Trang 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCVŨ THỊ THUMỘT TIẾP CẬN KHƠNG GIAN TÍCH GIẢI BÀI TỐNĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG TÁCH TRONG KHÔNGGIAN HILBERT Trang 2 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCVŨ T
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THỊ THU MỘT TIẾP CẬN KHÔNG GIAN TÍCH GIẢI BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG TÁCH TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Thái Nguyên – 2024 i ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THỊ THU MỘT TIẾP CẬN KHÔNG GIAN TÍCH GIẢI BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG TÁCH TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Trương Minh Tuyên Thái Nguyên – 2024 Lời cảm ơn Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS Trương Minh Tuyên, thầy đã luôn tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập nghiên cứu để hoàn thành luận văn Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy, cô trong khoa Toán–Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong thời gian học tập và nghiên cứu tại trường Qua đây tác giả xin chân thành cảm ơn tới người thân trong gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã luôn động viên tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này ii Mục lục Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu và viết tắt iv Mở đầu 1 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Một số đặc trưng của không gian Hilbert 3 1.2 Một số lớp ánh xạ kiểu không giãn 10 1.3 Toán tử liên hợp 12 1.4 Tích các không gian Hilbert và một số tính chất 14 2 Tiếp cận không gian tích giải bài toán điểm bất động chung tách 21 2.1 Phát biểu bài toán 21 2.2 Phương pháp xấp xỉ gắn kết 22 2.3 Phương pháp chiếu 28 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 iii Một số ký hiệu và viết tắt H không gian Hilbert ⟨., ⟩ tích vô hướng trên H ∥.∥ chuẩn trên H ∪ phép hợp ∩ phép giao R+ tập các số thực không âm G(A) đồ thị của toán tử A D(A) miền xác định của toán tử A R(A) miền ảnh của toán tử A A−1 toán tử ngược của toán tử A I toán tử đồng nhất ∅ tập rỗng ∀x với mọi x ∃x tồn tại x xn −→ x0 dãy {xn} hội tụ mạnh về x0 xn ⇀ x0 dãy {xn} hội tụ yếu về x0 F (T ) tập điểm bất động của ánh xạ T iv Mở đầu Cho C và Q tương ứng là các tập con lồi, đóng và khác rỗng của các không gian Hilbert thực H1 và H2 ChoT : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn và T ∗ : H2 −→ H1 là toán tử liên hợp của nó Bài toán chấp nhận lồi tách (SCFP) được phát biểu như sau: Tìm một phần tử x∗ ∈ C sao cho T x∗ ∈ Q (0.1) Bài toán SCFP lần đầu tiên được đề xuất bởi Censor và Elfving [6] để mô hình một số bài toán ngược Bài toán này có ứng dụng quan trọng trong khôi phục hình ảnh và xử lý tín hiêu (xem [4, 5]) Do đó, nhiều thuật toán lặp để giải Bài toán (0.1) được giới thiệu và phân tích Cho Hi, i = 1, 2, , m, là các không gian Hilbert và cho Ci, i = 1, 2, , m, là các tập con lồi và đóng của Hi, tương ứng Cho Ai : Hi −→ Hi+1, i = 1, 2, , m − 1, là các toán tử tuyến tính bị chặn sao cho Ω1 := C1 ∩ A1−1(C2) ∩ ∩ A1−1(A2−1 (A−m1−1(Cm)))̸ = ∅ Cho trước Hi, Ci và Ai như trên, bài toán chấp nhận tách tổng quát (GSFP) được phát biểu như sau: Tìm một phần tử x† ∈ Ω1, (0.2) tức là, x† ∈ C1, A1x† ∈ C2 , Am−1Am−2 A1x† ∈ Cm Reich và Tuyen chứng minh một định lý hội tụ mạnh cho một cải tiến của phương pháp CQ để giải bài toán GSFP (xem [9, Section 4.3, Theorem 4.4]) Năm 2020, Reich, Tuyen và Ha [8] đã đề xuất và nghiên cứu bài toán chấp nhận tách với đa tập đầu ra sau: Cho H, Hi, i = 1, 2, , m, là các không gian 1 2 Hilbert thực, cho Ti : H −→ Hi, i = 1, 2, , m, là các toán tử tuyến tính bị chặn và cho C và Qi tương ứng là các tập con lồi, đóng và khác rỗng của H và Hi, i = 1, 2, , m Tìm một phần tử x† sao cho x† ∈ Ω2 := C ∩ (∩mi=1Ti−1(Qi))̸ = ∅, (0.3) tức là, x† ∈ C và Tix† ∈ Qi với mọi i = 1, 2, , m Để giải Bài toán (0.3), Reich, Tuyen và Ha [8] đề xuất phương pháp lặp sau: Với bất kỳ x0, y0 ∈ C, cho {xn} và {yn} là hai dãy được xác định bởi m (0.4) (0.5) xn+1 = PC [xn − γn Ti∗(I − PQi)Tixn], i=1 m yn+1 = αnf (yn) + (1 − αn)PC[yn − γn Ti∗(I − PQi)Tiyn], i=1 trong đó f : C −→ C là một ánh xạ co từ C vào chính nó với hệ số co c ∈ [0, 1), {γn} ⊂ (0, ∞) và {αn} ⊂ (0, 1) Họ đã chứng minh các định lý hội tụ yếu và hội tụ mạnh của các phương pháp lặp (0.4) và (0.5), tương ứng Mục đích của luận văn này là trình bày lại các kết quả của Reich, Tuyen và Ha [12] về cách sử dụng kỹ thuật không gian tích để giải bài toán điểm bất động chung tách với đa tập đầu ra trong không gian Hilbert Nội dung chính của luận văn được trình bày trong hai chương Chương 1 trình bày về một số kiến thức chuẩn bị liên quan đến không gian Hilbert, ánh xạ kiểu không giãn, toán tử liên hợp Chương 2 của luận văn tập trung trình bày lại chi tiết các kết quả của Reich, Tuyen và Ha trong tài liệu [12] về kỹ thuật không gian tích giải bài toán điểm bất động chung tách Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Chương này bao gồm 4 mục chính Mục 1.1 đề cập đến một số đặc trưng cơ bản của không gian Hilbert thực Mục 1.2 giới thiệu sơ lược về một số lớp ánh xạ kiểu không giãn Mục 1.3 đề cập đến toán tử liên hợp của một toán tử tuyến tính bị chặn Mục 1.4 giới thiệu về tích Đề các của các không gian Hilbert cùng với một số tính chất cơ bản liên quan đến toán tử liên hợp, phép chiếu mêtric, toán tử đơn điệu Nội dung của chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [1], [2], [3] và [12] 1.1 Một số đặc trưng của không gian Hilbert Ta luôn giả thiết H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng được kí hiệu là ⟨., ⟩ và chuẩn được kí hiệu là ∥.∥ Trước hết, ta nhắc lại một đặc trưng hình học quan trọng của không gian Hilbert Mệnh đề 1.1.1 Trong không gian Hilbert thực H ta luôn có các đẳng thức sau i) ∥x − y∥2 + ∥x − z∥2 = ∥y − z∥2 + 2⟨x − y, x − z⟩ với mọi x, y, z ∈ H ii) ∥λx + (1 − λ)y∥2 = λ∥x∥2 + (1 − λ)∥y∥2 − λ(1 − λ)∥x − y∥2 với mọi x, y ∈ H và mọi λ ∈ [0, 1] 3 4 Chứng minh i) Thật vậy, ta có ∥y − z∥2 + 2⟨x − y, x − z⟩ = ⟨y, y⟩ + ⟨z, z⟩ + 2⟨x, x⟩ − 2⟨x, z⟩ − 2⟨x, y⟩ = [⟨x, x⟩ − 2⟨x, y⟩ + ⟨y, y⟩] + [⟨x, x⟩ − 2⟨x, z⟩ + ⟨z, z⟩] = ∥x − y∥2 + ∥x − z∥2 ii) Ta có ∥λx + (1 − λ)y∥2 = λ2∥x∥2 + 2λ(1 − λ)⟨x, y⟩ + (1 − λ)2∥y∥2 = λ∥x∥2 + (1 − λ)∥y∥2 − λ(1 − λ)(∥x∥2 − 2⟨x, y⟩ + ∥y∥2) = λ∥x∥2 + (1 − λ)∥y∥2 − λ(1 − λ)∥x − y∥2 Mệnh đề được chứng minh Mệnh đề 1.1.2 Cho H là một không gian Hilbert thực Khi đó, nếu với x, y ∈ H thỏa mãn điều kiện |⟨x, y⟩| = ∥x∥.∥y∥, tức là bất đẳng thức Schwars xảy ra dấu bằng thì hai véc tơ x và y là phụ thuộc tuyến tính Chứng minh Giả sử ngược lại rằng x̸ = λy với mọi λ ∈ R Khi đó, từ tính chất của tích vô hướng, ta có 0 < ∥x − λy∥2 = λ2∥y∥2 − 2λ⟨x, y⟩ + ∥x∥2, với mọi λ ∈ R Ta thấy rằng nếu y = 0, thì hiển nhiên x và y là phụ thuộc tuyến ⟨x, y⟩ tính Giả sử y̸ = 0, khi đó với λ = ∥y∥2 , thì bất đẳng thức trên trở thành |⟨x, y⟩| < ∥x∥.∥y∥, điều này mâu thuẫn với giả thiết Vậy x và y là phụ thuộc tuyến tính Mệnh đề được chứng minh 5 Nhắc lại rằng, dãy {xn} trong không gian Hilbert H được gọi là hội tụ yếu về phần tử x ∈ H, nếu lim ⟨xn, y⟩ = ⟨x, y⟩, n→∞ với mọi y ∈ H Từ tính liên tục của tích vô hướng, suy ra nếu xn → x thì xn ⇀ x Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng Chẳng hạn, xét không gian l2 = {{xn} ⊂ R : ∞ |xn|2 < ∞} và {en} ⊂ l2, được cho bởi n=1 en = (0, , 0, 1 , 0, , 0, ), vị trí thứ n với mọi n ≥ 1 Khi đó, en ⇀ 0 khi n → ∞ Thật vậy, với mỗi y ∈ H, từ bất đẳng thức Bessel, ta có ∞ |⟨en, y⟩|2 ≤ ∥y∥2 < ∞ n=1 Suy ra limn→∞⟨en, y⟩ = 0, tức là en ⇀ 0 Tuy nhiên, {en} không hội tụ về 0, vì ∥en∥ = 1 với mọi n ≥ 1 Ta biết rằng mọi không gian Hilbert H đều thỏa mãn điều kiện của Opial, tính chất này được thể hiện trong mệnh đề dưới đây: Mệnh đề 1.1.3 Cho H là một không gian Hilbert thực và {xn} ⊂ H là một dãy bất kỳ thỏa mãn điều kiện xn ⇀ x, khi n → ∞ Khi đó, với mọi y ∈ H và y̸ = x, ta có lim inf ∥xn − x∥ < lim inf ∥xn − y∥ (1.1) n→∞ n→∞ Chứng minh Vì xn ⇀ x nên {xn} bị chặn Ta có ∥xn − y∥2 = ∥xn − x∥2 + ∥x − y∥2 + 2⟨xn − x, x − y⟩ Vì x̸ = y nên lim inf ∥xn − y∥2 > lim inf(∥xn − x∥2 + 2⟨xn − x, x − y⟩) n→∞ n→∞ = lim inf ∥xn − x∥2 n→∞