.2) trong â τ >0.
Nôm 1979, Lions v Mercier [9]  ã xuĐt cĂc phữỡng phĂp l°p phƠn r sau: x n+1 = (2J τ A −I)(2J τ B −I)x n , n ≥1 (2.3) v x n+1 =J τ A (2J τ B −I)x n + (I −J τ B )x n , n ≥ 1, (2.4) trong õ J τ S = (I + τ S) −1 Phữỡng phĂp l°p (2.3) ữủc gồi l thuêt toĂn Peaceman-Rachford [13] v phữỡng phĂp (2.4) ữủc gồi l thuêt toĂn Douglas- Rachford [6] Trong trữớng hủp tờng quĂt thẳ cĂc thuêt toĂn trản ch¿ cho sỹ hởi tử yáu.
Dong v cởng sỹ [5] Â ã xuĐt v nghiản cựu sỹ hởi tử mÔnh cừa phữỡng phĂp tián-lũi quĂn tẵnh, cử thº nhữ sau: ChoA : H → H l mởt toĂn tỷα-ỡn iằu mÔnh ngữủc v B : H → 2 H l mởt toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi sao cho (A+B) −1 (0) 6= ∅ Let {α n } l mởt dÂy số thỹc v {x n } ∈ H l dÂy ữủc xĂc ành bði x ◦ , x 1 ∈ H v
Thuêt toĂn chiáu thu hàp
Cho H l mởt khổng gian Hilbert thỹc Cho A : H → H l toĂn tỷ α- ỡn iằu mÔnh ngữủc, B : H → 2 H l mởt toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi GiÊ sỷ
Tẳm mởt phƯn tỷ x trong Ω (2.6)
Trữợc hát, luên vôn ã cêp án mởt phữỡng phĂp chiáu thu hàp ữủc ã xuĐt bði Tuyen T.M v trong t i liằu [16] Cho trữợc cĂc dÂy số thỹc {α n }, {β n } v {γ n } Ta xĂc ành dÂy {x n } bði thuêt toĂn dữợi Ơy.
Thuêt toĂn 2.2.1 (Thuêt toĂn chiáu thu hàp) LĐy bĐt ký cĂc phƯn tỷ ban ¦u x 0 , x 1 ∈C 1 =H.
Sỹ hởi tử mÔnh cừa Thuêt toĂn 2.2.1 ữủc cho bði ành lỵ dữợi Ơy. ành lþ 2.2.2 Gi£ sû {α n }, {β n } l c¡c d¢y bà ch°n, {γ n } l d¢y trong (0,1] v {τ n } l mởt dÂy cĂc số thỹc dữỡng sao cho cĂc iãu kiằn sau úng:
Khi õ, dÂy {x n } xĂc ành bði Thuêt toĂn 2.2.1 hởi tử mÔnh vã Θ =P Ω (x 1 ).Chựng minh Ta chia chựng minh cừa ành lỵ n y th nh 5 bữợc, cử thº nhữ sau.
Bữợc 1 Ta ch¿ ra P C n+1 x 1 l ho n to n xĂc ành vợi mội x 1 ∈H v Ω⊂ C n+1 vợi mồi n ≥ 0.
Tứ iãu kiằn (ii) v Bờ ã 1.7.4 suy ra T τ n = (I +τ n B) −1 (I −τ n A) l mởt Ănh xÔ khổng giÂn Do õ, tứ Bờ ã 1.7.3, ta cõ Ω l mởt têp hủp lỗi v õng.
Tứ Mằnh ã 1.2.3, dạ thĐy C n+1 l têp hủp lỗi v õng vợi mồi n ≥1.
=kx n −pk 2 −2α n hx n −p, x n−1 −x n i+α 2 n kx n−1 −x n k 2 , (2.7) t÷ìng tü, ta công câ kυ n −pk 2 =kx n −pk 2 −2β n hx n −p, x n−1 −x n i+β n 2 kx n−1 −x n k 2 (2.8) Hỡn nỳa, tứ Mằnh ã 1.1.1 ii) v Bờ ã 1.7.4, ta nhên ữủc kà n −pk 2 (1−γ n )ω n +γ n (I +τ n B) −1 (υ n −τ n Aυ n )−p
≤ (1−γ n )kω n −pk 2 +γ n kυ n −pk 2 (2.9) p dửng (2.7) v (2.8) trong (2.9) v sỷ dửng iãu kiằn (ii) cừa ành lỵ 2.2.2, ta thu ữủc kà n −pk 2 ≤ (1−γ n ) kx n −pk 2 −2α n hx n −p, x n−1 −x n i+α 2 n kx n−1 −x n k 2 +γ n kx n −pk 2 −2β n hx n −p, x n−1 −x n i+β n 2 kx n−1 −x n k 2
Hiºn nhiản Ω⊂C 1 =H GiÊ sỷ Ω⊂ C n vợi n≥ 1n o õ Khi õ p∈ C n v tứ(2.10) suy ra p ∈ C n+1 vợi mồi n ≥ 1 Do õ Ω ⊂ C n+1 vợi mồi n ≥ 1, tực l ,
Bữợc 2 Ta ch¿ ra dÂy {x n } bà ch°n.
Vẳ Ω l mởt têp con lỗi, õng v khĂc rộng cừa H, nản tỗn tÔi duy nhĐt mởt phƯn tỷ u ∈ Ω sao cho u = P Ω x 1 Tứ x n = P C n x 1 ∈ C n , C n+1 ⊂ C n v x n+1 ∈C n vợi mồi n ≥1, ta nhên ữủc kx n −x 1 k ≤ kx n+1 −x 1 k, vợi mồi n ≥1 (2.11) Ngo i ra, vẳ Ω ⊂C n , nản ta cõ kx n −x 1 k ≤ ku−x 1 k, for all n ≥ 1 (2.12)
Tứ (2.11) v (2.12), suy ra tỗn tÔi giợi hÔn hỳu hÔn lim n→∞ kx n −x 1 k v dÂy {x n } bà ch°n.
Bữợc 3 Ta ch¿ ra x n → Θ∈H khi n → ∞.
Vợi mồim > n, tứ ành nghắa cừa têp hủpC n , ta cõx m =P C m x 1 ∈C n ⊂ C m p dửng Hằ quÊ 1.3.6, ta nhên ữủc kx m −xnk 2 ≤ kx m −x1k 2 − kx n −x1k 2
Tứ Bữợc 2, suy ra kx m −x n k 2 → 0 khi m, n → ∞ Do vêy {x n } l mởt dÂy Cauchy Tứ õ, suy ra xn → Θ khi n → ∞ °c biằt, ta cỏn cõ n→∞lim kx n+1 −x n k= 0 (2.13)
Tứ tẵnh bà ch°n cừa cĂc dÂy số {α n }, {β n } v (2.13) suy ra kω n −x n k= |α n | kx n −x n−1 k →0 khi n → ∞ (2.14) kυ n −x n k= |β n | kx n −x n−1 k →0 khi n → ∞ (2.15)
Tứ (2.13), (2.14) v (2.15), ta cõ kx n+1 −ω n k ≤ kx n+1 −x n k+kω n −x n k →0 khi n → ∞, (2.16) v kx n+1 −υ n k ≤ kx n+1 −x n k+kυ n −x n k →0khi n→ ∞ (2.17)
Vẳ x n+1 ∈C n , nản ta nhên ữủc kà n −x n+1 k ≤ kx n −x n+1 k 2 −2(α n (1−γ n ) +γ n β n )hx n −x n+1 , x n−1 −x n i
Do õ, tứ tẵnh bà ch°n cừa cĂc dÂy số {α n }, {β n } v {γ n }, v (2.13), (2.18), ta câ kà n −x n+1 k →0 (2.19)
Sỷ dửng (2.13), (2.19), (2.16), (2.17) v cĂc Ănh giĂ dữợi Ơy kà n −x n k ≤ kà n −x n+1 k+kx n −x n+1 k, kà n −ω n k ≤ kà n −x n+1 k+kω n −x n+1 k, kà n −υ n k ≤ kà n −x n+1 k+kυ n −x n+1 k, ta thu ữủc kà n −x n k →0,kà n −ω n k →0,kà n −υ n k →0 (2.20) B¥y gií, ta câ kT τ n υ n −υ n k
Tứ iãu kiằn (i) v (2.20) ta suy ra n→∞lim kT τ n υ n −υ n k= 0 (2.21) Vẳinf n→∞ τ n >0, nản tỗn tÔiε > 0sao choτ n ≥ εv ε∈ (0,2α) vợi mồi n≥ 1. p dửng Bờ ã 1.7.3 (ii) v (2.21), ta cõ kT ε υ n −υ n k ≤2kT τ n υ n −υ n k →0 khi n → ∞ (2.22)
Tứ (2.20) v vẳ x n → Θ, ta cụng cõ υ n → Θ Do T ε l Ănh xÔ khổng giÂn, nản
T ε l mởt Ănh xÔ liản tửc Do õ, tứ (2.22) v υ n →Θ, suy ra Θ ∈Ω.
Vẳ x n = P C n x 1 , v Ω⊂C n , nản ta cõ hx 1 −x n , x n −pi ≥0, ∀p∈Ω (2.23) Trong (2.23) cho n→ ∞, ta nhên ữủc hx 1 −Θ,Θ−pi ≥ 0, ∀p∈Ω. iãu n y chựng tọ rơng Θ =P Ω x 1 ành lỵ ữủc chựng minh.
Thuêt toĂn chiáu lai gh²p
Trong mửc n y, luên vôn ã cêp án phữỡng phĂp chiáu lai gh²p ữủc ã xuĐt bði Tuyen T.M v cởng sỹ trong t i liằu [16] º giÊi B i toĂn (2.6).
Thuêt toĂn 2.3.1 (Thuêt toĂn chiáu lai gh²p) Cho{α n }, {β n }v {γ n }l cĂc d¢y sè thüc L§y c¡c ph¦n tû ban ¦u x 0 , x 1 ∈ H.
C n = {p∈ H : kà n −pk 2 ≤ kx n −pk 2 −2(α n (1−γ n ) +γ n β n )hx n −p, x n−1 −x n i + (α 2 n (1−γ n ) +γ n β n 2 )kx n−1 −x n k 2 },
Sỹ hởi tử mÔnh cừa Thuêt toĂn 2.3.1 ữủc cho trong ành lỵ sau. ành lỵ 2.3.2 GiÊ sỷ {α n }, {β n } l cĂc dÂy bà ch°n, {γ n } l mởt dÂy trong
(0,1] v {τ n } l mởt dÂy cĂc số thỹc dữỡng, sao cho cĂc iãu kiằn sau úng: (i) inf n {γ n } ≥γ > 0,
Khi õ, dÂy {x n } xĂc ành bði Thuêt toĂn 2.3.1 hởi tử mÔnh vã Θ =P Ω (x 1 ).
Chùng minh T÷ìng tü nh÷ chùng minh cõa ành lþ 2.2.2, ta chia chùng minh cừa ành lỵ n y th nh bốn bữợc nhữ dữợi Ơy:
Bữợc 1 Ch¿ ra {x n } ∞ n=0 ho n to n xĂc ành vợi mội x 1 ∈ H v Ω ⊂ Q n ∩C n vợi mồi n ≥ 0.
Tứ Mằnh ã 1.2.3, suy ra C n l têp con lỗi v õng cừa H Ngo i ra, ta viát lÔi têp hủp Q n ð dÔng sau
Q n = {p∈ H : hx 1 −x n , pi ≤ hx 1 −x n , x n i}, iãu n y suy ra rơngQ n cụng l mởt têp con lỗi v õng cừa H Do vêyQ n ∩C n l têp hủp lỗi v õng vợi mồi n ≥0.
LĐy p∈Ω Bơng lêp luên tữỡng tỹ nhữ chựng minh cừa ành lỵ 2.2.2, ta cõ kà n −pk 2 ≤ kx n −pk 2 −2(α n (1−γ n ) +γ n β n )hx n −p, x n−1 −x n i
Suy ra p∈C n vợi mồi n≥ 1 Vẳ vêy Ω⊂ C n vợi mồi n≥ 1.
Vợi n = 1, ta cõ Q 1 = H nản Ω ⊂ C 1 ∩Q 1 GiÊ sỷ rơng Ω ⊂ C l ∩Q l vợi l≥ 1 Tứ xl+1 =PC l ∩Q l(x1) suy ra rơng ha−x l+1 −a, x 0 −x l+1 i ≥0, vợi mội a ∈C l ∩Q l Vẳ Ω⊆ C l ∩Q l v p∈Ω, nản ta nhên ữủc hp−x l+1 −p, x 0 −x l+1 i ≥ 0. iãu n y suy ra rơngp∈ Q l+1 v do õ Ω⊆Q l+1 Bơng quy nÔp toĂn hồc, suy ra Ω ⊂ Q l vợi mồi l ≥ 1 Tõm lÔi, ta nhên ữủc Ω ⊆ C n ∩Q n vợi mồi n ≥ 1.
Vêy dÂy {x n } l ho n to n xĂc ành.
Bữợc 2 Ch¿ ra dÂy {x n } bà ch°n.
Tứ Thuêt toĂn 2.3.1, ta cõ thº viát hξ−x n , x 1 −x n i ≤0, vợi mồi ξ ∈Q n , n ≥1. iãu n y suy ra rơng x n =P Q n (x 1 ) Vẳ Ω⊂Q n , nản ta cõ kx n −x 1 k ≤ kx 1 −ξk, vợi mồi ξ ∈ Ω (2.24) Vẳ x n+1 ∈Q n , nản ta nhên ữủc kx n −x 1 k ≤ kx n+1 −x 1 k (2.25)
Tứ (2.24) v (2.25), ta thu ữủc giợi hÔn lim n→∞ kx n −x 1 ktỗn tÔi v hỳu hÔn. iãu n y cụng suy ra rơng {x n } bà ch°n.
Bữợc 3 Ch¿ ra kx n+1 −x n k →0 khi n → ∞.
Vẳ x n+1 ∈ Q n v x n = P Q n (x 1 ), nản tứ Hằ quÊ 1.3.6 ta suy ra kx n+1 −x n k 2 ≤ kx n+1 −x 1 k 2 − kx n −x 1 k 2 →0.
Tứ õ, ta nhên ữủc kx n+1 −x n k →0 khi n → ∞.
Bơng lêp luên tữỡng tỹ nhữ chựng minh cừa Bữợc 4, trong ành lỵ 2.2.2, ta nhên ữủc kT ε v n −v n k →0,kv n −x n k →0, (2.26) trong õ ε∈ (0,2α) Tứ tẵnh khổng giÂn cừa Ănh xÔ T ε , suy ra kT ε x n −x n k=kT ε x n −T ε v n k+kT ε v n −v n k+kv n −x n k
Tứ (2.26) v (2.27), ta thu ữủc kT ε x n −x n k →0 (2.28)
Vẳ dÂy{x n } bà ch°n, nản tỗn tÔi mởt dÂy con{x n k }cừa{x n }sao cho x n k * x ∗ Kát hủp vợi (2.28) v sỷ dửng Bờ ã 1.7.2, ta nhên ữủc x ∗ ∈ F(T ε ), tực l , x ∗ ∈Ω.
Tứ Θ =P Ω (x 1 ), x ∗ ∈ Ω, (2.24) v Bờ ã 1.1.4 ii), suy ra kx 1 −Θk ≤ kx 1 −x ∗ k ≤lim inf k→∞ kx n k −x 1 k
Sỷ dửng tẵnh duy nhĐt cừa Θ, ta nhên ữủc Θ = x ∗ Ta cụng nhên ữủc kx n k −x 1 k → kx 1 −Θk v do õ Ăp dửng Mằnh ã 1.1.4 i), suy rax n k → Θ khi k → ∞ Mởt lƯn nỳa, sỷ dửng tẵnh duy nhĐt cừa Θ, ta thu ữủc x n → Θ khi n → ∞. ành lỵ ữủc chựng minh.
Chú ỵ 2.3.3 Trong Thuêt toĂn 2.3.1 (ành lỵ 2.3.2), náu ta chồn γ n = 1 v α n = β n , thẳ ta nhên ữủc kát quÊ cừa Dong v cĂc cởng sỹ (xem, [5, ành lỵ 3.2]).
Trong mửc n y chúng tổi ữa ra mởt ựng dửng cừa cĂc ành lỵ chẵnh º giÊi b i toĂn cỹu tiºu phiám h m lỗi cõ r ng buởc: minx∈C h(x), (2.29) trong õC l mởt têp con lỗi, õng v khĂc rộng cừa khổng gian Hilbert H v h: H → R l mởt h m lỗi GiÊ sỷ h khÊ vi v Ôo h m ∇h cừa nõ l mởt toĂn tỷ α-ỡn iằu mÔnh ngữủc.
Dạ d ng thĐy rơng B i toĂn (2.29) tữỡng ữỡng vợi b i toĂn sau. minx∈H[h(x) +i C (x)], (2.30) trong õ i C l h m ch¿ cừa têp C Do õ, b i toĂn trản trð th nh b i toĂn tẳm mởt phƯn tỷ x ∗ ∈H sao cho
∇h(x ∗ ) +∂i C (x ∗ ) 30, (2.31) trong õ ∂i C l dữợi vi phƠn cừa h m ch¿ i C Ta biát rơng ∂i C l mởt toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi v (I +r∂i C ) −1 =P C vợi mồi r > 0.
Tứ cĂc ành lỵ 2.2.2 v ành lỵ 2.3.2, ta nhên ữủc cĂc ành lỵ sau º giÊi
B i to¡n (2.29). ành lỵ 2.4.1 GiÊ sỷ rơng {α n }, {β n } l cĂc dÂy bà ch°n, {γ n } l mởt dÂy trong (0,1] v {τ n } l mởt dÂy cĂc số thỹc dữỡng, sao cho cĂc iãu kiằn sau óng:
Cho {x n } l dÂy trong H ữủc xĂc ành bði x 0 , x 1 ∈H, C 1 =H v ω n =x n +α n (x n −x n−1 ), υ n =x n +β n (x n −x n−1 ), à n = (1−γ n )ω n +γ n P C (υ n −τ n ∇hυ n ),
Khi õ, dÂy {x n } hởi tử mÔnh vã Θ =P Ω (x 1 ) khi n → ∞. ành lỵ 2.4.2 GiÊ sỷ rơng {α n }, {β n } l cĂc dÂy bà ch°n, {γ n } l mởt dÂy trong (0,1] v {τ n } l mởt dÂy cĂc số thỹc dữỡng, sao cho cĂc iãu kiằn sau óng:
Cho {x n } l dÂy trong H ữủc xĂc ành bði x 0 , x 1 ∈H, C 1 =H v ω n =x n +α n (x n −x n−1 ), υ n =x n +β n (x n −x n−1 ), à n = (1−γ n )ω n +γ n P C (υ n −τ n ∇hυ n ),
Khi õ, dÂy {x n } hởi tử mÔnh vã Θ =PΩ(x1) khi n → ∞.
2.5 Vẵ dử số minh hồa
Trong mửc n y, chúng tổi thỹc hiằn mởt vẵ dử số º mổ tÊ sỹ hỳu hiằu v tẵnh khÊ dửng cừa cĂc thuêt toĂn ữủc ã xuĐt CĂc thuêt toĂn ữủc thỹc hiằn bơng MATLAB R2014a chÔy trản mĂy tẵnh HP Compaq 510, Core(TM) 2 Duo CPU T5870 vợi 2.0 GHz v 2GB RAM.
Cho C v Q l cĂc têp con lỗi, õng v khĂc rộng cừa R 3 X²t b i toĂn tẳm mởt phƯn tỷ x ∗ ∈R 3 sao cho x ∗ ∈argmin x∈C f(x)6=∅, (2.32) trong õ f(x) =kx−P Q xk 2 /2 vợi mồi x∈ R 3
Dạ thĐy rơng ∇f =I −P Q l 1-ỡn iằu mÔnh ngữủc.
Ta x²t B i toĂn (2.32) vợi C v Q ữủc xĂc ành nhữ sau:
Q= {(x 1 , x 2 , x 3 ) : x 2 1 +x 2 2 +x 2 3 ≤ 9}. p dửng cĂc ành lỵ 2.4.1, ành lỵ 2.4.2 v phữỡng phĂp l°p (2.5) cừa Dong v cĂc cởng sỹ trong t i liằu [5] vợi τ n = 0.5, α n = 2, β n = 0.5 and γ n = 0.95, ta nhên ữủc b¯ng kát quÊ số nhữ sau (xem BÊng 2.1).
Chồn cĂc phƯn tỷ ban Ưu x 0 = (1,2,3) v x 1 = (3,4,5) ành lþ 2.4.1 ành lþ 2.4.2 Ph÷ìng ph¡p l°p (2.5) err TOL n n TOL n n TOL n n
BÊng 2.1: BÊng kát quÊ số
Chú ỵ 2.5.1 Trong vẵ dử trản, dạ thĐy rơng phƯn tỷ x ∗ l mởt nghiằm cừa
B i toĂn (2.32) khi v ch¿ khi P C P Q x ∗ = x ∗ Do õ, ð bữợc l°p thự n, ta xĂc ành h m TOLn bði
TOLn =kP C P Q x n −x n k 2 , v sỷ dửng quy tưc dứng TOLn < err cho quĂ trẳnh l°p, trong õ err l sai số cho trữợc.
Luên vôn  trẳnh b y lÔi mởt cĂch khĂ chi tiát v hằ thống vã cĂc vĐn ã sau:
Mởt số tẵnh chĐt °c trững cừa khổng gian Hilbert; têp lỗi, h m lỗi; ph²p chiáu mảtric; Ănh xÔ khổng giÂn v toĂn tỷ ỡn iằu trong khổng gian Hilbert;
Phữỡng phĂp iºm gƯn kã quĂn tẵnh tẳm khổng iºm cừa toĂn tỷ ỡn iằu;
Phữỡng phĂp chiáu lai gh²p v phữỡng phĂp chiáu thu hàp tẳm iºm bĐt ởng cừa Ănh xÔ khổng giÂn;
B i toĂn bao h m bián phƠn (B i toĂn (2.6));
Kát quÊ cừa Tuyen T.M v cởng sỹ trong t i liằu [16] º giÊi B i toĂn (2.6);
XƠy dỹng mởt vẵ dử số ỡn giÊn dỹa trản MATLAB nhơm minh hồa thảm cho c¡c ph÷ìng ph¡p.
[1] Agarwal R P., O'Regan D., Sahu D R (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer.
[2] Alvarez F., Attouch H (2001), An inertial proximal method for maxi- mal monotone operators via discretization of a nonolinear oscillator with damping, Set-Valued Analysis, 9 (1-2), pp 3-11.
[3] Bauschke H.H., Combettes P.L (2010), Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert spaces, Springer.
[4] Bauschke H H., Matouskov¡ E., Reich S (2004), Projection and proxi- mal point methods: convergence results and counterexamples, Nonlinear Analysis, 56, pp 715-738.
[5] Dong Q., Jiang D., Cholamjiak P., Shehu Y (2017), A strong convergence result involving an inertial forwardbackward algorithm for monotone in- clusions, J Fixed Point Theory Appl., 19, pp 30973118.
[6] Douglas J., Rachford H H (1956), On the numerical solution of the heat conduction problem in 2 and 3 space variables, Trans Amer Math Soc.,
[7] Goebel K., Kirk W.A (1990), Topics in Metric Fixed Point Theory, Cam- bridge Stud Adv Math 28, Cambridge Univ Press, Cambridge, UK.
[8] Guler O (1991), On the convergence of the proximal point algorithm for convex minimization, SIAM J Control Optim., 29 (2), pp 403-419.