Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 5: Sai phân số (Tính đạo hàm bằng phương pháp số) cung cấp cho học viên các kiến thức về ý nghĩa của đạo hàm, các cách tiếp cận để tính sai phân số, xây dựng công thức tính sai phân số bậc 1, các công thức tính sai phân số, sai phân số từng phần, ứng dụng của việc tính sai phân số: dầm chịu uốn,... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!
Trường Đại học Cơng nghiệp thành phố Hồ Chí Minh Khoa Cơng nghệ Cơ khí Bộ mơn Cơ sở - Thiết kế Bài 5: Sai phân số (Tính đạo hàm pp số) Thời lượng: tiết Nội dung học Ý nghĩa đạo hàm Đạo hàm dùng để mô tả thay đổi đại lượng phụ thuộc vào thay đổi đại lượng khác (có hướng vơ hướng) Tọa độ: x = f (t ) dx Vận tốc: v = dt Vận tốc thể quy luật phụ thuộc thay đổi giá trị tọa độ điểm, mà thời gian thay đổi dv Gia tốc: a = dt Gia tốc thể quy luật phụ thuộc thay đổi giá trị vận tốc điểm, mà thời gian thay đổi Vì phải dùng sai phân số 1) Khi hàm số cho dạng biểu thức tường minh, đạo hàm tính phương pháp giải tích (theo bảng đạo hàm) 2) Khi: • Hàm số xác định số lượng hữu hạn điểm rời rạc • Hàm số dạng hộp đen (tức quy trình bên nội hàm, cho phép xác định giá trị hàm biết giá trị tham biến đầu vào) cần sử dụng phương pháp số để tính đạo hàm 3) Sai phân số thường xuyên sử dụng giải phương trình vi phân hệ phương trình vi phân Các cách tiếp cận để tính sai phân số Dữ liệu Khớp đường cong Tiếp tuyến f’(xi) xấp xỉ độ dốc đường nối hai điểm liệu lân cận f’(xi) xấp xỉ độ dốc tiếp tuyến với đường cong khớp điểm xi Dãy Taylor Dãy Taylor dùng để tính gần giá trị hàm số điểm biết giá trị hàm số đạo hàm điểm khác f ( x) = f ( x ) + f ′( x ∗ ∗ )( x − x ) + ∗ f ′′ ( x∗ ) 2! (x − x ) f ( ) (ξ ) ∗ n +1 Rn = x−x ) ( ( n + 1)! ∗ + f ′′′ ( x∗ ) 3! (x − x ) ∗ +… + f ( n ) ( x∗ ) n! (x − x ) ∗ n + Rn (1) n +1 Trong đó: Đặt: x − x∗ = h (1) ↔ f ( x ) = f ( x∗ ) + f ′ ( x∗ ) h + Trong đó: Rn = f ( n +1) (ξ ) ( n + 1)! – Phần tử sai số cắt ngắn bậc n – ξ số x nằm x x* f ′′ ( x∗ ) 2! h n +1 = O ( h n ) h2 + f ′′′ ( x∗ ) 3! h3 + … + f ( n ) ( x∗ ) – Vô nhỏ bậc n n! h n + Rn (2) Sai phân số bậc f ( x) = f ( x ) + f ′( x ∗ ∗ )( x − x ) + ∗ f ′′ ( x∗ ) 2! (x − x ) ∗ Sai phân số hữu hạn phía sau Tiếp tuyến + f ′′′ ( x∗ ) 3! (x − x ) ∗ +… + f ( n ) ( x∗ ) n! (x − x ) ∗ n + Rn Sử dụng dãy Taylor với x=xi-1, x*=xi, h=xi – xi-1 f ( xi −1 ) = f ( xi ) + f ′ ( xi ) ⋅ ( −h ) + R1 f ( xi ) − f ( xi −1 ) ⇒ f ′ ( xi ) ≃ h Sai phân số bậc f ( x) = f ( x ) + f ′( x ∗ ∗ )( x − x ) + ∗ f ′′ ( x∗ ) 2! (x − x ) ∗ + Sai phân số hữu hạn phía trước f ′′′ ( x∗ ) 3! (x − x ) ∗ +… + f ( n ) ( x∗ ) n! (x − x ) ∗ n + Rn Sử dụng dãy Taylor với x=xi+1, x*=xi, h=xi+1 – xi f ( xi +1 ) = f ( xi ) + f ′ ( xi ) ⋅ ( h ) + R1 Tiếp tuyến f ( xi +1 ) − f ( xi ) ⇒ f ′ ( xi ) ≃ h Sai phân số bậc f ( x) = f ( x ) + f ′( x ∗ ∗ )( x − x ) + ∗ f ′′ ( x∗ ) 2! (x − x ) ∗ Sai phân số hữu hạn trung tâm + f ′′′ ( x∗ ) 3! (x − x ) ∗ +… + f ( n ) ( x∗ ) n! (x − x ) ∗ n + Rn Sử dụng dãy Taylor lần với: x=xi+1, x*=xi, h=xi+1 – xi x=xi-1, x*=xi, h=xi – xi-1 f ( xi +1 ) = f ( xi ) + f ′ ( xi ) ⋅ ( h ) + R1 f ( xi −1 ) = f ( xi ) + f ′ ( xi ) ⋅ ( −h ) + R1 Tiếp tuyến f ( xi +1 ) − f ( xi −1 ) ⇒ f ′ ( xi ) ≃ 2h Sai phân số bậc 10 Sử dụng dãy Taylor lần với: x=xi+1, x*=xi, h=xi+1 – xi; x=xi-1, x*=xi, h=xi – xi-1 × ( −4 ) f ( xi −1 ) = f ( xi ) − h ⋅ f ′ ( xi ) + ⋅ h ⋅ f ′′ ( xi ) − ⋅ h3 ⋅ f ′′′ (ξ ) ; xi −1 ≤ ξ ≤ xi 2! 3! + f ( x ) = f ( x ) − ( 2h ) ⋅ f ′ ( x ) + ⋅ ( 2h )2 ⋅ f ′′ ( x ) − ⋅ ( 2h )3 ⋅ f ′′′ (η ) ; x ≤ η ≤ x i−2 i i i i−2 i 2! 3! ′ ′′′ ⇔ f ( xi − ) − f ( xi −1 ) = −3 f ( xi ) + 2h ⋅ f ( xi ) + ⋅ h ⋅ f (ξ ) − ⋅ h ⋅ f ′′′ (η ) 3! 3! f ( xi − ) − f ( xi −1 ) + f ( xi ) 2 ′ ′′′ ⇔ f ( xi ) = − ⋅ h ⋅ f (ξ ) + ⋅ h ⋅ f ′′′ (η ) 2h 3 f ( xi − ) − f ( xi −1 ) + f ( xi ) ⇔ f ′ ( xi ) = + O ( h2 ) 2h ⇒ f ( xi − ) − f ( xi −1 ) + f ( xi ) f ′ ( xi ) = 2h Tương tự cho đạo hàm khác z = f ( x, y ) Sai phân số phần Sai phân số phía trước bậc 1: hx = xi +1 − xi ; hy = yi +1 − yi ∂f ∂x ⇒ ∂f ∂y x = xi y = yi x = xi y = yi f ( xi +1 , yi ) − f ( xi , yi ) = hx f ( xi , yi +1 ) − f ( xi , yi ) = hy Sai phân số phía sau bậc 1: hx = xi − xi −1 ; hy = yi − yi −1 ∂f ∂x ⇒ ∂f ∂y x = xi y = yi x = xi y = yi f ( xi , yi ) − f ( xi −1 , yi ) = hx f ( xi , yi ) − f ( xi , yi −1 ) = hy 19 z = f ( x, y ) Sai phân số phần Sai phân số trung tâm bậc 1: ∂f ∂x ⇒ ∂f ∂y hx = xi +1 − xi = xi − xi −1 ; hy = yi +1 − yi = yi − yi −1 x = xi y = yi x = xi y = yi f ( xi +1 , yi ) − f ( xi −1 , yi ) = 2hx f ( xi , yi +1 ) − f ( xi , yi −1 ) = hy Sai phân số trung tâm bậc 2: ∂2 f ∂x ⇒ ∂ f ∂y x = xi y = yi x = xi y = yi f ( xi +1 , yi ) − f ( xi , yi ) + f ( xi −1 , yi ) = hx2 f ( xi , yi +1 ) − f ( xi , yi ) + f ( xi , yi −1 ) = hy2 20 Sai phân số phần z = f ( x, y ) 21 Sai phân số trung tâm bậc 2: hx = xi +1 − xi = xi − xi −1 ; hy = yi +1 − yi = yi − yi −1 ∂ f ∂f ∂f ∂f ∂f = = ∂x∂y ∂y ∂x ∂x ∂y ∂ f ⇒ ∂x∂y x = xi y = yi f ( xi +1 , yi +1 ) − f ( xi −1 , yi +1 ) − f ( xi +1 , yi −1 ) − f ( xi −1 , yi −1 ) = 2hx ⋅ 2hy Ứng dụng việc tính sai phân số A B EIx=104 kN.m2 L =8 m z Cho dầm AB có chiều dài L=8 m hình vẽ Độ cứng chịu uốn EIx= 104 kN.m2 Từ thực nghiệm đo đạc chuyển vị độ võng dầm theo tọa độ chiều dài z bảng bên cạnh Yêu cầu phương pháp sai phân số tính đại lượng sau vị trí z=2 m: 1) Góc xoay θ 2) Nội lực mơmen uốn Mx 3) Nội lực lực cắt Qy 4) Tải trọng phân bố w 22 23 Gọi v chuyển vị độ võng dầm Hàm v(z) hàm tính độ võng dầm vị trí có tọa độ z tính từ đầu A dầm Ta có hệ thức sau: θ ( z ) = v′ ( x ) EI x ⋅ v′ ( z ) = EI x ⋅ θ ( z ) ′′ M x ( z ) = 10 ⋅ v′′ ( z ) EI x ⋅ v ( z ) = M x ( z ) ⇔ ′′′ ′′′ EI ⋅ v z = Q z Q z = 10 ⋅ v ( ) ( ) ( ) ( z) x y y ( 4) ( 4) EI x ⋅ v ( z ) = w ( z ) w ( z ) = 10 ⋅ v ( z ) Đạo hàm bậc Đạo hàm bậc hai Đạo hàm bậc ba Đạo hàm bậc bốn 24 v ( zi − ) 1.a Sai phân số phía trước – dùng điểm: v ( zi − ) v ( zi +1 ) − v ( zi ) −0.1017674e-2 − ( −0.935208e-3) = = −0.206165e-3 v(z ) h 0.4 v(z ) 1.b Sai phân số phía sau – dùng điểm: v(z ) v ( zi ) − v ( zi −1 ) −0.935208e-3 − ( −0.775729e-3) v(z ) θ ( zi ) = v′ ( zi ) ≈ = = −0.3986975e-3 h 0.4 v(z ) 1.c Sai phân số trung tâm – dùng điểm: v(z ) v ( zi +1 ) − v ( zi −1 ) −0.1017674e-2 − ( −0.775729e-3) v(z ) θ ( zi ) = v′ ( zi ) ≈ = = −0.30243125e-3 v(z ) 2h ⋅ 0.4 1.d Sai phân số phía trước – dùng điểm: −v ( zi + ) + 4v ( zi +1 ) − 3v ( zi ) − ( −0.101391e-2 ) +4 ( −0.1017674e-2 ) − ( −0.935208e-3) θ ( zi ) = v ′ ( zi ) ≈ = = −0.3139525e-3 2h ⋅ 0.4 1.e Sai phân số phía sau – dùng điểm: 3v ( zi ) − 4v ( zi −1 ) + v ( zi − ) ( −0.935208e-3) − ( −0.775729e-3) + ( −0.561253e-3) = = −0.32995125e-3 θ ( zi ) = v′ ( zi ) ≈ v ( zi − ) i −2 θ ( zi ) = v′ ( zi ) ≈ i −1 i i +1 i+2 i +3 i+4 i +5 2h ⋅ 0.4 1.f Sai phân số trung tâm – dùng điểm: −v ( zi + ) + 8v ( zi +1 ) − 8v ( zi −1 ) + v ( zi − ) − ( −0.101391e-2 ) + ( −0.1017674e-2 ) − ( −0.775729e-3) + ( −0.561253e-3) = 12h 12 ⋅ 0.4 = −0.308938125e-3 θ ( zi ) = v′ ( zi ) ≈ 25 v ( zi −5 ) 2.a Sai phân số phía trước – dùng điểm: v ( zi − ) v ( zi −3 ) v ( zi − ) v ( zi ) 2.b Sai phân số phía sau – dùng điểm: v ( zi ) − 2v ( zi −1 ) + v ( zi − ) −0.935208e-3 − ( −0.775729e-3 ) + ( −0.561253e-3 ) M x ( zi ) ≈ 104 ⋅ = 10 ⋅ = 3.4373125 2 v ( zi −1 ) v ( zi +1 ) v ( zi + ) v ( zi +3 ) v ( zi + ) v ( zi +5 ) M x ( zi ) ≈ 104 ⋅ h 0.4 2.c Sai phân số trung tâm – dùng điểm: v ( zi +1 ) − 2v ( zi ) + v ( zi −1 ) −0.1017674e-2 − ( −0.935208e-3 ) + ( −0.775729e-3 ) 10 M x ( zi ) ≈ 104 ⋅ = ⋅ = 4.8133125 2 h 0.4 2.d Sai phân số phía trước – dùng điểm: −v ( zi +3 ) + 4v ( zi + ) − 5v ( zi +1 ) + 2v ( zi ) M x ( zi ) ≈ 104 ⋅ v ( zi + ) − 2v ( zi +1 ) + v ( zi ) −0.101391e-2 − ( −0.1017674e-2 ) + ( -0.935208e-3 ) = 10 ⋅ = 5.389375 h2 0.42 M x ( zi ) ≈ 10 ⋅ h2 = 104 ⋅ − ( −0.927468e-3) +4 ( −0.101391e-2 ) − ( −0.1017674e-2 ) + ( −0.935208e-3) 2.e Sai phân số phía sau – dùng điểm: 0.42 = 5.611375 2v ( zi ) − 5v ( zi −1 ) + 4v ( zi − ) − v ( zi −3 ) ( −0.935208e-3 ) − ( −0.775729e-3 ) + ( −0.561253e-3 ) − ( −0.326595e-3 ) = 10 ⋅ = 5.61325 h2 0.42 2.f Sai phân số trung tâm – dùng điểm: M x ( zi ) ≈ 104 ⋅ = 104 ⋅ −v ( zi + ) + 16v ( zi +1 ) − 30v ( zi ) + 16v ( zi −1 ) − v ( zi − ) 12h − ( −0.101391e-2 ) + 16 ( −0.1017674e-2 ) − 30 ( −0.935208e-3) + 16 ( −0.775729e-3) − ( −0.561253e-3) 12 ⋅ 0.42 = 4.879973958 26 v ( zi −5 ) v ( zi − ) 3.a Sai phân số phía trước – dùng điểm: v ( zi −3 ) v ( zi − ) v ( zi −1 ) v ( zi ) v ( zi +1 ) v ( zi + ) v ( zi +3 ) v ( zi + ) v ( zi +5 ) Qy ( zi ) ≈ 104 ⋅ = 104 ⋅ v ( zi +3 ) − 3v ( zi + ) + 3v ( zi +1 ) − v ( zi ) h3 ( −0.927468e-3) − ( −0.101391e-2 ) + ( −0.1017674e-2 ) − ( −0.935208e-3) 0.43 3.b Sai phân số phía sau – dùng điểm: Qy ( zi ) ≈ 104 ⋅ = 104 ⋅ v ( zi ) − 3v ( zi −1 ) + 3v ( zi − ) − v ( zi −3 ) h3 ( −0.935208e-3) − ( −0.775729e-3) + ( −0.561253e-3) − ( −0.326595e-3) 0.4 3.c Sai phân số trung tâm – dùng điểm: Qy ( zi ) ≈ 104 ⋅ = 104 ⋅ = −0.555 v ( zi + ) − 2v ( zi +1 ) + 2v ( zi −1 ) − v ( zi − ) 2h3 ( −0.101391e-2 ) − ( −0.1017674e-2 ) + ( −0.775729e-3) − ( −0.561253e-3) ⋅ 0.43 = 2.440078125 = 5.43984375 27 v ( zi − ) v ( zi − ) v ( zi − ) v ( zi − ) v ( zi −1 ) v ( zi ) v ( zi +1 ) v ( zi + ) v ( zi + ) v ( zi + ) v ( zi + ) 3.d Sai phân số phía trước – dùng điểm: Qy ( zi ) ≈ 104 ⋅ = 104 ⋅ −3v ( zi + ) + 14v ( zi +3 ) − 24v ( zi + ) + 18v ( zi +1 ) − 5v ( zi ) 2h3 −3 ( −0.772131e-3) + 14 ( −0.927468e-3) − 24 ( −0.101391e-2 ) + 18 ( −0.1017674e-2 ) − ( −0.935208e-3) ⋅ 0.43 = 1.842890625 3.e Sai phân số phía sau – dùng điểm: Qy ( zi ) ≈ 104 ⋅ = 104 ⋅ 5v ( zi ) − 18v ( zi −1 ) + 24v ( zi − ) − 14v ( zi −3 ) + 3v ( zi − ) 2h3 ( −0.935208e-3) − 18 ( −0.775729e-3) + 24 ( −0.561253e-3) − 14 ( −0.326595e-3) + ( −0.119372e-3) ⋅ 0.43 = 2.439375 3.f Sai phân số trung tâm – dùng điểm: Qy ( zi ) ≈ 104 ⋅ = 104 ⋅ −v ( zi +3 ) + 8v ( zi + ) − 13v ( zi +1 ) + 13v ( zi −1 ) − 8v ( zi − ) + v ( zi −3 ) 8h3 − ( −0.927468e-3) + ( −0.101391e-2 ) − 13 ( −0.1017674e-2 ) + 13 ( −0.775729e-3) − ( −0.561253e-3) + ( −0.326595e-3) = 2.439492188 ⋅ 0.43 28 v ( zi − ) 4.a Sai phân số phía trước – dùng điểm: v ( zi − ) v ( zi − ) v ( zi − ) w ( zi ) ≈ 104 ⋅ v ( zi −1 ) = 104 ⋅ v ( zi ) v ( zi +1 ) 0.44 4.b Sai phân số phía sau – dùng điểm: v ( zi + ) v ( zi + ) h4 ( −0.772131e-3) − ( −0.927468e-3) + ( −0.101391e-2 ) − ( −0.1017674e-2 ) + ( −0.935208e-3) = −3.996484375 v ( zi + ) v ( zi + ) v ( zi + ) − 4v ( zi +3 ) + 6v ( zi + ) − 4v ( zi +1 ) + v ( zi ) w ( zi ) ≈ 104 ⋅ = 104 ⋅ v ( zi ) − 4v ( zi −1 ) + 6v ( zi − ) − 4v ( zi −3 ) + v ( zi − ) h4 ( −0.935208e-3) − ( −0.775729e-3) + ( −0.561253e-3) − ( −0.326595e-3) + ( −0.119372e-3) 0.44 = −5.00078125 4.c Sai phân số trung tâm – dùng điểm: w ( zi ) ≈ 10 ⋅ = 104 ⋅ v ( zi + ) − 4v ( zi +1 ) + 6v ( zi ) − 4v ( zi −1 ) + v ( zi −2 ) h4 ( −0.101391e-2 ) − ( −0.1017674e-2 ) + ( −0.935208e-3) − ( −0.775729e-3) + ( −0.561253e-3) = −4.999609375 0.44 29 v ( zi − ) v ( zi − ) 4.d Sai phân số phía trước – dùng điểm: v ( zi − ) v ( zi − ) v ( zi −1 ) v ( zi ) v ( zi +1 ) w ( zi ) ≈ 104 ⋅ −2v ( zi +5 ) + 11v ( zi + ) − 24v ( zi +3 ) + 26v ( zi + ) − 14v ( zi +1 ) + 3v ( zi ) = 104 ⋅ h4 −2 ( −0.56425e-3) + 11( −0.772131e-3) − 24 ( −0.927468e-3) + 26 ( −0.101391e-2 ) − 14 ( −0.1017674e-2 ) + ( −0.935208e-3) 0.44 = −9.983203125 v ( zi + ) v ( zi + ) v ( zi + ) v ( zi + ) 4.e Sai phân số phía sau – dùng điểm: w ( zi ) ≈ 104 ⋅ 3v ( zi ) − 14v ( zi −1 ) + 26v ( zi − ) − 24v ( zi −3 ) + 11v ( zi −4 ) − 2v ( zi −5 ) = 104 ⋅ h4 ( −0.935208e-3) − 14 ( −0.775729e-3) + 26 ( −0.561253e-3) − 24 ( −0.326595e-3) + 11( −0.119372e-3) − ( ) 0.44 = −5.003125000 4.f Sai phân số trung tâm – dùng điểm: w ( zi ) ≈ 104 ⋅ −v ( zi +3 ) + 12v ( zi + ) + 39v ( zi +1 ) + 56v ( zi ) − 39v ( zi −1 ) + 12v ( zi −2 ) + v ( zi −3 ) = 104 ⋅ 6h − ( −0.927468e-3) + 12 ( −0.101391e-2 ) + 39 ( −0.1017674e-2 ) + 56 ( −0.935208e-3) − 39 ( −0.775729e-3) + 12 ( −0.561253e-3) + ( −0.326595e-3) = −5215.402735 ⋅ 0.44 30 1) Cho biết lời giải xác góc xoay θ(l=2)=–0.3089375003e–3 (rad) Tính phần trăm sai số so với phép tính sai phân số thực 2) Cho biết biểu đồ lực phân bố w hình vẽ dầm chịu tải thực tế Vẽ lại biểu đồ lực cắt Qy mômen uốn Mx để so sánh với phép tính sai phân số thực 31 M = 10 kN.m q = kN/m M = 20 kN.m w( z) z=2 Qy ( z ) Mx ( z) P = kN 1) Lời giải xác w(z=2)=–5 kN/m 2) Lời giải xác của: Qy(z=2)=12.44–5.2=2.44 kN 3) Lời giải xác của: Mx(z=2)=–10+0.5.(12.44+2.44).2=4.88 kN.m Bảng so sánh kết 32 Để tính góc xoay z=2 sai phân số bậc phía sau trước với điểm, phía sau với điểm đem lại kết khơng xác (Sai số > 5%) Để tính nội lực mơmen uốn z=2 có sai phân số bậc trung tâm đem đến kết xác Để tính nội lực lực cắt z=2 sai phân số bậc ba phía sau, phía trước với điểm, phía trước với điểm đem lại kết khơng xác (Sai số > 5%) Để tính tải trọng phân bố z=2 sai phân số bậc bốn phía trước (với điểm hay điểm), sai phân số trung tâm với điểm đem lại kết không xác (Sai số > 5%) Cách tính sai số cx − gd × 100% ε = cx if cx = ⇒ ε = gd 33 ... phải dùng sai phân số 1) Khi hàm số cho dạng biểu thức tường minh, đạo hàm tính phương pháp giải tích (theo bảng đạo hàm) 2) Khi: • Hàm số xác định số lượng hữu hạn điểm rời rạc • Hàm số dạng hộp... bên nội hàm, cho phép xác định giá trị hàm biết giá trị tham biến đầu vào) cần sử dụng phương pháp số để tính đạo hàm 3) Sai phân số thường xuyên sử dụng giải phương trình vi phân hệ phương trình... v ( z ) Đạo hàm bậc Đạo hàm bậc hai Đạo hàm bậc ba Đạo hàm bậc bốn 24 v ( zi − ) 1.a Sai phân số phía trước – dùng điểm: v ( zi − ) v ( zi +1 ) − v ( zi ) −0.1017674e-2 − ( −0.935208e-3) = =