SỞ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ TP HỒ CHÍ MINH VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ TÍNH TOÁN BÁO CÁO TỔNG KẾT Một lớp mới các phương pháp số để tìm nghiệm của bài toán cân bằng và tựa cân bằng không đơn điệu Đơn vị t[.]
SỞ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TP HỒ CHÍ MINH VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TÍNH TỐN BÁO CÁO TỔNG KẾT Một lớp phương pháp số để tìm nghiệm tốn cân tựa cân không đơn điệu Đơn vị thực hiện: PTN Công nghệ Toán ứng dụng Chủ nhiệm đề tài: Nguyễn Thị Thu Vân TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 7/2016 SỞ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TP HỒ CHÍ MINH VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TÍNH TỐN BÁO CÁO TỔNG KẾT Một lớp phương pháp số để tìm nghiệm toán cân tựa cân không đơn điệu Viện trưởng: Đơn vị thực hiện: PTN Cơng nghệ Tốn ứng dụng Chủ nhiệm đề tài: Nguyễn Thị Thu Vân Nguyễn Kỳ Phùng Nguyễn Thị Thu Vân TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 7/2016 Một lớp phương pháp số để tìm nghiệm tốn cân tựa cân không đơn điệu MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU ĐƠN VỊ THỰC HIỆN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU I Báo cáo khoa học II Tài liệu khoa học xuất 14 III Chương trình giáo dục đào tạo 15 IV Hội nghị, hội thảo 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO 17 PHỤ LỤC 19 Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Một lớp phương pháp số để tìm nghiệm tốn cân tựa cân không đơn điệu MỞ ĐẦU Lý thuyết toán cân lên nhánh thú vị toán học ứng dụng năm gần Xuất phát từ mô hình cân Ky Fan năm 1972 tốn trở thành nguồn cảm hứng động lực phong phú cho cơng trình nghiên cứu gần phát sinh tài chính, kinh tế, phân tích mạng, tối ưu hóa Đến có nhiều kết tồn nghiệm thuật toán cho toán cân dựa khái niệm đơn điệu khác Tuy nhiên tính đơn điệu liệu tốn thường khơng thỏa nhiều tốn thực tế, ví dụ mơ hình cân Nash-Cournot [18] thị trường mua-bán điện hay mơ hình River Pollution [13, 14] Hiện số phương pháp tìm nghiệm tốn cân phương pháp extragradient phương pháp ưa chuộng Tuy nhiên theo hiểu biết hầu hết phương pháp kiểu extragradient địi hỏi giả thiết đơn điệu hàm cân [14,19] Vì chiến thuật chúng tơi hiệu chỉnh phương pháp extragradient sau: Bước dự đốn khơng thay đổi, bước hiệu chỉnh mới, đạt cách chiếu điểm dự đoán tập lồi co chứa tập nghiệm (giả sử khác trống) tốn cân Minty Vì tập ngày nhỏ sau bước lặp nên hi vọng tính chất số nhận phương pháp tốt, đặc biệt cho toán Nash-Cournot oligopolistic tốn River Basin Pollution [13, 14] Cần nói thêm Ye and He [25] gần đề nghị phương pháp extragradient để giải toán bất đẳng thức biến phân không đơn điệu Tuy nhiên, tốn cân khơng đơn điệu phức tạp nhiều nên không hiển nhiên thác triển từ kết toán bất đẳng thức biến phân Trong đề tài chúng tơi nghiên cứu để tìm nghiệm xấp xỉ tốn khơng đơn điệu Trước hết chúng tơi đề nghị thuật tốn co tổng qt để giải toán cân dựa điều kiện Armijo tổng quát dãy giảm tập khác trống tập chấp nhận Chúng đề nghị điều kiện để đạt kết hội tụ yếu mạnh dãy lặp sinh thuật toán Đồng thời chúng tơi giới thiệu đường tìm khả thi thỏa điều kiện Armijo Tiếp theo mở rộng kết đạt cho Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Một lớp phương pháp số để tìm nghiệm tốn cân tựa cân khơng đơn điệu tốn tựa cân không đơn điệu Chúng đạt kết hội tụ thuật toán Lời cảm ơn đến ICST Đề tài nhận tài trợ tài Sở Khoa học Cơng nghệ Tp.Hồ Chí Minh Chúng tơi biết ơn nguồn tài ngun tính tốn hỗ trợ Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn thành phố Hồ Chí Minh Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Một lớp phương pháp số để tìm nghiệm tốn cân tựa cân không đơn điệu ĐƠN VỊ THỰC HIỆN Phịng thí nghiệm: Cơng nghệ Tốn Chủ nhiệm đề tài: Tiến sĩ Nguyễn Thị Thu Vân Thành viên đề tài: Giáo sư Tiến sĩ Nguyễn Văn Hiền Giáo sư Tiến sĩ Jean-Jacques Strodiot Thạc sỹ Phan Tự Vượng Thạc sỹ Đinh Nguyễn Anh Trung Thạc sỹ Đinh Minh Giang Thạc sỹ Bùi Minh Quân Cơ quan phối hợp: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG HCM Trường Đại học Namur, Vương Quốc Bỉ Viện Khoa học Công nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Một lớp phương pháp số để tìm nghiệm tốn cân tựa cân khơng đơn điệu KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU I BÁO CÁO KHOA HỌC Cho tập lồi đóng khác trống khơng gian Hilbert thực thỏa với xạ tập điểm (viết tắt cho ánh Bài toán cân liên kết với hàm ) theo nghĩa Blum Oettli phát biểu sau: Tìm thỏa Bài tốn biết tên gọi bất đẳng thức Ky Fan Đây toán tổng quát theo nghĩa bao gồm trường hợp đặc biệt toán bất đẳng thức biến phân, toán tối ưu, toán điểm yên ngựa, toán cân Nash tổng quát, toán điểm bất động, … Dạng đối ngẫu toán (viết tắt phát biểu sau: Tìm điểm ) thỏa Bài tốn đối ngẫu giới thiệu năm 1964 Debrunnen and Flor dạng toán bất đẳng thức biến phân có kết tồn nghiệm Sau tiếp tục nghiên cứu Minty năm 1967 Ta ký hiệu tập nghiệm toán cân tốn đối ngẫu Khi bao hàm thức thỏa giả thiết tựa đơn điệu hàm Trong bao hàm thức ngược lại với lồi với hàm nửa liên tục Nhiều phương pháp tìm nghiệm toán cân đề nghị phương pháp chiếu, phương pháp xấp xỉ điểm, phương pháp vi phân, phương pháp chiếu tăng cường có khơng có sử dụng line search, phương pháp hàm gap Mỗi phương pháp tìm nghiệm thích hợp với lớp toán cân để đạt hội tụ thuật tốn Độc giả xem thêm sách Bigi [2] tài liệu tham khảo đính kèm Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Một lớp phương pháp số để tìm nghiệm tốn cân tựa cân khơng đơn điệu Trong số phương pháp tìm nghiệm tốn cân bằng, phương pháp chiếu tăng cường ưa chuộng hiệu tính tốn Theo hiểu biết chúng tôi, hầu hết phương pháp chiếu tăng cường địi hỏi giả thiết tựa đơn điệu hàm Tuy nhiên giả thiết khơng thỏa nhiều tốn thực tế (ví dụ mơ hình Nash-Cournot, mơ hình River pollution, …) Vì mục đích chúng tơi nghiên cứu lớp phương pháp chiếu tăng cường cho tốn cân khơng gian Hilbert mà khơng cần giả thiết đơn điệu tập liệu Trong phần báo cáo này, cho phép chúng tơi trình bày ngắn gọn ý kết quả, định nghĩa, bổ đề, chứng minh chi tiết người đọc tham khảo báo phần phụ lục Phần Thuật tốn tổng qt Thuật tốn để tìm nghiệm tốn cân khơng cần giả thiết đơn điệu đề nghị sau: Cho tập lồi đóng khơng gian Hilbert tập lồi đóng cho Ngoài ra, ta cho cho dãy tập lồi đóng khác trống thuộc với Trước tiên, xét dãy định nghĩa sau: với (3.1) Với thuật tốn (3.1) chúng tơi chứng minh kết sau: Mệnh đề 3.1 Cho cho dãy sinh thuật tốn (3.1) Thì với Hơn nữa, dãy bị chặn và Mệnh đề 3.2 Nếu điểm tụ yếu dãy hội tụ yếu điểm Mệnh đề 3.3 Nếu dãy thuộc □ tồn dãy lặp □ hội tụ đến dựng thuật tốn (3.1) thuộc điểm tụ yếu dãy xây □ Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Một lớp phương pháp số để tìm nghiệm tốn cân tựa cân khơng đơn điệu Để dãy hội tụ đến , cần hai giả thiết sau: với Mệnh đề 3.4 Nếu giả thiết điểm tụ yếu dãy thỏa dãy hội tụ đến xây dựng thuật toán (3.1) thuộc □ Từ Mệnh đề 3.1 – 3.4, ta có định lý hội tụ sau: Định lý 3.1 Nếu giả thiết thỏa dãy bị chặn hội tụ yếu điểm □ Trong phần xây dựng dãy lặp điều kiện hội tụ mạnh với Thuật toán phát biểu sau: Cho trước Ta định nghĩa dãy theo cơng thức sau: sinh thuật tốn (3.1) với thỏa điều kiện (3.2) tập xây dựng sau: (3.3) Với thuật tốn (3.2) chúng tơi chứng minh kết sau: Mệnh đề 3.5 Cho hai tập định nghĩa (3.3) Khi với □ Mệnh đề 3.6 Các dãy lặp sinh thuật tốn (3.2) có tính chất sau: với tồn dãy Mệnh đề 3.7 Nếu dãy hội tụ đến dựng thuật toán (3.2) thuộc Định lý 3.2 Nếu giả thiết dãy bị chặn .□ điểm tụ yếu dãy xây □ thỏa dãy sinh thuật tốn (3.2) hội tụ mạnh hội tụ đến Hơn nữa, □ Phần Hai thuật tốn hội tụ Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Một lớp phương pháp số để tìm nghiệm tốn cân tựa cân khơng đơn điệu Mục đích chúng tơi phần xây dựng dãy thoả không điều kiện Dãy tập mà thỏa tính chất sau: định nghĩa thuật tốn (3.1) hội tụ yếu đến điểm thuộc hội tụ yếu đến nghiệm toán cân Dãy định nghĩa thuật toán (3.2) hội tụ mạnh đến điểm thuộc hội tụ yếu (và hội tụ mạnh) đến nghiệm toán cân Thuật toán Bước Cho cho Đặt Bước Tính Nếu nghiệm tốn Bước Nếu khơng, tìm dừng: tính thỏa Bước Tính trong Bước Đặt Bước Đặt quay trở lại Bước Để đạt kết hội tụ mạnh, thay Bước Bước 4a, bước lại Thuật toán Thuật toán Bước 4a Đặt Chúng đạt kết hội tụ sau: Mệnh đề 4.1 Với , hai dãy sinh Thuật toán Thuật toán thỏa tính chất sau: với Đặc biệt, bất đẳng thức với thỏa với Hơn nữa, nghiệm toán cân bằng.□ Trong kết giả sử với dãy sinh Thuật toán Thuật tốn dãy vơ hạn Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Một lớp phương pháp số để tìm nghiệm tốn cân tựa cân không đơn điệu Định lý 4.1 Cho điểm tụ yếu dãy ứng hội tụ yếu đến Nếu dãy toán cân cho hội tụ dãy tương nghiệm □ Mệnh đề 4.2 Nếu với với Hơn nữa, Mệnh đề 4.3 Nếu □ hai dãy Mệnh đề 4.4 Giả sử Nếu dãy Cond1 bị chặn □ thỏa điều kiện sau: với Cond2 tồn dãy bị chặn □ Do vậy, với điều kiện Cond1 Cond2 từ Mệnh đề 4.2 Mệnh đề 4.4 ta suy dãy Khơng tính tổng qt ta giả sử Để đạt điểm tụ yếu dãy Thuật toán nghiệm toán cân chứng minh dãy hội tụ điểm sinh , cần Để đạt điều này, Bước Thuật tốn chúng tơi giới thiệu linesearch phần Phần Một lớp phương pháp chiếu tăng cường Cho hai điểm lặp Bước Thuật toán Trong phần giả sử chúng tơi đưa vài thủ tục để tìm độ dài bước thỏa Trong linesearch 1, chúng tơi trình bày thủ tục tìm Line search Cho trước thỏa điều kiện với Tìm số nguyên không âm nhỏ thỏa đặt Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 10 Một lớp phương pháp số để tìm nghiệm tốn cân tựa cân không đơn điệu Line search Cho trước nhỏ Tìm số ngun khơng âm thỏa đặt Line search Cho trước Tìm số ngun khơng âm nhỏ Tìm số nguyên không âm nhỏ thỏa đặt Line search Cho trước thỏa đặt Phần Các kết tính tốn số Trong phần chúng tơi xét ví dụ số để so sánh hiệu phương pháp phần Bài toán Cho Xét hàm cân □ Bài toán Xét hàm cân với Các kết thu người đọc tham khảo báo phần phụ lục Phần Bài toán tựa cân khơng đơn điệu Cho tập lồi đóng khác trống không gian Hilbert thực xạ đa trị , cho ánh xạ hàm lồi sau: Tìm điểm , cho ánh thỏa với Bài toán tựa cân (viết tắt ) phát biểu thỏa Viện Khoa học Công nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 11 Một lớp phương pháp số để tìm nghiệm tốn cân tựa cân khơng đơn điệu Mục đích chúng tơi phần xây dựng thuật tốn để tìm nghiệm khơng đơn điệu Tương tự toán cân bằng, chúng tơi xét tốn dạng đối ngẫu Minty tốn tựa cân Minty, viết tắt (bài tốn cịn gọi tốn ) sau: Tìm điểm thỏa Ta ký hiệu tập nghiệm toán tựa cân tựa cân Minty Để xây dựng thuật toán cho toán , đề nghị giả thiết sau tập liệu: a) định nghĩa tập lồi mở không gian liên tục yếu đồng thời theo b) chứa ; nửa liên tục yếu nửa liên tục yếu c) Với tập lồi, đóng, khác trống d) Chúng tơi muốn nói thêm rằng: giả thiết ngặt Tuy nhiên, có tốn quan trọng mơ hình cân Nash tổng qt điều kiện thỏa Với giả thiết chúng tơi đề nghị thuật tốn cho tốn tựa cân khơng đơn điệu sau: Thuật toán Bước Cho , cho , cho Bước Tìm số ngun khơng âm nhỏ Đặt thỏa đặt Bước Tính Bước Đặt và quay trở lại Bước Chúng chứng minh hội tụ yếu dãy Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh sinh thuật tốn sau: Page 12 Một lớp phương pháp số để tìm nghiệm tốn cân tựa cân không đơn điệu Định lý 5.1 Nếu tập nghiệm giả thiết sinh Thuật toán hội tụ yếu đến điểm thỏa dãy □ Để đạt kết hội tụ mạnh, thay Bước Bước 2a, bước lại Thuật toán Thuật toán Bước 2a Tính sau tính định nghĩa giống Bước Thuật toán tập định nghĩa sau: Chúng chứng minh kết hội tụ sau: Định lý 5.2 Nếu tập nghiệm giả thiết sinh Thuật toán hội tụ mạnh đến điểm Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh thỏa dãy □ Page 13 Một lớp phương pháp số để tìm nghiệm tốn cân tựa cân khơng đơn điệu II CÁC TÀI LIỆU KHOA HỌC ĐÃ XUẤT BẢN A class shrinking projection extragradient methods for solving non-monotone equilibrium problems in Hilbert spaces, Journal of Global Optimization 64 (1), 159—178 (2016) Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 14 Một lớp phương pháp số để tìm nghiệm tốn cân tựa cân không đơn điệu III CHƯƠNG TRÌNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Ngồi nghiên cứu khoa học phổ biến kiến thức thông qua ấn phẩm tạp chí quốc tế có uy tín, đề tài tập trung vào việc đào tạo sinh viên nghiên cứu cấp độ tiến sĩ Tối ưu hóa Tốn học ứng dụng ICST Phan Tự Vượng cộng tác viên nghiên cứu Viện Khoa học Công nghệ Tính tốn Tp Hồ Chí Minh bảo vệ thành công luận án tiến sĩ vào tháng 5/2014 Cũng cần nói thêm đề tài chuyển tiếp từ năm 2014 Đề tài có đóng góp cho việc hướng dẫn Thạc sỹ Đinh Nguyễn Anh Trung bước đầu chuẩn bị làm nghiên cứu sinh Đinh Nguyễn Anh Trung nghiên cứu viên Viện Hiện lý riêng Đinh Nguyễn Anh Trung tạm ngưng công việc nghiên cứu Chúng hướng dẫn nghiên cứu cho 02 thạc sỹ: Đinh Minh Giang, nghiên cứu viên Viện Bùi Minh Quân, cộng tác viên Viện Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 15 Một lớp phương pháp số để tìm nghiệm tốn cân tựa cân không đơn điệu IV HỘI NGHỊ, HỘI THẢO Nguyễn Thị Thu Vân tham dự Hội nghị Toán học Miền Trung Tây Nguyên, Qui nhơn, 12—14/8/2015 Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 16 Một lớp phương pháp số để tìm nghiệm tốn cân tựa cân không đơn điệu TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bensoussan, A.: Points de Nash dans le cas de fonctionnelles quadratiques et jeux différentiels linéaires N personnes SIAM J Control 12, 460 499 (1974) [2] Bigi, G., Castellani, M., Pappalardo, M., Passacantando, M.: Existence and solution methods for equilibria Eur J Oper Res 227, 11 (2013) [3] Blum, E., Oettli, W.: From optimization and variational inequalities to equilibrium problems The Math Student 63, 123 145 (1994) [4] Chinchuluun, A., Pardalos, P.M., Migdalas, A., Pitsoulis, L (Eds.): Pareto Optimality, Game Theory and Equilibria, Springer, New York, 2008 [5] Dinh, B V., Muu L D.: A projection algorithm for solving pseudo-monotone equilibrium problems and its application to a class of bilevel equilibria Optimization (2013) DOI:10.1080/02331934.2013.773329 [6] Facchinei, F., Kanzow, C.: Generalized Nash equilibrium problems Ann Oper Res 175, 177 211 (2010) [7] Facchinei, F., Pang, J.-S.: Finite-Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems Springer-Verlag, New York, 2003 [8] Gabriel, S.A., Conejo, A.J., Fuller, J.D., Hobbs, B.F., Ruiz, C.: Complementarity Modeling in Energy Markets, New York, Springer-Verlag, 2013 [9] Giannessi, F., Maugeri, A., Pardalos, P.M (Eds.): Equilibrium Problems: Nonsmooth Optimization and Variational Inequality Models, Kluwer Academic Publishers, New York, 2002 [10] Han, D., Zhang, H., Qian, G., Xu, L.: An improved two-step method for solving generalized Nash equilibrium problems Eur J Oper Res 216, 613 623 (2012) [11] Harker, P.T.: Generalized Nash games and quasi-variational inequalities Eur J Oper Res 54, 81-94 (1991) [12] Konnov, I.V.: Equilibrium Models and Variational Inequalities Mathematics in Science and Engineering, Elsevier, Amsterdam, The Netherlands, 2007 [13] Krawczyk, J.B., Uryasev, S.: Relaxation algorithms to find Nash equilibria with economic applications Environmental Modeling and Assessment 5, 63—73 (2000) Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 17 Một lớp phương pháp số để tìm nghiệm tốn cân tựa cân không đơn điệu [14] Muu, L.D., Quoc, T.D.: Regularization algorithms for solving monotone Ky Fan inequalities with application to a Nash-Cournot equilibrium model J Optim Theory Appl 142, 185 204 (2009) [15] Palomar, D.P., Eldar, Y.C., (Eds.): Convex Optimization in Signal Processing and Communications Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2010 [16] Pang, J.-S., Fukushima, M.: Quasi-variational inequalities, generalized Nash equilibria, and multi-leader-follower games Comput Manag Sc 2, 21-56 (2005) Erratum Comput Manag Sc 6, 373-375 (2009) [17] Pardalos, P.M., Rassias, T.M., Khan, A.A (Eds.): Nonlinear Analysis and Variational Problems, Springer, New York, 2010 [18] Quoc, T D., Anh, P N., Muu, L D.: Dual extragradient algorithms extended to equilibrium problems J Glob Optim 52, 139 159 (2012) [19] Quoc, T.D., Muu, L.D., Nguyen, V.H.: Extragradient algorithms extended to equilibrium problems Optimization 57, 749 776 (2008) [20] Smeers, Y., Oggioni, G., Allevi, E., Schaible, S.: Generalized Nash equilibrium and market coupling in the European power system EPRG Working Paper 1016, Cambridge Working Paper in Economics 1034, 2010 [21] Solodov, M.V., Svaiter, B.F.: A new projection method for variational inequality SIAM J Control Optim 37, 765 776 (1999) [22] Strodiot, J.J., Nguyen, T.T.V., Nguyen, V.H.: A new class of hybrid extragradient algorithms for solving quasi-equilibrium problems J Glob Optim 56, 373 397 (2013) [23] Von Heusinger, A.: Numerical Methods for the Solution of the Generalized Nash Equilibrium Problem PhD Thesis, University of Wuerzburg, Germany, 2009 [24] Wei, J.Y., Smeers, Y.: Spatial oligopolistic electricity models with Cournot generators and regulated transmission prices Oper Res 47, 102 112 (1999) [25] Ye, M., He, Y.: A double projection method for solving variational inequalities without monotonicity $http://www.optimization-online.org/DPFILE/$\\$2013/04/3813$ [26] Zhang, J., Qu, B., Xiu, N.: Some projection-like methods for the generalized Nash equilibria Comput Optim Appl 45, 89 109 (2010) Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 18 Một lớp phương pháp số để tìm nghiệm tốn cân tựa cân không đơn điệu CÁC PHỤ LỤC PHỤ LỤC 1: Bài báo : A class shrinking projection extragradient methods for solving nonmonotone equilibrium problems in Hilbert spaces Tạp chí : Journal of Global Optimization 64 (1), 159—178 (2016) Tác giả : Jean Jacques Strodiot , Phan Tu Vuong, Nguyen Thi Thu Van Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 19