Phương pháp kiểu extragradient cho bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng

SỞ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TP HỒ CHÍ MINH VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TÍNH TỐN BÁO CÁO TỔNG KẾT Phương pháp kiểu extragradient để tìm nghiệm toán bất đẳng thức biến phân toán cân Đơn vị thực hiện: PTN Cơng nghệ Tốn ứng dụng Chủ nhiệm đề tài: GS.TSKH Nguyễn Văn Hiền Tp Hồ Chí Minh, tháng 01/2015 SỞ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TP HỒ CHÍ MINH VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TÍNH TỐN BÁO CÁO TỔNG KẾT Phương pháp kiểu extragradient để tìm nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân toán cân Viện trưởng PTN Cơng nghệ Tốn ứng dụng Chủ nhiệm đề tài: GS.TSKH Nguyễn Văn Hiền Nguyễn Kỳ Phùng Nguyễn Văn Hiền Tp Hồ Chí Minh, tháng 01/2015 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU ĐƠN VỊ THỰC HIỆN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU I Báo cáo khoa học II Tài liệu khoa học xuất III Chương trình giáo dục đào tạo IV Hội nghị, hội thảo TÀI LIỆU THAM KHẢO 10 CÁC PHỤ LỤC 11 Phụ lục 1: Bài báo “A class of hybrid methods for quasi-variational inequalities” Phụ lục 2: Bài báo “A family of extragradient methods for solving equilibrium problems” Phụ lục 3: Bài báo “Hybrid methods for solving simultaneously an equilibrium problem and countably many fixed point problems in a Hilbert space” Phụ lục 4: Bài báo “Projected viscosity subgradient methods for variational inequalities with equilibrium problem constraints in Hilbert spaces” MỞ ĐẦU Bài toán cân đề tài quan trọng Toán Ứng dụng Mặc dù dạng tổng quát toán phát biểu đơn giản, trường hợp riêng tốn cân Nash tổng qt (GNEPs), toán bất đẳng thức biến phân (VIs), toán tối ưu lại quan trọng, theo nghĩa bao gồm mơ hình tốn học toán thực tiễn kinh tế, kỹ thuật, vận trù học … (xem sách Gabriel et al (2013) [1] tài liệu tham khảo đính kèm) GNEPs dạng tổng quát toán cân Nash chuẩn (NEP) lý thuyết trị chơi khơng hợp tác, tập chiến thuật hàm thua lỗ người chơi phụ thuộc vào tập chiến thuật mà cịn phụ thuộc vào tập chiến thuật tất đối phương NEP (trong kết tối ưu người chơi nghiệm tốn lồi) viết dạng tốn VIs khơng gian hữu hạn chiều có số phương pháp số để giải NEP (xem Nagurney (1999) [2], Facchinei and Pang (2003) [3], tài liệu tham khảo kèm) GNEPs viết dạng toán VIs, nhiên tập hợp nghiệm GNEPs VIs trùng toán thỏa mãn số giả thiết mạnh Vì phụ thuộc lẫn tập chấp nhận được, GNEPs thường viết dạng toán tựa bất đẳng thức biến phân (QVIPs) Mối liên hệ GNEPs QVIPs Bensoussan [4] phát sớm vào năm 1974 nghiên cứu tốn phiếm hàm tồn phương khơng gian Hilbert Harker (1991) [5] nghiên cứu vấn đề khơng gian Euclide Ngồi ra, Kocvara Outrata (1995) [6] thảo luận ứng dụng kỹ thuật lớp toán QVIPs Tuy có nhiều phương pháp số để giải tốn VIs NEPs, lại khơng có nhiều cơng trình đề cập đến QVIPs khơng gian hữu hạn chiều Pang Fukushima (2009) [7] cho việc nghiên cứu QVIPs thời kỳ đầu việc tính tốn cân Nash tổng qt đến vấn đề đầy thách thức Vì cần thiết phải xây dựng phương pháp tính tốn số hiệu để giải GNEPs hay QVIs Khi hàm mục tiêu (hay gọi hàm thua lỗ trên) người chơi khơng khả vi, GNEPs mơ hình hóa thành tốn tựa cân (QEPs) QEPs dạng mở rộng toán cân theo nghĩa Blum Oettli (1994) [8] với tập ràng buộc phụ thuộc vào nghiệm Một nghiên cứu phương pháp tính tốn số cho QEPs nghiên cứu đề tài năm 2011 Phịng thí nghiệm Cơng nghệ tốn Ứng dụng ICST thu kết đăng tạp chí ‘Journal of Global Optimization’ [9] chúng tơi trình bày vài kết tính tốn số để minh chứng cho tính hữu hiệu thuật tốn Mục tiêu đề tài gồm phần: Phần 1, nghiên cứu thuật toán kiểu chiếu để giải QVIPs cách giới thiệu tổ hợp hướng lợi ích Phần 2, cải tiến phương pháp extragradient để giải toán cân Ở chúng tơi dùng hai bước dự đốn thay phương pháp extragradient cổ điển bước hiệu chỉnh Trong trường hợp, nghiên cứu hội tụ tồn cục thuật tốn Đồng thời chúng tơi xem xét tính hữu hiệu thuật tốn tính tốn số Ngồi việc nghiên cứu khoa học phổ biến kiến thức thơng qua ấn phẩm tạp chí quốc tế có uy tín, đề tài tập trung vào đào tạo trình độ tiến sĩ Tối ưu hóa Tốn học Ứng dụng ICST Trong khn khổ đề tài này, nghiên cứu viên nhận học vị tiến sĩ trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM vào năm 2014 Lời cảm ơn đến ICST Đề tài nhận tài trợ tài Sở Khoa học Cơng nghệ Tp.Hồ Chí Minh Chúng biết ơn nguồn tài nguyên tính tốn hỗ trợ Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn thành phố Hồ Chí Minh ĐƠN VỊ THỰC HIỆN Phịng thí nghiệm: Phịng thí nghiệm Cơng nghệ Tốn Ứng dụng (thành lập từ 03/2011) Chủ nhiệm đề tài: GS.TSKH Nguyễn Văn Hiền, Viện KH&CNTT Tp.HCM Trường Đại học Namur, Bỉ Thành viên đề tài: GS.TSKH Jean Jacques Strodiot Trường Đại học Namur, Bỉ TS Toán học: Nguyễn Thị Thu Vân ThS Toán học: Nguyễn Thị Phương Đông (bắt đầu làm nghiên cứu sinh Đại học Leuven, Vương Quốc Bỉ từ ngày 01/01/2014) ThS Toán học: Phan Tự Vượng (đã nhận học vị tiến sĩ vào tháng 5/2014) ThS Toán học: Đinh Nguyễn Anh Trung (nghiên cứu viên Viện từ ngày 01/01/2014) Cơ quan phối hợp: Khoa Toán học, Trường Đại học Namur KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU I BÁO CÁO KHOA HỌC Cho X tập lồi, đóng R n , F tốn tử tuyến tính từ X vào R n , K toán tử đa trị từ X vào X thỏa với x  X : x  K ( x) K tập lồi đóng khác trống X Ta xét tốn QVIP: Tìm điểm x*  K ( x* ) cho F ( x* ), y  x*  y  K ( x* ) Khi K ( x)  K tập ràng buộc cố định, toán QVIP trở thành toán VIP cổ điển Có nhiều phương pháp tính tốn để giải tốn VIP Tuy nhiên khơng có nhiều thuật tốn cho toán QVIP Hầu hết phương pháp chiếu để giải toán QVIP dựa dãy lặp gồm hai bước: bước dự đoán bước hiệu chỉnh Chính xác hơn, cho xk  X Hai thủ tục sử dụng để tìm điểm lặp xk 1 việc chọn thủ tục phụ thuộc vào độ khó việc tính tốn phép chiếu tập dịch chuyển K ( xk ) Khi phép chiếu tập K ( xk ) dễ bước dự đốn định nghĩa xk  PK ( xk ) ( xk  k F ( xk )) k   l m ,   (0,1), l  (0,1) , mk số nguyên dương nhỏ m cho k k F ( xk )  F ( xk ), xk  xk  c xk  xk với c  (0,1) Trong thủ tục này, phép chiếu tập K ( xk ) phải tính tốn lần tham số mk cập nhật Khi phép chiếu tập K ( xk ) tính tốn đắt ta thường thích sử dụng phép chiếu lên tập K ( xk ) cho linesearch Do trường hợp trước hết ta tính zk  PK ( xk ) ( xk  F ( xk )) sau tính yk  (1  k ) xk  k zk k   l m ,   (0,1), l  (0,1) , mk số nguyên dương nhỏ m cho k F ( xk )  F ( yk ), xk  zk  c xk  zk với c  (0,1) Khi có xk yk , ta thực bước hiệu chỉnh cách tính xk 1  PK ( xk ) ( xk   k dk ) d k hướng tìm  k độ dài bước Nếu bước dự đoán xk , Zhang et al [10] đề nghị lấy d k  xk  xk   k F ( xk ) : d Z1 k and  k   (1  c) xk  xk dk cho hướng tìm độ dài bước dọc theo hướng tương ứng, với   (0, 2) Nếu bước dự đốn yk tác giả đề nghị lấy d k  xk  zk  k F ( yk ) : d and  k   (1  c) Z k xk  zk dk 2 Mặt khác, Han et al [11] gần sử dụng xk bước hiệu chỉnh kết hợp hai hướng lợi ích dk : dkZ  k F ( xk ) xk  xk sau: dk   dk  (1   )( xk  xk ) với   (0,1) Với chiến thuật này, đặc điểm số thuật toán Han et al [11] tốt thuật toán Zhang et al.[10] Tuy nhiên, hội tụ thuật toán đạt giả thiết F co-coercive Zhang et al [10] đòi hỏi F đơn điệu Kết nghiên cứu khuôn khổ đề tài gồm phần:  Phần I: Trong báo (trong Optimization Letters, SCI-Expanded), điều chỉnh thuật toán Han et al [11] sau: Thay tính xk chúng tơi đề nghị sử dụng yk , làm bước chiếu zk tính lần (đây khơng phải trường hợp báo Han et al [11]) Hơn nữa, để đạt thuật toán tổng quát hơn, chúng tơi xét lớp hướng tìm kiếm sử dụng bước hiệu chỉnh Điều cho phép sử dụng không hướng Zhang et al direction mà hướng khác đề nghị Noor et al báo [12,13] Sự hội tụ thuật toán tổng quát đạt giả thiết nhẹ  Phần II: nghiên cứu hội tụ lớp phương pháp mở rộng phương pháp: x k  PK ( x k   k F ( x k )) x k  PK ( x k   k F ( x k )) (*) x k 1  PK ( x k   k F ( x k )) để giải toán bất đẳng thức biến phân: F ( x* ), y  x*  y  K (trong K tập lồi đóng khác trống R n F : K  K ) toán cân bằng: f ( x* , y)  y  K (trong f : K  K  R ) so sánh đặc điểm số thuật toán đề nghị toán kiểm tra Đặc biệt, muốn chứng tỏ phương pháp lặp 02 bước cho kết tính tốn số tốt phương pháp lặp cổ điển sử dụng ma trận đầy đủ - Kết nghiên cứu phần II chứa cơng trình thứ Journal of Industrial and Management Optimization (SCI-Expanded) Hơn nữa, - Trong bào thứ ba (trong Journal of Optimization Theory and Applications, SCI), giới thiệu khuôn mẫu phương pháp lặp để tìm nghiệm chung cho toán cân số đếm tốn điểm bất động định nghĩa khơng gian Hilbert Một định lý hội tụ mạnh đưa điều kiện yếu Hai phương pháp hybrid đạt từ khuôn mẫu đề nghị việc kết hợp dãy lặp điểm bất định với điểm lặp phương pháp điểm gần kề phương pháp extragradient (đây phương pháp ưa chuộng để giải toán cân bằng) Chiến thuật để đạt hội tụ mạnh thuật toán từ hội tụ yếu dãy lặp mà khơng cần thêm giả thiết liệu toán Để đạt điều tập nghiệm tốn xấp xỉ ngồi dãy tập đa diện - Trong thứ (trong Journal of Global Optimization, SCI) giới thiệu nghiên cứu vài phương pháp với chi phí tính tốn thấp để tìm nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm tốn cân khơng gian Hilbert thực Sự hội tụ dãy lặp sinh thuật toán đề nghị đạt cách kết hợp xấp xỉ kiểu viscosity với kỷ thuật chiếu Trước hết sơ đồ tổng quát đề nghị sau hai phiên thực hành nghiên cứu phụ thuộc vào đặc điểm tập chấp nhận Khi tập mô tả bất đẳng thức lồi, phép chiếu tập chấp nhận được thay phép chiếu nửa khơng gian hầu hết điểm lặp nằm miền chấp nhận Mặt khác, phép chiếu tập chấp nhận dễ dàng tính tốn, phương pháp sinh điểm chấp nhận xem tổng quát hóa phương pháp Maingé cho ràng buộc cân toán Trong hai trường hợp, hội tụ mạnh dãy sinh thuật toán chứng minh II CÁC TÀI LIỆU KHOA HỌC ĐÃ XUẤT BẢN  Đã xuất (Những tên in đậm đến từ ICST) (1) Thi Thu Van Nguyen, Thi Phuong Dong Nguyen, Jean Jacques Strodiot, Van Hien Nguyen "A class of hybrid methods for quasi-variational inequalities" Optimization Letters 2014, Published online 22 February 2014 (doi: 10.1007/s11590-014-0729-7) SCIE (2) Thi Phuong Dong Nguyen, Jean Jacques Strodiot, Thi Thu Van Nguyen, Van Hien Nguyen "A family of extragradient methods for solving equilibrium problems" Journal of Industrial and Management Optimization 2015, 11 (2), 619-630 (doi: 10.3934/jimo.2015.11.619) SCIE (3) Thi Thu Van Nguyen, Jean Jacques Strodiot and Van Hien Nguyen, "Hybrid Methods for Solving Simultaneously an Equilibrium Problem and Countably Many Fixed Point Problems in a Hilbert Space" Journal of Optimization Theory and Applications 2014, 59 (1), 173-190 (doi: 10.1007/s10957-013-0400-y) SCI (4) Phan Tu Vuong, Jean Jacques Strodiot and Van Hien Nguyen, "Projected viscosity subgradient methods for variational inequalities with equilibrium problem constraints in Hilbert spaces" Journal of Global Optimization 2014, 160 (3), 809-831 (doi: 10.1007/s10898-013-0084-8) SCI III CHƯƠNG TRÌNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO  Phan Tự Vượng nhận học vị tiến sĩ Tối ưu Toán Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp.HCM ngày 20 tháng 05 năm 2014 Luận án thực hướng dẫn giáo sư Nguyễn Văn Hiền giáo sư J.J Strodiot khuôn khổ đề tài nghiên cứu phịng lab chúng tơi Tên luận án: “Mathematical Methods for Solving Equilibrium, Variational Inequality and Fixed Point Problems”  Năm 2013, 02 báo SCI nhóm nhận giải thưởng chương trình “Trọng điểm quốc gia phát triển toán học giai đoạn 2010 đến 2020” (Quyết định số 4233/QD-BGDDT ngày 09 tháng 10 năm 2012) :  Phan Tu Vuong, Jean Jacques Strodiot and Van Hien Nguyen "Extragradient methods and linesearch algorithms for solving Ky Fan inequalities and fixed point problems" Journal of Optimization Theory and Applications 2012, 155(2), 605-627 (doi: 10.1007/s10957-012-0085-7)  Jean Jacques Strodiot, Thi Thu Van Nguyen and Van Hien Nguyen "A new class of hybrid extragradient algorithms for solving quasi-equilibrium problems" Journal of Global Optimization 2013, 56 (2), 373-379 (doi: 10.1007/s10898-0119814-y) IV HỘI NGHỊ, HỘI THẢO  Van Hien Nguyen, “Some methods for solving quasi-equilibrium problems” (01 báo cáo mời vấn đề nghiên cứu Phịng thí nghiệm Tốn, ICST - HCMC) Hội nghị “Talking about variational inequalities, equilibria and neighbouring problems” (Dipartimento di Informatica, Università di Pisa, Pisa, Italy, May 29-30, 2014)  Nguyen Thi Thu Van, “Hybrid Methods for Solving Simultaneously an Equilibrium Problem and Countably Many Fixed Point Problems in a Hilbert Space”, Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 8, Nha Trang, 10-14/08/2013  Phan Tu Vuong, “Projected viscosity subgradient methods for variational inequalities with equilibrium problem constraints in Hilbert spaces”, Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 8, Nha Trang, 10-14/08/2013 V TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Gabriel, S.A., Conejo, A.J., Fuller, J.D., Hobbs, B.F., Ruiz, C.: Complementarity Modeling in Energy Markets, New York, Springer-Verlag, 2013 [2] Nagurney, A.: Network Economics: A Variational Inequality Approach, Kluwer Academics Publishers, Dordrecht, MA, 1999 [3] Facchinei, F., Pang, J.-S.: Finite-Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems, Volumes, New York, Springer-Verlag, 2003 [4] Bensoussan, A.: Points de Nash dans le cas de fonctionnelles quadratiques et jeux différentiels linéaires N personnes, SIAM Journal on Control 12, 460-499 (1974) [5] Harker, P.: Generalized Nash games and quasi-variational inequalities, European Journal of Operational Research 54, 81-94 (1991) [6] Kocvara, M., Outrata, J.: On a class of quasi-variational inequalities, Optimization Methods and Software 5, 275-295 (1995) [7] Pang, J.-S., Fukushima, M.: Quasi-variational inequalities, generalized Nash equilibria, and multi-leader-follower games, Computational Management Science 2, 21-56 (2005) Erratum 6, 373-375 (2009) [8] Blum, E., Oettli, W.: From optimization and variational inequalities to equilibrium problems, The Mathematics Student 63, 123-145 (1994) [9] Strodiot, J.J., Nguyen Thi Thu Van, V.H Nguyen: A new class of hybrid extragradient algorithms for solving quasi-equilibrium problems, Journal of Global Optimization (Online, DOI: 10.1007/s10898-011-9814-y) [10] Zhang, J., Qu, B., Xiu, N.: Some projection-like methods for the generalized Nash equilibria, Computational Optimization and Applications 45, 89-109 (2010) [11] Han, D., Zhang, H., Qian, G., Xu, L.: An improved two-step method for solving generalized Nash equilibrium problems, European Journal of Operational Research 216, 613-623 (2012) [12] Noor, M.A., Wang, Y., Xiu, N.: Some new projection methods for variational inequalities, Applied Mathematics and Computation 137, 423-435 (2003) [13] Noor, M.A., Wang, Y.J., Xiu, N.: Projection iterative schemes for general variational inequalities, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics 3(3), Article 34, (2002) 10 VI CÁC PHỤ LỤC PHỤ LỤC Bài báo : A class of hybrid methods for quasi-variational inequalities Tạp chí : Optimization Letters, Published online 22 February 2014, 16 pages, doi: 10.1007/s11590-014-0729-7 SCIE Tác giả : Thi Thu Van Nguyen, Thi Phuong Dong Nguyen, Jean Jacques Strodiot, Van Hien Nguyen 11 PHỤ LỤC Bài báo : A family of extragradient methods for solving equilibrium problems Tạp chí : Journal of Industrial and Management Optimization 2015, 11 (2), 619630, doi: 10.3934/jimo.2015.11.619 SCIE Tác giả : Thi Phuong Dong Nguyen, Jean Jacques Strodiot, Thi Thu Van Nguyen, Van Hien Nguyen 12 PHỤ LỤC Bài báo : Hybrid Methods for Solving Simultaneously an Equilibrium Problem and Countably Many Fixed Point Problems in a Hilbert Space Tạp chí : Journal of Optimization Theory and Applications 2014, 59 (1), 173190, doi: 10.1007/s10957-013-0400-y SCI Tác giả : Thi Thu Van Nguyen, Jean Jacques Strodiot, Van Hien Nguyen 13 PHỤ LỤC Bài báo : Projected viscosity subgradient methods for variational inequalities with equilibrium problem constraints in Hilbert spaces Tạp chí : Journal of Global Optimization 2014, 160 (3), 809-831, doi: 10.1007/s10898-013-0084-8 SCI Tác giả : Phan Tu Vuong, Jean Jacques Strodiot, Van Hien Nguyen 14