nh xÔ bĂn co vbi toĂn im bĐt ởng 31.1 nh xÔ bĂn co trong khổng gian Hilbert.. Mởt phữỡng phĂp lp giÊi mởt lợp bi toĂn imbĐt ởng vợi Ănh xÔ bĂn co 142.1 Bi toĂn v thuªt to¡n.. 23 Trang 5
ToĂn tỷ chiáu, toĂn tỷ ỡn iằu
Trong mửc n y ta trẳnh b y khĂi niằm v mởt số tẵnh chĐt cừa toĂn tỷ chiáu, toĂn tỷ ỡn iằu trong khổng gian Hilbert thỹc H. ành nghắa 1.1.4 (xem [1]) Cho C l mởt têp con lỗi õng khĂc rộng trong khổng gian Hilbert thỹc H nh xÔ PC : H →C thọa mÂn
∥x−PC(x)∥ = min z∈C ∥x−z∥ ữủc gồi l toĂn tỷ chiáu (ph²p chiáu mảtric) chiáu H lản C. ành lỵ 1.1.5 (xem [1]) Cho C l mởt têp con lỗi õng khĂc rộng trong khổng gian Hilbert thỹc H Khi õ, tỗn tÔi duy nhĐt phƯn tỷ y ∈ C, sao cho
∥x−y∥ = min z∈C ∥x−z∥ vợi mồi x∈ H (1.4) iºm y ∈ C thọa mÂn (1.4) ữủc gồi l hẳnh chiáu cừa x trản C, kỵ hiằu l P C (x).
Sau Ơy l mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa toĂn tỷ chiáu.
Do õ Ănh xÔ PC(x) l Ănh xÔ khổng giÂn, tực l :
∥P C (x)−P C (y)∥ ≤ ∥x−y∥ ∀x, y ∈ H. ành nghắa 1.1.7 (xem [1]) Cho C l mởt têp con lỗi õng khĂc rộng trong khổng gian Hilbert thỹc H ToĂn tỷ A : C → H ữủc gồi l
(a) ỡn iằu trản C náu ⟨A(x)−A(y), x− y⟩ ≥ 0 ∀x, y ∈ C; ỡn iằu ch°t trản C náu dĐu = cừa bĐt ¯ng thực trản ch¿ xÊy ra khi x =y; (b) GiÊ ỡn iằu trản C náu
(c) ỡn iảu mÔnh trản C vợi hằ số β l hơng số dữỡng (hay β−ỡn iằu mÔnh trản C) náu
⟨A(x)−A(y), x−y⟩ ≥ β∥x−y∥ 2 ∀x, y ∈C; ành nghắa 1.1.8 (xem [1]) (a) ToĂn tỷ a trà A : H →2 H ữủc gồi l ỡn iằu náu
(b) ỗ thà Gr(A) cừa toĂn tỷ A ữủc ành nghắa nhữ sau:
(c) ỗ thà Gr(A) cừa toĂn tỷ A ữủc gồi l têp ỡn iằu trong khổng gian tẵch H ì H náu bĐt ¯ng thực trản thọa mÂn vợi mồi (x, f) v mồi (y, g)∈ Gr(A) Gr(A) ữủc gồi l têp ỡn iằu cỹc Ôi náu Gr(A) khổng bà chựa thỹc sỹ trong mởt têp ỡn iằu n o khĂc trong H ì H.
(d) ToĂn tỷ A : H → 2 H ữủc gồi l ỡn iằu cỹc Ôi náu ỗ thà Gr(A) cừa A khổng bà chựa thỹc sỹ trong ỗ thà cừa bĐt ký mởt toĂn tỷ ỡn iằu n o khĂc.
B i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn
B i to¡n
Cho C l mởt têp con lỗi õng khĂc rộng cừa khổng gian Hilbert thỹc
H, F :C → H l mởt Ănh xÔ i tứ C v o H B i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn vợi Ănh xÔ giĂ F v têp r ng buởc Ω ⊂ C, kỵ hiằu l VIP(F,Ω), ữủc phĂt biºu nhữ sau:
Têp nghiằm cừa b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn VIP(F,Ω) vợi Ănh xÔ giĂ F ữủc kỵ hiằu l Ω F
Sỹ tỗn tÔi nghiằm v tẵnh chĐt cừa têp nghiằm
Náu Ănh xÔ giĂ F ỡn iằu mÔnh v liản tửc Lipschitz trản Ω thẳ b i toĂn VIP(F,Ω) cõ nghiằm duy nhĐt
Bờ ã 1.2.1 (xem [5]) Náu F : Ω → H l Ănh xÔ β-ỡn iằu mÔnh v
L-liản tửc Lipschitz trản Ω thẳ b i toĂn VIP(F,Ω) cõ nghiằm duy nhĐt.
T(x) = P Ω (x−àF(x)) vợi mồi x ∈Ω Khi õ, vợi mồi x, y ∈Ω, ta cõ:
Sỷ dửng tẵnh β-ỡn iằu mÔnh trản Ω v L-liản tửc Lipschitz trản Ω cõa F, ta câ:
Vêy T : Ω → Ω l Ănh xÔ co Theo nguyản lẵ Ănh xÔ co, tỗn tÔi duy nhĐt x ∗ ∈ Ω sao cho T(x ∗ ) = x ∗ Do õ theo Bờ ã 1.3.3 (xem mửc sau) ta câ x ∗ ∈ ΩF.
□ Tẵnh chĐt lỗi õng cừa têp nghiằm b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn ữủc trẳnh b y trong bờ ã dữợi Ơy
Bờ ã 1.2.2 (xem [2]) GiÊ sỷ C l mởt têp lỗi õng khĂc rộng trong khổng gian Hilbert thỹc H v D l mởt têp trong H chựa C Cho Ănh xÔ
F :D → H giÊ ỡn iằu trản C v mởt trong hai iãu kiằn sau ữủc thọa m¢n:
(i) lim sup k→∞ ⟨F(x k ), y⟩ ≤ ⟨F(x), y⟩ vợi mồi y ∈ H v mồi dÂy{x k } ⊂ C hởi tử yáu án x.
(ii) F liản tửc Lipschitz trản C vợi hằ số L > 0.
GiÊ sỷ têp nghiằm ΩF cừa b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn VIP(F, C) khĂc rộng, khi õ Ω F l têp lỗi õng.
Ta luổn cõ Ω F ⊂ S d (F, C) Thêt vêy, giÊ sỷ x ∗ ∈ Ω F Khi õ,
M°t khĂc, tứ tẵnh giÊ ỡn iằu cừa F, ta suy ra
Trữớng hủp 1 F thọa mÂn iãu kiằn (i).
GiÊ sỷ ngữủc lÔi tỗn tÔi x ∗ ∈ Sd(F, C) sao cho x ∗ ∈/ ΩF, tực l tỗn tÔi y ∗ ∈ C sao cho
Vợi mội k ∈N ∗ , °t x k :1− 1 k x ∗ + 1 ky ∗ Vẳ C lỗi v x ∗ , y ∗ ∈C nản x k ∈ C vợi mồi k M°t khĂc, ta cõ
∥x k −x ∗ ∥ = 1 k y ∗ −x ∗ nản x k → x ∗ khi k → ∞.Tứ x ∗ ∈ S d (F, C), ta suy ra ⟨F(y), y−x ∗ ⟩ ≥ 0 vợi mồi y ∈ C °c biằt khi y = x k , ta cõ
Tứ õ vợi mồi k ∈N ∗ , ta cõ
Vẳ dÂy {x k } hởi tử yáu án x ∗ nản lim sup k→∞
⟨F(x k ), y ∗ −x ∗ ⟩ ≤ ⟨F(x ∗ ), y ∗ −x ∗ ⟩, iãu n y trĂi vợi giÊ sỷ ban Ưu ⟨F(x ∗ ), y ∗ −x ∗ ⟩ < 0 Vêy S d (F, C) ⊂ Ω F Trữớng hủp 2 F thọa mÂn iãu kiằn (ii).
LĐy x ∗ ∈ S d (F, C) bĐt kẳ, ta chựng minh x ∗ ∈Ω F
X²t x ∈ C tũy ỵ v °t xt := (1−t)x ∗ +tx vợi t ∈ [0; 1] ta cõ
LĐy giợi hÔn cừa biºu thực cuối khi cho t → 0 + , ta ữủc
Vẳ x∈ C l bĐt kẳ nản ta suy ra x ∗ ∈ ΩF Do õ Sd(F, C)⊂ ΩF.
Vêy vợi mởt trong hai iãu kiằn (i) v (ii), ta ãu cõ S d (F, C) ⊂ Ω F Kát hủp vợi ΩF ⊂ Sd(F, C), ta suy ra Sd(F, C) = ΩF.
Vẳ P y l lỗi õng vợi mồi y ∈ C nản S d (F, C) l lỗi õng Do õ
B i toĂn iºm bĐt ởng
B i to¡n
ành nghắa 1.3.1 (xem [3]) Cho C l mởt têp con lỗi õng khĂc rộng cừa khổng gian Hilbert thỹc H v Ănh xÔ T : C → C B i toĂn iºm bĐt ởng l b i toĂn tẳm x ∗ ∈ C sao cho T(x ∗ ) = x ∗
Bờ ã 1.3.2 (xem [3]) GiÊ sỷ C l têp con lỗi õng v khĂc rộng trong khổng gian Hilbert thỹc H v Ănh xÔ T : C → C l Ănh xÔ khổng giÂn.Náu T cõ iºm bĐt ởng thẳ Fix(T) l têp lỗi õng.
Mối liản hằ vợi b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn
Trong trữớng hủp Ănh xÔ giĂ F cõ dÔng F(x) = x−x + vợi mồi x∈ C, x + ∈ H cho trữợc, theo Bờ ã 1.1.6
X²t Ănh xÔ T :C → H ữủc cho bði
Khi õ, b i toĂn VIP(F, C)trũng vợi b i toĂn tẳm iºm bĐt ởng Fix(T) cõa ¡nh x¤ T.
Thêt vêy, náu x ∗ l iºm bĐt ởng cừa Ănh xÔ T thẳ T(x ∗ ) = x ∗ , khi õ
F(x ∗ ) = 0 v bĐt ¯ng thực (1.5) xÊy ra dĐu bơng Do õ x ∗ ∈ Ω F
M°t khĂc, ta luổn cõ ∥T(x ∗ ) − x ∗ ∥ 2 ≥ 0 Do õ T(x ∗ ) = x ∗ Tực l x ∗ ∈ Fix(T).
Mối liản hằ giỳa b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn v b i toĂn iºm bĐt ởng ữủc nảu trong bờ ã dữợi Ơy.
Bờ ã 1.3.3 (xem [5]) Cho x ∗ ∈ C v λ > 0 Khi õ, x ∗ ∈ Ω F khi v ch¿ khi x ∗ ∈ Fix(T), ð ¥y T(x) =PC(x−λF(x)).
Chựng minh Theo Bờ ã 1.1.6, ta cõ x ∗ ∈ Fix(T) ⇔ x ∗ =T(x ∗ )
Mởt phữỡng phĂp l°p giÊi mởt lợp b i toĂn iºm bĐt ởng vợi Ănh xÔ b¡n co
Chữỡng n y trẳnh b y mởt phữỡng phĂp l°p giÊi mởt lợp b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn vợi têp r ng buởc l têp nghiằm cừa mởt hồ cĂc Ănh xÔ bĂn co trong khổng gian Hilbert thỹc Nởi dung cừa chữỡng ữủc viát trong ba mửc Mửc thự nhĐt giợi thiằu vã b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn trản têp iºm bĐt ởng chung cừa hồ Ănh xÔ bĂn co v trẳnh b y thuêt toĂn xĐp x¿ nghiằm b i toĂn n y Mửc thự hai trẳnh b y chựng minh sỹ hởi tử cừa dÂy l°p ữủc xƠy dỹng tứ thuêt toĂn Mửc thự ba ữa ra v tẵnh toĂn vẵ dử số minh hồa cho sỹ hởi tử mÔnh cừa dÂy l°p Chữỡng trẳnh thỹc nghiằm ữủc viát bơng ngổn ngỳ MATLAB Kián thực cừa chữỡng ữủc viát trản cỡ sð t i liằu [2].
Mởt phữỡng phĂp l°p giÊi mởt lợp b i toĂn iºm bĐt ởng vợi Ănh xÔ bĂn co 14
B i toĂn v thuêt toĂn
Cho C l mởt têp con lỗi, õng, khĂ rộng trong khổng gian Hilbert thỹc
H v Ănh xÔ F :C −→ H Ta x²t b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn sau:
Tẳm x ∗ ∈Ω sao cho ⟨F(x ∗ ), x−x ∗ ⟩ ≥ 0 ∀x ∈Ω, (2.1) trong õ, F l Ănh xÔ cho trữợc v Ω l têp iºm bĐt ởng chung cừa mởt hồ hỳu hÔn cĂc Ănh xÔ bĂn co T j : C −→ C, j = 1,2, , N, N ≥ 1 l mởt số tỹ nhiản Ta x²t b i toĂn (2.1) vợi cĂc giÊ thiát sau Ơy.
(A1) F : C −→ H l β-ỡn iằu mÔnh v L-liản tửc Lipschitz trản C. (A2) T j : C −→ C, j = 1,2, , N l mởt hồ hỳu hÔn cĂc Ănh xÔ γ-bĂn co trản C.
Vợi cĂc iãu kiằn trong GiÊ thiát 2.1.1, b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn (2.1) cõ duy nhĐt nghiằm Chú ỵ rơng, lợp Ănh xÔ bĂn co chựa Ănh xÔ khổng giÂn nhữ mởt trữớng hủp °c biằt. º giÊi b i toĂn (2.1), TrƯn Viằt Anh v cĂc ỗng tĂc giÊ [2] Â ã xuĐt thuêt toĂn sau Ơy.
Thuêt toĂn 2.1.2 (xem [2]) Cho C l mởt têp con lỗi, õng, khĂc rộng trong khổng gian Hilbert thỹc H, cĂc Ănh xÔ F v Tj cho nhữ trong GiÊ thiát 2.1.1.
Bữợc 0 Chồn 0 < à < L 2β 2 v cĂc dÂy tham số {α n }, {λ n } ⊂ (0,1) thọa m¢n
Bữợc 2 Tẳm trong số T j (x n ), j = 1,2, , N, phƯn tỷ xa x n nhĐt, nghắa l jn ∈argmax{∥Tj(xn)−xn∥ :j = 1,2, , N}, yn :=Tj n(xn). Bữợc 3 Tẵnh z n = (1−α n )x n +α n y n
Bữợc 4 Tẵnh xn+1 = PC(zn−λnàF(zn)).
Trong thuêt toĂn n y, ð Bữợc 1, cĂc giĂ trà Tj(xn) ữủc tẵnh ỗng thới v ởc lêp nhau Sỹ hởi cừa dÂy l°p{x n } ữủc sinh ra tứ Thuêt toĂn 2.1.2 ữủc trẳnh b y trong mửc tiáp theo.
Sỹ hởi tử
Bờ ã 2.2.1 (xem t i liằu trẵch dăn trong [2]) Cho {a n } l mởt dÂy số thỹc khổng Ơm GiÊ sỷ vợi mồi số nguyản m, tỗn tÔi số nguyản p sao cho p ≥ m v a p ≤ a p+1 Cho n 0 l mởt số nguyản thọa mÂn a n 0 ≤ a n 0 +1 v xĂc ành, vợi mồi số nguyản n ≥ n0, thẳ τ(n) = max{k ∈ N :n 0 ≤ k ≤ n, a k ≤ a k+1 }.
Khi õ, {τ(n)} n≥n 0 l mởt dÂy khổng giÊm thọa mÂn lim n→∞τ(n) = ∞ v c¡c b§t ¯ng thùc sau l óng: a τ (n) ≤ a τ (n)+1 , an ≤ a τ (n)+1 ∀n ≥ n0. ành lỵ sau Ơy cho ta sỹ hởi tử cừa Thuêt toĂn 2.1.2. ành lỵ 2.2.2 (xem [2]) Cho C l mởt têp con lỗi, õng, trong khổng gian Hilbert thỹc H GiÊ sỷ cĂc iãu kiằn (A1)(A3) trong GiÊ thiát 2.1.1 ữủc thọa mÂn Khi õ dÂy {x n } ữủc cho trong Thuêt toĂn 2.1.2 hởi tử mÔnh án nghiằm duy nhĐt cừa b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn (2.1).
Chựng minh Tứ iãu kiằn (A3), Ω ̸= ∅, b i toĂn (2.1) cõ duy nhĐt nghiằm, kỵ hiằu l x ∗ Vẳ x ∗ ∈ Ω nản x ∗ ∈ Fix(Tj) vợi mồi j = 1,2, , N.
Sỷ dửng tẵnh γ-bĂn co cừa cĂc Ănh xÔ T j , j = 1,2, , N, suy ra
Tứ Bữợc 2 cừa Thuêt toĂn 2.1.2, trong (2.2), lĐyj =j n v y n :=T j n (x n ), ta nhên ữủc
Tứ Bữợc 3 cừa Thuêt toĂn 2.1.2 v (2.3) ta suy ra
≤ ∥xn−x ∗ ∥ 2 −αn(1−γ −αn)∥yn−xn∥ 2 (2.5) Vẳ 0 < α ≤ α n ≤ α 0 v chồn ϵ = βψ > 0 Tứ (2.22) tỗn tÔi n 0 ≥ 0 sao cho bĐt ¯ng thùc
2⟨zn−x ∗ , F(zn)⟩ −λnà∥F(zn)∥ 2 ≥ 2βψ−βψ =βψ (2.23) thọa mÂn vợi mồi n ≥ n0 Khi õ, tứ (2.11) v (2.6), ta ữủc
, kát hủp vợi (2.23) suy ra
∥xn+1 −x ∗ ∥ 2 − ∥xn −x ∗ ∥ 2 ≤ −λnàβψ, vợi mồi n ≥ n0.
! vợi mồi n ≥ n0 Tứ õ, ta nhên ữủc mƠu thuăn àβψ n
Trữớng hủp 2: GiÊ sỷ vợi mồi số nguyản m, tỗn tÔi số nguyản n sao cho n ≥ m v ∥x n −x ∗ ∥ ≤ ∥x n+1 −x ∗ ∥ Theo Bờ ã 2.2.1, tỗn tÔi dÂy khổng gi£m {τ(n)} cõa N sao cho lim n→∞τ(n) = ∞ v bĐt ¯ng thực sau Ơy thọa mÂn vợi mồi n ∈ N ừ lợn:
∥x r(n) −x ∗ ∥ ≤ ∥x r(n)+1 −x ∗ ∥, ∥x n −x ∗ ∥ ≤ ∥x r(n)+1 −x ∗ ∥ (2.24) Kát hủp (2.24) vợi (2.10), ta ữủc
Tứ bĐt ¯ng thực n y, kát hủp vợi tẵnh bà ch°n cừa dÂy{z n } v lim n→∞λn = 0 suy ra n→∞lim ∥z r(n) −x ∗ ∥ − ∥x r(n) −x ∗ ∥
Tứ (2.26) v tẵnh bà ch°n cừa cĂc dÂy {xn}, {yn} v {z¯n} ta ữủc n→∞lim ∥z r(n) −x ∗ ∥ 2 − ∥x r(n) −x ∗ ∥ 2
Nhữ Â chựng minh trong Trữớng hủp 1, ta thu ữủc lim inf n→∞ z r(n) −x ∗ , F (x ∗ )
Tứ Ơy, kát hủp vợi tẵnh bà ch°n cừa dÂy {F (¯zn)} v limn→∞λn = 0 suy ra lim sup n→∞
Sỷ dửng bĐt ¯ng thực
Tứ (2.24) v bĐt ¯ng thực trản, ta ữủc
(2.28) Cho n trong (2.28) dƯn tợi ∞ v sỷ dửng (2.27), ta thu ữủc lim sup n→∞
∥x n −x ∗ ∥ 2 ≤ 0, suy ra x n −→x ∗ iãu n y kát thúc chựng minh ành lỵ 2.2.2 □
Mửc n y ữa ra v tẵnh toĂn mởt vẵ dử minh hồa cho sỹ hởi tử mÔnh cừa dÂy {x n } trong Thuêt toĂn 2.1.2 Chữỡng trẳnh thỹc nghiằm ữủc viát bơng ngổn ngỳ MATLAB v  chÔy thỷ nghiằm trản mĂy tẵnh cĂ nhƠn vợi cĂc thổng số Intel(R) Core(TM) i5-7200U, CPU @ 2.50 GHz, 4 GB RAM.
Ta sỷ dửng cĂc kỵ hiằu sau: n: Số bữợc l°p. x 0 : X§p x¿ ban ¦u. x n : Nghiằm thu ữủc ð bữợc thự n. x ∗ : Nghiằm chẵnh xĂc.
Vẵ dử 2.3.1 X²t b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn (2.1) trong khổng gian hỳu hÔn chiãu:
TêpC = {(x 1 , x 2 ) ⊤ ∈ R 2 |2x 1 −3x 2 ≤ 0} l mởt nỷa m°t ph¯ng trong
R 2 Ró r ng C l têp con lỗi õng khĂc rộng cừa R 2 nh xÔF :C → R 2 xĂc ành bði F(x) = xvợi mồi x= (x1, x2) ⊤ ∈ R 2 Khi õ, F l toĂn tỷ β-ỡn iằu mÔnh v L-Liản tửc Lipschitz trản C vợi β =L = 1. nh xÔ T 1 :C −→ C v T 2 : C −→C lƯn lữủt xĂc ành bði:
3x2 l hai Ănh xÔ khổng giÂn trản C.
Khi â b i to¡n (2.1) trð th nh:
Tẳm x ∗ ∈ Ω sao cho ⟨x ∗ , x−x ∗ ⟩ ≥ 0 ∀x ∈ Ω, (2.4) trong õ Ω têp iºm bĐt ởng chung cừa hai Ănh xÔ khổng giÂn T1 v T2. Trữợc hát ta xĂc ành Ω Vẳ x = T 1 (x) vợi ∀x= (x 1 , x 2 ) ⊤ ∈ C nản
GiÊ sỷ y ∈ Fix(T2) vợi y = (y1, y2) ⊤ ∈ C Khi õ,
Kát hủp vợi iãu kiằn y ∈ C tực l
BƠy giớ ta giÊi b i toĂn (2.4) khi  cõ têp r ng buởc Ω Tứ (2.4) ta thu ữủc
Nhữ vêy, (2.4) trð th nh b i toĂn tẳm x ∗ ∈ Ω sao cho x ∗ cõ chuân nhọ nhĐt Vẳ (0; 0) ⊤ ∈Ω, nản nghiằm cõ chuân nhọ nhĐt l x ∗ = (0; 0) ⊤ BƠy giớ Ăp dửng Thuêt toĂn 2.1.2 vợi iãu kiằn dứng cừa dÂy l°p l :
∥x n −x ∗ ∥ ≤ϵ vợi ϵ = 10 −8 , ta nhên ữủc kát quÊ tẵnh toĂn cho trong cĂc BÊng 2.12.3. n x n = (x n 1 , x n 2 ) ∥x n −x n−1 ∥ ∥x n −x ∗ ∥
BÊng 2.1 Kát quÊ tẵnh toĂn cho Vẵ dử 2.3.1 vợi x 0 = (1, 1) ⊤ , à = 0.1, λ n = 10n+2 1 , α n = 2n+3 n+1
Thới gian tẵnh toĂn cừa mĂy tẵnh án bữợc l°p thự 357 trong BÊng 2.1 l 3.128319 gi¥y. n x n = (x n 1 , x n 2 ) ∥x n −x n−1 ∥ ∥x n −x ∗ ∥
BÊng 2.2 Kát quÊ tẵnh toĂn cho Vẵ dử 2.3.1 vợi x 0 = (0; 2) , à = 0.1 , λ n = 10n+2 1 , α n = 2n+3 n+1
Thới gian tẵnh toĂn án bữợc l°p thự 107 trong BÊng 2.2 l 1.030238 giƠy. n x n = (x n 1 , x n 2 ) ∥x n −x n−1 ∥ ∥x n −x ∗ ∥
BÊng 2.3 Kát quÊ tẵnh toĂn cho Vẵ dử 2.3.1 vợi x 0 = (1; 1) , à = 1.9 , λ n = 100000n+2 1 , α n = 3n+1 4n+3
Thới gian tẵnh toĂn án bữợc l°p thự 200 trong BÊng 2.3 l 1.910579 giƠy.
1 Tứ BÊng 2.1 v 2.2 ta thĐy rơng: khi chồn iºm bưt Ưu x 0 = (0; 2) ⊤ ta thu ữủc nghiằm xĐp x¿ vợi sai số ϵ = 10 −8 cho trữợc vợi số lƯn l°p ẵt hỡn so vợi khi ta chồn iºm bưt Ưu l x 0 = (1; 1) ⊤
2 Tứ BÊng 2.1 v 2.3 ta thĐy rơng khi thay ời tham số à v cĂc dÂy tham số α n , λ n thẳ số lƯn l°p º thu ữủc nghiằm xĐp x¿ vợi sai số cho trữợc cụng thay ời.
Vẵ dử 2.3.3 Ta x²t b i toĂn bĐt ¯ng bián phƠn (2.1) vợi têp C v Ănh xÔ F nhữ trong Vẵ dử 2.3.1 Chồn Ănh xÔ T1 = PC 1, trong õ
Ta thĐy, C 1 = Fix(P C 1 ), nản T 1 = P C1 l Ănh xÔ khổng giÂn Vẳ vêy nõ l Ănh xÔ 1 3 -bĂn co Chồn Ănh xÔ T2 : R 2 −→R 2 ữủc xĂc ành bði:
Theo Vẵ dử 1.1.3, ta  chựng minh ữủc T2 l Ănh xÔ 1 3 -bĂn co, những khổng phÊi l Ănh xÔ khổng giÂn Ngo i ra, Fix(T 2 ) = (−∞,0]ìR.
Kỵ hiằu Ω l têp iºm bĐt ởng chung cừa hai Ănh xÔ T1 v T2 ỗng thới l têp r ng buởc cừa b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn (2.4), trong â
Nghiằm úng cừa b i toĂn (2.4) trong trữớng hủp n y l x ∗ = (0; 0) ⊤ BƠy giớ chồn iºm xuĐt phĂt x 0 = (1; 1) ⊤ , à = 1,9, λn = n+2 1 , αn = 2n+20 n+5 vợi iãu kiằn dứng cừa dÂy l°p l ∥x k −x ∗ ∥ ≤ ϵ, ϵ = 10 −10 ta thu ữủc bÊng tẵnh toĂn sau Ơy: n x n = (x n 1 , x n 2 ) ∥x n −x n−1 ∥ ∥x n −x ∗ ∥
BÊng 2.4 Kát quÊ tẵnh toĂn cho Vẵ dử 2.3.3 vợi x 0 = (1; 1) ⊤ , à = 1, 9 , λ n = n+2 1 , α n = 2n+20 n+5
Thới gian tẵnh toĂn án bữợc l°p thự 56007 trong BÊng 2.4 l 83,005675 gi¥y.
Nhên x²t 2.3.4 Tứ BÊng 2.4 ta thĐy nghiằm xĐp x¿ x n hởi tử vã nghiằm úng x ∗ khi n ừ lợn.
Luên vôn  trẳnh b y mởt phữỡng phĂp l°p giÊi mởt lợp bĐt ¯ng thực bián phƠn vợi têp r ng buởc l têp iºm bĐt ởng chung cừa mởt hồ hỳu hÔn cĂc Ănh xÔ bĂn co cũng hai vẵ dử Ăp dửng trong trữớng hủp °c biằt.
1 Trẳnh b y khĂi niằm Ănh xÔ bĂn co, mối liản hằ vợi Ănh xÔ khổng giÂn.
2 Giợi thiằu b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn, b i toĂn iºm bĐt ởng trong khổng gian Hilbert thỹc v mối liản hằ giỳa chúng.
3 Trẳnh b y phữỡng phĂp l°p xĐp x¿ nghiằm b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn trản têp iºm bĐt ởng chung cừa hồ hỳu hÔn Ănh xÔ bĂn co,chựng minh sỹ hởi tử mÔnh cừa phữỡng phĂp v ữa ra hai vẵ dử số minh hồa cho sỹ hởi tử cừa phữỡng phĂp trong khổng gian Hilbert hỳu hÔn chiãu.
[1] Ho ng Tửy, H m thỹc v GiÊi tẵch h m, NXB Ôi hồc Quốc gia H Nởi, (2005).
[2] T.V Anh, L.D Muu, D.X Son (2018), Parallel Algorithms for solving a class of variational inequalities over the common fixed points set of a finite family of demicontractive mappings, Optimization, 65(6), pp. 12291243.
[3] R.P Agarwal, D O'Regan, D.R Sahu (2000), Fixed Point Theory for Lipschitzian-Type Mappings with Applications, Springer Dordrecht Heidelberg London New York.
[4] D Kinderlehrer, G Stampacchia (1980), An Introduction to Varia- tional Inequalities and Their Applications, Academic Press, New York, NY.
[5] I.V Konnov (2000), Combined Relaxation Methods for Variational In- equalities, Springer, Berlin.
[6] Yamada I (2001), The hybrid steepest-descent method for variational inequalities problems over the intersection of the fixed point sets of