ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– VŨ MẠNH HÙNG ĐIỀU KIỆN CẦN CẤP HAI CHO NGHIỆM HỮU HIỆU YẾU CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ KHÔNG TRƠN QUA ĐẠO HÀM PALÉS ZEIDAN LUẬN VĂN THẠC S[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– VŨ MẠNH HÙNG ĐIỀU KIỆN CẦN CẤP HAI CHO NGHIỆM HỮU HIỆU YẾU CỦA BÀI TỐN CÂN BẰNG VECTƠ KHƠNG TRƠN QUA ĐẠO HÀM PALÉS-ZEIDAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, 10/2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– VŨ MẠNH HÙNG ĐIỀU KIỆN CẦN CẤP HAI CHO NGHIỆM HỮU HIỆU YẾU CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ KHÔNG TRƠN QUA ĐẠO HÀM PALÉS-ZEIDAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 8460112 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS ĐỖ VĂN LƯU Thái Nguyên, 10/2018 i Mục lục Bảng ký hiệu ii Mở đầu 1 Điều kiện cần cấp dạng nguyên thủy cho nghiệm hữu hiệu yếu 1.1 Các kiến thức chuẩn bị 1.2 Điều kiện cần cấp dạng nguyên thủy cho nghiệm hữu hiệu yếu Điều kiện cần cấp dạng đối ngẫu 10 22 2.1 Điều kiện cần Fritz John cấp dạng đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu yếu 22 2.2 Điều kiện quy cấp điều kiện cần Karush-KuhnTucker cấp dạng đối ngẫu 27 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 ii Bảng ký hiệu I(x) tập số ràng buộc tích cực Rm + orthant không âm Rm Rm ++ orthant dương Rm Tx C nón tiếp tuyến C x Tx2 C nón tiếp tuyến cấp C x f (x, v) đạo hàm suy rộng Clarke f x theo phương v f 00 (x; v) đạo hàm suy rộng Palés–Zeidan cấp f x theo phương v f ” (x; v) đạo hàm cấp f x theo phương v ∇f (x) đạo hàm Fréchet f x ∇2 h(x) đạo hàm Fréchet cấp (Hessian) f x Ker∇h(x) hạch ∇h(x) (V EP ) dimX tốn cân vectơ số chiều khơng gian X Mở đầu Bài tốn cân vectơ đóng vai trò quan trọng lý thuyết toán cực trị Bài toán cân vectơ bao gồm số toán với trường hợp đặc biệt như: toán tối ưu vectơ, toán bất đẳng thức biến phân vectơ số toán khác Điều kiện tối ưu cấp 1, cấp hướng nghiên cứu quan trọng toán cân vectơ toán tối ưu vectơ Mới đây, E Constantin ([3], 2015) nghiên cứu điều kiện cấp cho tốn tối ưu vơ hướng với ràng buộc bất đẳng thức, D.V.Luu ([6], 2018) thiết lập điều kiện tối ưu cho toán cân vectơ có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc tập Điều kiện tối ưu cấp ngôn ngữ đạo hàm cấp khác hàm không trơn đề tài nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Do vậy, chọn đề tài “Điều kiện cần cấp hai cho nghiệm hữu hiệu yếu tốn cân vectơ khơng trơn qua đạo hàm Palés–Zeidan” Luận văn trình bày kết D.V.Luu đăng tạp chí Journal of Global Optimization 70(2018), 437-453 điều kiện cần Fritz John dạng nguyên thủy đối ngẫu cho toán cân vectơ khơng trơn có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc tập ngôn ngữ đạo hàm theo phương cấp Palés–Zeidan Các điều kiện Karush–Kuhn– Tucker dạng đối ngẫu trình bày với điều kiện quy cấp thích hợp 2 Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương "Điều kiện cần cấp dạng nguyên thủy cho nghiệm hữu hiệu yếu" trình bày khái niệm đạo hàm cấp 1, cấp theo phương khác cho hàm không trơn; khái niệm vectơ tiếp tuyến cấp 1, cấp 2; điều kiện cần cấp dạng nguyên thủy cho nghiệm hữu hiệu yếu toán cân vectơ khơng trơn có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc tập ngôn ngữ đạo hàm theo phương cấp Palés–Zeidan Chương "Điều kiện cần cấp dạng đối ngẫu" trình bày điều kiện cần Fritz John cấp dạng đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu yếu tốn cân vectơ khơng trơn có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc tập Với điều kiện quy cấp thích hợp, điều kiện cần Karush–Kuhn–Tucker dạng đối ngẫu ngôn ngữ đạo hàm theo phương cấp Palés–Zeidan chứng minh Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Đỗ Văn Lưu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả học tập nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho công tác nghiên cứu thân Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy lớp cao học Tốn, nhà trường phịng chức trường, khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường 3 Xin chân thành cảm ơn anh chị em lớp cao học bạn bè đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Thái Nguyên, ngày 05 tháng năm 2018 Tác giả luận văn Vũ Mạnh Hùng Chương Điều kiện cần cấp hai dạng nguyên thủy cho nghiệm hữu hiệu yếu Chương trình bày khái niệm đạo hàm cấp 1, cấp cho hàm trơn không trơn; khái niệm vectơ tiếp tuyên cấp cấp 2; điều kiện cần cấp dạng nguyên thủy cho nghiệm hữu hiệu yếu toán cân vectơ Các kết trình bày chương tham khảo tài liệu [1, 2, 6, 7, 8] 1.1 Các kiến thức chuẩn bị Mục trình bày khái niệm đạo hàm cấp cấp theo phương cho hàm không trơn, khái niệm vectơ tiếp tuyến cấp 1, cấp ví dụ minh họa Giả sử X khơng gian Banach thực, f hàm giá trị thực xác định X, Lipschitz gần x¯ ∈ X Nhắc lại khái niệm đạo hàm suy rộng Clarke (xem [2]) Đạo hàm theo phương suy rộng Palés-Zeidan cấp (xem [8]) Định nghĩa 1.1 Đạo hàm suy rộng Clarke f x¯ ∈ X theo phương v ∈ X định nghĩa f (¯ x; v) := lim sup x→¯ x,t↓0 f (x + tv) − f (x) t Định nghĩa 1.2 Đạo hàm theo phương suy rộng Palés-Zeidan cấp f x¯ theo phương v (xem [8]) định nghĩa f (¯ x + tv) − f (¯ x) − tf (¯ x; v) f (¯ x; v) := lim sup t2 t↓0 00 Định nghĩa 1.3 Ánh xạ F từ X vào không gian định chuẩn Y gọi khả vi Fréchet x tồn tốn tử tuyến tính liên tục Λ : X → Y cho với v lân cận x, F (x + v) = F (x) + Λv + α(v)kvk, lim kα(v)k =0 kvk→0 Toán tử Λ gọi đạo hàm Fréchet F x kí hiệu ∇F (x) Định nghĩa 1.4 Giả sử ánh xạ F khả vi liên tục Fréchet lân cận x ∈ X Ánh xạ F gọi khả vi Fréchet cấp x, tồn ánh xạ song tuyến tính đối xứng B : X × X → Y cho F (x + v) = F (x) + ∇F (x)v + B(v, v) + r(v), ||r(v)||/||v||2 → ||v|| → Dạng toàn phương B(v,v) gọi Hessian (hay đạo hàm Fréchet cấp 2) F x, ký hiệu ∇2 F (x) 6 Định nghĩa 1.5 Cho f : Rn → R hàm khả vi Fréchet x¯ ∈ X, ∇f (¯ x) đạo hàm Fréchet f x¯ Giới hạn sau gọi đạo hàm cấp f x¯ theo phương v∈ Rn f 00 (¯ x; v) := lim sup t↓0 f (¯ x + tv) − f (¯ x) − t∇f (¯ x)v t Nhận xét 1.1 (a) Nếu f khả vi liên tục Fréchet gần x¯ với đạo hàm Fréchet ∇f (¯ x) f Lipschitz gần x¯, f (¯ x; v) = ∇f (¯ x)v (∀v ∈ X) Điều không xảy ∇f (x) không liên tục x¯ (b) Nếu f : Rn → R khả vi liên tục Fréchet gần x¯ khả vi theo phương cấp x¯ theo phương v ∈ X, f 00 (¯ x; v) = f 00 (¯ x; v) Giả sử f ánh xạ từ X vào không gian định chuẩn Y Định nghĩa 1.6 Ánh xạ f gọi khả vi Gâteaux x tồn ánh xạ tuyến tính liên tục Λ1 từ X vào Y cho: f (x + tv) = f (x) + tΛ1 (v) + o(t) (∀v ∈ X), ko(t)k |t| → t → Ánh xạ Λ1 gọi đạo hàm Gâteaux f x kí hiệu f (x) Chú ý ánh xạ khả vi Gâteaux x khơng liên tục x Định nghĩa 1.7 Ánh xạ f khả vi Gâteaux hai lần x f khả vi Gâteaux x tồn ánh xạ song tuyến tính đối xứng liên tục Λ2 từ X × X vào Y cho ... ưu cấp ngôn ngữ đạo hàm cấp khác hàm không trơn đề tài nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Do vậy, chọn đề tài ? ?Điều kiện cần cấp hai cho nghiệm hữu hiệu yếu toán cân vectơ không trơn qua đạo hàm. ..ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– VŨ MẠNH HÙNG ĐIỀU KIỆN CẦN CẤP HAI CHO NGHIỆM HỮU HIỆU YẾU CỦA BÀI TỐN CÂN BẰNG VECTƠ KHƠNG TRƠN QUA ĐẠO HÀM PALÉS-ZEIDAN LUẬN VĂN THẠC... Chương "Điều kiện cần cấp dạng nguyên thủy cho nghiệm hữu hiệu yếu" trình bày khái niệm đạo hàm cấp 1, cấp theo phương khác cho hàm không trơn; khái niệm vectơ tiếp tuyến cấp 1, cấp 2; điều kiện cần