Phát triển phương pháp số hàm cơ sở hướng tâm tích phân biến thiên cho các bài toán kỹ thuật

SỞ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TP HỒ CHÍ MINH VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TÍNH TỐN BÁO CÁO TỔNG KẾT TÊN ĐỀ TÀI Phát triển phương pháp số hàm cở hướng tâm tích phân biến thiên cho toán kỹ thuật Đơn vị thực hiện: PTN Tính tốn Kỹ thuật Chủ nhiệm đề tài: GS.TS Trần Cơng Thành TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 05/2017 SỞ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TP HỒ CHÍ MINH VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TÍNH TỐN BÁO CÁO TỔNG KẾT TÊN ĐỀ TÀI Phát triển phương pháp số hàm cở hướng tâm tích phân biến thiên cho toán kỹ thuật Viện trưởng: Đơn vị thực hiện: PTN Tính tốn Kỹ thuật Chủ nhiệm đề tài: GS.TS Trần Công Thành Nguyễn Kỳ Phùng Trần Công Thành TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 05/2017 Phát triển phương pháp số hàm cở hướng tâm tích phân biến thiên cho toán kỹ thuật MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU ĐƠN VỊ THỰC HIỆN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU I Báo cáo khoa học II Tài liệu khoa học xuất 21 III Chương trình giáo dục đào tạo 22 IV Hội nghị, hội thảo 23 V File liệu 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO 25 CÁC PHỤ LỤC PHỤ LỤC 1: Bài báo SCI, báo cáo hội nghị 26 PHỤ LỤC 2: Code Matlab 27 Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Phát triển phương pháp số hàm cở hướng tâm tích phân biến thiên cho tốn kỹ thuật MỞ ĐẦU Mục tiêu đề tài nghiên cứu phương pháp số hàm sở hướng tâm tích phân biến thiên (Moving Integrated Radial Basis Function Network method Moving IRBFN method M-IRBFN method), phát triển lợi tiềm độ xác, tốc độ hội tụ cao khả ứng dụng rộng rãi, nhằm mục đích phổ biến phương pháp ưu việt đến cộng đồng nhà khoa học kỹ sư giới Kỹ thuật tính tốn giải yếu điểm phương pháp phân tích thiết kế kết cấu cơng trình trạng thái giới hạn có, gồm phương pháp thủ công đơn giản kỹ thuật tính tốn phi tuyến phức tạp (dùng phần tử hữu hạn phi tuyến) Công tác thiết kế sở xây dựng phần lớn dựa công cụ tính tốn đơn giản thủ cơng, thường dẫn đến thiết kế khơng tối ưu với chi phí xây dựng cao ảnh hưởng đến mơi trường Vì phát triển cơng cụ tính tốn nhanh, mạnh, hiệu dễ sử dụng đóng vai trị quan trọng để giải vấn đề Mục tiêu cốt lõi dự án nghiên cứu phát triển công cụ tính tốn dựa tảng phương pháp IRBFN biến thiên Ngồi việc phát triển cơng cụ tính tốn hiệu cho cơng nghiệp ngành xây dựng, dự án nghiên cứu phổ biến ứng dụng phương pháp phân tích số Phương pháp sở tính tốn dùng để giải cách xác nhanh tốn kỹ thuật mơ dạng phương trình tốn học Khả có tính ứng dụng số lãnh vực khác có nhiều ưu điểm trội so với phuong pháp số khác Vì với dự án chúng tơi có hội để nghiên cứu phương pháp số tiềm này, đồng thời tạo hợp tác nghiên cứu với chuyên gia nghiên cứu toán ứng dụng liên ngành khác nhằm phát triển sâu rộng ứng dụng phương pháp Dự án nghiên cứu tạo tảng cho hướng nghiên cứu công nghệ tính tốn khoa học kỹ thuật phát triển nhà khoa học Việt Nam Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Phát triển phương pháp số hàm cở hướng tâm tích phân biến thiên cho toán kỹ thuật Lời cảm ơn đến ICST Đề tài nhận tài trợ tài Sở Khoa học Cơng nghệ Tp.Hồ Chí Minh Chúng tơi biết ơn nguồn tài ngun tính tốn hỗ trợ Viện Khoa học Công nghệ Tính tốn thành phố Hồ Chí Minh Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Phát triển phương pháp số hàm cở hướng tâm tích phân biến thiên cho tốn kỹ thuật ĐƠN VỊ THỰC HIỆN Phịng thí nghiệm: Tính tốn Kỹ thuật Chủ nhiệm đề tài: GS.TS Trần Công Thành Thành viên đề tài: PGS.TS Lê Văn Cảnh ThS Hồ Lê Huy Phúc ThS Nguyễn Hoàng Phương ThS Đoàn Thị Mỹ Thùy Cơ quan phối hợp: Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Phát triển phương pháp số hàm cở hướng tâm tích phân biến thiên cho tốn kỹ thuật KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU I BÁO CÁO KHOA HỌC Việc đánh giá tải trọng giới hạn kết cấu quan tâm nhiều kỹ sư thiết kế thực tiễn Phương pháp phân tích dẻo bước dùng để xác định tải giới hạn, nhiên phương pháp phân tích giới hạn trực tiếp đánh giá hiệu [1, 2], không cần thực bước tính trung gian phương pháp phân tích bước, cần biết thơng tin tiêu chuẩn chảy dẻo vật liệu Dựa định lý cận cận đồng thời với phương pháp xấp xĩ số, phương pháp phân tích dẻo trực tiếp xác định trạng thái giới hạn kết cấu tác dụng tải trọng tĩnh sau xác định tải trọng giới hạn kết cấu mà không cần bước phân tích trung gian Cận tải trọng giới hạn kết cấu xác định cách dùng định lý cận trường ứng suất xấp xĩ, cận tải trọng giới hạn nhận dùng định lý cận kết hợp với trường chuyển vị xấp xĩ [11] Trong phương pháp phân tích giới hạn cận dưới, trường ứng suất giả định biểu diễn thông qua giá trị ứng suất nút Trong phương pháp phần tử hữu hạn cân bằng, trường ứng suất xấp xĩ phải thỏa mãn điều kiện cần bên biên phần tử [3, 4, 5, 6, 11] Bởi điều kiện mà việc xây dựng phân tử hữu hạn cân thường gặp khó khăn So với phần tử hữu hạn cân phương pháp phần tử hữu hạn chuyển vị phổ biến Có thể phân tử hữu hạn chuyển việc thỏa mãn diều kiện tương thích dễ dàng (khi thực kết nối ma trận), điều kiện biên áp đặt cách trực tiếp Trong năm gần đây, việc phát triển áp dụng phương pháp không lưới thu hút ý đáng kể phương pháp yêu cầu thông số nút không cần kết nối nút Phương pháp không lưới EFG [7], phương pháp sử dụng rộng rãi nhất, phát triển thành cơng cho tốn phân tích giới hạn [8, 9, 10, 11, 12], phương pháp khơng lưới EFG phù hợp với tốn phân tích giới hạn đạt kết xác với chi phí tính tốn mức tối thiểu Tuy nhiên, hạn chế điển hình phương pháp EFG hàm dạng EFG không thỏa điều kiện Kronecker, dẫn đến khó khăn việc áp đặt điều kiện biên động học Phương pháp không lưới dựa kỹ thuật nội suy hướng tâm (RBF) phát triển song song [13, 14, 15, 16, 17, 18, 19] Các phương pháp không lưới RBF Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Phát triển phương pháp số hàm cở hướng tâm tích phân biến thiên cho toán kỹ thuật phát triển cho lớp tốn tính tốn kỹ thuật [20, 21, 22, 23, 24, 25, 26] Các nghiên cứu kỹ thuật xấp xĩ RBF có khả xấp xĩ hàm liên tục bậc cao với dạng hình học khác dùng khơng gian đa chiều, cho độ xác hội tụ cao [17] Trong phần này, hiệu phương pháp không lưới dựa kỹ thuật nội suy hướng nghiên cứu tốn phân tích giới hạn Phương pháp nội suy hướng tâm gián tiếp/tích phân (iRBF) trình bày nghiên cứu [28, 29] sử dụng để xấp xĩ hai trường chuyển vị ứng suất Phương pháp iRBF với đa thức bậc hai dẫn đến trường xấp xĩ thu có bậc cao, tượng locking thể tích tốn phân tích giới hạn động học khử Hơn nữa, trường ứng suất thu từ xấp xĩ dựa phương pháp iRBF liên tục miền toán, khơng cần phải áp đặt điều kiện liên tục mặt giao toàn miền Đồng thời phương trình cân dạng mạnh thỏa mãn điểm nút dùng phương pháp áp đặt giá trị nút Hơn nữa, trường xấp xĩ thu từ phương pháp iRBF thỏa mãn đặc trưng Kronecker Vì vậy, điều kiện biên động học tĩnh học áp đặt cách đơn giản phương pháp phần tử hữu hạn Cuối cùng, công thức động học tĩnh học đưa dạng tối ưu nón, đảm bảo nghiệm tối ưu giải mộ cách hiệu thuật toán mạnh hành Lý thuyết phân tích giới hạn Xét kết cấu có diện tích    với biên ràng buộc u biên lực t , thỏa u  t =  , u   t =  , chịu lực thể tích f lực mặt t Ký hiệu  không gian ứng suất tĩnh,  không gian chuyển vị động [45, 51, 52, 53, 54] Đối với trường ứng suất  u , phương trình cân biểu diễn dạng biến phân sau a ( , u) = F (u), u   (1) lượng tốc độ biến dạng bên bên biểu diễn a ( , u) =   T  (u)d (2) F (u) =  f T ud   t T ud (3)   t với  (u) = [ xx  yy  xy ]T tốc độ biến dạng Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Phát triển phương pháp số hàm cở hướng tâm tích phân biến thiên cho tốn kỹ thuật Bài tốn phân tích giới hạn cận viết sau  = max     F (u) = a(, u), u   s.t    ,  =   | (( x))   x   (4)  ( ) tiêu chuẩn chảy dẻo Bài tốn phân tích giới hạn cận trên, đối ngẫu (4),  = D(u) u (5) Với  tập hợp xác định  = {u  Y |F (u) = 1} , tiêu tán dẻo D (u) D(u) = max a(, u),  (6) Đối với tiêu chuẩn chảy dẻo von Mises, lượng tiêu tán dẻo xác định D( (u)) =   p  T    (7)  p ứng suất chảy dẻo  4   1 2  0      =     1      0 0  1   1  0  1   ung suat phang (8) bien dang phang Điều kiện không nén,  T  = , với  = 1 0 , phải áp đặt cho toán biến T dạng phẳng để đảm bảo lượng tiêu tán dẻo D( (u)) giới hạn Điều kiện dẫn đến số bậc tự hệ bị giảm dẫn đến tượng locking thể tích trường chuyển vị xấp xĩ có bậc thấp Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Phát triển phương pháp số hàm cở hướng tâm tích phân biến thiên cho tốn kỹ thuật Phương pháp khơng lưới nội suy hướng tâm Trong phương pháp này, thông thường đạo hàm bậc cao (bậc hai nghiên cứu này) xấp xĩ trước, sau đạo hàm bậc hàm xấp xĩ xây dựng dựa việc tính tốn tích phân sau [29]  u,hij (x) = g I (x)aI = H (x)b (9) I =1    p1 I =1 I =1 u (x) =  g I (x)aI dx j = h ,i H    p2 I =1 I =1 u (x) =  g I (x)aI dx j dxi = h 1I (x)aI = H1 (x)b H 0I (x)aI = H (x)b (10) (11)  số nút miền ảnh hưởng địa phương, b véc tơ chứa hệ số số tích phân H (x) = [ g1 (x), g (x), , g  (x),0,  ,0]  p2 H1 ( x) = [ H11 ( x), H12 ( x), , H1  p1 ( x),0,  ,0]  (12) p1 H (x) = [ H 01 (x), H 02 (x),, H   p (x)] với p1 p2 số số tích phân, p2 = p1 ; việc tính tốn chi tiết H1I (x) H I ( x) trình bày [28, 29] Trong nghiên cứu này, hàm đa thức bậc hai, hàm cho kết xác nhất, sử dụng [13, 28] biểu diễn g I ( x) = rI2  cI2 (13) với rI = x  x I  , tham số hình dạng cI =  d I (  số dương), d I khoảng cách nhỏ từ nút I đến nút lân cận miền ảnh hưởng Việc xác định (11) nút viết lại dạng ma trận sau u = HQ b (14)        H (x ) H (x )  H  01 k 02 k   p2 ( x k )   HQ =           (15) Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page method based on RBFs, which modified by Fasshauer [12] with the alternation of hermit interpolation RBFs A well-known disadvantage of meshless methods is the shape functions lack of Kronecker-delta property, leading to difficulty in imposing the essential boundary conditions Dealing with this issue, Liu and Gu (1999) and Wang and Liu (2000) introduced PIM and RPIM Low-order polynomial for RBFs then also was proposed by Wang and Liu [44] in order to improve the accuracy and stability of RPIM With the same purpose, Mai-Duy and Tran-Cong [35, 36] developed the so-called Indirect radial basis function (IRBF) using the integration, the high-order and possessing Kronecker-delta property of shape function are obtained The IRBF then was combined with Moving least square (MLS) approximation by Le et al [30] for PDEs Limit analysis is a well-known and powerful method to estimate the safety of structures The limit load of structure is evaluated straightforwardly without step-by-step analysis There is not a general method to applied for limit analysis of practical problems, consequently various methods have been developed On the one hand, many mathematical algorithms were employed to solve the optimization problems, such as linear, non-linear algorithms In the last several years, due to its highly efficiency, Second-order Cone Programming (SOCP) is employed in a number of studies, significant contributions are published by Makrodimopoulos [37], Krabbenhft et al [21], Le et al [24, 25, 26, 27, 28, 29] Together with the development of optimization algorithms, the numerical approaches are concentrated to improve the computational speed and effect FEM has been widely applied to the framework of limit analysis, for instance by Hodge and Belytschko [16], Anderheggen and Knopfel [1], Chan [9], Fox [13], Hung [17], Krenk et al [23], Andersen et al [2], Capsoni, A & Corradi [8], Krabbenhoft & Damkilde [20, 22], Le et al [28], etc Mesh-free methods are employed recently and rapidly achieved fruits, for instance, Le et al [24, 25, 26, 27, 29] adopted the EFG method by combining SCNI and SOCP for upper and lower-bound limit analysis, Zhou et al [46, 47] proposed C1 natural element method (NEM) to estimate upper-bound limit load factor of structures, etc In this paper, the RPIM and RPIM with reproduction of polynomial basis functions are applied to determine the lower bound collapse load multiplier of plane problems, which obeyed von Mises criterion The comparison of different RPIM models is carried out to estimate the best approach for limit analysis problems The static formulation of limit analysis is transferred into the form of SOCP optimization problem, which can be handled using the highly effective solvers Several numerical examples are investigated to test the proposed method and the comparison with other procedures is also expressed in the literature STATIC FORMULATION OF LIMIT ANALYSIS Consider a structure covered by a closed area Ω, static boundary Γt , kinematic boundary Γu , subjected to the external load t The limit analysis is formulated base on assumptions about small deformation and rigid-perfectly plastic material A static admissible stress field is approximated Lower bound of limit analysis is obtained if equilibrium constrains are satisfied and the yield criterion is not violate every where The static principle of limit analysis can be now expressed as − λ = max  λ  ψ[σ(x)] ≤ 0, ∀x ∈ Ω ∇σ(x) = 0, ∀x ∈ Ω s.t  nσ(x) = λt, ∀x ∈ Γt (1) where ψ is the yield function In this study, von Mises failure criterion is used, the yield function is given by  √ + σ + σ σ + 3σ − σ , for plan stress  σxx  xx yy yy xy   ψ(σ) = √    −σ ,  (σxx − σyy )2 + σxy (2) for plane strain with σxx , σyy and σxy denote the nodal stress components; σ0 is the yield stress of material The outward surface normal is given as  nx  n=  0   ny   (3) ny nx POINT INTERPOLATION METHOD USING RADIAL BASIS FUNCTION Consider a scattered nodes within a closed area Ω, the approximate function uh (x) is obtained by interpolating pass through the nodal value The formulation for PIM approximation can be expressed as uh (x) = B(x)a(xQ ) (4) where a(xQ ) denotes the coefficient vector corresponding to the given point xQ ; B(x) is the basis function vector, which is given by { B (x) ≡ T pT (x) = [1, x, y, xy, x2 , y , , xs , y s ], polynomial basis function RT (x) = [R1 (x), R2 (x), , Rn (x)], radial basis function (5) with s is order of polynomial basis function; n is number of scattered nodes In case of using polynomial basis function, we can construct the shape function simply However, the inverse of moment matrix may not exit in some situation, leading to the vanish of shape function matrix In this paper, the so-call Radial Point Interpolation method (RPIM) is employed and will be described in the following sections 3.1 Radial PIM The approximate function in Equation (4) can be rewritten as uh (x) = RT (x)a(xQ ) (6) with R(x) is the radial basis function vector In this study, the best ranked function in term of accuracy named Multiquadric (MQ) is employed √ Ri (x) = ri2 + αd2c (7) herein ri = ∥x − xi ∥ is the distance of node ith and point x; α > is a dimensionless parameter; and dc is the minimal distance of point x and its neighbor Enforcing uh (x) function to pass through the scattered nodes within support domain, Equation (6) can be rewritten in matrix form as follow U = RQ a (8) where RQ is given by  ··· ··· ···  RQ = R1 (rk ) R2 (rk ) · · · ··· ··· ···  ··· Rn (rk )  ··· n×n (9) with rk = ∥xk − xi ∥ If inverse of matrix RQ exits, vector a can be computed and then substitute into Equation (6), we obtain h u (x) = n ∑ ΦI (x)uI (10) I=1 where the shape function ΦI (x) can be determined by T ΦI (x) = RT (x)R−1 Q = R (x)χ (11) The shape function of node k th can be performed as follow Φk (x) = n ∑ Ri (x)χaik (12) I=1 with χaik is the (i, k) element of χ matrix Then, the partial derivatives of shape function can be obtained as ] ∑ ∂Ri ∑ [( )− ∂Φk ri2 + αd2c (x − xi ) χaik = χaik = ∂x ∂x (13) ] ∑ ∂Ri ∑ [( )− ∂Φk ri2 + αd2c (y − yi ) χaik = χaik = ∂y ∂y (14) n I=1 n I=1 n n I=1 I=1 The major advantage of using radial basis function is the matrix RQ being always invertible for arbitrary scattered nodes However, the accuracy of results may not be obtained as expected Therefore, a polynomial term is adding into the basis function in order to improve the accuracy as well as the stability of solutions Additionally, using polynomial reproduction makes choosing the shape parameter become more flexibly 3.2 Radial PIM with Polynomial Reproduction The approximate function for a set of nodes within the support domain is expressed as uh (x) = RT (x)a + pT (x)b (15) where a and b are the coefficient vectors corresponding to radial basis function R(x) and polynomial basis function p(x), respectively a = {a1 , a2 , , an } (16) b = {b1 , b2 , , bm } (17) with n is number of nodes in the support domain; m is number of tern in b, depending on order of the polynomial basis function The matrix form of Equation (15) is obtained by enforcing uh (x) function at every nodes as follow U = RQ a + Pm b (18) Follow [32], to guarantee the unique approximation of function, the polynomial term has to satisfy the extra requirement and the following constrains are usually imposed PTm a = (19) Combining Equations (18) and (19) give [ RQ P m PTm ]{ a b } { = U } (20) Equation (20) can be rewritten as { G a b } { = U } (21) The coefficient vectors a and b can be computed by inverting matrix G and then substitute into Equation (21) For convenience, a more efficient procedure proposed by Liu [32] is employed −1 a = R−1 Q U − RQ P m b (22) b = χb U (23) −1 −1 T χb = [PTm R−1 Q Pm ] Pm RQ (24) where Substituting b into Equation (22) we obtain a = χa U (25) −1 −1 χa = R−1 Q [1 − Pm χb ] = RQ − RQ Pm χb (26) with Finally, the approximation function in Equation (15) can be rewritten as h T T u (x) = [R (x)χa + p (x)χb ]U = n ∑ ΦI (x)uI (27) I=1 The shape function and its partial derivatives for node k th can be expressed as Φk (x) = n ∑ Ri (x)χaik + I=1 m ∑ pj (x)χbjk (28) J=1 ∑ ∂Ri ∑ ∂pj ∂Φk = χaik + χb ∂x ∂x ∂x jk (29) ∑ ∂Ri ∑ ∂pj ∂Φk = χaik + χb ∂y ∂y ∂y jk (30) n m I=1 J=1 n m I=1 J=1 It is interested to note that the shape function of PIM possesses Kronecker-delta property Consequently, the essential boundary conditions can be enforced by the same way with finite element method MESH-FREE DISCRETIZATION For lower-bound limit analysis, the stress field is approximated for a set of given nodes within the computational domain as   n n σxxI ∑ ∑ σ h (x) = ΦI (x)σI = ΦI (x)  σyyI  = Cs (31) I=1 I=1 σxyI where    Φ1 Φ2 · · · Cxx ··· C =  Cyy  =  0 ··· Cxy [ s= Φn 0 0 Φ Φ2 · · · 0 ··· ··· Φn 0 ··· 0 ··· Φ1 Φ2 · · ·  0  Φn σ , σ , · · · σxxn , σyy1 , σyy2 , · · · σyyn , σxy1 , σxy2 , · · · σxyn | xx1 xx2{z } | {z } | {z } σ xx σ yy σ xy (32) ] (33) The equilibrium condition and the essential boundary conditions are directly imposed at nodes belong to static boundary as well as nodes within the problem domain using collocation method The equilibrium conditions can be expressed in matrix form as { A1 σ + A2 σ = (34) A1 σ + A2 σ = where σ = [σxx1 , σxx2 , · · · σxxn ] (35) σ = [σyy1 , σyy2 , · · · σyyn ] (36) σ = [σxy1 , σxy2 , · · · σxyn ] (37)  ··· ··· ···  A1 = Φ1,x (xk ) Φ2,x (xk ) · · · ··· ··· ···  ··· ··· ··· A2 =  Φ1,y (xk ) Φ2,y (xk ) · · · ··· ··· ···  ··· Φn,x (xk )  ··· n×n (38)  ··· Φn,y (xk )  ··· n×n (39) Problem (1) can be formulated in form of second-order cone programming (SOCP), which can be solved using highly efficient tools Hence, the von Mises criterion is rewritten in terms of a sum of norm as follow  { } √   LP S = ρ ∈ R3 | ρ1 ≥ ∥ρ2→4 ∥2L = ρ22 + ρ23 + ρ24 , plane stress B≡ (40) { } √   LP D = ρ ∈ R3 | ρ1 ≥ ∥ρ2→3 ∥2 = ρ2 + ρ2 , plane strain L where (ρ1 , ρ2 , ρ3 , ρ4 ) are the additional variables such that ρ1 = σp  ρ2→4 ρ2→3    √0 ρ2 √  Cs, plane stress =  ρ3  =  −1 ρ4 0 [ ] [ ] Cxx − Cyy ρ2 s, plane strain = = 2Cxy ρ3 (41) (42) Finally, the lower-bound limit analysis can be now formulated as an SOCP optimization problem as follow λ = max λ−  A1 σ1 + A2 σ2 , in Ω    (43) A1 σ3 + A2 σ2 , in Ω s.t Cs = ¯t, on Γt    k k ρ ∈L , k = 1, 2, , np where np is number of yield points NUMERICAL EXAMPLES In this section, a number of numerical examples is investigated to estimate the accuracy and reliability of proposed method The problems are governed by von Mises yield criterion and the lower-bound limit load multipliers of either plane stress or plane strain problems are determined The optimization problems are solved utilized Matlab and the software package Mosek 6.0 [39] with the computer: Intel(R) Core(TM) i3-2330M CPU 2.20GHz, memory 2048MB RAM 5.1 Thin square plates with central circular cutout The first example performs a square plate with a central circular cutout subjected to biaxial uniform tensile loads p1 and p2 in plane stress, as seen in Figure 1(a) This example is a classic problem, which became the benchmark for various approaches, such as FEM [4], [18], [28], [40], BEM [45] EFG method [11] or RPIM [31] Problem is considered with the ratio of plate’s length and hole’s diameter is Because of the symmetric property, only upper-right quarter of plate is modeled as shown in Figure 1(b) Figure performs the strategy of discretization with different nodal meshes (a) Problem domain (b) Computational model Figure 1: Square plate with circular cutout at center (a) 53 nodes (b) 126 nodes (c) 232 nodes Figure 2: Square plate with circular cutout at center: strategy of discretization The loading case with p1 ̸= and p2 = 0, for which the analytical solution is λ = 0.8 × σp1p , is investigated firstly Tables and Figure 3(a) illustrate the numerical solutions obtained using RPIM and RPIM with linear polynomial (LP), quadratic polynomial (QP), cubic polynomial (CP), respectively From the results, it can be observed that RPIM with cubic polynomial basis function gives the best accurate and stable solution For rough meshes, results given by RPIM, RPIM-LP and RPIM-QP models are unstable while those obtained by RPIM-CP is better The relative errors in comparison with analytical solution seen in Figure 3(b) demonstrate that results of RPIM-CP model is more accurate than another, the error of convergent results is only 0.55% compare to 1.43% (RPIM), 1.47% (RPIM-LP) and 1.16% (RPIM-QP) Table 1: Circular cutout plate: Limit load multiplier Models RPIM RPIM-LP RPIM-QP RPIM-CP Analytical solution 86 0.534 0.489 0.577 0.533 Number of nodes 293 532 840 0.741 0.766 0.780 0.738 0.766 0.780 0.739 0.767 0.783 0.753 0.780 0.789 0.800 1083 0.789 0.788 0.791 0.796 100 0.8 RPIM RPIM − Linear polynomial RPIM − Quadratic polynomial RPIM − Cubic polynomial 90 0.7 Relative error (%) Collapse multiplier λ− 80 0.6 0.5 0.4 0.3 RPIM RPIM − Linear polynomial RPIM − Quadratic polynomial RPIM − Cubic polynomial Analytical solution 0.2 0.1 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 70 60 50 40 30 20 10 100 200 (a) Collapse multipliers 300 400 500 600 700 800 900 1000 Number of nodes Number of nodes (b) Relative error of solutions Figure 3: Square plate with cutout at center: loading case p1 ̸= 0, p2 = The numerical solutions of different loading cases in comparison with previous studies are collected in Table From the load domain shown in Figure 4, we can see that present results are very close to lower bound solutions of [11], [15] and higher than them Computational solutions in present approach are also slightly lower than upper bound of [10] Table shows the very good agreement of present results with those of other procedures, that demonstrates the efficiency and reliability of proposed method The efficiency of present method is also proved by the time required to handle optimization problem The problem with 7582 variables corresponding to 1083 nodes within problem domain is rapidly solved in only about 268 seconds (p2 = 0), 325 seconds (p1 = 2p2 ) and 348 seconds (p1 = p2 ) 5.2 Prandtl’s punch problem This example considers a benchmark problem in plane strain firstly introduced by Prandtl [41] The problem consists a semi-infinity rigid plastic von Mises medium under a punch load, presenting to a 0.9 0.8 P2 /σp 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 Chen HF et al (UB) Groos−Weege et al (LB) Chen et al (LB) Present method (LB) 0.2 0.1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 P1 /σp Figure 4: The limit load domain in comparison with other methods Table 2: Square plate with central cutout: Comparison with other methods Loading cases p1 = p2 p1 = 2p2 0.885 0.907 0.895 0.912 0.903 0.915 0.874 0.899 0.882 0.891 0.704 - Authors Approach Present method Tin-Loi and Ngo [43] Liu et al [34] Chen et al [11] Gross-Weege et al [15] Belytschko and Hodge [4] Nguyen-Dang and Palgen [18] Static Static Static Static Static Static Static Vicente da Silva and Antao [40] Le et al [28] Liu and Zhao [31] Kinematic Kinematic Kinematic 0.899 0.895 - 0.915 0.911 - 0.807 0.801 0.801 Zouain et al [48] Mixed formulation 0.894 0.911 0.903 Gaydon and McCrum [14] Analytical solution - - 0.800 p2 = 0.796 0.803 0.795 0.798 0.792 0.780 0.564 strip footing, as shown in Figure 5(a) Due to the symmetry, the right haft domain is modeled The boundary conditions are imposed as seen in Figure 5(b) with the given data: B = 5, H = and a load of 2τ0 (a) Geometry and loading (b) Computational model Figure 5: Square plate with circular cutout at center Table summarizes the numerical solutions obtained using different models of RPIM As seen in Figure 6(a), obtained results converge to the analytical value when the nodal meshes are increased The convergent rate of solutions is also illustrated in Figure 6(b) From the Figure, it can be observed that RPIM-CP model converges more rapidly and stably than other models Table 3: Prandtl’s problem: Collapse multiplier RPIM RPIM-LP RPIM-QP RPIM-CP Analytical solution 55 4.577 4.645 4.752 4.935 Collapse multiplier λ− 5.1 4.9 4.8 RPIM RPIM − Linear polynomial RPIM − Quadratic polynomial RPIM − Cubic polynomial Analytical solution 4.7 4.6 100 200 300 400 500 600 700 Number of nodes (a) Collapse multipliers 800 900 1000 Number of nodes 189 403 697 4.981 5.083 5.101 5.000 5.083 5.101 5.040 5.089 5.103 5.084 5.115 5.124 5.142 log10 (Relative error in collapse load) Models 1071 5.111 5.111 5.113 5.131 0.5 −0.5 RPIM RPIM − Linear polynomial RPIM − Quadratic polynomial RPIM − Cubic polynomial −1 −2.5 −2 −1.5 −1 log10 (mesh size h) (b) Convergent rate of solutions Figure 6: Prandtl’s punch problem: Numerical solutions using different models The collapse multiplier achieved by Prandtl [41] is λ = + π = 5.142 Present method gives the solutions very close to Prandtl’s result, the relative errors are only 0.60% (RPIM), 0.60% (RPIM-LP), 0.56% (RPIM-QP) and 0.21% (RPIM-CP), respectively The good agreement of proposed method compare with previous studies is also shown in Table Table 4: Prandtl’s punch problem: Comparison with previous solutions Authors Present method Tin-Loi and Ngo [43] Makrodimopoulos & Martin [38] Approach Static Static Static Collapse multiplier 5.131 5.173 5.141 Vicente da Silva and Antao [6] Sloan and Kleeman [42] Le et al [28] Makrodimopoulos and Martin [38] Kinematic Kinematic Kinematic Kinematic 5.264 5.210 5.143 5.148 Capsoni and Corradi [7] Mixed formulation 5.240 Prandtl [41] Analytical solution 5.142 For plane strain problems, number variable of optimization problems are fewer than those in plane stress problems Problem with 6427 variables associated to 1071 scattered nodes is solved in 625 seconds CONCLUSIONS Radial point interpolation method has been applied to the estimate lower bound of limit load multiplier of 2D problems in plane stress as well as plane strain Using this truly mesh-free method, the yield constrains and the boundary conditions are imposed directly at discretized nodes The shape functions satisfy Kronecker-delta property, allowing the essential boundary conditions to be enforced directly The extra polynomial basis function is added into the RPIM approximation Owing to this reinforcement, highly accurate and stable solutions are obtained, especially using cubic polynomial The efficiency of proposed procedure is realized not only by the accuracy but also by decreasing the computational cost The expected results is given by small number of nodes within the problem domain and the optimization problem is solved rapidly The numerical examples show the good agreement of RPIM with other approaches, demonstrating the reliability of the method In further study, proposed method can be extend to 3D problems and using elastic-plastic material instead of 2D problems and rigid-perfect plastic material as investigated The adaptivity of the nodal discretization or the stabilized conforming nodal integration technique (SCNI) can also be employed in order to improve the computational aspects Acknowledgements This research has been supported by the Institute for Computational Science and Technology (ICST), Ho Chi Minh City References [1] E Anderheggen and H Knăopfel Finite element limit analysis using linear programming International Journal of Solids and Structures, 8(12):1413–1431, 1972 [2] Knud D Andersen, Edmund Christiansen, and Michael L Overton Computing limit loads by minimizing a sum of norms SIAM Journal on Scientific Computing, 19(3):1046–1062, 1998 [3] SN Atluri and T1 Zhu A new meshless local petrov-galerkin (mlpg) approach in computational mechanics Computational mechanics, 22(2):117–127, 1998 [4] Ted Belytschko and Philip G Hodge Plane stress limit analysis by finite elements Journal of the Engineering Mechanics Division, 96(6):931–944, 1970 [5] Ted Belytschko, Yun Yun Lu, and Lei Gu Element-free galerkin methods International journal for numerical methods in engineering, 37(2):229–256, 1994 [6] A Capsoni and M Vicente da Silva A finite element formulation of mindlin plates for limit analysis International Journal for Numerical Methods in Biomedical Engineering, 27(1):143– 156, 2011 [7] Antonio Capsoni and Leone Corradi A finite element formulation of the rigid–plastic limit analysis problem International Journal for Numerical Methods in Engineering, 40(11):2063–2086, 1997 [8] Antonio Capsoni and Leone Corradi Limit analysis of plates- a finite element formulation Structural Engineering and Mechanics, 8(4):325–341, 1999 [9] HSY Chan The collapse load of reinforced concrete plate International Journal for Numerical Methods in Engineering, 5(1):57–64, 1972 [10] HF Chen, YH Liu, ZZ Cen, and BY Xu On the solution of limit load and reference stress of 3-d structures under multi-loading systems Engineering structures, 21(6):530–537, 1999 [11] Shenshen Chen, Yinghua Liu, and Zhangzhi Cen Lower-bound limit analysis by using the efg method and non-linear programming International journal for numerical methods in engineering, 74(3):391–415, 2008 [12] Gregory E Fasshauer Solving partial differential equations by collocation with radial basis functions In Proceedings of Chamonix, volume 1997, pages 1–8 Citeseer, 1996 [13] E.N Fox Limit analysis for plates: the exact solution for a clamped square plate of isotropic homogeneous material obeying the square yield criterion and loaded by uniform pressure Philosophical Transactions of the Royal Society of London Series A, Mathematical and Physical Sciences, 277(1265):121–155, 1974 [14] FA Gaydon and AW McCrum A theoretical investigation of the yield point loading of a square plate with a central circular hole Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2(3):156–169, 1954 [15] Johannes Gross-Weege On the numerical assessment of the safety factor of elastic-plastic structures under variable loading International Journal of Mechanical Sciences, 39(4):417 – 433, 1997 [16] Philip Gibson Hodge and Ted Belytschko Numerical methods for the limit analysis of plates Journal of Applied Mechanics, 35(4):796–802, 1968 [17] N.D Hung Direct limit analysis via rigid-plastic finite elements Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 8(1):81–116, 1976 [18] Nguyen Dang Hung and L Palgen Shakedown analysis by displacement method and equilibrium finite-element Transactions of the Canadian Society for Mechanical Engineering, 6(1):34–40, 1980 [19] Edward J Kansa Multiquadricsa scattered data approximation scheme with applications to computational fluid-dynamicsi surface approximations and partial derivative estimates Computers & Mathematics with applications, 19(8):127–145, 1990 [20] K Krabbenhoft and L Damkilde A general non-linear optimization algorithm for lower bound limit analysis International Journal for Numerical Methods in Engineering, 56(2):165–184, 2003 [21] K Krabbenhøft, AV Lyamin, and SW Sloan Formulation and solution of some plasticity problems as conic programs International Journal of Solids and Structures, 44(5):1533–1549, 2007 [22] Kristian Krabbenhoft and Lars Damkilde Lower bound limit analysis of slabs with nonlinear yield criteria Computers & structures, 80(27):2043–2057, 2002 [23] S Krenk, L Damkilde, and O Høyer Limit analysis and optimal design of plates with equilibrium elements Journal of engineering mechanics, 120(6):1237–1254, 1994 [24] Canh V Le, Matthew Gilbert, and Harm Askes Limit analysis of plates and slabs using a meshless equilibrium formulation International Journal for Numerical Methods in Engineering, 83(13):1739–1758, 2010 [25] C.V Le, H Askes, and M Gilbert Adaptive element-free galerkin method applied to the limit analysis of plates Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 199(37):2487– 2496, 2010 [26] C.V Le, M Gilbert, and H Askes Limit analysis of plates using the efg method and second-order cone programming International journal for numerical methods in engineering, 78(13):1532– 1552, 2009 [27] CV Le, PLH Ho, PH Nguyen, and TQ Chu Yield design of reinforced concrete slabs using a rotation-free meshfree method Engineering Analysis with Boundary Elements, 50:231–238, 2015 [28] C.V Le, H Nguyen-Xuan, H Askes, S Bordas, T Rabczuk, and H Nguyen-Vinh A cell-based smoothed finite element method for kinematic limit analysis International journal for numerical methods in engineering, 83(12):1651–1674, 2010 [29] C.V Le, H Nguyen-Xuan, and H Nguyen-Dang Upper and lower bound limit analysis of plates using fem and second-order cone programming Computers & structures, 88(1):65–73, 2010 [30] Phong BH Le, Timon Rabczuk, Nam Mai-Duy, and Thanh Tran-Cong A moving irbfn-based galerkin meshless method CMES: Computer Modeling in Engineering and Sciences, 66(1):25– 52, 2010 [31] Fengtao Liu and Jidong Zhao Upper bound limit analysis using radial point interpolation meshless method and nonlinear programming International Journal of Mechanical Sciences, 70:26–38, 2013 [32] Gui-Rong Liu Meshfree methods: moving beyond the finite element method CRC press, 2010 [33] Wing Kam Liu, Sukky Jun, and Yi Fei Zhang Reproducing kernel particle methods International journal for numerical methods in fluids, 20(8-9):1081–1106, 1995 [34] Yinghua Liu, Xiaofeng Zhang, and Zhangzhi Cen Numerical determination of limit loads for three-dimensional structures using boundary element method European Journal of MechanicsA/Solids, 23(1):127–138, 2004 [35] Nam Mai-Duy and Thanh Tran-Cong Approximation of function and its derivatives using radial basis function networks Applied Mathematical Modelling, 27(3):197–220, 2003 [36] Nam Mai-Duy and Thanh Tran-Cong An efficient indirect rbfn-based method for numerical solution of pdes Numerical Methods for Partial Differential Equations, 21(4):770–790, 2005 [37] A Makrodimopoulos Remarks on some properties of conic yield restrictions in limit analysis International Journal for Numerical Methods in Biomedical Engineering, 26(11):1449–1461, 2010 [38] A Makrodimopoulos and CM Martin Upper bound limit analysis using simplex strain elements and second-order cone programming International journal for numerical and analytical methods in geomechanics, 31(6):835–865, 2007 [39] Mosek The MOSEK optimization toolbox for MATLAB manual http://www.mosek.com Mosek ApS, version 6.0 edition, 2011 [40] H Nguyen-Xuan, T Rabczuk, T Nguyen-Thoi, TN Tran, and N Nguyen-Thanh Computation of limit and shakedown loads using a node-based smoothed finite element method International Journal for Numerical Methods in Engineering, 90(3):287–310, 2012 ¨ [41] L Prandtl Uber die h¨arte plastischer k¨orper Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Găottingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, 1920:7485, 1920 [42] SW Sloan and PW Kleeman Upper bound limit analysis using discontinuous velocity fields Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 127(1):293–314, 1995 [43] F Tin-Loi and NS Ngo Performance of the¡ i¿ p¡/i¿-version finite element method for limit analysis International Journal of Mechanical Sciences, 45(6):1149–1166, 2003 [44] JG Wang and GR Liu A point interpolation meshless method based on radial basis functions International Journal for Numerical Methods in Engineering, 54(11):1623–1648, 2002 [45] Xiaofeng Zhang, Yinghua Liu, Yanan Zhao, and Zhangzhi Cen Lower bound limit analysis by the symmetric galerkin boundary element method and the complex method Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 191(17):1967–1982, 2002 [46] S Zhou, Y Liu, and S Chen Upper bound limit analysis of plates utilizing the c1 natural element method Computational Mechanics, pages 1–19, 2012 [47] Shu-Tao Zhou and Ying-Hua Liu Upper-bound limit analysis based on the natural element method Acta Mechanica Sinica, 28(5):1398–1415, 2012 [48] Nestor Zouain, Lavinia Borges, and Jos´e Luı?s Silveira An algorithm for shakedown analysis with nonlinear yield functions Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 191(23):2463–2481, 2002