Một tiếp cận tối ưu hai cấp cho hiệu chỉnh bài toán cân bằng giả đơn điệu

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIấN NGUYEN TH THANH HI MđT TIEP CắN TOI ƯU HAI CAP CHO HIfiU CHỴNH BÀI TỐN CÂN BANG GI ĐƠN ĐIfiU LU¾N VĂN THAC SY KHOA HOC Hà N®i – Năm 2015 NGUYEN TH± THANH HÂI M®T TIEP CắN TOI U HAI CAP CHO HIfiU CHẻNH BI TOÁN CÂN BANG GI ĐƠN ĐIfiU Chuyên ngành: TOÁN ÚNG DUNG Mã so: 60.46.01.12 LU¾N VĂN THAC SY KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU Mnc lnc Lèi cam ơn Me đau Kien thÉc chuan b% 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 Khơng gian tuyen tính đ%nh chuan 1.1.2 Không gian Hilbert 1.2 T¾p loi, nón loi, hàm loi 1.2.1 T¾p loi 1.2.2 Nón loi 1.2.3 Hàm loi 1.2.4 Tính chat cua hàm loi 1.3 Ket lu¾n 6 8 10 11 12 Bài toán cân bang 2.1 Bài tốn cân bang khái ni¾m 2.1.1 Phát bieu toán 2.1.2 Các khái ni¾m 2.2 Các trưòng hop riêng cua toán cân bang 2.2.1 Bài toán toi ưu 2.2.2 Bài toán điem bat đ®ng 2.2.3 Bài tốn cân bang Nash trị chơi không hop tác 2.2.4 Bài toán điem yên ngna 2.3 Sn ton tai nghi¾m cua toán cân bang 2.4 Ket lu¾n 13 13 13 13 18 18 19 19 20 21 30 Hi¾u chinh dEa toi ưu hai cap 31 3.1 Hi¾u chinh tốn cân bang gia đơn đi¾u 31 MUC LUC 3.2 3.3 3.1.1 Phương pháp hi¾u chinh Tikhonov 31 3.1.2 Phương pháp điem gan ke 35 Thu¾t tốn giai 40 3.2.1 Mơ ta thu¾t tốn 40 3.2.2 Tính hđi tn cua thuắt toỏn .42 Ket lu¾n 47 Ket lu¾n chung 48 Tài li¾u tham khao 49 LèI CÂM ƠN Qua lu¾n văn em xin bày to lịng kính TRQNG biet ơn sâu sac đen Thay GS.TSKH Lê Dũng Mưu, ngưịi t¾n tình chi bao, hưóng dan, giúp đõ em suot q trình HQC t¾p, nghiên cúu hồn thi¾n lu¾n văn Tác gia xin trân TRQNG cám ơn Ban Giám hi¾u, Phịng Đào tao sau đai HQC đ¾c bi¾t q thay Khoa Tốn - Cơ - Tin HQC Trưịng Đai HQC Khoa HQC Tn nhiên - Đai HQC Quoc gia Hà N®i tao đieu ki¾n thu¾n loi cho em hồn thành khóa HQC Tác gia xin gui lịi cám ơn chân thành tói gia đình, đong nghi¾p, anh ch%, ban bè lóp cao HQC khóa 2013 - 2015 ó luụn đng viờn, khớch lắ tỏc gia co gang suot khóa HQC đe ln đat đưoc ket qua HQC t¾p cao nhat Em xin chân thành cam ơn! Mê ĐAU Lóp tốn cân bang ngày đưoc áp dnng nhieu vào lĩnh vnc cu®c song kinh te, xã h®i, Chính v¾y mà ngày đưoc nhà khoa HQC quan tâm, nghiên cúu Hơn nua, toán cân bang cịn sn mo r®ng cua lóp tốn khác toán toi ưu, toán bat thúc bien phân, tốn điem bat đ®ng, tốn cân bang Nash, tốn điem n ngna, Mơ hình chung cho tốn cân bang x∗ ∈ Cgian cho f (x∗C , y) MQI y ∈ C )) HTìm khơng Hilbert, ⊆≥ H0 vúi l mđt loi v f : C ì (EP(C, C → R ∪f {+∞} m®t song hàm := fhi¾u + εg, trongđưoc ε, g lan lưotbang tham hi¾usong chinhhàm song hàm bang hi¾u chinh,hàm Bàifεtốn chinh xây dnng cáchsothay ban đau song thơng thưịng ta cHQN g l mđt song hm n iắu manh Neu f l mđt song hm n iắu thỡ f đơn đi¾u manh, tốn hi¾u chinh ln có nhat nghi¾m Tuy nhiên, neu f mđt song hm gia n iắu thỡ bi toỏn hiắu chinh trưịng hop tong qt khơng cịn đơn đi¾u manh hay đơn đi¾u, th¾m chí khơng gia đơn đi¾u tốn hi¾u chinh nói chung khơng có nghi¾m nhat, th¾m chí t¾p chinh cho tốn EP(C, giađóđơn đi¾uthe đi¾u.pháp Do đó, lu¾n nghi¾m khơng loi,f )khi khơng áp dnng trưịng trnc tiephop cácđơn phương đe hi¾u văn nghiên cúu trỡnh by mđt so phng phỏp hiắu chinh cho bi tốn cân bang gia đơn đi¾u thơng qua tốn toi ưu hai cap đe tìm điem giói han cua quy đao nghi¾m hi¾u chinh Dna ý tưong cua phương pháp hi¾u chinh Tikhonov, [4] tác gia đưa phương pháp hi¾u chinh vói tốn hi¾u chinh sau Tìm x ∈ C cho fk (x, y) := f (x, y) + εk g(x, y) ≥ vói MQI y ∈ C, εk > làchinh tham so hi¾u chinh, g(x, y) l mđt song hm n iắu manh GQI l songđóhàm hi¾u MŐ ĐAU Năm 1970 Martine đưa phương pháp điem gan ke cho toán bat thúc bien phân đơn đi¾u sau đưoc mo rđng boi Rockafellar (1976) cho toỏn tu n iắu cnc đa% Bài tốn hi¾u chinh có dang k Tìmk x ∈ C saokcho k k−1 (x 0, , y) (x , lưot y) +làccác , yhi¾u − xk )chinh ≥ −δ MQI y ∈ C, k (x − x ckfk> δk := > 0f lan tham so vàk vói sai so cho trưóc Sn khác bi¾t giua hai phương pháp o phương pháp hi¾u chinh điem gan ke tai mői bưóc l¾p tốn hi¾u chinh phn thuđc vo iem lắp o búc trúc v tham so hi¾u chinh ck ƒ→ k → ∞ Nđi dung cua luắn gom ba chng ã Chng 1: Kien thúc chuan b% • Chương 2: Bài tốn cõn bang ã Chng 3: Hiắu chinh dna trờn toi ưu hai cap Chương trình bày m®t so kien thúc so khơng gian tuyen tính, khơng gian Hilbert; kien thúc ve giai tích loi t¾p loi, nón loi, hàm loi; khái ni¾m ve sn h®i tn yeu, h®i tn manh, hàm nua liên tnc trên, nua liên tnc dưói Chương phát bieu tốn cân bang, m®t so trưịng hop có the đưa ve tốn cân bang sn ton tai nghi¾m cua tốn Chương trình bày phương pháp hi¾u chinh tốn cân bang gia đơn đi¾u, thu¾t tốn tiep c¾n dna tốn toi ưu hai cap v sn hđi tn cua thuắt toỏn Mắc dự ó có nhieu co gang, song thịi gian trình đ cũn han che nờn luắn khú trỏnh khoi nhung thieu sót Vì v¾y em rat mong nh¾n đưoc sn góp ý cua thay ban e luắn oc hon thiắn hn H Nđi, ngy 28 tháng 09 năm 2015 Tác giá Nguyen Th% Thanh Hái Chương Kien thÉc chuan b% Chương nhac lai m®t so kien thúc ve khơng gian tuyen tính, khơng gian Hilbert, t¾p loi, nón loi, hm loi; cỏc khỏi niắm ve sn hđi tn yeu, h®i tn manh, hàm nua liên tnc trên, nua liên tnc dưói Các kien thúc đưoc lay tù tài li¾u [1], [2] 1.1 Khơng gian Hilbert 1.1.1 Khơng gian tuyen tính đ%nh chuan Đ%nh nghĩa 1.1.1 Cho X m®t khơng gian tuyen tính thnc M®t chuan trờn X, kớ hiắu l ., l mđt ỏnh xa ǁ.ǁ : X → R thóa mãn tính chat sau ǁxǁ ≥ 0, ∀x ∈ X ; ǁxǁ = ⇔ x = 0; ǁαxǁ = |α|ǁxǁ, ∀x ∈ X, α ∈ R; ǁx + yǁ ≤ ǁxǁ + ǁyǁ, ∀x, y ∈ X Khi (X, ǁ.ǁ) đưac GQI khơng gian tuyen tính đ%nh chuan Đ%nh nghĩa 1.1.2 Cho X không gian tuyen tính thnc, X đưac GQI khơng gian tien Hilbert neu vái MQI x, y ∈ X, xác đ%nh m®t tích vơ hưáng, kí hi¾u (x, y), thóa mãn tính chat (x, y) = (y, x), ∀x, y ∈ X ; (x + y, z) = (x, z) + (y, z), ∀x, y, z ∈ X ; (αx, y) = α(x, y), ∀x, y ∈ X, α ∈ R; (x, x) ≥ 0, ∀x ∈ X ; (x, x) = ⇔ x = Chương Kien thúc chuan b % 1.1.2 Không gian Hilbert Bo đe 1.1.1 MQI không gian tien Hilbert X khơng gian tuyen tính đ%nh chuan, vái chuan đưac xác đ%nh sau √ ǁxǁ = (x, x), ∀x ∈ X Đ%nh nghĩa 1.1.3 Cho X không gian đ%nh chuan Dãy {xn } ⊆ X đưac GQI dãy bán X neu lim n,m→∞ ǁxn −xmǁ = Neu X, MQI dãy ban đeu h®i tn, túc ǁxn − xm ǁ → kéo theo sn ton tai xo ∈ X cho xn → xo X đưoc GQI không gian đu Đ%nh nghĩa 1.1.4 Không gian tien Hilbert đu đưac GQI không gian Hilbert Trong lu¾n văn ta thong nhat kí hi¾u H m®t khơng gian Hilbert trưịng so thnc Ví dn 1.1.1 Lay H = Rnvói tích vơ hưóng xác đ%nh boi h¾ thúc (x, y) = ∑ xiyi i=1→n Trong x = (x1, x2, , xn), y = (y1, y2, , yn) ∈ Rn Khi H m®t khơng gian Hilbert Trên H có hai kieu h®i tn sau Đ%nh nghĩa 1.1.5 Xét dãy {xn }n≥0 x thu®c khơng gian Hilbert thnc H Dãy {xn } ac GQI l hđi tn manh en x, kớ hiắu xn → x neu lim n→+∞ ǁxn −xǁ = Dãy {xn } đưac GQI h®i tn yeu đen x, kí hi¾u xn ~ x neu n lim (w, xn) = (w, x), ∀w ∈ H →+∞ Điem x đưac GQI điem tn manh (hay yeu) cua dãy {xn } neu tù dãy có the trích m®t dãy h®i tn manh (hay yeu) tỏi x Mắnh e 1.1.1 1.Neu {xn} hđi tn manh đen x h®i tn yeu đen x k √ ǁ^ ≤√ xk ǁ = − ǁx^k ǁ + ck ≤ k ck c xk−1 − 2+c Tuy nhiên, khác vói phương pháp hi¾u chinh Tikhonov, cho k → ∞ ck ƒ→ the tốn f )khơng mà chisuy có the ket lu¾n đưoc b% k h®inào đó, cua tù ưóc lưongEP(C, ta đưoc dóy {x } rang hđi dóy tn manh enchắn, mđt nghiắm cn tn yeu ve mđt nghiắm no ú cua tốn ban đau 3.2 Thu¾t tốn giai Như biet, đoi vói tốn cân bang đơn đi¾u, nhị tính đơn đi¾u manh cua tốn hi¾u chinh, thu¾t tốn hi¾u chinh Tikhonov điem gan ke có the dan đen nhung phương pháp giai chap nh¾n đưoc Cịn đoi vói tốn cân bang gia đơn đi¾u, tốn hi¾u chinh nói chung khơng đơn đi¾u manh, th¾m chí khơng gia đơn đi¾u, v¾y phương pháp giai địi hoi tính đơn đi¾u khơng the áp dnng đưoc Trong trưịng hop này, điem giói han điem chieu cua nghi¾m dn đốn xg t¾p nghi¾m cua tốn EP(C, f ) Các điem giói han có the thu đưoc dna vào toán toi ưu hai cap 3.2.1 Mơ ta thu¾t tốn min{ǁx−xgǁ vói x ∈ S(C, f )} (BO) Nhf ta ómđt biet,tắp loi f Do gia đơn(BO)là đi¾u C, t¾p f ) cua bàichuan toán EP(C, ) toán tỡmnghiắm cnc tieu S(C, cua mđt hm trờn mđt loi Gia su t¾p nghi¾m S(C, f ) cua toán EP(C, f ) βkhác rőng 2và f liên tnc yeu, (B1)L(x, x) = 0, ∃β > : L(x, y) ≥ ǁx−yǁ , ∀x, y ∈ C; gia n iắu trờn C Xột mđt song hm L : H × H → R thoa mãn đieu ki¾n sau (B2 )L liên tnc yeu, L(x, ) kha vi, loi manh H vói MQI x ∈ C ∇2 L(x, x) = vói Ta MQI x ∈ H xét bo đe sau Bo đe 3.2.1 Giá su f thóa mãn giá thiet (A1), (A2) L thóa mãn giá thiet (B1 ), (B2 ) Khi đó, vái MQI ρ > 0, m¾nh đe sau tương đương x∗ nghi¾m cua tốn cân bang; x∗ ∈ C : f (x∗ , y) +ρ L(x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C; x∗ = argmin{ f (x∗ , y) +ρ L(x∗ , y) : y ∈ C} Thu¾t tốn CHQN ρ > η ∈ (0, 1) Khoi đau vói x1 := xg C (xg cú vai trũ nh l mđt nghiắm dn đốn) Neu ∈ S(C, ), m®t cua tốn toi ưu (BO), ngưoc lai ta thnc hi¾nxphép l¾p fđoi vóixk theo cácnghi¾m bưóc sau Bưác Giai toán quy hoach loi manh ρ min{ f (xk, y) + đe tìm nghi¾m nhat yk L(xk, y) : y ∈ C} (CP(xk)) Neu yk = xk , cHQN uk := xk chuyen đen Bưóc Ngưoc lai chuyen sang Bưóc Bưác 2.(Qui tac tìm kiem theo tia Amijio) Tìm m®t so ngun, khơng âm nho nhat mk , m m®t so nguyên, thoa mãn zk,m := (1 −η m )x k + ηmy k, (3.11) f (zk,m, yk) + ρ L(xk, yk) ≤ (3.12) Đ¾t ηk := ηmk , zk := zk,mk , tính k η f (zk, yk) − k σ = k(1 −ηk)ǁgkǁ2 , k := −σ k g ), (3.13) PC(xk gk ∈ ∂2 f (zk, zk), dưói đao hàm cua hàm loi f (zk, ) tai zk Bưác Xây dnng nua không gian Ck := {y ∈ H : ǁuk −yǁ ≤ ǁxk −yǁ2}; Dk := {y ∈ H : (xg −x k , y−x k ) ≤ 0} Bưác Đ¾t Bk = Ck ∩Dk ∩C tính xk+1 := PBk (xg) k+1 k+1 Neu ∈ S(C, f ),trình ket lu¾n x nghi¾m cua tốn (BO) Ngưoc lai, tăng k lên 1xvà l¾p lai Chú ý (i)Vi¾c tìm kiem theo tia Bưóc hồn tồn xác đ%nh đưoc, trái lai vói MQI so ngun khơng âm m ta có f (zk,m, yk) + L(xk, yk) > ρ (3.14) Cho m → ∞, tính nua liên tnc yeu cua f (., yk), ta có f (xk, yk) + ρ L(xk, yk) ≥ 0, k f (x , manh xk) +CP(x L(xkk)., xk) = 0, cho thay xk l mđt nghiắm cua bi toỏn quy hoach loi ρ k Do xk = xk ƒ= yk.y , đieu mâu thuan vi¾c tìm kiem theo tia chi đưoc thnc hi¾n Chú ý rang mk > 0.1Th¾t v¾y, neu mk = ta có zk = yk, k k k k k k ρL(x , y ) = f (z , y ) + ρ L(x , y ) ≤ 0, L không âm, L(xk, yk) = tù ta có xk = yk L(xk, yk) ≥ β ǁxk −ykǁ2, (ii) gk ƒ= kích thưóc σk bưóc o (3.13) cho thay xk ƒ= yk Th¾t v¾y, neu gk = đó, gk ∈ ∂2 f (zk, zk) ta có f (zk, x) ≥ (gk, x−z k ) + f (zk, zk) = 0, ∀x ∈ C Tù (3.12) ta có L(xk, yk) ≤ 0, gia thiet (B1) L(xk, yk) ≥ 3.2.2 β k ǁx − ykǁ2 Do xk = yk Tớnh hđi tn cua thuắt toỏn Bo e đ%nh lý sau cho thay tính h®i tn manh cua dãy {xk},{uk} thu¾t tốn Bo đe 3.2.2 Tù giá thiet cua Bő đe 3.2.1 ta có Giá su f thóa mãn giá thiet (A1), (A2) L thóa mãn giá thiet (B1), (B2) k ǁuk − x∗ ǁ2 ≤ ǁxk − x∗ ǁ2 − σ ǁgk ǁ2 , ∀x∗ ∈ S(C, f ), ∀k (3.15) ChÉng minh Đ¾t vk = xk −σkgk Tù uk = PC(vk), ta có ǁuk − x∗ ǁ2 = ǁPC (vk ) − PC (x∗ )ǁ2 ≤ ǁvk − x∗ ǁ2 ; = ǁxk − x∗ − σk gk ǁ2 ; (3.16) = ǁxk − x∗ ǁ2 + σk ǁgk ǁ2 − 2σk (gk , xk − x∗ ) Do gk ∈ ∂2 f (zk, zk) nên ta có (gk , xk − x∗ ) = (gk , xk − zk + zk − x∗ ); = (gk , xk − zk ) + (gk , zk − x∗ ); (3.17) ≥ (gk , xk − zk ) − f (zk , x∗ ) Vì x ∈ S(C, đi¾u suy − f (zk , x∗ ) ≥ Do đó, tù (3.16) ta cóf ) nên f (x , z ) ≥k 0,k f là∗ gia đơn (g , x − x ) ≥ (gk , xk − zk ) (3.18) ∗ ∗ k Trong xk −z k = (zk −yk) Khi −ηk ηk k k k ηk (g , x k k k − −z ) = −η k (g , k2 (3.19) y)= σkǁg ǁ z Đang thúc cuoi đưoc suy tù đ%nh nghĩa cua σk công thúc (3.13) cua thu¾t tốn Ket hop vói cơng thúc (3.16), (3.18), (3.19) ta thu đưoc (3.15) vái MQI x ∈ C toán EP(C, f ) có nghi¾m Khi cá hai dãy {xk }, {uk } đeu h®i Đ%nh lý 3.2.1 Giá su f song hàm liên tnc yeu, f(x,.) loi, dưái vi phân C tn tái nghi¾m nhat cua toán toi ưu hai cap (BO) ChÉng minh Ta có S(C, f ) ⊆ Bk vói MQI k Th¾t v¾y, tù Đ%nh lý 3.1.2 ta có ǁun − x∗ ǁ2 ≤ ǁxn − x∗ ǁ2 , ∀x∗ ∈ S(C, f ), S(C, TaDchúng minh S(C, f ) ⊆ Dk bang phương pháp quiđó nap Vóif )k ⊆ =C kthì = H nên S(C, f ) ⊆ D1 Gia su S(C, f ) ⊆ Dk , túc (xg − xk , x∗ − xk ) ≤ vói MQI x∗ ∈ S(C, f ) Khi S(C, f ) ⊆ Bk = Ck ∩Dk M¾t khác theo đ%nh nghĩa xk+1 = PBk (xg) nên ta có (x∗ − xk+1 , xk+1 − xg ) ≤ 0, ∀x∗ ∈ S(C, f ), hay (xk+1 − x∗ , xg − xk+1 ) ≤ 0, ∀x∗ ∈ S(C, f ) V¾y S(C, f ) ⊆ Dk+1, suy S(C, f ) ⊆ Bk Tù đ%nh nghĩa cua Dk, ta có Do xk+1 ∈ Dk nên xk = PDk (xg) ǁxk −xg ǁ ≤ ǁx −x ǁ, k+ ∀k ∈ C g Hơn nua, xk = PDk (xg ) S(C, f ) ⊂ Dk vói MQI k nên ta có ǁxk − xg ǁ ≤ ǁx∗ − xg ǁ, ∀x∗ ∈ S(C, f ), ∀k (3.20) k Do {x } b% ch¾n k k g k+1 g k g Do tai tính b% ch¾n cua {x } ǁx − x ǁ ≤ ǁx − x ǁ vói MQI k nên limk ǁx − x ǁ ton Ta chúng minh ǁxk+1 −xkǁ → k → ∞ Th¾t v¾y, xk ∈ Dk xk+1 Dk, Dk l mđt loi nờn ta có kk+1 + xk ∈ Dk M¾t khác, xk = PDk (xg) nên theo tính chat loi manh cua hàm ǁxg −.ǁ2 ta có k+1 g k ǁ x− ǁ ≤ = g k xx x + x −; x −x + x −x ; k = Suy 21 g k+12 ǁxg −xk+1ǁ2 + g 21 ǁxg − k+1 g 41 ǁxk+1 −xkǁ2 −x k ǁ k+1 k g k2 −x ǁ ǁx −x ǁ ≤ ǁx −x ǁ −ǁx k g Do lim ǁx −x ǁ ton tai nên ta suy ǁxk+1 −xkǁ → k → ∞ M¾t khác, xk+1 ∈ Bk ⊆ Ck, tù đ%nh nghĩa cuak+1 Ck ta có k k+1 ǁu −x ǁ ≤ ǁx −x ǁ Do đó, ǁuk−x ǁkk ≤ ǁu −x k+1 k+ ǁ+ ǁx −x ǁ ≤ 2ǁx ǁxk+1 −xkǁ → 0, túc ǁuk −xkǁ → k → ∞ −x ǁ, k+1 k cuaSau tốntaEP(C, ) Th¾t v¾y, điem lay x m®t điem tncua yeudãy bat{x kỳk}cuađeu dãylà{x } Khơng se chif rang m®t tn yeu bat k mđt nghiắm mat tớnh chat tong quỏt, ta gia su xk ~ x Ta xét hai trưòng hop Trưàng hap Vi¾c tìm kiem theo tia chi xay o huu han điem Trong hop này, theo thu¾t uk = xk vói MQI k vơ han, yk = xk l mđt nghiắmtrũng cua bi toỏn EP(C, f ) vóitốn, MQI k Do v¾y, trưịng hop ln Trưàng hap Vi¾c tìm kiem theo tia xay tai vơ han điem Khi ta trích mđt dóy v gia thiet rang viắc tỡm kiem theo tia thnc hi¾n đưoc vói MQI k Ta xét hai kha (a) lim ηk > 0.k Do xk ~ xk ǁu −xkǁ → nên uk ~ x Áp dnng cơng thúc (3.15) vói x∗ ∈ S(C, f ) ta thay σk ǁgk ǁ2 → Do đ%nh nghĩa cua σk nên ta có ηk k k k Tù đieu ki¾n limkηk > 0, gia su (gk, yk − zk) → M¾t khác tù gia thiet (B1) qui tac tìm kiem Armijo ta có k k k β k k k k ≤ 2ρ ǁx − yǁ ≤ 2ρ L(x , y ) ≤ −(g −z ) → ,y Do đó, ǁx −y ǁ → Do x ~ x nên yk ~ x, yk nghi¾m cua toán k k k , f (xk , y) + ρ L(xk , y) : y ∈ C, Khi ta có the viet lai sau 1 f (xk, y) + L(xk, y) ≥ f (xk, yk) + L(xk, yk)∀y ∈ C ρ ρ Cho k tien vơ cùng, tính liên tnc yeu cua f L nên 1 f (x, y) + L(x, y) ≥ f (x, y) + L(x, y) ρ ∀y ∈ C, ρ đieu cho thay y làxknghi¾m cuay k k Do ǁxnày −y ǁ→ ~ x, yk ~ nêntoán suy CP(x) x = y Vắy theo Bo e 3.2.1 x l mđt nghiắm cua toán EP(C, f ) (b) limk ηk = (CP(Ck )) Trong trưòng hop dãy {yk} b% ch¾n Th¾t v¾y, yk nghi¾m cua toán CP(xk), hàm mnc tiêu liên tnc yeu, loi manh lịi giai khơng đoi Theo Đ%nh lý Berge, ánh xa xk → s(xk) := yk k liên tnc yeu Tù tính chat b% ch¾n cua {x } ta suy {yk} b% ch¾n, suy yk ~ y L¾p lu¾n tương tn trưóc ta đưoc 1 f (x, y) + L(x, y) ≤ f (x, y) + L(x, y), C ∀y ∈ (3.21) ρ ρ M¾t khác, mk so tn nhiên nho nhat thoa mãn quy tac tìm kiem theo tia Armijo nên f (zk,mk−1, yk) + L(xk, yk) > (3.22) ρ Trong zk,mk−1 ~ x k → ∞ Tù bat thúc (3.22), tính liên tnc yeu cua f L ta thu đưoc giói han Thay y = x vào (3.21) ta ρ1 đưoc ket hop vói (3.23) ta f (x, y) + L(x, y) ≥ (3.23) đưoc Tù (3.24) f (x, y) +ρ L(x, y) ≤ 0, f (x, y) + L(x, y) = ρ (3.24) f (x, x) + L(x, x) = 0, ρ suy ca x, y đeu nghi¾m cua tốn , f (x, y) +ρ L(x, y) : y ∈ C, Do x = y, theo Bo đe 3.2.1 x nghi¾m cua tốn EP(C, f ) Hơn nua, tù đieu ki¾n ǁuk − xk ǁ → ta có the ket lu¾n rang, MQI điem tn yeu cua {xk } eu l mđt nghiắm cua bi toỏn EP(C, f ) Ta can chi {xk} h®i tn manh đen nghi¾m nhat cua tốn hai cap∗ (BO) k Nhắn thay MQI iem tn yeu l mđt k cua {x } eu gthuđc nghiắm S(C, f ) GQI k k ∗ điem tn bat {x j},→s ∞ = PS(C, f ) (x ) Khi đó, ton tai dãy {xk j }x cua dãy {x } chokỳ x jcua → dãy x Theo chúng minh ta có x∗ ∈ S(C, f ) tù đ%nh nghĩa cua s ta suy j k ǁs − xg ǁ ≤ ǁx∗ − xg ǁ = lim ǁxk j − xg ǁ ≤ lim supǁxk − xg ǁ ≤ ǁs − xg ǁ Bat thúc cuoi xay xk+1 = PBk (xg ) s ∈ S(C, f ) ⊆ Bk vói MQI k Do lim ǁxk − xg ǁ = ǁs − xg ǁ = ǁx∗ − xg ǁ g Do x∗ S(C, ∈ S(C, s =nhat, PS(C, suy S(C, f ) m®t loi kđóng hình chieu f ) (x ) xg lên f ) flà),duy x∗ = s, xk →t¾p s → ∞nên nghi¾m cua cua tốn (BO) Tù ǁxk −u k ǁ → ta có uk → Psxg Q 3.3 Ket lu¾n Chương trình bày đưoc phương pháp hi¾u chinh Tikhonov phương pháp hi¾u chinh điem gan ke, su dnng phương pháp vào vi¾c giai tốn cân bang gia đơn đi¾u khơng gian Hilbert thơng qua vi¾c giai tốn toi ưu hai cap Chúng to tốn hi¾u chinh có nghi¾m tốn goc có nghi¾m MQI quy đao nghiắm cua bi toỏn hiắu chinh eu hđi tn ve cựng mđt nghiắm l nghiắm cua bi toỏn ban au KET LU¾N CHUNG Lu¾n văn trình bày van đe sau - Các khái ni¾m ve khơng gian tuyen tính đ%nh chuan, khơng gian tien Hilbert, khơng gian Hilbert, sn h®i tn yeu, h®i tn manh khơng gian Hilbert - Các đ%nh nghĩa ve t¾p loi, nón loi, hàm loi tính chat cua hàm loi - Phát bieu toán cân bang, sn ton tai nghiắm cua bi toỏn cõn bang Trỡnh by mđt so trưịng hop có the đưa ve tốn cân bang toán toi ưu, toán điem bat đ®ng, tốn cân bang Nash, tốn điem n ngna - Trình bày phương pháp hi¾u chinh Tikhonov phương pháp điem gan ke cho toán cân bang gia đơn đi¾u, thu¾t tốn hi¾u chinh dna tốn toi ưu hai cap sn h®i tn cua thu¾t tốn 48 TÀI LIfiU THAM KHÂO Tieng Vi¾t [1] Đő Văn Lưu, Giái tích hàm, (2009), NXB khoa HQC ky thuắt, H Nđi [2] Lờ Dng Mu, Nguyen Vn Hien, Nguyen Huu Đien (2015), Giáo trình giái tích loi úng dnng, NXB ĐHQG Hà N®i Tieng Anh [3] Bui V.Dinh, Pham G.Hung, Le D.Muu (2014), Bilevel optimization as a regu- larization approach to pseudomonotone equilibrium problems, Numerical Functional Analysis and Optimization 35:539-563 [4] Pham G Hung, Le D Muu (2011), The Tikhonov regularization extended to equilibrium problems involving pseudomontone bifunctions, Nonlinear Analysis 74:6121 – 6129 [5] M Bianchi and S Schaible (1996), Generalized monotone bifunctions and equilibrium problems, Journal of Optimization Theory and Applications 90:31–43 [6] G Mastroeni (2003), On auxiliary priciple for equilibrium problems, Kluwer Academic, Dordrecht, pp 289–298 [7] L D Muu (1984), Stability property of a class of variational inequality, Opti- mization 15:347–351 49 ... bang Chương Hi¾u chinh dEa toi ưu hai cap Bài toán cân bang hai cap tốn có dang ∗ Tìm x∗cua ∈ Sbài f cho g(x , y) ≥ 0, ∀y ∈ S f S t¾p nghi¾m tốn cân bang f Tìm u ∈ C cho f (u, y) ≥ 0, ∀y ∈ C vói... trênriêng C Bài tốn chúa lóp? ?bài tốnlàquan kháccân nhưbang cácxác trưịng cua cân bang tốn batnhieu thúc bien phân hai cap, toán bat thúc bien phân t¾p nghi¾m cua tốn cân bang Bài tốn toi ưu hai cap... trưịng hop riêng có the đưa ve tốn cân bang 2.2 Các trưèng hep riêng cua toán cân bang 2.2.1 Bài toán toi ưu Cho hàm so ϕ : C → R Xét tốn toi ưu Tìm x∗ ∈ C cho ϕ(x∗ ) ≤ ϕ(y), ∀y ∈ C (OP) Đ¾t