Trang 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------ NGUYỄN THỊ THANH LOAN MỘT TIẾP CẬN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNGChuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12 LUẬN VĂN
Tập lồi, hàm lồi
Tập lồi
Định nghĩa 1.1 Trong không gian Hilbert thựcH, một tậpC ⊆ H được gọi là mộttập lồi nếu với mọix, y ∈ C, λ ∈ [0,1]suy ra λx+(1−λ)y ∈ C.
Hay nói cách khác tập C ⊆ H là tập lồi nếu nó chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kì thuộc nó.
Ví dụ 1.1 Trong hình vẽ dưới đây, hình tròn bao gồm cả biên màu nâu là một tập lồi vì đoạn thẳng nối hai điểm X, Y nằm hoàn toàn trong hình tròn.
(i) Các tam giác và hình tròn trong mặt phẳng là các tập lồi.
(ii) Hình cầu đơn vị trong không gian Banach là tập lồi.
Mệnh đề 1.1 Giả sử tập C i là các tập con lồi trong không gian Hilbert thực H, λ i ∈R (i = 1, k) Khi đú λ 1 C 1 +λ 2 C 2 +ã ã ã+λ k C k là tập lồi. Định nghĩa 1.2 Vectơ x là tổ hợp lồi của các điểm (vectơ) x 1 , , x k nếu x k
Mệnh đề 1.2 Tập hợp C là lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi của các điểm của nó Tức là C lồi khi và chỉ khi với mọi k ∈ N, λ 1 , , λ k > 0 mà k
Mệnh đề 1.3 Giả sử tập Ci là các tập con lồi trong không gian Hilbert thực H, λi ∈ R n (i ∈ I) là các tập lồi với I là tập chỉ số bất kỳ Khi đó tập C = T i∈I
Ci cũng là một tập lồi. Định nghĩa 1.3 Cho C 6= ∅ (không nhất thiết lồi) và y là một vectơ bất kỳ, đặt d C (y) := inf x∈Ckx−yk.
Ta nói d C (y) là khoảng cách từ y đến tập C.
Nếu tồn tại π ∈ C sao cho dC(y) = kπ−yk thì ta nói π là hình chiếu(vuông góc) của y trên C. Định nghĩa 1.4 Cho không gian Hilbert thực H, C ⊂ H, x 0 ∈ C Nón pháp tuyến (ngoài) của tập C tại x 0 là tập hợp
Mệnh đề 1.4 Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng Khi đó:
(i) Với mọi y ∈ R n , π ∈ C, hai tính chất sau là tương đương: a) π =pC(y), b) y −π ∈ NC(π).
(ii) Với mọi y ∈ R n , hình chiếu p C (y) của y trên C luôn tồn tại và duy nhất.
(iii) Ánh xạ y ,→p C (y) có các tính chất sau: a) kp C (x)−p C (y)k ≤ kx−yk ∀x, ∀y, (tính không giãn), b) hpC(x)−pC(y), x−yi ≥ kpC(x)−pC(y)k 2 , (tính đồng bức).
Hàm lồi
Trong không gian Hilbert thực H, C ⊂ H là tập lồi và hàm f : C →
(i) Miền hữu hiệu của hàm f, kí hiệu là domf, được xác định bởi: domf :={x∈ C |f(x) < +∞}.
(ii) Trên đồ thị của hàm f, kí hiệu là epif, được xác định bởi: epif := {(x, u) ∈ C ×R |f(x) ≤ u}. Định nghĩa 1.6 Hàm f được gọi là chính thường nếu domf 6= ∅ và f(x) >−∞ với mọi x. Định nghĩa 1.7 Trong không gian Hilbert thực H, C ⊆ H là tập lồi khác rỗng và ánh xạ f : H → R∪ {+∞} Ta nói i) f là hàm lồi trên C nếu f[λx+ (1−λ)y] ≤ λf(x) + (1−λ)f(y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0,1); ii) f được gọi là lồi chặt trên C nếu f[λx+ (1−λ)y] < λf(x) + (1−λ)f(y), ∀x, y ∈ C, x 6= y, ∀λ ∈ (0,1); iii) f được gọi là hàm lõm (lõm chặt) trên C nếu hàm −f là hàm lồi (lồi chặt) trên C; iv) f được gọi là lồi mạnh với hệ số β > 0 trên C nếu f[λx+(1−λ)y]≤ λf(x)+(1−λ)f(y)−βλ(1−λ)kx−yk 2 , ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0,1]; v) f được gọi là tựa lồi trên C nếu ∀λ∈ R, tập mức {x ∈C : f(x)≤ λ} là tập lồi; vi) f được gọi là tựa lõm trên C nếu −f là hàm tựa lồi trên C.
(i) Hàm a-phin f(x) := a T x+α, trong đó a∈ R n , α ∈ R Dễ dàng kiểm tra được rằng f là một hàm vừa lồi vừa lõm trên toàn không gian Khi α = 0, thì hàm này được gọi là hàm tuyến tính.
(ii) Cho C 6= ∅ là một tập lồi Hàm chỉ Đặt δ C (x) :
Do C lồi, nên δC là một hàm lồi.
(iii) Hàm tựa của C được xác định bởi s C (y) := sup x∈C hy, xi là một hàm lồi.
(iv) Cho C lồi đóng, hàm khoảng cách đến tập C được định nghĩa bởi d C (x) := min y∈C kx−yk là một hàm lồi.
(v) Giả sử x= (x 1 , , x n ).Hàm chuẩn f(x) := kxk1 := max i |xi| hoặc f(x) := kxk := (x 2 1 +ã ã ã+x 2 n ) 1 2 là các hàm lồi.
Mệnh đề 1.5 Nếu f là một hàm lồi trên không gian Hilbert thực H, thì các tập mức
Lf(α) := {x |f(x) ≤ α}, l f (α) := {x| f(x)< α} là lồi với mọi α ∈ R.
Mệnh đề 1.6 Cho f là một hàm thuần nhất dương trên R n Khi đó f lồi khi và chỉ khi nó là dưới cộng tính, theo nghĩa f(x+y) ≤ f(x) +f(y), ∀x, y. Định nghĩa 1.8 Cho không gian Hilbert thực H, một hàm f : H → R. Khi đó
(i) Một hàmf xác định trên tậpH được gọi lànửa liên tục dưới tại điểm x 0 ∈ H nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho f(x) ≥ f(x 0 )− ε,với mọi x∈ H thỏa mãn kx−x0k < δ;
(ii) Hàm f được gọi là nửa liên tục trên tại điểm x0 ∈ H nếu hàm −f nửa liên tục dưới tại x0 ∈H;
(iii) Hàm f được gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ H nếu hàm f vừa nửa liên tục dưới trên tại điểm x0 ∈ H và vừa nửa liên tục trên tại điểm x 0 ∈H;
(iv) Hàm f được gọi là liên tục (nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới) trên
H nếu hàm f liên tục (nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới) tại mọi điểm trên H.
Mệnh đề 1.7 Với mọi hàm f : H → R∪ {+∞} các điều sau là tương đương:
(i) Trên đồ thị của f là một tập đóng trên R n+1
(ii) Với mọi số thực α, tập mức dưới
(iii) f nửa liên tục dưới trên không gian Hilbert thực H.
Mệnh đề 1.8 Đối với một hàm lồi chính thường trên không gian Hilbert thực H và x 0 ∈ int(domf), các khẳng định sau đây là tương đương: (i) f liên tục tại điểm x 0
(ii) f bị chặn trên trong một lân cận của x 0
(vi) int(domf)6= ∅ và f liên tục trên tập int(domf).
Mệnh đề 1.9 Giả sử f là một hàm lồi chính thường trên không gianHilbert thực H Khi đó f liên tục tại mọi điểm x∈ int(domf).
(i) Chof vàg là các hàm lồi lần lượt trên các tập lồi A vàB, vớiA∩B 6= ∅. Khi đó hàm (λf) + (βg) lồi trên A∩B, với mọi λ, β ≥ 0.
(ii) Giới hạn theo từng điểm của dãy các hàm lồi cũng là một hàm lồi Tức là: nếu fi : C → R (i ∈ N) và dãy số {fi(x)} hội tụ với mỗi x ∈ C, thì hàm f(x) := lim i→∞fi(x) cũng lồi trên C.
(iii) Nếu f : C → R lồi trên tập lồi C và hàm một biến ϕ : I → R không giảm trên khoảng I, sao cho f(C)⊆ I thì hàm hợp ϕ◦f lồi trên C.
Mệnh đề 1.11 Nếu F là một tập lồi trong R n+1 thì hàm số f(x) := inf{à ∈ R | (à, x) ∈F} là một hàm lồi trên không gian Hilbert thực H.
Mệnh đề 1.12 Giả sử f1, , fm là các hàm lồi chính thường trên không gian Hilbert thực H Khi đó hàm tổng chập f(x) := inf{f 1 (x 1 ) +ã ã ã+fm(x m )|x 1 +ã ã ã+x m =x} là một hàm lồi trên không gian Hilbert thực H. Định nghĩa 1.9 Cho không gian Hilbert thực H, hàm f : H → R ∪ {+∞} Ta nói x ∗ ∈ H ∗ là dưới đạo hàm của f tại x nếu hx ∗ , z−xi+f(x) ≤ f(z) ∀z.
Ký hiệu tập hợp tất cả các dưới đạo hàm của f tại x là ∂f(x) Khi
∂f(x)6= ∅ thì ta nói hàm f khả dưới vi phân tại x.
Ví dụ 1.4 Xét f(x) = kxk, x ∈ R n Tại điểm x= 0 hàm này không khả vi, nhưng nó khả dưới vi phân và
Mệnh đề 1.13 Cho f : R n → R∪ {+∞} lồi, chính thường Khi đó, x ∗ ∈
∂f(x) khi và chỉ khi f 0 (x, y) ≥ hx ∗ , yi ∀y Nếu x ∈ domf thì f 0 (x, y) sup x ∗ ∈∂f(x)hx ∗ , yi với mọi y.
Mệnh đề 1.14 Cho f :H →R∪ {+∞} lồi, chính thường Khi đó:
(ii) Nếux∈ int(domf) thì∂f(x) 6= ∅ và compact Ngược lại, nếu∂f(x) 6= ∅,compact thì x∈ domf.
Ánh xạ co, ánh xạ không giãn và tựa không giãn
Ánh xạ co
Định nghĩa 1.10 Cho C là một tập con khác rỗng của không gian Hilbert thực H và ánh xạ T : H → C Khi đó, T được gọi là ánh xạ co trên C nếu tồn tại số α ∈ [0,1) sao cho kT x−T yk ≤αkx−yk ∀x, y ∈ C. Định nghĩa 1.11 Cho C là một tập con khác rỗng của không gian Hilbert thực H và T : H → C là một ánh xạ xác định Điểm x ∈ C được gọi là điểm bất động của C nếu T(x) = x. Định lý 1.1 (Nguyên lý ánh xạ co Banach) Giả sử C là một không gian mêtric đầy đủ và T : C → C là một ánh xạ co Khi đó, C có duy nhất một điểm bất động.
Chứng minh Lấy tùy ý một điểm x0 ∈ X và đặt x n+1 = T(x n ) với n = 0,1,2,
Ta chứng tỏ rằng {xn} là một dãy Cauchy trong C Thật vậy, vìT là ánh xạ co nên tồn tại số α ∈ [0,1) sao cho với mọi n ≥ 1, ta có kx n −xn+1k = kT x n−1 −T xnk
Do đó, với mọi m ≥ n và với mọi α ∈ [0,1), ta có kxn−xmk ≤ kxn−xn+1k+ã ã ã+kx m−1 −xmk
Bởi vì α ∈ [0,1) nên α n → 0 khi n → ∞ Do đó, với mọi > 0, tồn tại
N ∈ N ∗ sao cho với mọi m, n ≥ N, ta có kx n −x m k ≤ α n
1−αkx 0 −x 1 k < Điều này chứng tỏ rằng {xn} là một dãy Cauchy trong C Hơn nữa, vì C là một không gian mêtric đầy đủ nên tồn tại giới hạn x ∗ = lim n→∞xn Ta có,
0 ≤ kx n −T x n k = kx n −x n+1 k ≤α n kx 0 −x 1 k→ 0, n → ∞ và ta để ý rằng các hàm T,k.k là liên tục, do đó n→∞lim kxn−T xnk = kx ∗ −T x ∗ k, suy ra kx ∗ −T x ∗ k = 0 hay T x ∗ = x ∗ Điều này chứng tỏ rằng x ∗ là một điểm bất động của T.
Bây giờ, ta chứng minh rằng x ∗ là điểm bất động duy nhất của T Thật vậy, giả sử x ∗ , y ∗ là các điểm bất động của T Khi đó, với mọi α ∈ [0,1) ta có kx ∗ −y ∗ k = kT x ∗ −T y ∗ k ≤ αkx ∗ −y ∗ k, suy ra
(1−α)kx ∗ −y ∗ k ≤0 với mọi α ∈ [0,1), kéo theo kx ∗ −y ∗ k = 0. Điều này chứng tỏ rằng x ∗ = y ∗ và suy ra điểm bất động của T là duy nhất.
Ánh xạ không giãn và tựa không giãn
Định nghĩa 1.12 Cho C là một tập con khác rỗng của không gian Hilbert thực H Ánh xạ T : H → C được gọi là ánh xạ không giãn nếu kT x−T yk ≤ kx−yk ∀x, y ∈C.
Ví dụ 1.5 Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert thực H Khi đó với mỗi x ∈ H, ánh xạ P C : H → C thỏa mãn điều kiện: kx−PC(x)k = inf y∈C kx−yk là một ánh xạ không giãn
Mệnh đề 1.15 [3] Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert thực H và T :C → H là ánh xạ không giãn Khi đó, với mỗi u∈ C và t ∈ (0,1), tồn tại duy nhất điểm xt ∈C sao cho xt = (1−t)u+T xt. Nếu C bị chặn thì xt −T xt → 0 khi t → 1.
Hệ quả 1.1 Cho C là tập con bị chặn lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert thực H và T : C → C là ánh xạ không giãn Khi đó, tồn tại dãy {x n } trong C sao cho n→∞lim kxn−T xnk = 0. Định lý 1.2 [3] Cho C là tập con lồi khác rỗng của không gian Hilbert thực H và T : C → C là ánh xạ không giãn Với t ∈ (0,1) ta định nghĩa ánh xạ T t :C → C bởi
Nếu với x 0 ∈ C, dãy {T t n x 0 } bị chặn thì T t là tiệm cận đều tại x 0 , nói cách khác n→∞lim kT t n −T t n+1 x0k = 0. Định nghĩa 1.13 Cho C là tập con khác rỗng của không gian Hilbert thực H Ánh xạ T : C → H được gọi là nửa đóng tại v ∈H nếu mọi dãy {x n } trong C, ta luôn có x n * u∈ C và T x n →v kéo theo T u= v.
Bổ đề 1.1 [3] Nếu một dãy {xn} trong H hội tụ yếu tới x0 ∈H thì lim inf n→∞ kxn−x0k 0 sao cho f(x, y) +f(y, z) ≥ f(x, z)−L1kx−yk 2 −L2ky−zk 2 , ∀x, y, z ∈S.
Trong phần dưới đây chúng tôi luôn giả sử rằng φ :C×C →R sao cho φ(x,ã) là lồi với mọi x ∈ C và ϕ : C → R là hàm lồi trờn C Đối với tớnh liên tục (tương ứng liên tục trên, liên tục dưới) của ϕ và φ chúng ta hiểu là liên tục (tương ứng liên tục trên, liên tục dưới) đối với tập C Khi đó ta xem xét bài toán cân bằng (EP) với f(x, y) := φ(x, y) +ϕ(y)−ϕ(x). Trong trường hợp này bài toán (EP) trở thành bài toán cân bằng hỗn hợp (MEP) có dạng
Tìm x ∗ ∈ C sao cho f(x ∗ , y) := φ(x ∗ , y) +ϕ(y)−ϕ(x ∗ ) ≥ 0, ∀y ∈ C. Định nghĩa 2.3 Cho g : C → R là một hàm lồi và λ > 0 Ánh xạ gần kề Pλ tương ứng đối với C, g, λ được định nghĩa như sau:
Với f là một song hàm trong đú f(x,ã) lồi, hữu hạn trờn C, ỏnh xạ gần kề B λ được định nghĩa bởi
Chỳ ý nếu f(x,ã) liờn tục trờn C hoặc C cú điểm trong và f(x, x) = 0 thì x ∗ là điểm bất động của B λ nếu và chỉ nếu nó là nghiệm của bài toán (EP). Định nghĩa 2.4 ChoC là một tập con khác rỗng của không gian Hilbert thựcH Ánh xạT :H → C được gọi làtự co trên C nếu tồn tại α ∈(0,1) sao cho kT(x)−T(y)k ≤αkx−yk ∀x ∈ F ix(T), y ∈C. Định lý sau đây chỉ ra rằng nếu f là đơn điệu mạnh và thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz trên C thì ta có thể chọn tham số hiệu chỉnh sao cho ánh xạ gần kề là tựa co trên C Khi áp dụng điều kiện tối ưu cho bài toán được xác định bởi ánh xạ gần kề, ta luôn giả thiết hoặc là C có điểm trong hoặc với mọi x ∈ C, φ(x,ã) là liờn tục đối với C tại một điểm thuộc C. Định lý 2.1 Cho f là đơn điệu mạnh trên C với hệ số τ và thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz với hằng số L1, L2 thỏa mãn L1+L2 > τ Khi đó ánh xạ gần kề Bλ là tựa co trên C, nghĩa là kB λ (x)−x ∗ k ≤√ αkB λ (x)−x ∗ k ∀x ∈ C, x ∗ ∈F ix(Bλ) nếu 0 < λ < 1
Chứng minh Ta đặt f(x, y) := φ(x, y) +ϕ(y)−ϕ(x) và f x (y) := f(x, y) + 1
Vì f x là lồi mạnh, theo định nghĩa của B λ (x) ta có kBλ(x)−x ∗ k 2 ≤ 2λ[f(x, x ∗ )−f(x, Bλ(x))]
Mà f là đơn điệu mạnh với hệ số τ nên từ (2.2) ta có kBλ(x)−x ∗ k 2 ≤ (1−2λτ)kx, x ∗ k 2 +2ρ[−f(x ∗ , x)−f(x, Bλ(x))−kBλ(x)−xk 2 ]. Áp dụng điều kiện kiểu Lipschitz với x ∗ , x, Bλ(x) và f(x ∗ , Bλ(x)) ≥ 0, ta có thể viết kB λ (x)−x ∗ k 2 ≤ (1−2λ(τ −L 1 ))kx−x ∗ k 2 −(1−2λL 2 )kB λ (x)−xk 2
, từ bất đẳng thức cuối cùng ta có kB λ (x)−x ∗ k 2 ≤ [1−2λ(τ −L 1 )]kx−x ∗ k 2
Từ τ < L1+L2, ta thấy rằng nếu 0 < λ < 1
2L 2 thì 1−2λ(τ −L1) 0 (với i = 1, , p) sao cho f(x, y) +f(y, z) ≥ f(x, z) + p
X j=1 hα i (x, y), β i (y −z)i ∀x, y, z ∈C, trong đó kβi(x)−βi(y)k ≤Kikx−yk ∀x, y ∈ C, i = 1 , p, kα i (x, y)k ≤ L i kx−yk ∀x, y ∈ C, i = 1 , p, αi(x, y) +αi(y, x) = 0 ∀x, y ∈ C, i = 1 , p.
Ví dụ 2.1 Xét hàm f : C ×C →C xác định bởi f(x, y) =hF(x) +By+q, y−xi+ϕ(y)−ϕ(x) trong đó F : C → C là một ánh xạ Lipschitz liên tục, B là ma trận vuông cấp n, q ∈ R n và ϕ : C → R là một hàm tùy ý Ta sẽ chứng minh f là liên tục kiểu Lipschitz mạnh Thật vậy, với mọi x, y, z ∈C ta có f(x, y) +f(y, z)−f(x, z) =hF(x) +By+q, y−xi − hF(x) +Bz+q, y−xi
+hF(y) +Bz +q, z−yi − hF(x) +Bz+q, z−yi
=hy−x, B(y −z)i+hF(y)−F(x), z−yi. f thỏa mãn (2) với p = 2, α1(x, y) = y − x, α2(x, y) = F(y) − F(x), β1(x) = Bx, β2(x) = x, L1 = 1, L2 = L, K1 = kBk và K2 = 1.
Ta có một số tính chất sau:
(i) Nếu f là kiểu Lipschitz mạnh trên C thì nó là kiểu Lipschitz trên C với hằng số 1
Pp i=1K i L i (ii) Nếu f(x, y) = hF(x), y−xi+ϕ(y)−ϕ(x) thì f kiểu Lipschitz mạnh khi và chỉ khi F là Lipschitz. Định lý sau đây cho ta câu trả lời cho câu hỏi ở trên. Định lý 2.2 Cho C là tập lồi đóng khác rỗng, f : C × C → R Giả sử f(x,ã) là nửa liờn tục dưới, lồi, đơn điệu mạnh với hệ số γ và kiểu Lipschitz mạnh trên C Khi đó ánh xạ gần kề Bλ là ánh xạ co trên C nếu λ ∈
2.3 Quy bài toán cân bằng đơn điệu về điểm bất động của ánh xạ không giãn và tựa không giãn Định nghĩa 2.5 Ánh xạ f :C → R được gọi là δ-tự bức (hoặc đơn điệu mạnh ngược) trên C với hệ số δ >0 nếu hF(x)−F(y), x−yi ≥ δkF(x)−F(y)k 2 ∀x, y ∈C. Định lý 2.3 Giả sử f(x, y) := hF(x), y−xi+ϕ(y)−ϕ(x) với F là δ-tự bức (hoặc đơn điệu mạnh ngược) trên C thì với λ ≤ 1
2δ, ánh xạ gần kề Bλ là không giãn trên C, tức là kB λ (x)−Bλ(y)k ≤ kx−yk với mọi x, y ∈ C. Chứng minh Từ định nghĩa của B λ , bằng cách sử dụng điều kiện tối ưu, ta có kB λ (x)−B λ (y)k 2 ≤ kx−y −λ(F(x)−F(y))k 2 ∀x, y ∈ C (2.3)
Vì F là tự bức trên C với hệ số δ nên ta có hx−y, F(x)−F(y)i ≥ δkF(x)−F(y)k 2 , kéo theo kx−y −λ(F(x)−F(y))k ≤ kx−yk.
Từ (2.3), ta có kBλ(x)−Bλ(y)k ≤ kx−yk.
Một câu hỏi được đặt ra là: Ánh xạ gần kề Bλ có là ánh xạ không giãn khi f là đơn điệu hay không ? Ví dụ đơn giản dưới đây sẽ đưa cho chúng ta một câu trả lời.
Ví dụ 2.2 Xét bất đẳng thức biến phân tuyến tính
Tìm x ∗ ∈ R 2 sao cho hAx, y−xi ≥ 0 với mọi y ∈ R 2 , (VI) trong đó A
Với mọi x, y ∈ R 2 ta có f(x, y) +f(y, x) = hA(x−y), y −xi
= 0, suy ra f là đơn điệu trên R 2
Dễ thấy x ∗ = (0,0) T là một nghiệm của bất đẳng thức biến phân tuyến tính (VI), vì f(x ∗ , y) = 0 với mọi y ∈ R 2 Hơn nữa, x ∗ là nghiệm duy nhất của (VI) Thật vậy, giả sử x¯ = (¯x1,x¯2) T là một nghiệm của (VI) thì hAx, y¯ −xi ≥¯ 0 ∀y ∈ R 2 Lấy y = ¯y = (¯x 1 −x¯ 2 ,x¯ 1 + ¯x 2 ) T , ta có
2((y1−x1 +λx2) 2 + (y2 −x2 −λx1) 2 −λ 2 (x 2 1 +x 2 2 )) đạt giá trị nhỏ nhất tại (y1, y2) = (x1 −λx2, x2+λx1).
Ta có ánh xạ gần kề của (VI) là:
Với mỗi λ > 0, ta có kBλ(x)−Bλ(x ∗ )k
>kx−x ∗ k, Điều này chứng tỏ rằng Bλ không là ánh xạ không giãn với λ > 0 bất kỳ.
Vì vậy, nói chung ánh xạ gần kề không thể là không giãn ngay cả bất đẳng thức biến phân f(x, y) = hF(x), y − xi với F là Lipschitz và đơn điệu.Tuy nhiờn nếu f là đơn điệu, f(x,ã) là lồi, nửa liờn tục dưới và f(ã, y) là hemi liên tục thì ánh xạ gần kề hiệu chỉnh R λ được xác định, đơn trị và chắn chắn không giãn vớiλ > 0 bất kỳ Với mỗi x∈ C, Rλ là nghiệm duy nhất của bài toán cân bằng đơn điệu mạnh
2λhy−z, z −xi ≥ 0 với mọi y ∈ C. Hơn nữa, tập nghiệm của bài toán cân bằng(EP) trùng với tập các điểm bất động của ánh xạ gần kề R λ