Phương pháp xấp xỉ mềm cải biên tìm một nghiệm chung của bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - ĐỖ THỊ HỒNG HUỆ PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ MỀM CẢI BIÊN TÌM MỘT NGHIỆM CHUNG CỦA BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Song Hà TS Đinh Diệu Hằng THÁI NGUYÊN - 2022 ii LỜI CẢM ƠN Sau thời gian học tập nghiên cứu, tác giả hoàn thành nội dung luận văn "Phương pháp xấp xỉ mềm cải biên tìm nghiệm chung toán bất đẳng thức biến phân tốn điểm bất động" Trong q tình hồn thành luận văn, nỗ lực thân, tác giả nhận giúp đỡ, động viên quý báu nhiều cá nhân tập thể Trước tiên, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Song Hà Tiến sĩ Đinh Diệu Hằng, thầy cô trực tiếp hướng dẫn tác giả Thầy cô dành cho em nhiều thời gian, tâm sức, cho em nhiều ý kiến, nhận xét quý báu, giúp em hồn thành tốt luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành Ban chủ nhiệm tồn thể q thầy khoa Tốn - Tin, phịng Sau đại học trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình tạo điều kiện trình tác giả học tập hồn thành luận văn Tiếp theo, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu tập thể giáo viên trường THPT Chuyên Thái Bình tạo điều kiện thuận lợi suốt trình tác giả học cao học Cuối cùng, tác giả xin dành tất yêu thương lời cảm ơn vơ hạn tới gia đình người thân động viên tác giả trình học tập thực luận văn Tác giả Đỗ Thị Hồng Huệ Mục lục Trang bìa phụ i Lời cảm ơn ii Mục lục ii Danh mục ký hiệu chữ viết tắt iv Danh sách bảng v Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số tính chất khơng gian Hilbert thực 3 1.2 Ánh xạ không giãn ánh xạ co 1.3 Ánh xạ đơn điệu 14 Chương Phương pháp xấp xỉ mềm cải biên tìm nghiệm chung tốn (VIP) (FPP) 19 2.1 Mơ hình toán 2.2 Phương pháp VISEM 19 26 2.3 Phương pháp VITEM 2.4 Ví dụ minh họa 35 37 Kết luận chung đề nghị 41 Tài liệu tham khảo 42 Danh mục ký hiệu chữ viết tắt H Không gian Hilbert thực Rn Khơng gian thực hữu hạn chiều ⟨x, y⟩ Tích vô hướng hai véctơ x y ∀x Với x ∥x∥ Chuẩn véctơ x PC (x) Phép chiếu mêtric phần tử x lên tập C α↓0 α giảm dần ∂f (x) Dưới vi phân ánh xạ f x xn → x Dãy {xn } hội tụ mạnh đến x n → +∞ ∇f (x) xn ⇀ x Gradient ánh xạ f x Dãy {xn } hội tụ yếu đến x n → +∞ (VIP) Bài toán bất đẳng thức biến phân (FPP) Bài toán điểm bất động Sol(VIP(A, C)) Tập nghiệm toán (VIP) với ánh xạ giá A miền hữu hiệu C Fix(U ) Tập điểm bất động ánh xạ U VISEM Phương pháp đạo hàm-đạo hàm tăng cường có qn tính kết hợp phương pháp xấp xỉ mềm VITEM Phương pháp đạo hàm tăng cường Tseng có qn tính kết hợp phương pháp xấp xỉ mềm Danh sách bảng 2.1 2.2 2.3 2.4 Kết tính tốn cho Phương pháp VISEM VITEM với x0 = (1, 3) x1 = (11, 11) 39 Kết tính tốn cho Phương pháp VISEM VITEM với x0 = (5, 1) x1 = (100, 20) 39 Kết tính tốn cho Phương pháp VISEM VITEM với τ1 , µ θ thay đổi 39 Kết tính tốn cho Phương pháp VISEM VITEM với τ1 , µ θ thay đổi 40 Mở đầu Nhiều vấn đề nảy sinh từ thực tiễn, thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau, quy mơ hình tốn bất đẳng thức biến phân (VIP) (hoặc) toán điểm bất động (FPP) giả thiết thích hợp [3, 4, 6] Chẳng hạn, tốn xử lí tín hiệu, khơi phục ảnh, phân phối băng thông, tối ưu tài nguyên mạng, mô hình tối ưu kinh tế, kĩ thuật Theo đó, vấn đề tìm phần tử chung thuộc tập nghiệm hai toán chủ đề dành quan tâm nhiều khoa học nước Trong năm gần đây, phát triển phương pháp (thuật toán) lặp hữu hiệu thu hút quan tâm lớn, đặc biệt việc sử dụng kết hợp thành phần quán tính, kĩ thuật dựa theo mơ hình rời rạc hóa hệ động lực tiêu tán bậc hai Các nghiên cứu xây dựng nhiều phương pháp giải số hiệu khác cách kết hợp kĩ thuật với phương pháp biết phương pháp lặp Mann, phương pháp Korpelevich, phương pháp chiếu gradient, phương pháp đường dốc nhất, phương pháp xấp xỉ mềm, phương pháp đạo hàm tăng cường, (xem [4] tài liệu dẫn) Một đặc điểm chung phương pháp lần lặp phụ thuộc vào kết hợp hai lần lặp trước Những thay đổi nhỏ cải thiện đáng kể hiệu suất chúng Mục đích luận văn trình bày lại kết đề xuất Tan đồng công bố năm 2021 [4] theo hướng Cụ thể, luận văn trình bày phương pháp xấp xỉ mềm cải biên tìm nghiệm chung tốn bất đẳng thức biến phân đơn điệu, liên tục Lipschitz toán điểm bất động ánh xạ nửa co không gian Hilbert Với mục tiêu vậy, luận văn gồm mở đầu, hai chương, kết luận tài liệu tham khảo Chương dùng để hệ thống lại kiến thức giải tích lồi giải tích hàm khơng gian Hilbert thực nhằm phục vụ cho việc trình bày nội dung phần sau Chương dành để trình bày nội dung hội tụ hai phương pháp xấp xỉ mềm cải biên tìm nghiệm chung tốn nêu Bên cạnh đó, ví dụ số chúng tơi xây dựng chi tiết hóa nhằm làm rõ vấn đề lí thuyết mà luận văn đề cập Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, hệ thống lại số kiến thức phục vụ cho việc trình bày nội dung phần sau luận văn Cấu trúc chương chia thành ba phần: Mục 1.1 chúng tơi trình bày số tính chất thường dùng không gian Hilbert thực Mục 1.2 dành để nhắc lại khái niệm vài tính chất cốt yếu ánh xạ kiểu không giãn co Phần cuối chương, Mục 1.3 dùng để giới thiệu lớp ánh xạ loại đơn điệu 1.1 Một số tính chất khơng gian Hilbert thực Xun suốt tồn luận văn này, tích vơ hướng chuẩn sinh tích vơ hướng tương ứng khơng gian Hilbert thực H, kí hiệu ⟨·, ·⟩ ∥ · ∥ Trước hết, nhắc lại số đẳng thức bất đẳng thức thường dùng Nội dung phần tham khảo chủ yếu từ tài liệu [3] Mệnh đề 1.1 (Bất đẳng thức Schwarz) Trong khơng gian Hilbert H ta ln có |⟨x, y⟩|2 ≤ ∥x∥2 ∥y∥2 , ∀x, y ∈ H Chứng minh Hiển nhiên y = bất đẳng thức Giả sử y ̸= với t ∈ R ta có ⟨x + ty, x + ty⟩ ≥ Điều dẫn đến ⟨x, x⟩ + 2t⟨x, y⟩ + t2 ⟨y, y⟩ ≥ Chọn t = − vào bất đẳng thức ta nhận ⟨x, x⟩ − |⟨x, y⟩|2 |⟨x, y⟩|2 ≥ ⇔ ∥x∥2 − ≥ ⟨y, y⟩ ∥y∥2 Từ suy điều cần chứng minh ⟨x, y⟩ thay ⟨y, y⟩ Mệnh đề 1.2 (Quy tắc hình bình hành) Trong khơng gian Hilbert H ta ln có ∥x + y∥2 + ∥x − y∥2 = 2(∥x∥2 + ∥y∥2 ), ∀x, y ∈ H Chứng minh Ta có ∥x + y∥2 = ∥x∥2 + 2⟨x, y⟩ + ∥y∥2 , ∀x, y ∈ H, ∥x − y∥2 = ∥x∥2 − 2⟨x, y⟩ + ∥y∥2 , ∀x, y ∈ H Cộng hai vế đẳng thức ta có điều cần chứng minh Chú ý 1.1 [3] Cho H không gian định chuẩn thực Nếu quy tắc hình bình hành bảo đảm chuẩn, tức ∥x + y∥2 + ∥x − y∥2 = 2(∥x∥2 + ∥y∥2 ), ∀x, y ∈ H H tồn tích vơ hướng cho ⟨x, x⟩ = ∥x∥2 Do đó, khơng gian Hilbert khơng gian định chuẩn có chuẩn thỏa mãn quy tắc hình bình hành Mệnh đề 1.3 Trong khơng gian Hilbert H ta ln có ∥x + y∥2 ≤ ∥x∥2 + 2⟨x + y, y⟩, ∀x, y ∈ H Chứng minh Ta có ∥x + y∥2 = ∥x∥2 + 2⟨x, y⟩ + ∥y∥2 , ∀x, y ∈ H, ∥x∥2 + 2⟨x + y, y⟩ = ∥x∥2 + 2⟨x, y⟩ + 2∥y∥2 , Từ suy điều cần chứng minh ∀x, y ∈ H Mệnh đề 1.4 Trong khơng gian Hilbert H ta ln có ∥αx+(1−α)y∥2 = α∥x∥2 +(1−α)∥y∥2 −α(1−α)∥x−y∥2 , Chứng minh ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R, ta có ∥αx + (1 − α)y∥2 = ⟨αx + (1 − α)y, αx + (1 − α)y⟩ ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R = α2 ⟨x, x⟩ + (1 − α)2 ⟨y, y⟩ + 2α(1 − α)⟨x, y⟩ = α⟨x, x⟩ + (1 − α)⟨y, y⟩ + α(α − 1)⟨x, x⟩ − α(1 − α)⟨y, y⟩ + 2α(1 − α)⟨x, y⟩ = α⟨x, x⟩ + (1 − α)⟨y, y⟩ + α(1 − α)[⟨x, y⟩ − ⟨x, x⟩] + α(1 − α)[⟨x, y⟩ − ⟨y, y⟩] = α∥x∥2 + (1 − α)∥y∥2 + α(1 − α)[⟨x, y − x⟩ + ⟨x − y, y⟩] = α∥x∥2 + (1 − α)∥y∥2 − α(1 − α)⟨x − y, x − y⟩ = α∥x∥2 + (1 − α)∥y∥2 − α(1 − α)∥x − y∥2 Mệnh đề chứng minh Phần tiếp theo, dành để nhắc lại số khái niệm tính chất tôpô cần thiết dùng đến phần tiếp sau Định nghĩa 1.1 Dãy {xn } phần tử không gian Hilbert H gọi (i) hội tụ mạnh đến x ∈ H n tiến +∞ lim ∥xn − x∥ = 0, n→+∞ kí hiệu xn → x (ii) hội tụ yếu đến x ∈ H n tiến +∞ lim ⟨xn , y⟩ = ⟨x, y⟩, n→+∞ ∀y ∈ H, kí hiệu xn ⇀ x Chú ý 1.2 [3] Một dãy hội tụ mạnh hội tụ yếu Tuy nhiên, khẳng định ngược lại nói chung không Chẳng hạn, hệ trực chuẩn không gian Hilbert vơ hạn chiều dãy có tính chất Tuy nhiên, khơng gian Hilbert H hữu hạn chiều hội tụ mạnh tương đương với hội tụ yếu 1 2 = + = = − T − T > 2π 3π 3π 3π 6π