Hai phương pháp chiếu giải bài toán bao hàm biến phân trong không gian hilbert

TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅCNGUY™N TRUNG THPHAI PH×ÌNG PHP CHI˜UGIƒI B€I TON BAO H€M BI˜N PH NTRONG KHÆNG GIAN HILBERT... Tr÷ìng Minh Tuy¶n, TS... khæng ph£i lóc n o công hëi tö m¤nh trong

TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

NGUY™N TRUNG THP

HAI PH×ÌNG PHP CHI˜U

GIƒI B€I TON BAO H€M BI˜N PH…NTRONG KHÆNG GIAN HILBERT

Líi c£m ìn

T¡c gi£ xin gûi líi c£m ìn s¥u s­c tîi TS Tr÷ìng Minh Tuy¶n, TS Bòi Vi»t H÷ìng ¢ luæn tªn t¼nh h÷îng d¨n, ch¿ b£o v  gióp ï t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp nghi¶n cùu º ho n th nh luªn v«n.

T¡c gi£ công xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh v  s¥u s­c tîi c¡c th¦y, cæ trong khoa To¡nTin, tr÷íng ¤i håc Khoa håc, ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ gi£ng d¤y v  gióp ï t¡c gi£ trong thíi gian håc tªp v  nghi¶n cùu t¤i tr÷íng.

Qua ¥y t¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn tîi ng÷íi th¥n trong gia ¼nh, b¤n b± v  çng nghi»p ¢ luæn ëng vi¶n t¤o i·u ki»n gióp ï tæi v· måi m°t trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n luªn v«n n y.

2.1 B i to¡n bao h m bi¸n ph¥n 25 2.2 Thuªt to¡n chi¸u thu hµp 26 2.3 Thuªt to¡n chi¸u lai gh²p 31

D(A) mi·n x¡c ành cõa to¡n tû A

A−1 to¡n tû ng÷ñc cõa to¡n tû A

Mð ¦u

Cho H l  mët khæng gian Hilbert thüc, f : H → R l  mët h m lçi kh£ d÷îi vi ph¥n Cho C l  mët tªp con lçi v  âng cõa H Ta bi¸t r¬ng b i to¡n t¼m iºm cüc tiºu cõa f tr¶n C t÷ìng ÷ìng vîi b i to¡n t¼m nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh bao h m

0 ∈ ∂f (x) + NC(x),

trong â NC(x) l  nân ph¡p tuy¸n cõa C t¤i x Ta bi¸t r¬ng ∂f v  NC l  c¡c to¡n tû ìn i»u Do â d¤ng têng qu¡t cõa b i to¡n tr¶n l  b i to¡n t¼m khæng iºm cõa têng cõa hai to¡n tû ìn i»u hay cán gåi l  b i to¡n bao h m bi¸n ph¥n Lîp b i to¡n n y chùa lîp b i to¡n t¼m khæng iºm cõa mët to¡n tû ìn i»u Do vªy, vi»c nghi¶n cùu c¡c ph÷ìng ph¡p x§p x¿ nghi»m cho b i to¡n t¼m khæng iºm cõa têng hai to¡n tû ìn i»u luæn câ t½nh thíi sü v  câ nhi·u þ ngh¾a.

Lîp b i to¡n bao h m bi¸n ph¥n l  mët trong nhúng chõ · thu hót sü quan t¥m nghi¶n cùu cõa nhi·u ng÷íi l m to¡n trong v  ngo i n÷îc ¢ câ nhi·u ph÷ìng ph¡p l°p º x§p x¿ nghi»m cho b i to¡n ÷ñc · xu§t, trong â ph£i kº ¸n ph÷ìng ph¡p l°p Peaceman-Rachford [13], ph÷ìng ph¡p l°p Douglas-Rachford [6] v  ph÷ìng ph¡p ti¸n-lòi (xem [6, 12]) v  nhúng c£i ti¸n cõa nâ.

Möc ti¶u cõa luªn v«n n y l  tr¼nh b y l¤i chi ti¸t c¡c k¸t qu£ cõa Tuyen T.M v  Hammad H.A trong b i b¡o [16] v· ph÷ìng ph¡p ti¸n-lòi qu¡n t½nh k¸t hñp vîi ph÷ìng ph¡p chi¸u thu hµp ho°c ph÷ìng ph¡p chi¸u lai gh²p cho b i to¡n t¼m khæng iºm cõa têng cõa hai to¡n tû ìn i»u trong khæng gian Hilbert.

Nëi dung ch½nh cõa luªn v«n ÷ñc vi¸t th nh hai ch÷ìng Ch÷ìng 1 tr¼nh b y v· mët sè ki¸n thùc chu©n bà nh¬m phöc vö cho vi»c tr¼nh b y c¡c nëi dung cõa Ch÷ìng 2, bao gçm: Mët sè °c tr÷ng cõa khæng gian Hilbert; Tªp lçi, h m lçi; Ph²p chi¸u m¶tric; nh x¤ khæng gi¢n v  to¡n tû ìn i»u trong khæng gian Hilbert; Ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· qu¡n t½nh; Ph÷ìng ph¡p chi¸u lai gh²p v  chi¸u thu hµp cho b i to¡n t¼m iºm b§t ëng cõa lîp ¡nh x¤ khæng gi¢n v  cuèi còng l  mët sè bê · bê trñ Ch÷ìng 2 giîi thi»u v· hai ành lþ hëi tö m¤nh düa tr¶n sü k¸t hñp giúa ph÷ìng ph¡p ti¸n-lòi qu¡n t½nh vîi ph÷ìng ph¡p chi¸u thu hµp ho°c ph÷ìng ph¡p chi¸u lai gh²p cho b i to¡n t¼m khæng iºm cõa têng cõa hai to¡n tû ìn i»u trong khæng gian Hilbert tø b i b¡o [16] cõa c¡c t¡c gi£ Tuyen T.M v  Hammad H.A.

Ch֓ng 1

Mët sè ki¸n thùc chu©n bà

Ch÷ìng n y bao gçm 7 möc ch½nh Möc 1.1 · cªp ¸n mët sè °c tr÷ng cì b£n cõa khæng gian Hilbert thüc, Möc 1.2 giîi thi»u sì l÷ñc v· tªp lçi, h m lçi v  d÷îi vi ph¥n cõa h m lçi Möc 1.3 · cªp ¸n ph²p chi¸u m¶tric còng mët sè t½nh ch§t °c tr÷ng Möc 1.4 tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ v· ¡nh x¤ khæng gi¢n v  to¡n tû ìn i»u Möc 1.5 nh­c l¤i sì l÷ñc v· ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· qu¡n t½nh Möc 1.4 · cªp ¸n c¡c ph÷ìng ph¡p chi¸u lai gh²p v  ph÷ìng ph¡p chi¸u thu hµp cho b i to¡n t¼m iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n Möc 1.7 giîi thi»u mët sè bê · bê trñ c¦n sû döng trong vi»c tr¼nh b y nëi dung cõa Ch÷ìng 2 Nëi dung cõa ch÷ìng n y ph¦n lîn ÷ñc tham kh£o tø c¡c t i li»u [1] v  [3].

1.1 Mët sè °c tr÷ng cõa khæng gian Hilbert

Ta luæn gi£ thi¸t H l  khæng gian Hilbert thüc vîi t½ch væ h÷îng ÷ñc k½ hi»u l  h., i v  chu©n ÷ñc k½ hi»u l  k.k.

Tr÷îc h¸t, ta nh­c l¤i mët °c tr÷ng h¼nh håc quan trång cõa khæng gian Hilbert.

M»nh · 1.1.1 Trong khæng gian Hilbert thüc H ta luæn câ ¯ng thùc sau i) kx − yk2+ kx − zk2 = ky − zk2+ 2hx − y, x − zi, vîi måi x, y, z ∈ H ii) kλx+(1−λ)yk2 = λkxk2+ (1 − λ)kyk2− λ(1 − λ)kx − yk2 vîi måi x, y ∈ H

v  måi λ ∈ [0, 1].

Chùng minh i) Thªt vªy, ta câ

M»nh · 1.1.2 Cho H l  mët khæng gian Hilbert thüc Khi â, n¸u vîi x, y ∈ H thäa m¢n i·u ki»n

vîi måi λ ∈ R Ta th§y r¬ng n¸u y = 0, th¼ hiºn nhi¶n x v  y l  phö thuëc tuy¸n t½nh Gi£ sû y 6= 0, khi â vîi λ = hx, yi

kyk2 , th¼ b§t ¯ng thùc tr¶n trð th nh |hx, yi| < kxk.kyk,

i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t Vªy x v  y l  phö thuëc tuy¸n t½nh M»nh · ÷ñc chùng minh.

Nh­c l¤i r¬ng, d¢y {xn} trong khæng gian Hilbert H ÷ñc gåi l  hëi tö y¸u v· ph¦n tû x ∈ H, n¸u

n→∞hxn, yi = hx, yi,

vîi måi y ∈ H Tø t½nh li¶n töc cõa t½ch væ h÷îng, suy ra n¸u xn → x, th¼ xn * x Tuy nhi¶n, i·u ng÷ñc l¤i khæng óng Ch¯ng h¤n, x²t khæng gian

|hen, yi|2 ≤ kyk2 < ∞.

Suy ra limn→∞hen, yi = 0, tùc l  en * 0 Tuy nhi¶n, {en} khæng hëi tö v· 0, v¼ kenk = 1 vîi måi n ≥ 1.

Ta bi¸t r¬ng måi khæng gian Hilbert H ·u thäa m¢n i·u ki»n cõa Opial, t½nh ch§t n y ÷ñc thº hi»n trong m»nh · d÷îi ¥y:

M»nh · 1.1.3 Cho H l  mët khæng gian Hilbert thüc v  {xn} ⊂ H l  mët d¢y b§t ký thäa m¢n i·u ki»n xn * x, khi n → ∞ Khi â, vîi måi y ∈ H v 

M»nh · 1.1.4 i) Måi khæng gian Hilbert thüc H ·u câ t½nh ch§t Kadec-Klee, tùc l  n¸u {xn} ⊂ H l  mët d¢y b§t ký trong H thäa m¢n c¡c i·u

ành ngh¾a 1.2.1 Cho H l  mët khæng gian Hilbert thüc v  C l  mët tªp con cõa H Ta nâi r¬ng C l  tªp lçi n¸u vîi måi x, y ∈ C v  måi t ∈ [0, 1] ta câ

tx + (1 − t)y ∈ C.

V½ dö 1.2.2 H¼nh c¦u trong khæng gian Hilbert H l  tªp lçi, nh÷ng m°t c¦u trong H khæng ph£i l  tªp lçi.

M»nh · 1.2.3 Cho C l  mët tªp con lçi, âng v  kh¡c réng cõa khæng gian Hilbert H Vîi méi x, y, z ∈ H and b ∈ R, tªp hñp

K = {v ∈ C : ky − vk2 ≤ kx − vk2 + hz, vi + b} l  lçi v  âng.

Chùng minh Ta câ

K = {v ∈ C : ha, vi ≤ M },

trong â a = 2x − 2y − z, M = kxk2− kyk2+ b Gi£ sû v1, v2 ∈ K Khi â, vîi måi t ∈ [0, 1], ta câ

ha, tv1+ (1 − t)v2i = tha, v1i + (1 − t)ha, v2i ≤ tM + (1 − t)M

= M.

Suy ra tv1+ (1 − t)v2 ∈ K vîi måi t ∈ [0, 1] Do â, K l  mët tªp hñp lçi T½nh âng cõa K ÷ñc suy ra tø t½nh li¶n töc cõa t½ch væ h÷îng M»nh · ÷ñc chùng minh.

M»nh · 1.2.4 N¸u C l  mët tªp con lçi v  âng cõa khæng gian Hilbert H, th¼ C l  tªp âng y¸u.

Chùng minh Gi£ sû C khæng l  tªp âng y¸u Khi â, tçn t¤i d¢y {xn} trong C thäa m¢n xn * x, nh÷ng x /∈ C V¼ C l  tªp lçi v  âng, n¶n theo ành lþ t¡ch c¡c tªp lçi, tçn t¤i y ∈ H v  ε > 0 sao cho

i·u n y l  væ lþ Do â, C l  tªp âng y¸u.

Chó þ 1.2.5 N¸u C l  tªp âng y¸u trong H th¼ hiºn nhi¶n C l  tªp âng Tø ành lþ Banach-Alaoglu, ta câ m»nh · d÷îi ¥y:

M»nh · 1.2.6 Måi tªp con bà ch°n cõa H ·u l  tªp compact t÷ìng èi y¸u.

ành ngh¾a 1.2.7 Cho H l  mët khæng gian Hilbert thüc, D ⊂ H l  mët tªp lçi v  f : D → R l  mët h m sè Ta nâi f l  h m lçi n¸u

f [tx + (1 − t)y] ≤ tf (x) + (1 − t)f (y),

vîi måi x, y ∈ D v  måi t ∈ [0, 1].

V½ dö 1.2.8 H m sè f(x) = x2 lçi tr¶n R v  h m sè g(x) = x3 khæng l  h m lçi tr¶n R.

ành ngh¾a 1.2.9 Cho H l  mët khæng gian Hilebrt thüc v  f : H → R l  mët h m lçi Khi â, d÷îi vi ph¥n cõa h m f t¤i x0 ∈dom f = {x ∈ H : f(x) < ∞}

M»nh · 1.3.1 Cho C l  mët tªp con lçi v  âng cõa khæng gian Hilbert thüc H Khi â, vîi méi x ∈ H, tçn t¤i duy nh§t ph¦n tû PCx ∈ C sao cho

kx − PCxk ≤ kx − yk vîi måi y ∈ C.

Chùng minh Thªt vªy, °t d = inf

u∈Ckx − uk Khi â, tçn t¤i {un} ⊂ C sao cho

n→∞un ∈ C Do chu©n l  h m sè li¶n töc n¶n kx − uk = d Gi£ sû tçn t¤i v ∈ C sao cho kx − vk = d Ta câ

Suy ra u = v Vªy tçn t¤i duy nh§t mët ph¦n tû PCx ∈ C sao cho kx − PCxk = infu∈Ckx − uk.

ành ngh¾a 1.3.2 Ph²p cho t÷ìng ùng méi ph¦n tû x ∈ H mët ph¦n tû PCx ∈ C x¡c ành nh÷ tr¶n ÷ñc gåi l  ph²p chi¸u m¶tric tø H l¶n C.

V½ dö 1.3.3 Cho C = {x ∈ H : hx, ui = y}, vîi u 6= 0 Khi â PCx = x + y − hx, ui

kuk2 u.

V½ dö 1.3.4 Cho C = {x ∈ H : kx − ak ≤ R}, trong â a ∈ H l  mët ph¦n tû cho tr÷îc v  R l  mët sè d÷ìng Khi â, ta câ:

M»nh · 1.3.5 Cho C l  mët tªp con lçi âng cõa khæng gian Hilbert thüc H Khi â, i·u ki»n c¦n v  õ º ¡nh x¤ PC : H −→ C l  ph²p chi¸u m¶tric tø H l¶n C l 

hx − PCx, PCx − yi ≥ 0 vîi måi x ∈ H v  y ∈ C (1.2) Chùng minh Gi£ sû PC l  ph²p chi¸u m¶tric Khi â vîi måi x ∈ H, y ∈ C v  måi t ∈ (0, 1), ta câ ty + (1 − t)PCx ∈ C Do â, tø ành ngh¾a cõa ph²p chi¸u

Tø m»nh · tr¶n, ta câ h» qu£ d÷îi ¥y:

H» qu£ 1.3.6 Cho C l  mët tªp con lçi âng cõa khæng gian Hilbert H v  PHC

l  ph²p chi¸u m¶tric tø H l¶n C Khi â, ta câ c¡c kh¯ng ành sau: a) vîi måi x, y ∈ H, ta câ

Cëng hai b§t ¯ng thùc tr¶n ta nhªn ÷ñc i·u ph£i chùng minh b) Vîi måi x ∈ H v  y ∈ C, tø M»nh · 1.3.5, ta câ

ành ngh¾a 1.4.1 Cho C l  mët tªp con lçi, âng v  kh¡c réng cõa khæng gian Hilbert thüc H nh x¤ T : C −→ H ÷ñc gåi l  mët ¡nh x¤ khæng gi¢n,

n¸u vîi måi x, y ∈ C, ta câ

kT x − T yk ≤ kx − yk.

Ta kþ hi»u tªp iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n T l  F (T ), tùc l  F (T ) = {x ∈ C : T x = x}.

M»nh · d÷îi ¥y cho ta mæ t£ v· t½nh ch§t cõa tªp iºm b§t ëng F (T ) M»nh · 1.4.2 Cho C l  mët tªp con lçi, âng v  kh¡c réng cõa khæng gian Hilbert thüc H v  T : C −→ H l  mët ¡nh x¤ khæng gi¢n Khi â, F (T ) l  mët tªp lçi v  âng trong H.

Chùng minh Gi£ sû F (T ) 6= ∅.

Tr÷îc h¸t, ta ch¿ ra F (T ) l  tªp âng Thªt vªy, v¼ T l  ¡nh x¤ khæng gi¢n n¶n T li¶n töc tr¶n C Gi£ sû {xn} l  mët d¢y b§t ký trong F (T ) thäa m¢n xn → x, khi n → ∞ V¼ {xn} ⊂ F (T ), n¶n

kT xn− xnk = 0,

vîi måi n ≥ 1 Tø t½nh li¶n töc cõa chu©n, cho n → ∞, ta nhªn ÷ñc kT x − xk = 0, tùc l  x ∈ F (T ) Do â, F (T ) l  tªp âng.

Ti¸p theo, ta ch¿ ra t½nh lçi cõa F (T ) Gi£ sû x, y ∈ F (T ), tùc l  T x = x v  T y = y Vîi λ ∈ [0, 1], °t z = λx + (1 − λ)y Khi â, tø M»nh · 1.1.1 v  t½nh khæng gi¢n cõa T ta câ

1.4.2 To¡n tû ìn i»u

ành ngh¾a 1.4.3 Mët ¡nh x¤ a trà A : H −→ 2H ÷ñc gåi l  mët to¡n tû ìn i»u n¸u

vîi måi x, y ∈ H v  måi u ∈ A(x), v ∈ A(y).

To¡n tû ìn i»u A ÷ñc gåi l  ìn i»u cüc ¤i n¸u ç thà G(A) = {(x, u) ∈ H × H : u ∈ A(x)}

khæng chùa thüc sü trong ç thà cõa b§t k¼ to¡n tû ìn i»u n o kh¡c tr¶n H V½ dö 1.4.4 To¡n tû A(x) = x3 vîi x ∈ R l  ìn i»u cüc ¤i tr¶n R.

Thªt vªy, hiºn nhi¶n A l  mët to¡n tû ìn i»u tr¶n R Ta s³ ch¿ ra ç thà cõa A khæng l  tªp con thüc sü cõa b§t ký mët to¡n tû ìn i»u n o kh¡c tr¶n R Gi£ sû tçn t¤i mët to¡n tû ìn i»u B tr¶n R sao cho ç thà cõa B chùa thüc sü ç thà cõa A Khi â, tçn t¤i ph¦n tû x0 ∈ R sao cho (x0, m) ∈ G(B), nh÷ng (x0, m) /∈ G(A) Nh÷ vªy s³ x£y ra hai tr÷íng hñp ho°c A(x0) > m ho°c A(x0) < m.

Tr÷íng hñp 1: A(x0) > m

Gi£ sû x1 l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh A(x) = m, tùc l  A(x1) = m Khi â, x1 < x0 Theo ành lþ gi¡ trà trung b¼nh, tçn t¤i x2 ∈ (x1, x0) sao cho n = A(x2) ∈ (m, A(x0)) Tø (x0, m) ∈ G(B) v  (x2, A(x2)) ∈ G(A) ⊂ G(B), suy ra

(x0− x2)(m − A(x2)) ≥ 0.

V¼ x0 > x2, n¶n A(x2) ≤ m, i·u n y m¥u thu¨n vîi A(x2) ∈ (m, A(x0)) Nh÷ vªy, khæng thº x£y ra tr÷íng hñp A(x0) > m.

Tr÷íng hñp 2: A(x0) < m

Gi£ sû x1 l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh A(x) = m, tùc l  A(x1) = m Khi â, x1 > x0 Theo ành lþ gi¡ trà trung b¼nh, tçn t¤i x2 ∈ (x0, x1) sao cho n = A(x2) ∈ (A(x0), m) Tø (x0, m) ∈ G(B) v  (x2, A(x2)) ∈ G(A) ⊂ G(B), suy ra

(x0− x2)(m − A(x2)) ≥ 0.

V¼ x0 < x2, n¶n A(x2) ≥ m, i·u n y m¥u thu¨n vîi A(x2) ∈ (A(x0), m) Nh÷ vªy, khæng thº x£y ra tr÷íng hñp A(x0) < m.

Vªy khæng tçn t¤i to¡n tû ìn i»u B tr¶n R sao cho ç thà cõa B chùa thüc sü ç thà cõa A Do â, A l  mët to¡n tû ìn i»u cüc ¤i tr¶n R.

vîi måi x ∈ R l  ìn i»u nh÷ng khæng ìn i»u cüc ¤i tr¶n R.

Thªt vªy, rã r ng A l  mët to¡n tû ìn i»u, nh÷ng ç thà cõa A l  tªp con thüc sü cõa ç thà cõa to¡n tû ìn i»u B(x) = x3 vîi måi x ∈ R.

Chó þ 1.4.6 To¡n tû ìn i»u A : H −→ 2H l  ìn i»u cüc ¤i khi v  ch¿ khi R(I + λA) = H vîi måi λ > 0, ð ¥y R(I + λA) l  mi·n £nh cõa I + λA.

Tø chó þ tr¶n ta câ mët v½ dö kh¡c d÷îi ¥y v· to¡n tû ìn i»u cüc ¤i: V½ dö 1.4.7 Cho T : H −→ H l  mët ¡nh x¤ khæng gi¢n Khi â A = I − T l  mët to¡n tû ìn i»u cüc ¤i, ð ¥y I l  ¡nh x¤ çng nh§t tr¶n H.

Thªt vªy, vîi måi x, y ∈ H, ta câ

hA(x) − A(y), x − yi = kx − yk2− kT x − T yk2 ≥ 0, suy ra A l  mët to¡n tû ìn i»u.

Ti¸p theo, ta ch¿ ra t½nh cüc ¤i cõa A Vîi méi λ > 0 v  méi y ∈ H, x²t

vîi måi x ∈ H D¹ th§y, f l  ¡nh x¤ co vîi h» sè co l  λ

1 + λ ∈ (0, 1) Do â, theo nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach, ph÷ìng tr¼nh (1.5) câ duy nh§t nghi»m Suy ra, ph÷ìng tr¼nh (1.4) câ duy nh§t nghi»m.

Vªy A l  mët to¡n tû ìn i»u cüc ¤i.

ành ngh¾a 1.4.8 Cho A : H −→ 2H l  mët to¡n tû ìn i»u cüc ¤i Khi â, ¡nh x¤ JA

r = (I + rA)−1, r > 0 ÷ñc gåi l  gi£i cõa A Chó þ 1.4.9 i) Gi£i JA

r cõa to¡n tû ìn i»u cüc ¤i A l  mët ¡nh x¤ ìn trà, khæng gi¢n v  A(x) 3 0 khi v  ch¿ khi JA

r (x) i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi x ∈ x + rA(x) hay A(x) 3 0 ii) Vîi måi sè d÷ìng λ v  µ, ta luæn câ ¯ng thùc sau

M»nh · 1.4.10 Cho H l  mët khæng gian Hilbert v  A : H −→ 2H l  mët to¡n tû ìn i»u cüc ¤i vîi A−10 6= ∅ v  cho JA

r l  to¡n tû gi£i cõa A vîi r > 0 Khi â, vîi måi r, λ > 0, ta câ

λkJrAx − JλAJrAxk ≤ 1

rkx − JrAxk, vîi måi x ∈ D(A).

Chùng minh Theo Chó þ 1.4.9, ta câ

1.5 Ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· qu¡n t½nh

Tr÷îc h¸t, chóng tæi tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· cho ph÷ìng tr¼nh vîi to¡n tû ìn i»u X²t b i to¡n

X¡c ành ph¦n tû x∗ ∈ D(A) sao cho A(x∗) 3 0, (1.7) vîi A : D(A) ⊂ E −→ 2E l  mët to¡n tû m-j-ìn i»u.

Khi A l  m-j-ìn i»u trong khæng gian Hilbert H, ngh¾a l  A l  to¡n tû ìn i»u cüc ¤i, th¼ Rockafellar R T [14] ¢ x²t ph÷ìng ph¡p l°p

cnAxn+1+ xn+1 3 xn, x0 ∈ H, (1.8) ð ¥y cn > c0 > 0 v  gåi l  ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· Rockafellar công ¢ ch¿ ra sü hëi tö y¸u cõa d¢y l°p {xn} x¡c ành bði (1.8) v· mët nghi»m cõa b i to¡n (1.7).

Chó þ 1.5.1 Ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· ÷ñc Martinet B · xu§t l¦n ¦u ti¶n trong t i li»u [10] cho b i to¡n cüc tiºu phi¸m h m lçi, ch½nh th÷íng v  nûa li¶n töc d÷îi ψ : H −→ R ∪ {+∞} ð d¤ng sau:

xn+1 =argminy∈Hψ(y) + 1

2cnkxn− yk2

vîi måi n ≥ 1 (1.9) N«m 1991, Guler [8] ¢ x¥y düng mët v½ dö º ch¿ ra ph÷ìng ph¡p l°p (1.8) khæng ph£i lóc n o công hëi tö m¤nh trong tr÷íng hñp têng qu¡t Mët v½ dö g¦n ¥y cõa c¡c t¡c gi£ Bauschke H H., Matouˇskov´a E v  Reich S [4] công ch¿ ra r¬ng d¢y l°p {xn}x¡c ành bði (1.8) ch¿ hëi tö y¸u m  khæng hëi tö theo chu©n N«m 2001, Attouch H v  Alvarez F [2] ¢ x²t mët mð rëng cõa ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· (1.8) ð d¤ng

cnA(xn+1) + xn+1− xn 3 γn(xn− xn−1), x0, x1 ∈ H (1.10) v  gåi l  ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· qu¡n t½nh, ð ¥y {cn} v  {γn} l  hai d¢y sè khæng ¥m Tuy nhi¶n, ng÷íi ta công ch¿ thu ÷ñc sü hëi tö y¸u cõa d¢y l°p {xn} x¡c ành bði (1.10) v· mët nghi»m cõa b i to¡n (1.7) trong khæng gian Hilbert K¸t qu£ cõa Attouch H v  Alvarez F ÷ñc cho bði ành l½ d÷îi ¥y:

ành lþ 1.5.2 [2] Cho H l  mët khæng gian Hilbert v  cho {xn} ⊂ H l  mët d¢y ÷ñc x¡c ành bði

xn+1 = JλA

n xn+ αn(xn − xn−1)
, n = 1, 2, (1.11) ð ¥y A : H −→ 2H l  mët to¡n tû ìn i»u cüc ¤i vîi S = A−1(0) 6= ∅ v  c¡c tham sè αn, λn thäa m¢n c¡c i·u ki»n:

i) Tçn t¤i sè λ > 0 sao cho λn ≥ λ, ∀n ≥ 1, ii) Tçn t¤i α ∈ [0, 1) sao cho 0 ≤ αn ≤ α, ∀n ≥ 1 N¸u i·u ki»n sau ÷ñc thäa m¢n

αnkxn − xn−1k2 < +∞, th¼ tçn t¤i x∗ ∈ S sao cho d¢y {xn} hëi tö y¸u v· x∗.

Chó þ 1.5.3 Ph÷ìng ph¡p l°p (1.11) cán câ thº vi¸t d÷îi d¤ng t÷ìng ÷ìng sau:

λnA(xn+1) + xn+1 3 xn+ αn(xn − xn−1) (1.12) Chó þ 1.5.4 Ph÷ìng ph¡p l°p (1.11) l¦n ¦u ti¶n ÷ñc nghi¶n cùu bði Alvarez F [?], cho b i to¡n cüc tiºu hâa phi¸m h m lçi f ð d¤ng

Æng ¢ ch¿ ra r¬ng, n¸u c¡c d¢y sè {λn}, {αn}v  {εn} thäa m¢n c¡c i·u ki»n 0 ≤ αn ≤ 1, d¢y {λn} bà ch°n d÷îi bði mët h¬ng sè d÷ìng, d¢y {αn/λn} ìn i»u gi£m v  P∞

n=0λnεn < ∞, th¼ d¢y {un} x¡c ành bði (1.13) công hëi tö y¸u v· iºm x∗ l m cüc tiºu phi¸m h m f.