��I HÅC TH�I NGUY�N TR×ÍNG ��I HÅC KHOA HÅC NGUY�N B� �ÆN MËT PH×ÌNG PH�P T�CH GI�I MËT LÎP B�I TO�N C�N B�NG LU�N V�N TH�C S� TO�N HÅC Th¡i Nguy¶n N«m 2018 ��I HÅC TH�I NGUY�N TR×ÍNG ��I HÅC KHOA HÅC[.]
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC NGUYN B ặN MậT PHìèNG PHP TCH GII MậT LẻP BI TON C N BNG LUN VN THC S TON HÅC Th¡i Nguyản - Nôm 2018 I HC THI NGUYN TRìNG I HC KHOA HC NGUYN B ặN MậT PHìèNG PHP TCH GII MậT LẻP BI TON CN BNG Chuyản ngnh: TON ÙNG DƯNG M¢ sè : 8460112 LUN VN THC S TON HC Ngữới hữợng dăn khoa hồc: GS TSKH L DễNG MìU ThĂi Nguyản - Nôm 2018 i Mửc lửc Möc löc Líi c£m ìn Líi nâi ¦u Mởt số kỵ hiằu v chỳ viát tưt Bi toĂn cƠn bơng 1.1 1.2 1.3 i Mët sè kh¡i ni»m cì b£n Sỹ tỗn tÔi nghiằm v cĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa bi toĂn cƠn bơng 14 CĂc trữớng hủp riảng cừa bi toĂn cƠn bơng 18 Thuªt to¡n t¡ch gi£i b i toĂn cƠn bơng ỡn iằu 23 Kát luên Ti liằu tham khÊo 38 39 2.1 2.2 Thuêt toĂn tuƯn tỹ v sü hëi tö Thuªt to¡n song song v sü hëi tư 24 33 LÍI CM ÌN Luªn vôn ny ữủc hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn tên tẳnh v sỹ ch bÊo nghiảm khưc cừa thƯy giĂo GS TSKH Lả Dụng Mữu (Trữớng Ôi hồc Thông Long H Nëi) Tỉi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh v sƠu sưc nhĐt án thƯy TĂc giÊ cụng xin kẵnh gỷi lới cÊm ỡn án cổ giĂo PGS.TS Nguyạn Thà Thu Thõy cịng c¡c th¦y, cỉ gi¡o tham gia giÊng dÔy khõa hồc cao hồc 2016 - 2018, nhỳng ngữới  tƠm huyát giÊng dÔy v trang b cho t¡c gi£ nhi·u ki¸n thùc cì sð Xin gûi líi cÊm ỡn án Ban giĂm hiằu, o tÔo, khoa ToĂn - Tin Trữớng HKH, Ôi hồc ThĂi Nguyản  tÔo iÃu kiằn thuên lủi cho tổi quĂ trẳnh hồc têp tÔi trữớng Xin chƠn thnh cÊm ỡn gia ẳnh, bÔn b ỗng nghiằp v cĂc thnh viản lợp cao hồc toĂn K10A  luổn quan tƠm, ởng viản, giúp ù tổi thới gian hồc têp v quĂ trẳnh lm luên vôn Tuy bÊn thƠn cõ nhiÃu cè gng, song thíi gian v n«ng lüc cõa b£n thƠn cõ hÔn nản luên vôn khõ trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt RĐt mong ữủc sỹ õng gõp quỵ bĂu cừa Quỵ thƯy, cổ ton th bÔn ồc TĂc gi£ LÍI NÂI U Cho H l mët khỉng gian Hilbert thỹc vợi tẵch vổ hữợng h., i v chuân k.k tữỡng ựng Cho C l mởt têp lỗi, âng, kh¡c réng H v f l song h m tø C × C v o R cho f (x, x) = vỵi måi x ∈ C Trong luên vôn ny ta s xt bi toĂn cƠn bơng sau Ơy, ữủc kỵ hiằu l EP(C, f ): Tẳm x∗ ∈ C cho f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C (1) B i to¡n EP(C, f ) cỏn ữủc gồi l bĐt ng thực Ky Fan ghi nhên sỹ õng gõp cừa lắnh vỹc ny BĐt ng thực (1) lƯn Ưu tiản, nôm 1955, ÷đc Nikaido v Isoda dịng trá chìi khỉng hđp tĂc Nôm 1972, Ky Fan gồi (1) l bĐt ng thực minimax v ữa mởt nh lỵ và sỹ tỗn tÔi nghiằm cho bi toĂn ny khổng gian hỳu hÔn chiÃu Ngay nôm õ, nh lỵ ny ữủc m rởng khổng gian vổ hÔn chiÃu bði Br²sis v Stampacchia N«m 1984, L.D Muu gåi (1) l bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn v nghiản cựu tẵnh ờn nh cho bi toĂn ny Nôm 1992, lƯn Ưu tiản (1) ữủc gồi l bi toĂn cƠn bơng ti liằu [9] CĂc nghiản cựu và bi toĂn cƠn bơng cõ th chia theo hai hữợng chẵnh bao gỗm nhỳng nghiản cựu và sỹ tỗn tÔi nghiằm v cĂc thuêt toĂn giÊi bi toĂn cƠn bơng Cho án ngữới ta  ữa nhiÃu phữỡng phĂp giÊi bi toĂn cƠn bơng chng hÔn nhữ phữỡng phĂp chiáu v cĂc bián dÔng cừa nõ Tuy nhiản, tông cữớng sỹ hiằu quÊ ngữới ta  nghiản cùu c¡c ph÷ìng ph¡p t¡ch(splitting method) º gi£i b i to¡n cƠn bơng Mửc ẵch cừa bÊn luên vôn ny l giợi thiằu nhỳng kián thực cỡ bÊn nhĐt cừa bi toĂn cƠn bơng v trẳnh by mởt phữỡng phĂp tĂch giÊi mởt lợp bi toĂn cƠn bơng mợi ữủc cổng bố gƯn Ơy Luên vôn bao gỗm phƯn m Ưu, hai chữỡng, kát luên v danh mửc cĂc ti liằu tham khÊo Chữỡng trẳnh by mởt số khĂi niằm cỡ bÊn liản quan án à ti CĂc vĐn à liản quan án sỹ tỗn tÔi nghiằm v cĂc trữớng hủp riảng cừa bi toĂn cƠn bơng cụng ữủc à cêp án Chữỡng trẳnh by hai thuêt toĂn tĂch giÊi bi toĂn cƠn bơng õ song hm l tờng cừa hai song hm Thuêt toĂn Ưu l mởt thuêt toĂn tĂch tuƯn tỹ, thuêt toĂn sau l mët thuªt to¡n t¡ch song song MËT SÈ KÞ HIU V CHÚ VIT TT H : Khỉng gian Hilbert thüc; X : Khỉng gian Banach thüc; R: Tªp cĂc số thỹc; : Têp rộng; I : nh xÔ ỗng nhĐt; ha, bi = Tẵch vổ hữợng cừa v²c-tì a v b; kxk = Chu©n cõa x; ∂f (x): Dữợi vi phƠn cừa hm f tÔi x; x: Vợi mồi x; xn x: DÂy {xn } hởi tử mÔnh tợi x; xn * x: DÂy {xn } hởi tử yáu tợi x; x := y : Nghắa l, x ữủc nh nghắa bơng y ; PC (x): Hẳnh chiáu cừa x lản C Chữỡng Bi toĂn cƠn bơng Chữỡng ny trẳnh by cĂc khĂi niằm liản quan án bi toĂn cƠn bơng, sỹ tỗn tÔi nghiằm, cĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn v cĂc trữớng hủp riảng quan trồng cừa bi toĂn cƠn bơng CĂc kián thực chữỡng ữủc trẵch tứ ti liằu [1-4], [7], [10] 1.1 Mët sè kh¡i ni»m cì b£n ành ngh¾a 1.1.(xem [4]) C°p (H, h, i) â H l mởt khổng gian tuyán tẵnh thỹc v thọa mÂn c¡c i·u ki»n: h, i : H × H → R (x, y) 7→ hx, yi hx, xi ≥ 0, ∀x ∈ H; hx, xi = ⇔ x = 0; hx, yi = hy, xi , ∀x, y ∈ H ; hλx, yi = λ hx, yi , ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ H ; hx + y, zi = hx, zi + hy, zi , ∀x, y, z ∈ H ÷đc gåi l khỉng gian ti·n Hilbert Khỉng gian ti·n Hilbert ¦y ừ ữủc gồi l khổng gian Hilbert Vẵ dử 1.1 L2[a,b] l khổng gian cĂc hm bẳnh phữỡng khÊ tẵch trản [a,b] vợi f L2[a,b] vổ hữợng cho Rb f (x) dx < +∞ l mët khæng gian Hilbert vợi tẵch a hf, gi = Zb f (x) g (x) dx; a v chu©n kf kL2 [a,b] b Z 2 = f (x)dx a Tr¶n H câ hai kiºu hởi tử chẵnh sau: nh nghắa 1.2.(xem [4]) Xt dÂy {xn}n≥0 v x thuëc khæng gian Hilbert thüc H Khi õ: ã DÂy {xn } ữủc gồi l hởi tử mÔnh tợi x, kỵ hiằu xn x, náu nhữ lim kxn xk = n+ ã DÂy {xn} ữủc gồi l hởi tử yáu tợi x, kỵ hi»u xn * x, n¸u lim hω, xn i = h, xi , n+ H Ta nhưc lÔi cĂc kát quÊ giÊi tẵch hm (xem [4]) liản quan án hai loÔi hởi tử ny Mằnh à 1.1 Náu {xn} hởi tử mÔnh án x thẳ cụng hởi tử yáu án x ã Mồi dÂy hởi tử mÔnh (yáu) Ãu b chn v giợi hÔn theo sỹ hởi tử mÔnh (yáu) náu tỗn tÔi l nhĐt ã N¸u khỉng gian Hilbert thüc H l khỉng gian húu hÔn chiÃu thẳ sỹ hởi tử mÔnh v sỹ hởi tử yáu l tữỡng ữỡng ã Náu {xn }n0 l mët d¢y bà ch°n khỉng gian Hilbert thüc H thẳ ta trẵch ữủc mởt dÂy hởi tử yáu ã Náu {xn }n0 l mởt dÂy b chn khổng gian Hilbert thỹc hỳu hÔn chiÃu H thẳ ta trẵch ữủc mởt dÂy hởi tử mÔnh ã Tiáp theo, ta s nảu mởt số nh nghắa v kát quÊ cỡ bÊn cừa giÊi tẵch lỗi ữủc ph¡t biºu [1], [10] X²t C l tªp kh¡c réng khæng gian Hilbert thüc H ành nghắa 1.3.(xem [10]) Têp C khổng gian Hilbert thỹc H ữủc gồi l mởt têp lỗi náu x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C ành ngh¾a 1.4.(xem [10]) im a ữủc gồi l im biản cừa C náu mồi lƠn cên cừa a Ãu cõ im thuởc C v im khổng thuởc C ; Têp C ữủc gồi l têp õng náu C chựa mồi im biản cừa nõ; Têp C ữủc gồi l mởt têp compact náu C l mởt têp õng v b chn nh nghắa 1.5.(xem [10]) Cho C l mởt têp lỗi cừa khổng gian Hilbert v x ∈ C Nân ph¡p tuy¸n ngoi cừa C ữủc kỵ hiằu v nh nghắa bi: H NC (x) := {w| hw, y − xi ≤ 0, ∀y ∈ C} ành ngh¾a 1.6.(xem [10]) X²t h m f : H → R ∪ {+∞} Khi â: (i) Hm f ữủc gồi l hm lỗi trản H n¸u f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ H, ∀λ ∈ (0, 1); (ii) H m f ÷đc gåi l h m lỗi cht trản H náu f (x + (1 λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x 6= y ∈ H, ∀λ ∈ (0, 1); (iii) H m f ữủc gồi l hm lỗi mÔnh trản H vợi h» sè η > n¸u f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − η λ(1 − λ) kx − yk2 , vỵi måi x, y ∈ H, ∀λ ∈ (0, 1) Dữợi Ơy l mởt số vẵ dử quen thuởc và hm lỗi Vẵ dử 1.2 Hm affine f (x) = aT x + b, â a ∈ Rn, b R l hm lỗi Nõ thoÊ mÂn ng thùc f (λx + (1 − λ)y) = λf (x) + (1 )f (y), Do õ nõ khổng lỗi cht Cho C 6= l mởt têp lỗi H m ch¿ °t δC := ∀x, y ∈ H, λ ∈ (0, 1) x ∈ C +∞ x ∈ /C h m ch¿ cõa C Do C lỗi nản C l hm lỗi Hm khoÊng c¡ch Gi£ sû C l mët tªp âng, kh¡c réng H m kho£ng c¡ch Ta nâi δC l dC (y) ÷đc nh nghắa nhữ sau: dC (y) = inf kx yk x∈C