Cho H1 và H2 là hai không gian Hilbert thực. Cho U : H1 −→ H1 và V : H2 −→ H2 là các ánh xạ không giãn trên H1 và H2, tương ứng và cho A : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn từ H1 vào H2. Giả sử rằng Ω4 := Fix(U)∩A−1(Fix(V))̸=∅. Ta xét bài toán sau:
Tìm một phần tử x∗ ∈Ω4. (2.3) Để giải Bài toán (2.3), Reich và Tuyen [10] đã đưa ra hai định lý sau.
Định lý 2.2.1. [10, Theorem 3.2] Với bất kỳ x0 ∈ H1, cho {xn} là dãy được xác định bởi
yn =Un(xn), zn =V(Ayn),
tn =yn+δA∗(zn−Ayn),
xn+1 =αnf(xn) + (1−αn)tn, n≥ 0,
(2.4)
trong đó f : H1 −→ H1 là ánh xạ co từ H1 vào chính nó với hệ số co c∈ [0,1), {αn} ⊂(0,1) và {βn} ⊂ (0,1) là dãy số thực dương, Un =βnI+ (1−βn)U. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:
C1) {βn} ⊂ [c, d] ⊂(0,1);
C2) limn→∞αn = 0 và P∞
n=1αn = ∞;
C3) δ ∈
0, 1
∥A∥2
.
Khi đó, dãy {xn} hội tụ mạnh về x† ∈ Ω4, là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân
⟨(I −f)x†, y−x†⟩ ≥ 0 ∀y ∈ Ω4.
Định lý 2.2.2. [10, Theorem 3.4] Với bất kỳ x0 ∈ H1, cho {xn} là dãy được xác định bởi
yn =Un(xn), zn =V(Ayn),
tn =yn+δnA∗(zn −Ayn),
xn+1 =αnf(xn) + (1−αn)tn, n≥ 0,
trong đó f : H1 −→ H1 là một ánh xạ co từ H1 vào chính nó với hệ số co c ∈ [0,1), {αn} ⊂ (0,1) và {βn} ⊂ (0,1) là dãy các số thực dương, Un = βnI + (1−βn)U, và
δn =
ρn ∥zn−Ayn∥2
∥A∗(zn−Ayn)∥2, ∥A∗(zn −Ayn)∥ >0, 0, trái lại,
với {ρn} ⊂ [α, β] ⊂ (0,1). Nếu các điều kiện C1) và C2) của Định lý 2.2.1 được thỏa mãn thì dãy {xn} hội tụ mạnh về x† ∈ Ω4, là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân
⟨(I −f)x†, y−x†⟩ ≥ 0 ∀y ∈ Ω4.
Sử dụng Chú ý 2.1.2 và Định lý 2.2.1, ta nhận được định lý dưới đây liên quan đến nghiệm của Bài toán (2.1).
Định lý 2.2.3. Cho {xn} là dãy được xác định bởi x0 ∈H và yn =Sn(xn),
tn =yn+δ
m
X
i=1
Ti∗(Si(Tiyn)−Tiyn), xn+1 =αnf(xn) + (1−αn)tn, n≥ 0,
trong đó f : H −→ H là một ánh xạ co từ H1 vào chính nó, Sn =βnI + (1− βn)S, {αn} ⊂ (0,1) và {βn} ⊂ (0,1) là các dãy số thực dương. Nếu các điều kiện C1)–C2) và điều kiện
δ ∈
0, 1
Pm
i=1∥Ti∥2
được thỏa mãn thì dãy {xn} hội tụ mạnh về x∗ ∈ Ω3, là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân
⟨(I −f)x∗, y−x∗⟩ ≥ 0 ∀y ∈Ω3.
Chứng minh. Trước hết, ta nhắc lại (xem Mệnh đề 1.4.2 và Mệnh đề 1.4.5) rằng T yn = (T1yn, T2yn, . . . , Tmyn). (2.5) và
zn = ˜S(T yn) = (S1(T1yn), S2(T2yn), . . . , Sm(Tmyn)). (2.6) Từ (2.5), (2.6) và Mệnh đề 1.4.3 ii), suy ra
tn =yn +δnT∗(zn −T yn)
=yn +δn
m
X
i=1
Ti∗(Si(Tiyn)−Tiyn). (2.7)
Từ Mệnh đề 1.4.3 i), ta có∥T∥2 ≤ Pm
i=1∥Ti∥2. Do đó, nếuδ ∈ 0, 1 Pm
i=1∥Ti∥2 , thì δ ∈ 0, 1
T2 .
Vì vậy, áp dụng Định lý 2.2.1 cho H1 = H, H2 = ˜H, U = S, V = ˜S và A= T, ta có điều cần chứng minh.
Ta có hệ quả dưới đây giải Bài toán (0.3).
Hệ quả 2.2.4. Cho {xn} là dãy được xác định bởi x0 ∈H và yn =Sn(xn),
tn =yn+δ
m
X
i=1
Ti∗(PQi(Tiyn)−Tiyn), xn+1 =αnf(xn) + (1−αn)tn, n≥ 0,
trong đó f : H −→ H là một ánh xạ co từ H1 vào chính nó, Sn =βnI + (1− βn)PC, {αn ⊂ (0,1) và {βn} ⊂ (0,1) là các dãy số thực dương. Nếu các điều kiện C1)–C2) và điều kiện
δ ∈
0, 1
Pm
i=1∥Ti∥2
được thỏa mãn thì dãy {xn} hội tụ mạnh về x∗ ∈ Ω2, là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân
⟨(I −f)x∗, y−x∗⟩ ≥ 0 ∀y ∈Ω2.
Chứng minh. Áp dụng Định lý 2.2.3 cho S = PC và Si = PQi với mỗi i = 1,2, . . . , m, ta nhận được điều phải chứng minh.
Ta có hệ quả dưới đây cho bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert.
Hệ quả 2.2.5. Cho H là một không gian Hilbert thực và cho Si : H −→ H, i = 1,2, . . . , m, là các ánh xạ không giãn sao cho F = ∩mi=1Fix(Si) ̸= ∅. Cho {xn} là dãy được xác định bởi x0 ∈H và
tn =xn +δ
m
X
i=1
(Si(xn)−xn),
xn+1 =αnf(xn) + (1−αn)tn, n≥ 0,
trong đó f : H −→ H là một ánh xạ co từ H vào chính nó và {αn} ⊂ (0,1) là một dãy các số thực dương. Nếu điều kiện C2) được thỏa mãn và δ ∈
0, 1
m
thì dãy{xn} hội tụ mạnh về x∗ ∈F, là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân
⟨(I −f)x∗, y−x∗⟩ ≥ 0 ∀y ∈ F.
Chứng minh. Áp dụng Định lý 2.2.3 cho Hi = H và S =Ti =I, toán tử đồng nhất trên H, với mọi i = 1,2, . . . , m, ta nhận được điều phải chứng minh.
Sử dụng Chú ý 2.1.2 và Định lý 2.2.2, ta thu được định lý dưới đây về một phương pháp lặp tự thích nghi giải Bài toán (2.1).
Định lý 2.2.6. Cho {xn} là dãy được xác định bởi x0 ∈H và yn =Sn(xn),
tn =yn+δn
m
X
i=1
Ti∗(Si(Tiyn)−Tiyn), xn+1 =αnf(xn) + (1−αn)tn, n≥ 0,
trong đó f : H −→ H là một ánh xạ co từ H1 vào chính nó, Sn =βnI + (1− βn)S, {αn} ⊂(0,1) và {βn} ⊂ (0,1) là dãy số thực dương, và
δn =
ρn
Pm
i=1∥Si(Tiyn)−Tiyn∥2i
∥Pm
i=1Ti∗(Si(Tiyn)−Tiyn)∥2, ∥Pm
i=1Ti∗(Si(Tiyn)−Tiyn)∥>0, 0, trái lại,
với {ρn} ⊂ [α, β] ⊂ (0,1). Nếu các điều kiện C1)–C2) được thỏa mãn thì dãy {xn} hội tụ mạnh về x∗ ∈Ω4, là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân
⟨(I −f)x∗, y−x∗⟩ ≥ 0 ∀y ∈Ω4.
Chứng minh. Áp dụng Định lý 2.2.1 cho H1 = H, H2 = ˜H, U = S, V = ˜S, A= T, và sử dụng lập luận tương tự như chứng minh của Định lý 2.2.3, ta có
yn =Sn(xn),
zn = ˜S(T yn) = (S1(T1yn), S2(T2yn), . . . , Sm(Tmyn)), tn =yn +δn
m
X
i=1
Ti∗(Si(Tiyn)−Tiyn), xn+1 =αnf(xn) + (1−αn)tn, n ≥0, trong đó {δn}được xác định bởi
δn =
ρn ∥zn −Ayn∥2˜
H
∥A∗(zn−Ayn)∥2, ∥A∗(zn−Ayn)∥>0, 0, trái lại,
=
ρn
Pm
i=1∥Si(Tiyn)−Tiyn∥2i
∥Pm
i=1Ti∗(Si(Tiyn)−Tiyn)∥2, ∥Pm
i=1Ti∗(Si(Tiyn)−Tiyn)∥>0, 0, trái lại,
với {ρn} ⊂[α, β] ⊂(0,1). Do đó, từ Định lý 2.2.2 suy ra dãy {xn} hội tụ mạnh về x∗ ∈Ω4, là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân
⟨(I −f)x∗, y−x∗⟩ ≥ 0 ∀y ∈Ω3. Định lý được chứng minh.
Cuối cùng, trong mục này, chúng tôi giới thiệu hai hệ quả của Định lý 2.2.6.
Hai hệ quả này liên quan đến Bài toán (0.3) và bài toán điểm bất động chung của một họ hữu hạn ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert, tương ứng.
Hệ quả 2.2.7. Cho {xn} là dãy được xác định bởi x0 ∈H và yn = Sn(xn),
tn =yn+δn
m
X
i=1
Ti∗(PQi(Tiyn)−Tiyn), xn+1 =αnf(xn) + (1−αn)tn, n≥ 0,
trong đó f : H −→ H là một ánh xạ co từ H1 vào chính nó, Sn =βnI + (1− βn)PC, {αn} ⊂(0,1) và {βn} ⊂ (0,1) là các dãy số thực dương, và
δn =
ρn
Pm
i=1∥Si(Tiyn)−Tiyn∥2i
∥Pm
i=1Ti∗(Si(Tiyn)−Tiyn)∥2, ∥Pm
i=1Ti∗(Si(Tiyn)−Tiyn)∥>0, 0, trái lại,
với {ρn} ⊂ [α, β] ⊂ (0,1). Nếu các điều kiện C1)–C2) được thỏa mãn thì dãy {xn} hội tụ mạnh về x∗ ∈Ω2, là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân
⟨(I −f)x∗, y−x∗⟩ ≥ 0 ∀y ∈Ω2.
Hệ quả 2.2.8. Cho H là một không gian Hilbert thực và cho Si : H −→ H, i = 1,2, . . . , m, là các ánh xạ không giãn sao cho F = ∩mi=1Fix(Si) ̸= ∅. Cho {xn} là dãy được xác định bởi x0 ∈H và
tn =xn +δn
m
X
i=1
(Si(xn)−xn),
xn+1 =αnf(xn) + (1−αn)tn, n≥ 0,
trong đó f : H −→ H là một ánh xạ co từ H1 vào chính nó, {αn} ⊂ (0,1) là một dãy số thực dương và
δn =
ρn
Pm
i=1∥Si(xn)−xn∥2i
∥Pm
i=1Si(xn)−xn)∥2, ∥Pm
i=1(Si(xn)−xn)∥>0, 0, trái lại,
với {ρn} ⊂ [α, β] ⊂ (0,1). Nếu điều kiện C2) được thỏa mãn thì dãy {xn} hội tụ mạnh về x∗ ∈F, là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân
⟨(I −f)x∗, y−x∗⟩ ≥ 0 ∀y ∈ F.