Về sự tồn tại và ổn định của nghiệm của bất đẳng thức biến phân

Trang 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HO CHi MINH

PHAM ANH TUẤN

LUẬN ÁN THẠC SĨ

CHUYỂN NGÀNH TỐN GIẢI TÍCH

Trang 2

LỜI CẢM ƠN

Tác giả biết ơn gia đình đã khuyến khích, giúp đở trong suốt

quá trình học tập và nghiên cứu

Tác giả xin bảy tỏ lòng biết ơn đến GS TSKH Phan Quốc

Khanh vì sự giúp đỡ tận tỉnh cũng như những hưởng dẳn quý báu của thầy trong suốt thời gian thực hiện luận án

Xin cảm ơn tất cả các thảy cô đã giảng dạy trong những năm tháng học tập trước đảy

Xin cảm ơn Học viện Công nghệ Bưu chính Vién thông đã tạo

mọi điểu kiện thuận lợi cho tác giả trong thời gian học Cao học

vữa qua Xin cảm ơn tất cả những bạn bẻ, đồng nghiệp đã hỗ

trợ tác giả trong học tập cũng như trong công tác,

Cảm ơn các em học sinh đã gởi vẻ một số tải liệu chuyên mơn tử nước ngồi

TP Hồ Chi Minh, ngày 5/9/2001,

Trang 3

Luận Ăn Cao Học 2001 Phạm Anh Tuấn

Các ký hiệu dùng trong luậnán | RAE A OI sa srney asece nea aeRO AW WE EN OAT HANSA ERLERER TREE DTSNE EIS 2

A Sơ lược về sự phát triển của toán tử đơn điệu

và của bất đẳng thức biến phản 2

B Các đóng góp của luận án 0€¿ìNANwx0áuswsvaf Chương I — Khái niệm về toán tử đơn điệu và toán tử giả đơn điệu 4 I Mở đầu S409 532960W26063V09234965:3 Sặt 4 H Mội số kiến thức cơ bản ng Asniasmab 4

Chudng Il Sy tén tai nghiém cia bat ding thife bién phan

VOL tad 0 đnN đi s4 6v ái G0022 cocc¿ S24 12

L, Sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân

trên tp GIÀN CHNGG 1210 24061etcctetccte0Ees cwosx 12

HỊ Sư tôn tai nghiệm của bất đẳng thức biến phân

trên tên Rơn không tệ CHỆNGt2 122321414412 4122021422 2⁄42 15

Il Một vài ứng dung của bất đẳng thức biến phân 22

Chương HI Sự tổn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân

với toán tử giả đơn điệu 26

II Sựtồn tại nghiệm của hất đẳng thức hiến phân

trên tập Đến HỆ Ca sv9326t66 0106094164 26404482vv về 26

HI — Sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân

trên tập hợp không bị chặăn ;: 6124421026968 30 IV Sự liên hệ giữa bài toán bất đẳng thie bién phan

Trang 4

Luan An Cao Hoc 2001 Phạm Anh Tuấn

Chương IV Sự hội tụ của nghiệm của đãy bài toán

bất đẳng thức biến phân epee 30

I Trường hợp toán tử đơn điệu N 39 II Trường hợp toán tử giả đơn điệu 47 Ted TiO te Cite MN Gcccgexckc2vcocctceccessccccc SN 15304 593ÁY: Setkd0xs6g: 5U

Trang 5

Luan An Cao Hoc 2001 1 Pham Anh Tuan

CAC KY HIEU DUNG TRONG LUAN AN

span{uy sae Uy) ° VILX) intkK(C) &(C) w-Intx(€) W-OK(C) tập hợp các số tự nhiên, tập hợp các số nguyên dương, tập hợp các số thưc, tập hợp các số thực không âm, không gian Banach thực ,

không gian liên hợp tôpô của B, hội tụ theo tônô chuẩn (hội tụ mạnh),

hội tụ theo t6pé yếu,

hội tụ theo t6pé yếu”,

không gian con sinh bởi các phần tử uy, , 0ạ,, đạo hàm Gateaux cua Í tại x,

phần trong tương đối của € trong K đốt với tôpô chuẩn,

biên tương đối của € trong K đối với tơpư chuẩn,

phần trong tương đối của € trong K đối với tôpõ yếu, biên tương đối của € trong K đối với tôpô yếu

Trang 6

Luan An Cao Hoc 2001 2 Phạm Anh Tuấn

PHẦN MỞ ĐẦU

A SƠ LƯỢC VỀ SỰ PHÁT TRIỂN CỦA TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU

VÀ CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

Trong luận án này, chúng tôi khảo sát các vấn đề sau :

“ Cho B là không gian Banach thực với không gian liên hợp tôpô B` K c B là

tập lồi đóng T: K -+ BỶ là toán tử đơn điệu hoặc giả đơn điệu liên tục trên các không gian hữu hạn chiều Tìm nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân VỊI(T, K), tức là tìm xụ eK sao cho (Tx¿, x-X¿ ) >0, VxeK

Sự hội tụ của nghiệm của đãy bài toán bất đẳng thức biến phân, tức là tính ổn

định của nghiệm của bài toán hất đẳng thức biến phan

Khái niệm toán tử đơn điệu được biết đến vào khoảng năm 1962 Trong bài báo |6],

Minty da khảo sát toán tử đơn điệu (phi tuyến) trên một không gian Hilbert X va đã đạt được những kết quả đầu tiên về toán tử đơn điệu Bể đề II, |, chương H1 trong luận

án này (của Minty) là một bổ đề rất quan trong trong việc nghiên cứu sự tồn tại cũng

như tính chất của tập hợp nghiệm của bất đẳng thức biến phân

Các bất đẳng thức biển phần đã bắt đầu được nghiên cứu từ những năm 60, chẳng han

trong [1], [15], [20], Trong [20], Hartnan và Stampacchia đã chứng mình được rằng

“nếu TT liên tục, B là không gian Euclide hữu hạn chiều và K là tập lồi compact khác @ thì bài toán VIíT K) có nghiệm” (hồ đề 3.L) Từ đó, nhiều nhà toán học đã mở rông định lý trên theo nhiều hướng khác nhau Trong cuốn sách [2| Kinderlehrer và Stampacchia đã mở rộng kết quả trên cho trường hợp B là không gian Banach phản xa nhưng với giả thiết T là toán tử đơn điệu; trong [2I|, Holmes đã mở rộng cho trường hợp không gian lồi địa phương

Năm 1976, trong |4], Karamardian mở rộng khái niệm toán tử đơn điệu bằng cách đưa

ra khát niệm toán tử giả đơn điệu (định nghĩa 3.2) Nam 1990, trong [5], Karamardian

Trang 7

Luận Ăn Cao Học 2001 3 Phạm Anh Tuấn

hệ thông, đồng thời nêu một số tính chất căn bản của các toán tử này Các toán tử này thường được gọi chung là tuần tử đơn điệu suy rộng Một loạt công trình nghiên cứu sự tồn tại (và duy nhất) nghiệm của bài toán bat ding thức biến phân liên quan tới toán tử đơn điệu suy rộng đã lần lượt xuất hiện như [7], {19}, [22]

Một hướng phát triển khác của bài toán bất đẳng thức biến phản là khảo sát sự tồn tại nghiểm của bài toán VIỆT, K) với T là một ánh xạ đa trị

B CÁC ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN ÁN

Luận án này là một trình bày có hệ thống, theo một cách tiếp cận và sắp đặt của chúng lôi về sự tôn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân và ổn định kiểu hội tụ của

nghiệm của day bat dang thức biến phân với toán tử đơn điệu và giả đơn điệu Trên nền của các kết quả đã có, chúng tôi cũng có những đóng góp mới bao gồm các kết quả sau đây:

|, Định lý IL6 (và hệ qua 11.7) trong chu@ng II

Định lý này nêu lên mốt điều kiện đủ cho sư tồn tại nghiệm của bài toán VWT, K) với giả thiết nhẹ hơn định lý H.3, chương lI ( tức là hệ quả 1.8 trong [2])

2 Vị dụ của định lý IIL.1 và định lý LH.2 trong chương H

Ví dụ này cho thấy định lý IH,I không đúng khi K không bị chăn, đồng thời làm rõ vai

trò của ánh xạ co trong định lý 1H.2, chương HL

3 Toàn bộ chương IV

Chúng tôi khảo sát nghiệm của bài toán VI(T, K), trong đó T là giới hạn đều của mơi đẫy tốn tử đơn điệu hoặc giả đơn điệu {T, | Chúng tôi đã tìm ví dụ cho thấy các giả thiết nêu trong các định lý là cốt yếu Trong không gian hữu hạn chiều, sự hội tu yếu

và sự hội tụ chuẩn (mạnh) là trùng nhau, do đó ví dụ 4 ( với B là không gian Banach vô hạn chiều fŸ ) có ý nghĩa đặc biệt quan trọng: nó cho thấy trong trường hợp tổng

quất, với các giả thiết của định lý, ta không thể thay kết luận về sự hội tụ yếu thành sư

hội tụ manh

Trang 8

CHƯƠNG I

KHÁI NIỆM VỀ TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU VÀ

TOÁN TỬ GIÁ ĐƠN ĐIỆU 1 MO DAU

Chủ B là một không gian Banach thực với chuẩn |L ||, B” là không gian liên hợp tônô của nó được trang bị bởi tôpô yếu”

Với u<B `, veB, ta ký hiệu (u,v) để chỉ phần tử u(v)e 9i,

Cho K là một tập hợp lồi, đóng, khác rỗng của B và T là một toán tử từ K vào B”., ~~ * Tá ký hiệu *~»”, ®=+*” và "=> `” lần lượt để chỉ sư hội tụ chuẩn, sự hội tụ yếu và sự hội tu yếu” II MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa IL (} Toán tử T được gọt là đơn điệu (monotone) trên K nếu với mọi cập điểm xeK, veK ta có (Tx-Ty, x-y) > 0,

(ii) — Toán tử T được gọi là đơn điệu chặt (stricly monotone) trên K tiếu với

moi cp điềm phân biệt xeK, veK, ta có

(Tx-Ty, x-y) >0

(iti) — Toán tử T được gọi ơ-đơn điệu trên K nếu tôn tại một hàm số thực œ với

œ(0) = Ú, ơ(r) > 0 Vr > và limø(r)= + sao cho với mọi cặp điểm x<K,yeK, tạ có

(Tx-Ty, x-y} > l|x-y ||œ(|lx-y|Ì)

(iv) Todn ut T được gọi là đơn điệu mạnh (strongly monotone) trên K nếu tôn tại fi > Ö sao cho với mọi cập điểm xeK, yeK, ta có

Trang 9

-Luan An Cao Hoc 2001 5 Pham Anh Tuan Định nghĩa H.2 (i) (i) (tit) Dinh ly 11.3 (1ì (it) (11) Chứng mình

Toán tử T được gọi là hemi-liên tục trên K nếu với mọi cặp điểm xeK,

vyeK, hàm số sau là hàm xố liên tục :

tee (Tix +(Í—f)Y,x— VÌ 0</<TI

Tốn tử T được goi là demi - liên tục trên K néu x, > x kéo theo Tx„—> Tx

Toán tử T : K -+ BỶ được goi là liên tục trên các không gian hữu han chiều nếu với hất kỳ không gian con hữu hạn chiều M € B với KOM z @, todn uf thu hep T: KOM -> B' là liên tục ( én KOM, ta lay topo

chuẩn còn trên BỶ lấy tôpô yếu )

Nếu T' demi-liên tục trên K thì nó liên tục trên các không gian hữu hạn chiêu

Nếu T đơn điệu và hemi-liên tục trên K thì nó đemi-liên tục trên 1ntí(K)

Nếu T đơn điệu và hemi-liên tục trên một tập mở chứa K thì nó liên tục trên các không gian hữu hạn chiều Coi [1] định lý 2.4 và [3], hệ quả 11 Định nghĩa I.4 (i) (1) (iil)

Toán tử T được gọi là giả đơn điệu (pseudomonotone) trén K néu voi mới cập điểm xeK, yeK, ta có

(Ty, x-y) >0 kéo theo (Tx x-y) > 0

Toán tử T được gọi là giả đơn diéu chat (strictly pseudomonotone) trén K

nếu với mọi cặp điểm phân biệt xeK, yeK, ta có

(Ty, x-y) > Ú kéo theo (Tx, x-y) > 0

Trang 10

(Ty, x-y) >0 kéo theo (Tx, x-y) > f\x-y||`

(iv) - Toán tử T được gọi là a-gid đơn diéu (a-pseudomonotone) trén K néu

tn tai x» K và ư ; Vì, —> #l, với ơ(0) = 0 afr) > O Yr > 0 và

liminf ø(r) > [fx„| sao cho với mọi cặp điểm xeK, yeK, tà có

(Ty, x-y) > Ú kéo theo (Tx, x-y) > |lx-v|lœ(|\x-y||) Nhận xét Nếu T là toán tử đơn điệu thì nó là toán tử giả đơn điệu Chiều ngược lại nói chung là không đúng Ví dụ: XẻéI toán tứ T:KSWẰ vớiK=| xe9x>0), Dẻ dàng kiểm chứng rằng T giả đơn điệu nhưng không đơn điệu Định nghĩa H.š

Cho © là một tập mở của không gián Banach thực B và [ : O — 9,

(1) Ham sé f được gọi là khả vì Fréchet (vắn tất: F - khả vi) tại xeQ nếu tồn

tại một ["(x)eB” sao cho:

I(x+h) = Í(x) + ('(x), h) + œ(x,h), trong đó œ(x.h) = o(|Í h |) khi h => 0

Khi đó, ta gọi f°(x) là đạo hàm Fréchet của f tại x

Hàm số f được gọi là F - khả vị trong @ nếu £ là F - khả vi tại mỗi điểm

xeA)

(ji) Hàm số f được gọi là khả vi liên tục trong © nếu f là E - khả vị rong QO và ƒ': Q —> B' là liên tục

Trang 11

; im mang =(V/f(xlih)h — với mọi heB, VI(x) được gọt là đạo hàm Gáteaux của Í tại x

Hàm số f được gọi là G-khả vì trong @ nếu F là G-khả vị tại mỗi điểm xeÂ)

Định lý H.6

(i) — Nếuf là F-khả vi tại xe© thì f là G-khả vì tại x và F'(X) = V(x)

(ii) — Nếu F là G-khả vị trong một lân cận của xe@ và V(y) liên tục tại x thì f 1a F - kha vi tai x

Chifng minh

Coi [3], ménh dé 7.5 [1

Định nghĩa H.7

(i) Hàm F: K —>(-z, +%) được gọi là lồi nếu với mọi cặp điểm xeK, yeK

và với mọi Le |Ơ, Í |, tra có

[(tx+(l-t)y)< tf(x) + (l-t)(y}

(ii) Ham f: K —> (-ø, +} được gọi là lồi chặt nếu với mọi cập điểm phản biệt xeK, veK và với mọi te(0,1), ta cá

[(tx+(1-t)y}< tÍ(x) +(1-Ð{(y) Định nghĩa H.8

Cho © là một tập lồi khác rỗng của không gian Banach thực B và f : @ > &

Hàm † được gọi là tựa lồi (quasiconvex) trên Q nếu với mọi cặp điểm xe©, yeQ, ta có f(À.x+{I-2.)y] < max{ Í(x), E(y)], V2.e{|0, 1]

Định lý H.9

Cho © là một tập mở löi khác rỗng của không gian Banach thực B và

f£:Q —> 9 là hàm G-khả vi Các mệnh đề sau đây tương đương :

(i) Ham f twa lồi trên Q

Trang 12

Chifng minh

Gi) — Cho f tựa lồi trên Q Coi x, veQ vai f(x) S fly) Vi f là G-kha vi tai y nén voi mdi A€(0,1), ta cd

f(2.x+{ |-2.)y] - f(y) = ACVIETy), X-¥) + Of7), Vị í tựa lồi nén

f(2.x+(|-À)y} < F(y! suy ra

X(Vf(y), x-y) + o(2.) < Œ., Chia hai vế cho 2 và cho 2 —> 0ˆ, ta được (Vf(yl, x-y) <0, (ii) Cho f thda (ii), Cot x, y €Q vai f(x) s f(y) Ta cần chứng mình f(2x+(l-À)y)<f(y), VÀ e|0,1] Chả sử (phản chứng) tồn tại một A€(0.1) sao cho f(7) > f(y) với z = AX + (1-À)V Xét hàm số g : {0,L] — 3ì, xác định bởi #(L) = Í(1z+(Í-L)y )

Vit la G-khả vị nên g`'{t} = (VÍ(tZ+#(I-LU0y!,Z-y), — Ytel0,1|

Vậy, g khả vị và do đó g liên tục trên [0,E| Vì g(1) > g(0) nên tồn tại một ð e (0,1) sao chủ gít)>g(0), Vte|ð.I| (1) va g(l)> gfd) (2) Do đình lý giá trị trung bình và do (2), tồn tại một fh € (8,1) thda 0<g(l) = g(ỗ) = g`() ( I-ồ)

Suy ra g'(B) >0, tức là (Vf(u), z-y) > 0 với u = z+(1-f)y Mà z-Y = À(x-Yy}, nên

Trang 13

Luan An Cao Học 2001 9 Phạm Anh Tuấn

Do [[), tạ có g() > g0) nên f(X) 4 f(y) < E(u) Do (1) nên (Vf(u), x‹u) < 0 Vi x-u = (1-Afx-¥) va 1-AB > 0 nên (Vf(u), x-y} < (`: mâu thuẫn với (3)

Vậy hàm f tựa lồi trên © Định nghĩa 11.10 Cho @ là một tập hợp mở trong không gian Banach thực B và F : €3 —> Ä là hàm G-kha vi (i) Ham f được gọi là giả lồi (pseudoconvex) trên Q néu vai mọi cặp điểm xe<O, ye(), ta có

(VI(x),y-x)>0 kéo theo f(y) > f(x)

(ii) Ham f được goi là giả lôi chặt (stricly pseudoconvex) trên nếu với mọi cặp điểm phân biệt xeQ, ve, tạ có

(VI(x),y-x)>0 kéo theo f(y) > f(x)

(iỦ — Hàm f được gọi là giả lồi mạnh (strongly pseudoconvex) trén Q néu ton tại ƒ` >0 sao cho với mọi cặp điểm xeQ, ye@, ta có

(VI(x), y-x)>0 kéo theo tly) > f(x) + P|\x-y|tẺ

B6 dé 1.11

Trang 14

Do (6) và đo F giả lôi nên f(y) > f2): mâu thuẫn với (4) Vậy, F tựa lồi và hồ đề được

chứng mình

Định lý H.12

Cho © là một tập hợp mở, lỗi trong không gian Banach thực B và £ : Q —> 3 là

hàm G-khả vị, Khi đó, £ lôi trên € nếu và chỉ nếu VỸ ; €9 —>» Bˆ đơn điệu

Chứng minh

Coi [8], ménh dé 5.5

Tuong tt nhit dink Wy 11,12 ở trên, định lý sau đây cho thấy tính giả lỗi của hàm ƒ và tinh giả đơn điệu của VỊ có mỗi liên hệ chặt chẽ Ta có

Định lý H.13

Cho 2 14 một tập hợp mở, lồi trong không gian Banach thực B và f : Q —› 3 là

hàm G-khả vị Khi đó, £ giả lồi trên ©@ nếu và chỉ nếu Vf: @ —> B” giả đơn điệu Chứng minh “ Cho F giả lỗi trên Q Coi hai điểm phan biét x, yeQ vai (Vf(y), x-y) > 0 (7) Ta cần chứng minh ring (VÍ(x) x-y} > Ú (8) Vì f giả lồi nên từ (7) suy ra f(x) > f(y) (9) Do hồ đề HH l1, F tựa lồi nên từ (9), áp dụng định lý 11.9, ta suy ra (VI(x), y-x) < 0,

nghia la (8) được chứng mình Vậy, VÝ giả đơn điệu L]

Trang 15

Luan An Cao Hoc 2001 11 Pham Anh Tuấn f(x) - f(y) = (V2), X-Y), (12) trong đó z=})x+(l-À)y (13) Từ (111, (12) và (13), suy ra (VÍ(Z), y-z) > Ư (14) Vi Vi gid doin điệu nên từ (|4), ta suy ra (Vy), y-z) >0, hay AAVIELy), yx) > O Suy ra (VÍ(y), x-y) < 0 : mâu thuẫn với (10) Vậy, f giả lồi Định lý H.14

Cho © là một tập hợp mở, lỗi trong không gian Banach thực B và F : @ —> 3ì là ham G-kha vi Khi đó, f giả lồi chất trên @ nếu và chỉ nếu Vf : @ — B gia dan diéu

chặt

Chifng minh

Coi [5], ménh dé 4.1 Định lý IL15

Cho 2 1a một tập hợp mở, lồi trong không gian Banach thực B và f : @ -> #ì là

hàm G-khả vi Khi đó, £ giả lồi manh trên @ nếu VÝ: @ —> B` giả đơn điệu mạnh

Chứng mình

Coi [5], ménh đề 6.2

Trang 16

Luận Ấn Cao Học 2001 12 Phạm Anh Tuấn

CHƯƠNG II

SU TON TAI NGHIEM CUA BAT DANG THUC

BIEN PHAN VỚI TOAN TU DON DIEU

I SỰ TON TAI NGHIEM CUA BAT DANG THUC BIEN PHAN

TREN TAP HOP B] CHAN

Cho B là không gian Banach thực phản xạ với chuẩn || ||, B' là không gian liên hop topd trang bị bởi tôpô yeu ,.K€B là tập lồi, đóng và bị chặn, T : K => B' là một

ánh xạ tùy ý Với ueB”, veB, ta ký hiệu (u,v) để chỉ phần tử u(v)e 3ì

Bài toán Bất Đẳng Thức Biến Phân ký hiệu VI(T, K), là bài toán tìm xue K sao cho (Txụ, x-Xạ) 20, Vxe K Ta ký hiệu “=»”, ®“=»*” va ">" an lượt để chỉ sự hội tụ chuẩn, sư hội tu yếu và sự hội tụ yếu”, Bé dé 1.1

Cho K 14 méttap hop 16: , déng trong khéng gian Banach thuc phin xa B, T° K-+>+B' là một toán tử đơn điệu và hemi-liên tục Khi đó, x e K là nghiệm của

(Tx, u-x) 20, Vue K, (1)

néu va chi néu

(Tu, u-x) 2 0, Vue K (2)

Ching minh

* Gid sifxe K là nghiém cua (1) Vi T don điệu nên 0 <(Tu-Tx, u-x) = (Tu, u-x) = (Tx, u-X) Suy ra

(Tu, u-x) 2(TX,u-x) 20, Yue K

Vậy x là nghiệm của (2)

Trang 17

Lấy ue K tùy ý Với Ú < 2< l, đặt x; = 2u # (I-2)x = x + 2(u-x) thì x; e K do K lồi Do (2) ta có

(Tx;, x; -x)>(,

suy rủ ( T(x+^({u-x)),u -x)})>0 Cho 2 —> 07, do T heml - liên tục nên ta được (Tx,u-x)>0 Vì ue K tùy ý nên x là nghiệm của ( Ì ) LÌ Bổ dé 1.2 Nếu T : K -> B' là toần tử đơn điệu chặt thì hài toán VICT, K) chỉ có tối đa là một nghiệm, Chứng minh Giả sử (phản chứng) là bài toán VIỢT, K) có hai nghiệm phần biệt là xị và x; Vì xị là nghiệm nên (TX), X2- X41) 20 (3) VÌ] x› là nghiệm nên (Tx›, X¡-X;) 3 Ö (4)

Vi T đơn điệu chặt nên từ (4), suy ra (TX¿, xị-X;) >0 : mâu thuẫn với (3) Vậy, bài toán VIỆT, K) chỉ có tối đa là một nghiệm

Dinh ly 1.3

Cho K là một tập lôi đóng bị chân trong không gian Banach thực phản xạ B, T : K -> BỶ là toán tử đơn điệu và liên tục trên các không gian hữu hạn chiều Khi đó bài toán VICT, K) có nghiệm, nghĩa là tồn tại xạ e K sao cho

(Tx¿, x-Xa) 3 0, Vxe K (5)

Hơn nữa, tập hợp nghiệm của (5) thì lồi, đóng va compact yếu

Chứng minh

Cố định một không gian con hữu hạn chiều M của B sao cho K = M z Ø Vì K

lôi, đóng, hị chặn trong không gian Banach phản xạ B nên K M cũng lôi, đóng, hị

Trang 18

Bat Py: M —> B là phép nhúng từ M vào: B, 7Ø): 8ˆ ->Aƒ” là ánh xạ đối ngẫu của Pạy Khi đó ánh xạ 277, :K 3A/ =>A/” là liiên tục Đo đó, tồn tại một xu € KOM sao cho (P„TP„,xu„ x—x„)20, VxeKeM, tức là (TXụ, X-Xwt)i 3 0, VxeKđâM Do bố đề [ |, ta có (TX, X-Xyq) 22 0, VxeKe©M (6)

% Với mỗi u e K, đặt S(u) = | xe K /(Tu, u-x) >0 | thì S(u) đóng yếu Do đó AM u) đóng yếu trong K Mà K compaect yếu nên ta sẽ chứng mình rằng ƒ1Sứ» zØ

wed

bằng cách chứng mình rằng họ [S(u)/uœ K| có tính chất giao hữu han

That vay, với mỗi tập hợp hữu hạn |u¡.u+›, u„} c K, đặt M = span(ui, u;, , u„}

thì M là không gian hữu hạn chiều, MC B và K 6M zØ, Do lý luận trên, tồn tại một Xa © KOM thoa (6), Đặc biệt, ta có (Tu, U-Xs) 2 0 Vig 1, m Do dé x, ef )Stu,) rel va Situ) # @ YueK, Vay ho { S(u)/ueK } có tính chất giao hữu hạn Suy ra (st) 4 Zi, oak Lấy x„{ }S() Ta 06 (TX, X-Xo) 2.0 ¥x.EK, Do bd dé 1.1, ta suy ra wek (TX, X-Xy) 2 O, VxeK % Vẫn do bổ đề l_I, ta suy ra tập hợp nghiệm của (3) là tập đóng

Trang 19

Luan An Cao Học 2:001 15 Phạm Anh Tuấn ———— Nhãn hai về của (9) với 2 v¿à của (10) với |-2 rôi công lại ta được ÀX(TXx,, X-X¡) +(l-À)(Tx, x-x;)>0, VXxeK, hay (Tx, x-X;) >0, VxeK, ‘vGi x) = AX, + (1-A)x2 Lại do bổ đề 1.1, ta suy ra (Tx;, x-x;)>Q0, t/xeK Vậy x; cũng là nghiệm củia (5) Do đó, tập hợp nghiệm của hài tốn VI(T, K) là mơi tập hợp lôi

Tập hợp nghiệm của bài toán VI(T, K) thì lồi và đóng c K mà K compact yếu (vì B là không gian phản xia ) nên tập hợp nghiệm đó cũng compact yếu

Do bé dé 1.2 và định lý l3, ta có ngày két qua sau về tính dựy nhất nghiệm của bài toắn bất đẳng thức biến phân:

Hé qua 1.4

Cho K là một tập lồi đóng bị chân trong không gian Banach thực phản xạ B, T

-K —>B' là toán tử đơn điệu chặt và liên tục trên các không gian hữu hạn chiều Khi đó bài toán VI(T, K) có nghiệm duy nhất,

Dinh ly LS

Cho K là một tập ôn đóng bị chặn trong không gian Banach thực phản xạ B, T :B ->B' là toán tử đơn điệu và hemi-liên tục Khi đó hài toán VIỆT, K) có nghiệm Hơn nữa tập hợp nghiệm thi [6i déng va compact yéu

Chứng minh

Vì 'T đơn điệu và henmi-liên tục trên B nên do định ly IL3 (0), chương 1, T lien

tục trên các không gian hữu: hạn chiều Áp dụng định lý 1.3, ta có kết quả

II SU TON TAI NIGHIEM CUA BAT DANG THUC BIẾN PHAN TREN TAP HOP KHONG BI CHAN

Cho B là một không ;gian Banach phản xa, K c B là tập lồi đóng Ta mudn ndi

tông các kết quả của phần !trên sang trường hợp K là một tập hợp lồi đóng và không bị

Trang 20

Dat B, ={xe Bix} s R}va Ky = K OB, Khi d6, Ky c B là tập lồi đóng và bị chặn Nếu R đủ lớn thì hiển nhiên Kạ # @

Định ly 11.1

Cho B là một không gian Banach phan xa, K c B 1a tap Idi dong, T: K > B 1a

một toán tử đơn điệu, liên tục trên các không gian hữu hạn chiều Điều kiện cần va đủ

để nghiệm xụ của bài toán bất đẳng thức biển phân VI(T, K) tồn tại:

(Txy X-Xy) 20, VxeK, (I1)

là tôn tại một hằng số R > 0 sao cho ít nhất một nghiệm xạ của bài toán VIỆT, Kạ) : (Txạ, X-Xw} 3 Ú, VxeKw (12) thoa |Ì xạ || < R (13) Chứng minh % Giả sử xạ thủa (11) Khi đó ta chỉ cần chon R > 0 sao cho || xạ || < R và chon Xu#X¡ thì x thỏa (12) và (13)

s* Ngược lại, giả sử tôn tại một R > Œ sao cho nghiệm xự của (L3) thỏa (13) Ta sẽ chứng mình rằng xạ thỏa (l1) Thật vậy lấy yeK tùy ý Ta có xạ 6 K (vì xe Kg € Kì

Trang 21

Luận Ăn Cao Học 2001 1? Phạm Anh Tuấn

+ Từ định lý II.1, ta rút ra được một loạt điều kiên bảo đảm sự tôn tại nghiệm của hài toán hãt đẳng thức biến phân VI(T, K) trong trường hợp K là một tập hợp lồi đóng và không bị chặn

Hệ quả H.2

Cho B là một không gian Banach phản xạ, K c B là tập lồi đóng, T : K -> BỶ là một toán tử đơn điệu, liên tục trên các không gian hữu hạn chiều Giả sử tồn tại một y e K và một R > || y Í| sao cho (Tx.y-x)< 0, VxeKfx (14) (vi Sp = {| xe B/||x||= R }) Khi đó, bài toán VIT, Kì có nghiệm Chứng mình Vì Kạ lôi đóng và bị chặn nên tôn tại MOt xg € Ke sao cho (TX , X-Xx) 20, VxeKạ (15)

Ta chứng mình rằng xe thỏa điều kiện (12), tức là (Ixgl| < R Thật vậy, nếu không thì

llxul| = R vả do (14) ta có (Txg , y-Xg) < Ú : mâu thuẫn với ( 15)

Áp dụng định lý II.1, nghiệm của bài toán VI(T, K) tồn tại 0 Định lý H.3

Cho B là một không gian Banach phản xạ, K c B là tập lồi đóng, T: K —> BỶ là

toán tử đơn điệu, liên tục trên các không gian hữu han chiều Giả sử tôn tại veK sao cho

lim ———* = ĐỒ, (16)

Khi đó, bài toán VICT, K) có nghiệm Chứng minh

Ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại một R > || y || sao cho y thỏa (14) rồi áp dụng hệ quả

II.2 để có điều phải chứng minh Trước hết, ta chọn H > 0 thỏa

H > ||Ty||

Trang 22

Luận Ăn Cao Học 2001 18 Phạm Anh Tuấn (Tx-Ty, x-yì > H|\x-y||, nếu |Ixi| >R (xeK) Khi đó, tà có: (Tx, x-yì > H(x-y|\ + (Ty, x-y) > Hx-y|| - |[Fy|I.|lx-y|| 2 (H- J[TyilIIIx-*|| > (H- [[Tyi|M|IxI|-|\y|l) > 0, vVxeK°©S$g Hệ quả HH.4

Cho E3 là một không gian Banach phản xạ, K lồi đóng c B và 0eK, T: K -> B” là một toán tuử đơn điêu, liên tục trên các không gian hữu hạn chiều Nếu lim LÀL/ TRE (17) em sek thi bai toda WICT, K) c6 nghiém Chứng mình Chon y =0, ta cd (Ix ~Ty.x— y) T\.x- Y) _ (fr-T0.x) lim lim —————— = tên | MB

đo (17) Vậy (16) được nghiệm ding vdi y = 0

Trong trường hợp K lồi đóng, không bị chăn và 0£K thì ngoài điều kiện ( E7), tạ cần hỗ

sung thêm moot gid thiết phù hợp Cụ thể ta có Hệ quả H.Š

Cho B là một không gian Banach phan xa, K lồi đóng c B, T: K => BỶ là toán

tử đơn điệu, liệên tục trên các không gian hữu hạn chiều Giả sử tồn tai yeK và 0 >0 sao cho (140)sy e K Nếu

m 1: x)

bi ~~ ia = +m (17)

Trang 23

Luận Ăn Cao Học 2001 19 Phạm Anh Tuấn Chứng mình + Đặt Wx = Tx-Ty thì W đơn điệu vì (WXx-Wz, x-z) =(Tx-T2, x-z) > 0, Wx.zK Hiển nhiên W liên tục trên các không gian hữu hạn chiều vì T có tính chất đó Với mọi x, z € K, tạ có 0 < (Tx-Tz, x-7) = (Wx, x-z) — (Wz, x) + (Wz 2) nen (Wx, x-z) > (Wz, x) — (Wz, 2) Suy ra limin£ Oo — š) >—œ, (18) Item — | Ta phải có lim (Wx.x-y) x- }) _ (19 Ma || -

Trang 24

Luận An Cao Hoc 2001 20 Phạm Anh Tuấn .(HfY x.„,-(l+Ø)y) —œ < liminf ———— Se - =lim iw X unos ae Weck =9) Wey CS, —J) “0m22 =~ ve” bel : võ lý 1 Vậy, (19) được chứng mình Cuối cùng, vì (W%x.x~ y) _ (Tx-7w.x= y)|x= v| l — kkj bị nen từ ( |9), t4 suy ra | (1x = Ty,x~y) ss Ih on lx - yh tức là (16) được nghiệm đúng với một ye K, L] Định lý H.6

Cho B là một không giàn Banach phan xa, K lồi đóng c B, T: K => BỶ là toán tử đơn

điệu, liên tục trên các không gian hữu han chiều, Giả sử tồn tại yeK sao cho im (T\,x- y}= +, (32) cok Khi đó, bai todn VICT, K) c6 nghiém Chifng minh Vì T thỏa (232) nên tồn tại R > || y || sao cho với mọi xeK mà ||x|| 3 R thì ta có (Tx, x-y) > 0 (23) Goi Xp 6 Kự là nghiệm của bài toán VIỆT, Kgì, nghĩa là (Txụ , X-Xg} > 0, VxeKg (24) Néu |! xg | = R thì trong (24), lấy x = y, ta có (Txạ , y-Xạ) z Ú : mâu thuẫn với (23) ! Vậy, ta phải có || xạ ||< R Ap dụng định lý 11.1, nghiệm của bài tốn VIỆT, K) tơn tại Hệ quả 11.7

Cho B là một không gian Banach phản xạ, K lôi đóng c B và 0K ,T: K —> B

Trang 25

Luận Ăn Cao Học 2001 21 Phạm Anh Tuấn lim (Tx.x) = + ' *e£ _ thì bài toán YVIỆT, K! có nghiệm Chifng minth

Lay w = Ú trong định lý H.6, ta được điều phải chứng mình

Triđờng hợp? đặc biệt khi K s B tức là ta tìm xu € B sao cho Tụ = tÌ thì ta có

Hệ quả II

Cho I3 là một không gian Banach lồi đều, T : B —> BỶ đơn điệu, liên tục trên các không gian (hữu hạn chiều Giả sit t6n tai R > 0 sao cho bài toán VICT, Ø,) có hai nghém phẩm biệt xị và xạ : (Tx, , xX-x)) 20, Vxe B„, (Tx, X-X3) 20, Vxe B,, thì khi đó, t6in tai xy € B sao cho Txy = 0, Chứng minh:

% Khôn;g gian Banach B được gọi là lổi đều nếu với mọi y z e B mà |lyl|= 1, llz|

= | và y#z thì || ty + (1-UZ ||< ! với mọi <t< ],

Mọi không gian Banach lồi đều đều là không gian phan xa (Coi [9] dinh ly H1.29,

chương HH)

Trang 26

Luan An Cao Hoc 2001 22 Phạm Anh Tuấn III MOT VAI UNG DUNG CUA BAT DANG THUC BIEN PHAN

Các ứng dụng của bất đẳng thức biến phân khá phong phú Người ta dùng bit

đẳng thức biến phân để giải những bài toán trong vật lý cũng như những bài toán về kỹ

thuật, chẳng hạn : bài toán về lý thuyết hôi trơn trong cơ học, bài toán lọc chất lỏng

qua một môi trường xốp, bài toán vẻ độ võng của một xà ( Coi [2], chương VIL, các mục 2, 3, 9)

Trong luận án này, chúng tôi chỉ nêu các ứng dụng mang tính chất thuần túy lý

thuyết, đó là ứng dụng bất đẳng thức biến phân để khảo sát tập hợp các điểm bất động

của một vài loại toán tử đặc biệt

Định lý III.I

Cho X là một không gian Hilhert thực, U : X —> X là ánh xạ không dẫn, nghĩa là IILIx-Ly|| < |Ìx-y|| VxeX, yeX và K c X là tập lồi đóng bị chặn Giả sử U(K) c K

Kai đó tập hợp các điểm bất động của LÍ thì khác rỗng, lồi và đóng

Caving minh

s Đặt T=l - LÍ thì T là ánh xạ đơn điệu Thật vậy, ta có

(Tx-Ty, x-y) = (x-y-Ux+Uy, x-y) = |Ix-y||Ì = (Ux-Uy, x-y) >0

vì |(Ux-Uy, x-y)| < | = L\||||x = i]s {x - yw

Mặt khác

I(U(tix+#(Ï-ty)y), x-y}— (U(tx-(Ï-tạ)Y), x-y)| <

Trang 27

Luận Ấn Cao Học 2001 23 Phạm Anh Tuấn

do đó Uxa = xa Vậy, xạ là điểm bất động của ánh xạ không dẫn U

% Vẫn do Định lý IL.5, tập hợp các nghiệm xạ của (25), tức là tập hợp các điểm bất động của ánh xạ không dãn U, là tập lồi và đóng R Ghỉ chú Nếu K là một tập lồi đóng và không bị chặn thì kết luận của định lý IV.I có thể không đúng Ví dụ: Xét ánh xạ khơng đản U:K¬S%?,K= {(x;, x;) © R7/ x, 20, x2 20) CB=R’, U(X; , X2) = (x; + I, X2), ( U chính là phép tịnh tiến trong mặt phẳng ) Ta có U(K) c K nhưng U không có điểm bất động Một ánh xạ có cũng là một ánh xạ không dãn, do đó, định lý HHỊ I vẫn đúng nếu U là một ánh xạ co Tuy nhiên, đối với ánh xạ co, kết luận tương tự định lý HII | vẫn đúng trong trường hợp K không bị chặn Ta có

Định lý IH.2

Cho X là một không gian Hilbert thực, V : X => X là ánh xạ co hệ số ke{0,1), K

Trang 28

tức là

(Xu — VXụ , X-Xạ¿]) 3 Ð), VxeK, Vị V(K)€ K nên lấy x = Vxụ, ta suy ra xạ là điểm bất động của K

+ Nếu V có thêm điểm bat dong x, # Xp thi

[Xp ~ xo|l = ||Vx; = Vxu|| < k||xị = Xa||

với 0 Sk< 1: vỏ lý ! Dinh ly 111.3

Cho X là một không gian Hilbert thực K c X là tập lồi đóng U : X —> X là một ánh xạ không dãn, V : X —> X là một ánh xạ co hệ số ke (0,1) Giả sử U(K) c K và

Vik) c K Dat W, =(1-6)U + eV và T,=I-W, (0<c< I1) Khi đó: 1) Bài toán bất đẳng thức biến phân VI(T, , K) có nghiệm duy nhất: 3'x,eK:(ŒT.x, x-x)>0, VxeK (26) 2) Nghiệm x, của bài toán VICT, , K] chính là điểm bất động của W, Chứng mình 1) W, là ánh xa co vì IW, x-W, vịí < (I-£)IIUx-Uy|Í + e||Vx-Vy|( < (1-e+ek)llx-y|[= [1-e(1-k)|IIx-y||

với O< | -e(l-k)< | Đo đó T là ánh xa đơn điệu và hemi-liên tục Hứn nữa, 'T đơn điệu chặt vì

CÍ( x-T; y, X-y) = (X-Y, X-Y}~= (W, x-W, y, x-y)>

> |Ix-yŸ = [1-e(1-k)lllx-y|lŸ = e(1-k)l|x-y||Ï, Yx,yeK

Suy ra

(T,x-T,y.x-y) -

lim VX,eK (27)

oe ty

Trang 29

(( I-W, )Xx., x-X; } >0, Vxek, hay

(x, - We X_, X-X, ) 20 VxeK (28)

Đo giả thiết, L(K) c K, V(K) c K và K lỗi nên W; (K) c K, Vee(0, |)

Max, e K nên W, x, e K Do đó chọn x = W, x, trong (28) thi suy ra

[We Xe - Xe ||? <0

Su! ra W¿ xu, = x¿ nghĩa là xu là điểm bất động của W,

Trang 30

CHUONG III

SU TON TAINGHIEM CUA BAT DANG THUC

BIEN PHAN VOI TOAN TU GIA DON DIEU

1 MG DAU

Cho B là một không gian Banach thực với chuẩn |} ||, BU 1a khong gian liên hợp tônô của nó được trang bị bởi tôpô yếu” Với ueB`, veB, ta ký hiệu (u,v) để chỉ phần

tư tÙ(V)ì€ 3i,

Cho K là một tập hợp lồi, đóng, khác rỗng của B và T là một toán tử từ K vào B`

Bài toán bất đẳng thức biến phân, ký hiệu VI(T, K), là bài toán tìm xạ e K sao cho

(Txq , X-Xy ) 20, VxeK

Ta ký hiệu "—>”, *“—>*” và "—»`” lần lượt để chỉ sự hội tụ chuẩn, sự hội tụ yếu và sự

hội tu yếu”

Ký hiệu intr(C) và Êg(C) Íần lượt chỉ phần trong tương đổi và biến tương đối của C trong K đối với tôpô chuẩn, w-int(C) và w-Øg(C) lần lượt chỉ phần trong tương đốt và biên tương đối của C trong K đối với tôpô yếu

II SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

TRÊN TẬP HỢP BỊ CHẶN

Bổ để ILI

Cho K là một tập hợp lồi đóng trong không gian Banach thực B, và T là mội

toán tử giả đơn điệu từ K vào B”, liên tục trên các không gian hữu hạn chiều Khi đó, xeK là nghiệm của

(Tx, u-x) 20, VueK, (1)

nếu và chỉ nếu

(Tu, u-x) > 0, WueK (2)

Trang 31

Chifng minh

“ Giả sử xeK là nghiệm của (1) Vì T giả đơn diéu nén tif (1), suy ra ( Tu, u-x) > 0, VueK

Vậy, x là nghiệm của (2)

+ — Đảo lại, giả sửx © K là nghiệm của (2) Lấy u e K tùy ý Với 0 < 2 <I, đặt x; =u +(1-À)x thì x; e K do K lồi Ta có (Tx;, x; - x) 20, nén suy ra (Tx;, u-Xx) > 0 (3ì Vi T liên tục trên các không gian hữu han chiều nên Tx, > Tx khià -+0° Do đó, từ (3), suy ra (TX, u-X) >0, Vậy x là nghiệm của (1),

Vì tập hợp nghiệm của (2) thì lôi và đóng nên tập hợp nghiệm của (1) cũng lồi và đóng

Bổ để 11.2

Cho K là một tập hợp lôi đóng trong không gián Banach thực B, và T là một toán tử giả đơn điệu chặt từ K vào BỈ Khi đó bài toán VIỆT, K) có tối đa là một nghiệm

Chứng mình

Tương tự như chứng mình bổ đề L2 chương II

Định ly 11.3

Cho K là một tập hợp lồi compact yếu trong không gian Banach thực B T là

một toán tử giả đơn điệu từ K vào B_, liên tục trên các không gian hữu hạn chiêu Khi

đó, bài toán VIỆT, K) có nghiệm, nghĩa là tồn tai xpe K sao cho

TXp, X-Xo) 20, VxeK (4)

Trang 32

Luận Am Cao Hoc 2001 28 Phạm Anh Tuấn

Chứng mìnih

* Cố định một không gian con hữu hạn chiều M của B sao cho KSM z Ø

Gọi P là phép nhing M vao B va P) là liên hợp của nó Khi đó ánh xa

P.TP,, :KcM —> Âf” là liên tục Vì K compact yếu nên K bi chan, do dé KOM lôi đóng và bị chăn trong M Mặt khác, do M hữu hạn chiều nên không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử M z 9†" với một n nguyên đương và đồng nhất M” với M

Do định lý Stampacchia, tồn tại một xạ € KOM sao cho: (P„,TP,„x„.x¬x„,)>zÚ, — VYxeKnM, suy ra (TXyq X-Xyy) 2 0, VxeKM Do bé dé IL 1, ta suy ra (Tx X-Xay) 2 0, VxeK®M (5)

Với mỗi ueK, đặt

S(u} = {xeK: (Tu, u-x) >0)

Ta sẽ chứng tỏ rằng họ {S(u) : ueK| có tính chất giao hữu han Thật vậy, với mỗi tập hựp hữu hạn {u, : ! <1 < mjc K, ta dat M = span{ uj, , Um } - Khi đó, M là không

gian hữu hạn chiều, Mc B và KSM z Ø Do lý luận ở trên, tồn tại mot xy € KOM thỏa (Š) Đặc biệt, ta có (Tu, , u,-xu) > 0 Yie | Ì, mị , nên xy ef )Stu,) rel va S(u) z Ø, VueK

Vay họ {S(u): ueK| có tính chất giao hữu hạn Mã S(u) đóng yếu VueK và K compact yếu nên (Si) #(Ø Lấy Xạ € (Ste), Ta cd (TX, xX-X)) 20 Veek

wed wed

Trang 33

“ Vẫn do hổ đề H.I, tập hợp nghiệm của (4) thì lồi và đóng Vì K

compact yéu nén tip hợp nghiệm đó cũng compact yéu

Hiệ quả H.4

Cho K là một tập hợp lồi, compact yếu trong không gian Banach (thực) phản xạ B.T là một toán tử đơn điệu từ B vào B` Giả sử rằng với mọi cặp điểm y, z € B ta có liminf(T(v + 0z),z) < (Ty.z}) (6) it" Khi đó, bài toán VIỆT, K) có nghiệm, nghĩa là tồn tai x» € K sao cho (TXụ, X-Xu) 3 Ú, vxeK Hớn nữa, tập hợp nghiệm thì lồi và compact yếu € hứng minh

% Trước hết, ta chứng minh T demi-liên tục trên K

Cói xeK và dãy {Xa} C K sao cho x, —» x Vi T đơn điệu nên T bi chin dia phương tại x (coi [E1], định lý 2), do đó ta có thể giả sử [Tx„| bị chặn

Vì B phản xạ, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử Txạ ->` w với một we B”

Cui zeB tùy ý Vì T đơn điệu nên 0 < (TXạ = T¿, Xa =Z) => (W-T¿, x-z) khi n —> % L.ấy veB tùy ý Đặt z = x + tv với t > 0 Thế z vào bất đẳng thức trên thì suy ra (w-T(x+tv), v) < 0 Do (6), ta có (w, v) < liminf(T(x + w),v) < (Tx,v), fe

nen (Tx-w, v) 20, ¥veB Vay Tx = w Do đó, T demi-liên tục trên K

* Do dinh ly 11.3 (i) chuong 1, T liên tục trên các không gian hữu hạn chiều Mat khac, T don diéu nén T cing gid don diéu trén K Ap dung dinh ly I1.3, ta có điều phải chứng mình

Ấp dụng bố dé 1.2 va dinh lý IL 3, ta có kết quà sau đây về tính dựv nhất nghiệm của

Trang 34

Định lý ILS

Cho K là một tập hợp lồi, compact yếu trong không gian Banach thực B, T là

một toán tử giả đơn điệu chặt từ K vào B”, liên tục trên các không gian hữu hạn chiều

Khi đó, tôn tại duy nhất một xạ K sao cho

(TXp, X-Xq} 2 0, VxeK

III SU TON TẠI NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TREN TAP HOP KHONG BI CHAN

Trong các định lý của phần nay, ta khảo sát sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biển phân trong trường hợp K là một tập hợp lồi đóng và không bị chặn Theo dõi chứng mình, ta sẽ thấy rằng hầu hết các trường hợp đều được đưa về trường hợp bị chặn đã xét ở phần trên kèm với một vài giả thiết bổ sung thích hợp

Định lý HL

Cho K là một tập hợp lồi, đóng trong không gian Banach thực B, T là một toán tử từ K vào B”,C c K là một tập hợp lồi compact yếu với w-intz(C) z Ø2

(Txụ, X-X¿) 2 0, vVxeC, (7)

thì

(TXxụ , x-X¿) > Ô, VxeK

Chứng mình

Trang 35

1Luận An Cao Hoc 2001 31 Phạm Anh Tuấn nen Xy + AUXXp) E NOK CC ID (7), ta co (Tq , A(X-Xo)) 2 0, stuy ra (TXq , X-Xo) 2 0 V/i xe KC thy ¥ nén (Ty, X-K¿) 3 0, vxeK Đ)ịnh lý HH.2

Cho K là một tập hợp lồi, đóng trong không gian Banach thực B, T là một toán tửf từ K vào B”,C € K là một tập hợp lồi compact yếu với inty(C) z @Ø

Niều xụ e intg(€) thỏa (TX» , X-Xy) 2 0, VxeC, (8) thal (Tx;, x-X¿) > 0, VxeK Ci hifng minh Vì xạ 6 inty(C) nên với mỗi xeK\C, ta có thể chọn một số dương 2 sao cho Xụsy#À(X-Xa) 6€ € Do (8), tạ có (Tx ACX-Xy)) 2 0, suiy ra (TX , X-Xy) 2 0, Vay (Tx , X-Xo) 2 0, VxeK Điịnh lý 111.3

Cho K là một tập hợp lồi, đóng trong không gian Banach thực B, T là một toán tử f từ K vào B` Giả sử tồn tại một tập hợp lồi, compact yếu C c= K với w-inty(C) # Ø thoỏa điều kiện sau: với mỗi xew-Ôw(C), tồn tại một uew-inty(C) sao cho (Tx, x-u) = 0 Ki.hi đó, nếu x; e € thỏa

Trang 36

Lian An Cao Hoc 2001 32 Phạm Anh Tuấn

thi

(TX, X-Xu} 20, xcK (10)

Ching minh

Dc vid thiét, t6n tai u 6 w-intg(C) sao cho (Txy , Xp) 2 0 Dew), ta cd (TXe U-Xy) 2 0 Dodd CTX, U-Xy) = O-

(<= (TX, ACK) + U-Xy) = 2 Tx¿, xu) = ÀCTX¿;, X-X¿), né1(TXy X-Xu} 2 U Vi XEKAC thy ¥ nén xy thaa (10)

Dith ly HI.4

Cho K là một tập hợp lồi, đúng trong không gian Banach thực B, T là một toán tử ừ K vào B_ Giả sử tồn tại một tập hợp lồi , compact yeu € c K vai intkiC) + @

thỏ điêu kiện suu: với mỗi x € GRC), fn tai mStu € intkiC) sao cho (Tx, x-u) = Kh dd néu x» € C théa

(TXu, X-X¿} > U, VxeC,

ỨTXu, X-X¿) > Ú, vxeK Chíng minh

Tương tư như chứng mình định lý trên

Tra trường hợp không gian Banach B là không gian phản xạ, điều kiện đủ cho sự tôn taiighiém cia bất đẳng thức biến phân trong định lý H4 cũng là điều kiện cần Một

Trang 37

juan An Cao Hoc 2001 33 Phạm Anh Tuấn

Định lý HLS

Cho K là một tập hợp lồi, đóng trong không gian Banach (thực) phản xạ B, T là trột tuần tử giả đơn điệu từ K vào B”, liên tục trên các không gian hữu hạn chiều Khi đi các mệnh đề sau đây là tương đương :

(i) — Tôn tại x; e K sao cho

(Txu, x-x„,) > Ö, ựxeK (II)

(ii) — Tôn tại một tập hợp lồi compact yếu C c K với inty(C) # Ø thỏa tính chất sau: với mỗi x € &&(C), tn tai motu € intk(C), sao cho

(TX, X-u) 20 Chifng minh

s Giả sử có (¡) Chọn r > 0 thaa [xpi] <r Dat C = {x € K: Ix} sr) nC 1a mot

tập hợp lồi đóng bị chăn, do đó € löi compact yếu { vì B là không gian phan xa) Vì lIxu|| < r nên inty(C) z Ø Đặt u = xu Với mỗi xeK mà ||x|| = r, do (11), ta có

(Tu, x-u) 2 0 Do T giả đơn điệu nên

(Tx, x-u) >0

Mà Ø„(€) c [xeK: |lx|Í = r|} nên (11) được chứng mỉnh

4 Giả sử có (ii) Áp dung các định lý I3 và HHI.4, ta có (i)

Định nghĩa HI.6

Cho K là một tập hợp lồi đóng trong không gian Banach thực B và T là một

toán tử từ K vào B” Ta nói

() — T là coercive yếu nếu (Tx, x) => + khi |(Xx|| => + (xe K) (ii) — T là coercive nếu (Tx, xì/ || x || => + khi ||x|| => + (xeK)

Hệ quả III.7

Trang 38

(TXy , X-Xq) 2 OY WxeK, Chifng minh

Vi T coercive yéu nén ton tai r > 0 sao cho (Tx, x) > 0 Y¥xeK\B,

Pat C = KB, Khi do, C [61 compact yéu va intk(C) + @ - Vai mdi xEdxiC), ta cd

(Tx, x) 20 vill x |} =r

Ap dụng định lý II.5 với u = 0, ta có điều phải chứng minh

Định lý sau đây cho ta một kết quả về sự duy nhất nghiệm

Định lý HH.8

Cho K là một tập hợp lôi đóng trong không gian Banach (thực ) phản xạ B và T

là một toán tử œ-giả đơn điệu từ K vào B`, liên tục trên các không gian hữu hạn chiều

Kli đó, tồn tại duy nhất một xạ e K sao cho

(TXp „ X-X›) >0, VxeK Chứng mỉnh

% Vi T ơ - giả đơn điệu nên tồn tại Z e K và œ : 3ì, => 9ì, với œ(Ú) = 0, œ(r) > 0 Vr >0 và liminf ø(r) > |Tz|| sao cho với mọi cặp điểm phần biệt xeK, yeK, ta có

(Ty x-y) > Ú kéo theo (Tx, x-y) 3 ||x-y|lơ(|lx-|)

Khơng mất tính tổng quát ta có thể giả sử z = 0

% Với mỗi neN”, đất Kạ = K, Vì K, lồi đóng bị chặn trong không gian Banach phan xạ nên K„ lỗi và compact yếu với mỗi n

Trang 39

% Coi xeK Chọn meN` sao cho xeK„

Với moi n > m, ta có K„, C Kạ nên xeK„ và (TX, , X-X,) 2 0 Do bé dé IL-1, ta c6 (TX , X-x,) 20, Yn 2m Cho n — , ta được (Tx, x-x¿) >0 Vì x tùy ý thudc K nén (TX, X-Xp) 2 0, VxeK Lại do bổ đề H 1, ta có (Txụ, X-Xa) 3 0, VxeK

% VỊT ơ-giả đơn điệu nên T cũng giả đơn điệu chặt, do đó theo bổ đề 112,

nghiệm xạ trên là duy nhất 3

IV SỰ LIÊN HỆ GIỮA BÀI TOÁN BAT DANG THUC BIEN

PHÂN VÀ BÀI TOÁN CỰC TIỂU HÓA

Ta khảo sát sự tồn tại nghiệm của bài toán cực tiểu hóa sau đây : | min f(x) xek (12) trong đó K là một tập hợp lồi đóng trong không gian Banach và É là một hàm số từ K vào 9ì Định lý IV.1

G-khả vị trên @ Khi đó xụ là nghiệm của (12) nếu và chỉ nếu

(VI(Xạ), X-Xa) > 0, WxeK Hơn nữa, nếu £ giả lồi chặt thì nghiệm là duy nhất

Chứng minh

s Giả sử x là nghiệm của (12) Coi x e K tùy ý Ta có

Trang 40

Luan An Cao Hoc 2001 36 Phạm Anh Tuấn Ẩ(Xạ + t(X-Xụ)) = f(xọ) > 0, Vtie(0,1)

Do đó

t(VÍ(xạ), X-Xa) + o(L) > 0, VYte(0,1)

Chia hai vế cho t > 0 rồi cho t — 0” thì được (VÍ(xa), x-Xụ) > 0 s*_ Ngược lại, giả sử xạ e K thỏa (Vf(Xq), X-Xo) 2 0, VxeK Do bổ đề II I1, chương [, f tựa lồi nên từ bất đẳng thức trên, ta suy ra f(x) 2 f(x»), VxeK,

nghĩa là xạ là nghiệm của (12)

4 Giả sử thêm f giả lồi chặt Nếu bài toán (12) có hai nghiệm phân biệt x; và x; thì

(Vf(x¡), xạ = x)) 20 kéo theo f(x2) > f(xy), (Vf(x;), xị = Xạ)> 0 kéo theo (xi) > f(Xa),

vô lý ! Vậy nghiệm của bài toán (12) là đuy nhất n Do định lý IV 1, ta thấy lớp các hàm giả lỗi có vai trè quan trọng theo nghĩa sau:

Xét bài toán (12) Giả sử hàm f giả lôi trên một tập hợp mở chứa K Khi đó, mọi nghiệm của bài toán

VTI(Vf, K) déu là cực tiểu toàn cục của bài toán (12) Đặc biệt, mỗi điểm mà tại đó hàm f có G-đạo

ham bang không 1à một điểm cực tiểu toàn cục Định lý IV.2

Cho K là một tập hợp lồi đóng trong không gian Banach (thực) phản xạ B với

0eK, @ là một tập mở lồi chứa K, f : Q@ —> 9t là hàm G-khả vì Giả sử Vf : Q => B`

coercive yếu, giả đơn điệu và liên tục trên các không gian hữu hạn chiều Khi đó, bài toán (12) có nghiệm

Chứng minh

Định dạng
Số trang	55
Dung lượng	2,39 MB