nh xÔ bĂn co vbi toĂn im bĐt ởng 31.1 nh xÔ bĂn co trong khổng gian Hilbert.. Mởt phữỡng phĂp lp giÊi mởt lợp bi toĂn imbĐt ởng vợi Ănh xÔ bĂn co 142.1 Bi toĂn v thuªt to¡n.. 23 Trang 5
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - VY QUANG HƯNG PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI MỘT LỚP BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG VỚI ÁNH XẠ BÁN CO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2022 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - VY QUANG HƯNG PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI MỘT LỚP BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG VỚI ÁNH XẠ BÁN CO Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy THÁI NGUYÊN - 2022 iii Möc löc B£ng kþ hi»u v Líi c£m ìn vi Mð ¦u 1 Ch÷ìng 1 nh x¤ b¡n co v b i to¡n iºm b§t ëng 3 1.1 nh x¤ b¡n co trong khæng gian Hilbert 3 1.1.1 nh x¤ b¡n co v ¡nh x¤ khæng gi¢n 4 1.1.2 To¡n tû chi¸u, to¡n tû ìn i»u 6 1.2 B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n 7 1.2.1 B i to¡n 7 1.2.2 Sü tçn t¤i nghi»m v t½nh ch§t cõa tªp nghi»m 8 1.3 B i to¡n iºm b§t ëng 11 1.3.1 B i to¡n 11 1.3.2 Mèi li¶n h» vîi b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n 12 Ch÷ìng 2 Mët ph÷ìng ph¡p l°p gi£i mët lîp b i to¡n iºm b§t ëng vîi ¡nh x¤ b¡n co 14 2.1 B i to¡n v thuªt to¡n 15 2.2 Sü hëi tö 16 iv 2.3 V½ dö minh håa 23 T i li»u tham kh£o 30 v B£ng kþ hi»u Rn khæng gian Euclide n chi·u H ∅ khæng gian Hilbert thüc ∀x ∈C tªp réng I Fix(T ) vîi måi x PC (x) thuëc C xk → x xk ⇀ x to¡n tû çng nh§t VIP(F, Ω) tªp iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T ΩF ph²p chi¸u trüc giao (m¶tric) cõa ph¦n tû x l¶n tªp C sü hëi tö m¤nh cõa d¢y {xk} tîi iºm x sü hëi tö y¸u cõa d¢y {xk} tîi iºm x B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vîi ¡nh x¤ F v tªp r ng buëc Ω Tªp nghi»m cõa b i to¡n VIP(F, Ω) vi Líi c£m ìn Luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh t¤i Khoa To¡n Tin, Tr÷íng ¤i håc Khoa håc, ¤i håc Th¡i Nguy¶n d÷îi sü h÷îng d¨n v gióp ï tªn t¼nh, t m¿ cõa PGS.TS Nguy¹n Thà Thu Thõy (Vi»n To¡n ùng döng v Tin håc Tr÷íng ¤i håc B¡ch khoa H Nëi) T¡c gi£ xin ch¥n th nh b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc tîi cæ v xin gûi nhúng líi tri ¥n nh§t cõa t¡c gi£ èi vîi nhúng i·u Cæ ¢ d nh cho t¡c gi£ T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn Pháng o t¤o, Khoa To¡n Tin, v c¡c quþ th¦y cæ gi£ng d¤y lîp Cao håc K13A2 chuy¶n ng nh To¡n ùng döng, Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t nhúng ki¸n thùc quþ b¡u công nh÷ t¤o i·u ki»n cho t¡c gi£ ho n th nh khâa håc T¡c gi£ xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t tîi gia ¼nh, b¤n b±, nhúng ng÷íi ¢ l nguçn ëng lüc, hé trñ tªn t¼nh v t¤o i·u ki»n tèt nh§t cho t¡c gi£ trong suèt qu£ tr¼nh håc tªp v ho n th nh luªn v«n Xin ch¥n th nh c£m ìn! T¡c gi£ luªn v«n Vy Quang H÷ng 1 Mð ¦u Cho H l mët khæng gian Hilbert thüc vîi t½ch væ h÷îng ⟨·, ·⟩ v chu©n ∥ · ∥ Cho C l mët tªp con lçi âng kh¡c réng cõa H, v ¡nh x¤ F : C→H B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (Variational Inequality Problem) vîi ¡nh x¤ F v tªp r ng buëc Ω trong khæng gian Hilbert thüc H, vi¸t tt l VIP(F, Ω), ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau: T¼m x∗ ∈ Ω sao cho ⟨F (x∗), x − x∗⟩ ≥ 0 vîi måi x ∈ Ω (VIP) B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (VIP) trong khæng gian væ h¤n chi·u ÷ñc nh to¡n håc ng÷íi Italia l Stampacchia (xem [4]) v c¡c çng sü ÷a ra l¦n ¦u ti¶n v o nhúng n«m ¦u cõa thªp ni¶n 60 th¸ k¿ XX trong khi nghi¶n cùu v· b i to¡n bi¶n tü do B i to¡n n y câ vai trá quan trång trong nghi¶n cùu to¡n håc lþ thuy¸t v· b i to¡n tèi ÷u, b i to¡n i·u khiºn, b i to¡n c¥n b¬ng, b i to¡n bò, b i to¡n gi¡ trà bi¶n v.v Do â, vi»c nghi¶n cùu c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ang l mët trong nhúng · t i thu hót ÷ñc sü quan t¥m nghi¶n cùu cõa nhi·u nh to¡n håc trong v ngo i n÷îc v ¢ nhªn ÷ñc nhi·u k¸t qu£ hay, s¥u sc Khi tªp r ng buëc Ω cõa b i to¡n (VIP) ÷ñc cho d÷îi d¤ng ©n, ch¯ng h¤n tªp iºm b§t ëng chung cõa mët hå c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n, th¼ b i to¡n (VIP) cán câ nhi·u ùng döng trong b i to¡n xû lþ t½n hi»u, khæi phöc £nh, b i to¡n i·u khiºn tèi ÷u v.v èi vîi lîp b i to¡n n y, ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc cõa Yamada · xu§t n«m 2001 [6] tä ra l ph÷ìng ph¡p kh¡ hi»u qu£ khi ¡nh x¤ F thäa m¢n i·u ki»n ìn i»u m¤nh v li¶n töc 2 Lipschitz · t i luªn v«n nghi¶n cùu mët ph÷ìng ph¡p l°p hi»n gi£i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (VIP) trong tr÷íng hñp tªp r ng buëc Ω l tªp iºm b§t ëng chung cõa mët hå ¡nh x¤ b¡n co Tj : C → C, j = 1, 2, , N trong b i b¡o [2] cæng bè n«m 2018 Nëi dung cõa luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y trong hai ch÷ìng Ch÷ìng 1: nh x¤ b¡n co v b i to¡n iºm b§t ëng tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v t½nh ch§t cõa ¡nh x¤ b¡n co còng mèi li¶n h» vîi ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert thüc; tr¼nh b y b i to¡n iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ b¡n co v mèi li¶n h» vîi b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n trong khæng gian Hilbert thüc Ch÷ìng 2: Mët ph÷ìng ph¡p l°p gi£i mët lîp b i to¡n iºm b§t ëng vîi ¡nh x¤ b¡n co giîi thi»u v· mët lîp b i to¡n iºm b§t ëng vîi ¡nh x¤ b¡n co, â l b i to¡n t¼m nghi»m cõa b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n tr¶n tªp nghi»m cõa b i to¡n iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ b¡n co; mæ t£ mët ph÷ìng ph¡p l°p hi»n cõa Tr¦n Vi»t Anh, L¶ Dông M÷u v °ng Xu¥n Sìn trong [2] gi£i lîp b i to¡n n y; tr¼nh b y chùng minh sü hëi tö m¤nh cõa ph÷ìng ph¡p, ÷a ra ¡p döng gi£i b i to¡n t¼m nghi»m câ chu©n nhä nh§t v · xu§t v½ dö sè minh håa 3 Ch÷ìng 1 nh x¤ b¡n co v b i to¡n iºm b§t ëng Ch÷ìng n y giîi thi»u v· ¡nh x¤ b¡n co v b i to¡n iºm b§t ëng trong khæng gian Hilbert thüc H Nëi dung cõa ch÷ìng ÷ñc tr¼nh b y trong ba möc Möc thù nh§t giîi thi»u v· ¡nh x¤ b¡n co còng mët sè to¡n tû trong khæng gian Hilbert thüc li¶n quan ¸n nëi dung cõa Ch÷ìng 2 Möc thù hai giîi thi»u b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n trong khæng gian Hilbert thüc còng i·u ki»n tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n Möc thù ba giîi thi»u v· b i to¡n iºm b§t ëng còng mèi quan h» vîi b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n v mët sè b i to¡n li¶n quan Ki¸n thùc cõa ch÷ìng ÷ñc têng hñp tø c¡c t i li»u [1], [2], [6] 1.1 nh x¤ b¡n co trong khæng gian Hilbert Cho H l mët khæng gian Hilbert thüc vîi t½ch væ h÷îng ⟨·, ·⟩ v chu©n ∥ · ∥ Cho C l mët tªp lçi, âng, kh¡c réng trong khæng gian Hilbert thüc H Ta kþ hi»u sü hëi tö m¤nh v sü hëi tö y¸u cõa d¢y {xk} tîi iºm x trong khæng gian H t÷ìng ùng l xk → x v xk ⇀ x 4 1.1.1 nh x¤ b¡n co v ¡nh x¤ khæng gi¢n Cho C l mët tªp con lçi âng cõa khæng gian Hilbert thüc H v ¡nh x¤ T : C → H Tªp t§t c£ c¡c iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T ÷ñc kþ hi»u l Fix(T ), tùc l , Fix(T ) = {x ∈ C | T (x) = x} ành ngh¾a 1.1.1 (xem [2]) Cho C ⊂ H l mët tªp con kh¡c réng nh x¤ T : C → H ÷ñc gåi l : (a) nh x¤ L-li¶n töc Lipschitz tr¶n C n¸u tçn t¤i h¬ng sè L ≥ 0 sao cho ∥T (x) − T (y)∥ ≤ L∥x − y∥ ∀x, y ∈ C (1.1) Trong (1.1), n¸u L ∈ [0, 1) th¼ T ÷ñc gåi l ¡nh x¤ co, n¸u L = 1 th¼ T ÷ñc gåi l ¡nh x¤ khæng gi¢n (b) nh x¤ tüa khæng gi¢n n¸u Fix(T )̸ = ∅ v ∥T (x) − x∗∥ ≤ ∥x − x∗∥ ∀(x, x∗) ∈ C × Fix(T ) (c) nh x¤ γ-b¡n co n¸u Fix(T )̸ = ∅ v tçn t¤i mët h¬ng sè γ ∈ [0, 1) sao cho ∥T (x) − x∗∥2 ≤ ∥x − x∗∥2 + γ∥T (x) − x∥2, x ∈ C, x∗ ∈ Fix(T ) (d) nh x¤ gi£ co ch°t vîi h» sè k, hay ¡nh x¤ k-gi£ co ch°t, n¸u tçn t¤i k ∈ [0, 1) sao cho ∥T x − T y∥2 ≤ ∥x − y∥2 + k∥(I − T )x − (I − T )y∥2 ∀x, y ∈ C (1.2) Nhªn x²t 1.1.2 Tø ành ngh¾a 1.1.1, ta nhªn th§y, (a) N¸u γ = 0, ta nhªn ÷ñc ¡nh x¤ tüa khæng gi¢n (b) Måi ¡nh x¤ khæng gi¢n ·u l ¡nh x¤ k-gi£ co ch°t vîi h» sè k = 0