Phát triển phương pháp không lưới integrated radial basis function irbf để phân tích giới hạn và thích nghi cho kết cấu

ỦY BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH SỞ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ THÀNH ĐỒN TP HỒ CHÍ MINH TRUNG TÂM PHÁT TRIỂN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ TRẺ CHƯƠNG TRÌNH KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ CẤP THÀNH PHỐ BÁO CÁO TỔNG HỢP KẾT QUẢ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ (PHÁT TRIỂN PHƯƠNG PHÁP KHƠNG LƯỚI INTEGRATED RADIAL BASIS FUNCTION (IRBF) ĐỂ PHÂN TÍCH GIỚI HẠN VÀ THÍCH NGHI CHO KẾT CẤU) Cơ quan chủ trì nhiệm vụ: Trung tâm Phát triển Khoa học Công nghệ Trẻ Chủ nhiệm nhiệm vụ: ThS Hồ Lê Huy Phúc Thành phố Hồ Chí Minh - 2018 ỦY BAN NHÂN DÂN THÀNH ĐỒN TP HỒ CHÍ MINH THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRUNG TÂM PHÁT TRIỂN SỞ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ TRẺ CHƯƠNG TRÌNH KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ CẤP THÀNH PHỐ BÁO CÁO TỔNG HỢP KẾT QUẢ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ (PHÁT TRIỂN PHƯƠNG PHÁP KHƠNG LƯỚI INTEGRATED RADIAL BASIS FUNCTION (IRBF) ĐỂ PHÂN TÍCH GIỚI HẠN VÀ THÍCH NGHI CHO KẾT CẤU) (Đã chỉnh sửa theo kết luận Hội đồng nghiệm thu ngày 24/01/2018) Chủ nhiệm nhiệm vụ: (ký tên) Hồ Lê Huy Phúc Chủ tịch Hội đồng nghiệm thu Cơ quan chủ trì nhiệm vụ (Ký ghi rõ họ tên) PGS.TS Nguyễn Văn Hiếu Đồn Kim Thành Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 THÀNH ĐỒN TP HỒ CHÍ MINH CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRUNG TÂM PHÁT TRIỂN Độc lập - Tự - Hạnh phúc KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ TRẺ TP.HCM, ngày 01 tháng 01 năm 2018 BÁO CÁO THỐNG KÊ KẾT QUẢ THỰC HIỆN NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU KH&CN I THÔNG TIN CHUNG Tên nhiệm vụ: Thuộc: Chương trình/lĩnh vực (tên chương trình/lĩnh vực): Vườn ươm Sáng tạo Khoa học Công nghệ trẻ Chủ nhiệm nhiệm vụ: Họ tên: Hồ Lê Huy Phúc Ngày, tháng, năm sinh: 12/07/1988 Nam/ Nữ: Nam Học hàm, học vị: Thạc sĩ Chức danh khoa học: Chức vụ: Giảng viên Điện thoại: Tổ chức: Nhà riêng: Mobile: 0909.075.183 Fax: E-mail: hlhphuc@gmail.com Tên tổ chức công tác: Đại học Công Nghệ TP.HCM Địa tổ chức: 475A Điện Biên Phủ, P.25, Q Bình Thạnh, TP.HCM Địa nhà riêng: 07 Nguyễn Đỗ Cung, P Tây Thạnh, Q Tân Phú, TP.HCM Tổ chức chủ trì nhiệm vụ: Tên tổ chức chủ trì nhiệm vụ: Trung tâm Phát triển Khoa học Công Nghệ Trẻ Điện thoại: 028.38.230.780 Fax: E-mail: khoahoctre@gmail.com Website: http://khoahoctre.com.vn.vn Địa chỉ: Số 1, Phạm Ngọc Thạch, P Bến Nghé, Q.1, TP.HCM Họ tên thủ trưởng tổ chức: Đoàn Kim Thành Số tài khoản: 3713.0.1083277.00000 Kho bạc: Kho bạc Nhà nước Q.1 – TP Hồ Chí Minh Tên quan chủ quản đề tài: II TÌNH HÌNH THỰC HIỆN Thời gian thực nhiệm vụ: - Theo Hợp đồng ký kết: từ tháng năm 2017 đến tháng 12 năm 2017 - Thực tế thực hiện: từ tháng năm 2017 đến tháng 12 năm 2017 - Được gia hạn (nếu có): - Lần từ tháng… năm… đến tháng… năm… - Lần … Kinh phí sử dụng kinh phí: a) Tổng số kinh phí thực hiện: 60 tr.đ, đó: + Kính phí hỗ trợ từ ngân sách khoa học: 60 tr.đ + Kinh phí từ nguồn khác: tr.đ b) Tình hình cấp sử dụng kinh phí từ nguồn ngân sách khoa học: Thực tế đạt Theo kế hoạch Ghi Số TT Thời gian Kinh phí Thời gian Kinh phí (Số đề nghị (Tháng, năm) (Tr.đ) (Tháng, năm) (Tr.đ) toán) … c) Kết sử dụng kinh phí theo khoản chi: Đối với đề tài: Đơn vị tính: Triệu đồng Số Nội dung TT khoản chi Trả công lao động (khoa học, phổ thông) Nguyên, vật liệu, lượng Thiết bị, máy móc Xây dựng, sửa chữa nhỏ Chi khác Tổng cộng - Lý thay đổi (nếu có): Thực tế đạt Theo kế hoạch Tổng NSKH Nguồn khác Tổng NSKH Nguồn khác 60 60 60 60 60 60 60 60 Đối với dự án: Đơn vị tính: Triệu đồng Số Nội dung TT khoản chi Thiết bị, máy móc mua Nhà xưởng xây dựng mới, cải tạo Kinh phí hỗ trợ cơng nghệ Chi phí lao động Ngun vật liệu, lượng Thuê thiết bị, nhà xưởng Khác Thực tế đạt Theo kế hoạch Tổng NSKH Nguồn khác Tổng NSKH Nguồn khác Tổng cộng - Lý thay đổi (nếu có): Các văn hành q trình thực đề tài/dự án: (Liệt kê định, văn quan quản lý từ công đoạn xét duyệt, phê duyệt kinh phí, hợp đồng, điều chỉnh (thời gian, nội dung, kinh phí thực có); văn tổ chức chủ trì nhiệm vụ (đơn, kiến nghị điều chỉnh có) Số TT Số, thời gian ban hành văn … Tổ chức phối hợp thực nhiệm vụ: Tên văn Ghi Số TT Tên tổ chức đăng ký theo Thuyết minh Tên tổ chức tham gia thực Nội dung tham gia chủ yếu Sản phẩm chủ yếu đạt Ghi chú* - Lý thay đổi (nếu có): Cá nhân tham gia thực nhiệm vụ: (Người tham gia thực đề tài thuộc tổ chức chủ trì quan phối hợp, khơng q 10 người kể chủ nhiệm) Số TT Tên cá nhân đăng ký theo Thuyết minh Hồ Lê Huy Phúc Lê Văn Cảnh Tên cá nhân tham gia thực Nội dung tham gia Sản phẩm chủ yếu đạt Hồ Lê Huy Phúc Nghiên cứu thực nội dung nhiệm vụ Kết số Lê Văn Cảnh Định hướng, tư vấn trình thực nhiệm vụ, tham gia số nội dung nhiệm vụ Kết số Ghi chú* - Lý thay đổi ( có): Tình hình hợp tác quốc tế: Theo kế hoạch Số TT (Nội dung, thời gian, kinh phí, địa điểm, tên tổ chức hợp tác, số đoàn, số lượng người tham gia ) Thực tế đạt (Nội dung, thời gian, kinh phí, địa điểm, tên tổ chức hợp tác, số đoàn, số lượng người tham gia ) Ghi chú* - Lý thay đổi (nếu có): Tình hình tổ chức hội thảo, hội nghị: Số TT Theo kế hoạch Thực tế đạt (Nội dung, thời gian, kinh phí, địa điểm ) (Nội dung, thời gian, kinh phí, địa điểm ) Ghi chú* - Lý thay đổi (nếu có): Tóm tắt nội dung, công việc chủ yếu: (Nêu mục 15 thuyết minh, không bao gồm: Hội thảo khoa học, điều tra khảo sát nước nước ngoài) Thời gian Số TT Các nội dung, công việc chủ yếu (Các mốc đánh giá chủ yếu) (Bắt đầu, kết thúc - tháng … năm) Theo kế hoạch Người, quan thực Thực tế đạt Hồ Lê Huy Phúc, Lê Văn Cảnh Xây dựng mơ hình lý thuyết tính tốn Từ 1/7/2017 đến 1/8/2017 Từ 1/7/2017 đến 1/8/2017 Lập trình mơ phần mềm Matlab Từ 1/8/2017 đến 1/10/2017 Hồ Lê Huy Từ 1/8/2017 Phúc, Lê Văn đến 1/10/2017 Cảnh Viết báo để gửi tạp chí có danh mục ISI Từ 1/10/2017 đến 1/11/2017 Hồ Lê Huy Từ 1/10/2017 Phúc, Lê Văn đến 1/11/2017 Cảnh Hoàn thiện báo cáo tổng kết Từ 1/11/2017 đến 30/12/2017 Từ 1/11/2017 đến 30/12/2017 - Lý thay đổi (nếu có): III SẢN PHẨM KH&CN CỦA NHIỆM VỤ Hồ Lê Huy Phúc, Lê Văn Cảnh Sản phẩm KH&CN tạo ra: a) Sản phẩm Dạng I: Số TT Tên sản phẩm tiêu chất lượng chủ yếu Đơn vị đo Theo kế hoạch Số lượng Thực tế đạt - Lý thay đổi (nếu có): b) Sản phẩm Dạng II: Yêu cầu khoa học cần đạt Số Tên sản phẩm Ghi TT Thực tế Theo kế hoạch Kết số đáng tin cậy (dựa Kết số: việc so sánh, đánh Hệ số tải trọng giới hạn thích giá so với nghi kết cấu nghiên cứu cơng bố trước đó) đạt Kết số đáng tin cậy - Lý thay đổi (nếu có): c) Sản phẩm Dạng III: Yêu cầu khoa học cần đạt Số Số lượng, nơi công bố Tên sản phẩm TT Bài báo quốc tế Theo Thực tế kế hoạch đạt Bài báo có tính chất lượng Bài báo gửi đến tạp chí (Tạp chí, nhà xuất bản) bài, tạp chí danh mục ISI - Lý thay đổi (nếu có): d) Kết đào tạo: Số TT Cấp đào tạo, Chuyên ngành đào tạo Thạc sỹ Tiến sỹ Số lượng Theo kế hoạch Ghi Thực tế đạt (Thời gian kết thúc) - Lý thay đổi (nếu có): đ) Tình hình đăng ký bảo hộ quyền sở hữu công nghiệp: Kết Số Tên sản phẩm TT đăng ký Ghi Theo Thực tế kế hoạch đạt (Thời gian kết thúc) - Lý thay đổi (nếu có): e) Thống kê danh mục sản phẩm KHCN ứng dụng vào thực tế Số TT Địa điểm Tên kết ứng dụng Thời gian (Ghi rõ tên, địa nơi ứng dụng) Kết sơ 2 Đánh giá hiệu nhiệm vụ mang lại: a) Hiệu khoa học công nghệ: (Nêu rõ danh mục công nghệ mức độ nắm vững, làm chủ, so sánh với trình độ công nghệ so với khu vực giới…) Đề xuất phương pháp tính tốn mới, hiệu cho việc phân tích thiết kế kết cấu b) Hiệu kinh tế xã hội: (Nêu rõ hiệu làm lợi tính tiền dự kiến nhiệm vụ tạo so với sản phẩm loại thị trường…) Tình hình thực chế độ báo cáo, kiểm tra nhiệm vụ: Số Thời gian Nội dung TT I thực Ghi (Tóm tắt kết quả, kết luận chính, người chủ trì…) Báo cáo tiến độ Tháng 10 năm 2017 Lần Kết đạt tiến độ theo kế hoạch đề … II Báo cáo giám định Lần … III Nghiệm thu sở …… Chủ nhiệm đề tài (Họ tên, chữ ký) Thủ trưởng tổ chức chủ trì (Họ tên, chữ ký đóng dấu) giả định: 0.0 ≤ p1 ≤ 2.0 0.0 ≤ p2 ≤ 1.0 Các thông số vật liệu giả sử sau: E = 1.8×105 MPa, ν = 0.3, σp = 100 MPa Bảng 3.5 3.6 tóm tắt tải hệ số tải trọng giới hạn thích nghi tốn Sự phù hợp tốt kết số đạt so sánh với phương pháp khác chứng minh hiệu tính tốn phương pháp iRBF Miền tải trọng xấp xỉ phân tích giới hạn thích nghi vẽ hình 3.12 Hình 3.12 Dầm liên tục: miền tải trọng giới hạn thích nghi Bảng 3.5 Dầm liên tục: hệ số tải trọng giới hạn Trường hợp tải Phương Tác giả pháp Nghiên cứu này: iRBF 2D iRBF 3D Tĩnh học Ho cộng [31] Garcea cộng [20] Kết hợp p1 = 2.0 p1 = 0.0 p1 = 1.2 p1 = 2.0 p2 = 0.0 p2 = 1.0 p2 = 1.0 p2 = 1.0 3.225 8.836 5.530 3.309 3.337 8.671 5.472 3.282 3.301 8.748 5.504 3.302 3.280 8.718 5.467 3.280 Nguyen-Xuan cộng [49] Động học 3.297 8.722 5.493 3.296 Bảng 3.6 Dầm liên tục: hệ số tải trọng thích nghi Phương Tác giả pháp Nghiên cứu này: iRBF 2D iRBF 3D Chen cộng [13] Tĩnh học Ho cộng [31] Garcea cộng [20] Kết hợp Nguyen-Xuan cộng [49] Động học Trường hợp tải 1.2 ≤ p1 ≤ 2.0 0.0 ≤ p1 ≤ 2.0 0.0 ≤ p1 ≤ 2.0 0.0 ≤ p2 ≤ 1.0 0.6 ≤ p2 ≤ 1.0 0.0 ≤ p2 ≤ 1.0 3.217 2.333 2.308 3.228 2.357 2.276 3.297 2.174 2.152 3.362 2.228 2.205 3.244 - - 3.259 2.036 2.016 3.5 Khung đơn giản với điều kiện biên khác (a) Mơ hình a (b) Mơ hình b Hình 3.13 Khung đơn giản với điều kiện biên khác Một khung đơn giản với điều kiện biên khác xem xét phần Miền tính tốn, kích thước hình học lưới nút thể hình 4.9 Các thơng số tốn cho sau: E = 1.8×105 MPa, ν = 0.3, σp = 10 MPa, chiều dày khung t = 10 cm Kết cấu chịu tải trọng phương mặt phẳng, miền tải trọng định nghĩa bởi: (0.4 ≤ p1 ≤ 1.0) (1.2 ≤ p2 ≤ 3.0) Kết số tóm tắt bảng 3.7 Kết so sánh trình bày bảng 3.7 chứng minh phù hợp phương pháp đề xuất so với nghiên cứu công bố trước tác giả khác (c) Mơ hình 2D (d) Mơ hình 3D Hình 3.14 Khung đơn giản: rời rạc miền toán Bảng 3.7 Khung đơn giản: hệ số tải trọng giới hạn thích nghi Mơ Tác giả hình Nghiên cứu này: iRBF 2D iRBF 3D Garcea cộng [20] Ho cộng [31] Phân tích giới hạn Phân tích thích nghi p1 = 0.4 p1 = 1.0 p1 = 1.0 0.4 ≤ p1 ≤ 1.0 p2 = 3.0 p2 = 1.2 p2 = 3.0 1.2 ≤ p2 ≤ 3.0 a 3.153 2.979 2.728 2.649 b 4.152 8.095 3.874 3.964 a 3.261 3.073 2.818 2.676 b 4.209 8.077 4.150 4.172 a 2.831 2.975 2.645 2.473 b 4.207 7.804 3.949 3.925 a 2.981 2.820 2.634 2.452 b 4.186 7.810 3.931 3.817 Chương THẢO LUẬN VỀ KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Nhiều dạng toán khác bao gồm ứng suất phẳng, biến dạng phẳng mơ hình ba chiều khảo sát, kết số trình bày kiểm chứng chương Sự hiệu phương pháp đề xuất tóm lược sau: ▪ Một xấp xỉ bậc cao sử dụng phương pháp không lưới iRBF thiết lập để rời rạc hóa miền tính tốn Nhờ vào đặc điểm hàm dạng iRBF thỏa mãn đặc trưng Kronecker delta, điều kiện biên áp đặt cách đơn giản giống phần tử hữu hạn (FEM) mà không cần áp dụng kỹ thuật xử lý đặc biệt Đây ưu điểm phương pháp đề xuất hầu hết phương pháp không lưới không thỏa đặc trưng Kronecker delta Thêm nữa, sử dụng phương pháp iRBF, ràng buộc toán tối ưu áp đặt trực tiếp nút thay điểm Gauss phương pháp phần tử hữu hạn Hàm dạng bậc cao phương pháp iRBF giúp tốn hội tụ nhanh chóng ổn định so với FEM Nhờ vậy, số biến toán tối ưu giữ mức thấp mà thu kết số đáng tin cậy ▪ Các ví dụ số trình bày chương cho thấy tốc độ giải toán lợi phương pháp đề xuất Các ràng buộc phi tuyến tiêu chuẩn dẻo giải nhờ chuyển đổi dạng tối ưu hình nón bậc hai thay phải tuyến tính hóa Bài tốn tối ưu thiết lập với số biến nhiều so với việc đưa tốn ràng buộc tuyến tính Điều đồng nghĩa với việc tốn có khối lượng lớn giải hiệu mà đảm bảo thời gian tính tốn nhanh chóng, chi phí tính tốn giảm xuống đáng kể ▪ Kết số hệ số tải trọng giới hạn thích nghi thu chương cho thấy phương pháp đề xuất cho kết với độ tin cậy cao, thời gian giải tốn nhanh chóng Việc so sánh với nghiên cứu công bố tác giả khác chứng minh tính hiệu phương pháp sử dụng nghiên cứu Tóm lại, việc ứng dụng phương pháp khơng lưới iRBF vào tốn phân tích giới hạn thích nghi, đồng thời kết hợp với kỹ thuật tối ưu hình nón bậc hai mang đến giải pháp cho việc phân tích, tính tốn đánh giá độ an toàn cho kết cấu Kết hoàn toàn đáp ứng nhiệm vụ đặt ban đầu đề tài Chương KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Trong nghiên cứu này, phương pháp không lưới Integrated radial basis functions (iRBF) sử dụng để xác định hệ số tải trọng giới hạn thích nghi cho kết cấu Mơ hình cân phân tích giới hạn thích nghi thiết lập, sau tốn tối ưu chuyển đổi dạng chương trình hình nón bậc hai (SOCP) giải thơng qua gói phần mềm thương mại Mosek tích hợp Matlab Nhiều dạng toán khác khảo sát, kết số trình bày chương 3, tính hiệu phương pháp phân tích chương Chương rút số kết luận chung đề xuất hướng phát triển đề tài nghiên cứu 4.1 Kết luận Nghiên cứu giải mục tiêu đặt ban đầu xác định hệ số tải trọng an toàn cho kết cấu Một phương pháp số cho phân tích giới hạn thích nghi đề xuất Kết số thu với độ tin cậy, độ xác cao ưu điểm thời gian tính tốn chứng minh tính hiệu phương pháp 4.2 Kiến nghị Việc xác định tải trọng giới hạn thích nghi cho kết cấu giải quyết, dạng toán khác khảo sát Tuy nhiên, nghiên cứu tới, số vấn đề đề xuất để cải thiện hiệu tính tốn ▪ Giai đoạn ứng xử tái bền (củng cố) nên xem xét them để mô tả đầy đủ ứng xử thực vật liệu ▪ Hướng đến giả toán chịu tải trọng nhiệt độ – nhiệt kết hợp để phong phú tính ứng dụng thực tiễn ▪ Về mặt tính tốn, để tăng độ tính xác, tính ổn định lời giải, số kỹ thuật áp dụng tích phân nút ổn định (Stability conforming nodal integration (SCNI)) để làm trơn miền đại diện nút, tăng bậc hàm xấp xỉ; thích nghi lưới (adaptive) để tiết kiệm chi phí cho việc chia lưới TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Francois Bertrand Akoa Approches de points int´erieurs et de la programmation DC en optimisation non convexe Codes et simulations num´eriques industrielles PhD thesis, 2005 [2] Knud D Andersen, Edmund Christiansen, Andrew R Conn, and Michael L Overton An efficient primal-dual interior-point method for minimizing a sum of euclidean norms SIAM Journal on Scientific Computing, 22(1):243–262, 2000 [3] R Ardito, G Cocchetti, and G Maier On structural safety assessment by load factor maximization in piecewise linear plasticity European Journal of Mechanics-A/Solids, 27(5):859–881, 2008 [4] MA Belouchrani and D Weichert An extension of the static shakedown theorem to inelastic cracked structures International journal of mechanical sciences, 41(2):163– 177, 1999 [5] T Belytschko Plane stress shakedown analysis by finite elements International Journal of Mechanical Sciences, 14(9):619–625, 1972 [6] Ted Belytschko and Philip G Hodge Plane stress limit analysis by finite elements Journal of the Engineering Mechanics Division, 96(6): 931–944, 1970 [7] CD Bisbos, A Makrodimopoulos, and Panos M Pardalos Second-order cone programming approaches to static shakedown analysis in steel plasticity Optimization Methods and Software, 20(1):25–52, 2005 [8] G Borino and C Polizzotto Dynamic shakedown of structures with variable appended masses and subjected to repeated excitations International journal of plasticity, 12(2):215–228, 1996 [9] C´eline Bouby, Djim´edo Kondo, and Gery De Saxc´e A comparative analysis of two formulations for nonlinear hardening plasticity models: Application to shakedown analysis European Journal of MechanicsA/Solids, 53:48–61, 2015 [10] Lahbib Bousshine, A Chaaba, and Gery De Saxce A new approach to shakedown analysis for non-standard elastoplastic material by the bipotential International Journal of Plasticity, 19(5):583–598, 2003 [11] V Carvelli, ZZ Cen, Y Liu, and G Maier Shakedown analysis of defective pressure vessels by a kinematic approach Archive of Applied Mechanics, 69(9-10):751–764, 1999 [12] Raffaele Casciaro and Leonardo Cascini A mixed formulation and mixed finite elements for limit analysis International Journal for Numerical Methods in Engineering, 18(2):211–243, 1982 [13] Shenshen Chen, Yinghua Liu, and Zhangzhi Cen Lower-bound limit analysis by using the efg method and non-linear programming International journal for numerical methods in engineering, 74(3):391–415, 2008 [14] Shenshen Chen, Yinghua Liu, Jun Li, and Zhangzhi Cen Performance of the mlpg method for static shakedown analysis for bounded kinematic hardening structures European Journal of Mechanics-A/Solids, 30(2):183–194, 2011 [15] Pham Duc Chinh Shakedown theory for elastic plastic kinematic hardening bodies International Journal of Plasticity, 23(7):1240–1259, 2007 [16] MZ Cohn, G Maier, and SR Lin Engineering plasticity by mathematical programming, 1981 [17] L Corradi and A Zavelani A linear programming approach to shakedown analysis of structures Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 3(1):37–53, 1974 [18] Osvaldo DeDonato Second shakedown theorem allowing for cycles of both loads and temperature Ist di Scienza e Tecnia delle Costrizioni del Politecnico di Milano, 1970 [19] Akoa Fran¸cois, Hachemi Abdelkader, Mouhtamid Said, Pham Dinh Tao, et al Application of lower bound direct method to engineering structures Journal of Global Optimization, 37(4):609–630, 2007 [20] Giovanni Garcea, Giampaolo Armentano, Salvatore Petrolo, and Raffaele Casciaro Finite element shakedown analysis of two-dimensional structures International journal for numerical methods in engineering, 63(8):1174–1202, 2005 [21] FA Gaydon and AW McCrum A theoretical investigation of the yield point loading of a square plate with a central circular hole Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2(3):156–169, 1954 [22] Francesco Genna A nonlinear inequality, finite element approach to the direct computation of shakedown load safety factors International journal of mechanical sciences, 30(10):769–789, 1988 [23] Johannes Gross-Weege A unified formulation of statical shakedown criteria for geometrically nonlinear problems International Journal of Plasticity, 6(4):433–447, 1990 [24] Johannes Gross-Weege On the numerical assessment of the safety factor of elasticplastic structures under variable loading International Journal of Mechanical Sciences, 39(4):417 – 433, 1997 [25] A Hachemi and D Weichert Numerical shakedown analysis of damaged structures Computer methods in applied mechanics and engineering, 160(1):57–70, 1998 [26] A Hachemi, L An, S Mouhtamid, and P Tao Large-scale nonlinear programming and lower bound direct method in engineering applications Modelling, Computation and Optimization in Information Systems and Management Sciences, pages 299–310, 2004 [27] A Hachemi, S Mouhtamid, AD Nguyen, and D Weichert Application of shakedown analysis to large-scale problems with selective algorithm In Limit States of Materials and Structures, pages 289–305 Springer, 2009 [28] Michael Heitzer, Gabriela Pop, and Manfred Staat Basis reduction for the shakedown problem for bounded kinematic hardening material Journal of Global Optimization, 17(1):185–200, 2000 [29] Phuc LH Ho, Canh V Le, and Thanh Tran-Cong Displacement and equilibrium meshfree formulation based on integrated radial basis functions for dual yield design Engineering Analysis with Boundary Elements, 71:92–100, 2016 [30] Phuc LH Ho, Canh V Le, and T Tran-Cong Limit state analysis of reinforced concrete slabs using an integrated radial basis function-based mesh-free method Applied Mathematical Modelling, 53:1–11, 2018 [31] PLH Ho, CV Le, and TQ Chu The equilibrium cell-based smooth finite element method for shakedown analysis of structures International Journal of Computational Methods, page 1840013 [32] Nguyen Dang Hung and L Palgen Shakedown analysis by displacement method and equilibrium finite-element Transactions of the Canadian Society for Mechanical Engineering, 6(1):34–40, 1980 [33] Jan A Koenig Shakedown of elastic-plastic structures 1987 [34] WT Koiter A new general theorem on shakedown of elastic-plastic structures Proc Koninkl Ned Akad Wet B, 59:24–34, 1956 [35] K Krabbenhoft, AV Lyamin, and SW Sloan Bounds to shakedown loads for a class of deviatoric plasticity models Computational Mechanics, 39 (6):879–888, 2007 [36] Canh V Le, TD Tran, and DC Pham Rotating plasticity and nonshakedown collapse modes for elastic–plastic bodies under cyclic loads International Journal of Mechanical Sciences, 111:55–64, 2016 [37] C.V Le, H Nguyen-Xuan, H Askes, S Bordas, T Rabczuk, and H Nguyen-Vinh A cell-based smoothed finite element method for kinematic limit analysis International Journal for numerical methods in engineering, 83(12):1651–1674, 2010 [38] Fengtao Liu and Jidong Zhao Upper bound limit analysis using radial point interpolation meshless method and nonlinear programming International Journal of Mechanical Sciences, 70:26–38, 2013 [39] YH Liu, XF Zhang, and ZZ Cen Lower bound shakedown analysis by the symmetric galerkin boundary element method International journal of plasticity, 21(1):21–42, 2005 [40] Yinghua Liu, Xiaofeng Zhang, and Zhangzhi Cen Numerical determination of limit loads for three-dimensional structures using boundary element method European Journal of Mechanics-A/Solids, 23(1):127–138, 2004 [41] Helene Magoariec, St´ephane Bourgeois, and Olivier D´ebordes Elastic plastic shakedown of 3d periodic heterogeneous media: a direct numerical approach International Journal of Plasticity, 20(8):1655–1675, 2004 [42] Nam Mai-Duy and Thanh Tran-Cong Approximation of function and its derivatives using radial basis function networks Applied Mathematical Modelling, 27(3):197–220, 2003 [43] Nam Mai-Duy and Thanh Tran-Cong An efficient indirect rbfn-based method for numerical solution of pdes Numerical Methods for Partial Differential Equations, 21(4):770–790, 2005 [44] Giulio Maier Shakedown theory in perfect elastoplasticity with associated and nonassociated flow-laws: a finite element, linear programming approach Meccanica, 4(3):250–260, 1969 [45] M Habibou Maitournam, Benjamin Pommier, and Jean-Jacques Thomas D´etermination de la r´eponse asymptotique d’une structure an´elastique sous chargement thermom´ecanique cyclique Comptes Rendus Mecanique, 330(10):703 708, 2002 [46] Ernst Melan Zur plastizităat des răaumlichen kontinuums Archive of Applied Mechanics, 9(2):116126, 1938 [47] NS Ngo and F Tin-Loi Shakedown analysis using the p-adaptive finite element method and linear programming Engineering structures, 29(1):46–56, 2007 [48] An Danh Nguyen, Abdelkader Hachemi, and Dieter Weichert Application of the Interior-point method to shakedown analysis of pavements International journal for numerical methods in engineering, 75(4):414–439, 2008 [49] H Nguyen-Xuan, T Rabczuk, T Nguyen-Thoi, TN Tran, and N NguyenThanh Computation of limit and shakedown loads using a node-based smoothed finite element method International Journal for Numerical Methods in Engineering, 90(3):287–310, 2012 [50] KD Panagiotou and KV Spiliopoulos Assessment of the cyclic behavior of structural components using novel approaches Journal of Pressure Vessel Technology, 138(4):041201, 2016 [51] T Panzeca Shakedown and limit analysis by the boundary integral equation method European journal of mechanics A Solids, 11(5):685–699, 1992 [52] Castrenze Polizzotto Shakedown analysis within the framework of strain gradient plasticity In Direct Methods for Limit and Shakedown Analysis of Structures, pages 221–252 Springer, 2015 [53] Alan RS Ponter and Haofeng Chen A minimum theorem for cyclic load in excess of shakedown, with application to the evaluation of a ratchet limit European Journal of Mechanics-A/Solids, 20(4):539–553, 2001 [54] ARS Ponter and KF Carter Shakedown state simulation techniques based on linear elastic solutions Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 140(34):259–279, 1997 [55] William Prager Shakedown in elastic, plastic media subjected to cycles of load and temperature Division of Applied Mathematics, Brown University, 1956 [56] William Prager and Philip Gibson Hodge Theory of perfectly plastic solids Dover Publications, 1968 [57] L Prandtl Uber die hăarte plastischer kăorper.ă Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Găottingen, MathematischPhysikalische Klasse, 1920:7485, 1920 [58] S lawomir Pycko and Giulio Maier Shakedown theorems for some classes of nonassociative hardening elastic-plastic material models International journal of elasticity, 11(4):367–395, 1995 [59] J-W Simon Direct evaluation of the limit states of engineering structures exhibiting imited, nonlinear kinematical hardening International Journal of Plasticity, 42:141– 167, 2013 [60] J-W Simon and D Weichert Interior-point method for lower bound shakedown analysis of von mises-type materials In Limit State of Materials and Structures, pages 103–128 Springer, 2013 [61] Jaan-Willem Simon and Dieter Weichert Numerical lower bound shakedown analysis f engineering structures Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 200(41):2828–2839, 2011 [62] Konstantinos V Spiliopoulos and Konstantinos D Panagiotou A direct method to redict cyclic steady states of elastoplastic structures Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 223:186–198, 2012 [63] Konstantinos V Spiliopoulos and Konstantinos D Panagiotou The residual stress ecomposition method (rsdm): a novel direct method to predict cyclic elastoplastic states Direct methods for limit states in structures and materials, pages 139–155 Springer, 2014 [64] KV Spiliopoulos and KD Panagiotou An enhanced numerical procedure for the hakedown analysis in multidimensional loading domains Computers & Structures, 193:155–171, 2017 [65] Erwin Stein, Genbao Zhang, and Jan A Kăonig Shakedown with nonlinear strainardening including structural computation using finite element method International ournal of Plasticity, 8(1):1–31, 1992 [66] F Tin-Loi and NS Ngo Performance of the p-version finite element method for limit analysis International Journal of Mechanical Sciences, 45(6):1149–1166, 2003 [67] Thanh Ngoc Tran Limit and shakedown analysis of plates and shells including uncertainties 2007 [68] Thanh Ngoc Tran, R Kreißig, and M Staat Probabilistic limit and shakedown analysis of thin plates and shells Structural Safety, 31(1):1–18, 2009 [69] Thanh Ngoc Tran, GR Liu, H Nguyen-Xuan, and T Nguyen-Thoi An edge-based smoothed finite element method for primal–dual shakedown analysis of structures International Journal for Numerical Methods in Engineering, 82(7):917–938, 2010 [70] M Vicente da Silva and AN Antao A non-linear programming method approach for upper bound limit analysis International Journal for Numerical Methods in Engineering, 72(10):1192–1218, 2007 [71] DK Vu, AM Yan, and H Nguyen-Dang A primal–dual algorithm for shakedown analysis of structures Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 193(42):4663–4674, 2004 [72] D´uc Khˆoi Vu Dual limit and shakedown analysis of structures Doctor thesis, University of Liege Faculty of Applied Sciences, Liege, 2001 [73] Dieter Weichert On the influence of geometrical nonlinearities on the shakedown of elastic-plastic structures International Journal of Plasticity, 2(2):135–148, 1986 [74] Takashi Yamaguchi and Yoshihiro Kanno Ellipsoidal load-domain shakedown analysis with von mises yield criterion: A robust optimization approach International Journal or Numerical Methods in Engineering, 107(13):1136–1144, 2016 [75] Ai-Min Yan Contributions to the direct limit state analysis of plastified and cracked tructures Universite de Liege, Faculte des Sciencesappliquees, 1999 [76] Ai-Min Yan and Hung Nguyen-Dang Kinematical shakedown analysis with emperature-dependent yield stress International Journal for Numerical Methods in Engineering, 50(5):1145–1168, 2001 [77] Tinggang Zhang and Lutfi Raad An eigen-mode method in kinematic shakedown analysis International Journal of Plasticity, 18(1):71–90, 2002 [78] Xiaofeng Zhang, Yinghua Liu, and Zhangzhi Cen Boundary element methods for lower bound limit and shakedown analysis Engineering Analysis with Boundary Elements, 28(8):905–917, 2004 [79] Shutao Zhou, Yinghua Liu, Dongdong Wang, Kai Wang, and Suyuan Yu Upper bound shakedown analysis with the nodal natural element method Computational Mechanics, 54(5):1111–1128, 2014 [80] Nestor Zouain and Rafael SantAnna Computational formulation for the asymptotic response of elastoplastic solids under cyclic loads European Journal of MechanicsA/Solids, 61:267–278, 2017 [81] Nestor Zouain, Lavinia Borges, and Jose Luıs Silveira An algorithm for shakedown analysis with nonlinear yield functions Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 191(23):2463–2481, 2002