ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ THU THỦY QUAN HỆ HAI NGÔI VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC [.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - BÙI THỊ THU THỦY QUAN HỆ HAI NGƠI VÀ MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - BÙI THỊ THU THỦY QUAN HỆ HAI NGÔI VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Nguyên An THÁI NGUYÊN - 2019 Möc löc Mð ¦u Chữỡng Kián thùc chu©n bà 1.1 Quan h» hai ngæi 1.2 Ôi sè tê hñp Ch÷ìng Quan h» hai ngæi v mët sè b i to¡n 15 2.1 ¸m mët sè quan h» hai ngỉi °c bi»t 2.2 nh xÔ v mởt sè b i to¡n li¶n quan 2.3 PhƠn hoÔch, số Stirling loÔi hai 2.4 ám số quan hằ tữỡng ữỡng v quan h» hai ngỉi bc c¦u 15 23 27 32 Kát luên 39 T i li»u tham kh£o 39 i Mð Ưu Cho A, B l cĂc têp hủp Mởt quan hằ hai ngổi tứ têp A án têp B l mởt têp cừa têp tẵch à cĂc A ì B °c bi»t, mët quan h» hai ngæi tø A án A ữủc gồi l mởt quan hằ hai ngổi trản A Náu R l mởt quan hằ hai ngổi trản têp A v (a, b) R thẳ ta k½ hi»u aRb ( åc l a câ quan h» R vợi b) Quan hằ hai ngổi xuĐt hiằn nhiÃu ngnh khĂc cừa toĂn hồc: Ôi số, Số hồc, Hẳnh hồc, Lỵ thuyát ỗ th, Khoa hồc mĂy tẵnh, Mởt trữớng hủp c biằt cừa quan hằ hai ngổi CĂc quan hằ hai ngổi in hẳnh chữỡng trẳnh phờ thổng l "quan hằ chia hát", "quan hằ ỗng dữ", "quan hằ lợn hỡn", "quan hằ song song", hm số, Ta thữớng quan tƠm án cĂc tẵnh chĐt sau cừa quan hằ hai ngổi phÊn xÔ (reflexive), ối xựng (symmetric), bưc cƯu (transitive), bĐt ối xựng (asymmetric), phÊn ối xựng (antisymmetric), bĐt phÊn xÔ (irreflexive) Mửc ẵch chẵnh cừa luên vôn l tẳm hiu mởt số bi toĂn tê hđp v· quan h» hai ngỉi T i li»u ch½nh cừa luên vôn l giÊi mởt số bi têp [7], [2] v bi bĂo [6] Luên vôn ữủc chia lm hai chữỡng Chữỡng trẳnh by mởt số kián thực chuân b và lỵ thuyát quan hằ hai ngổi, quan hằ tữỡng ữỡng, quan hằ thự tỹ, Ănh xÔ v m Ưu và lỵ thuyát tờ hủp Tuy l kián thực chuân b cho Chữỡng ối vợi tĂc giÊ nhiÃu kián thực cừa chữỡng l kián thực mỵi v câ nhi·u ùng dưng gi£i to¡n phê thổng Chữỡng ny chừ yáu tham khÊo theo cĂc ti li»u [1, 2] Ch÷ìng theo t i li»u [6, 7] l chữỡng chẵnh cừa luên vôn trẳnh by và mởt số bi toĂn liản quan án quan hằ hai ngổi Bưt Ưu l bi toĂn ám mởt số quan hằ hai ngổi c biằt Cụng cƯn phÊi nõi thảm rơng quan h» hai ngỉi xu§t ph¡t tø nhúng v§n · toĂn sỡ cĐp nhữ "lỵ thuyát chia hát", "lỵ thuyát ỗng dữ" vẳ khuổn khờ cừa luên vôn t¡c gi£ ch¿ khai th¡c mët sè b i to¡n cĐp liản quan án bi toĂn tờ hủp Mởt lữu ỵ cừa luên vôn l tĂc giÊ cố gưng tẳm hiu nhiÃu cĂch giÊi, cĂch tiáp cên khĂc cừa mởt bi toĂn, mởt vĐn à ám quan hằ hai ngổi l Ănh xÔ v cĂc trữớng hủp c biằt ( ỡn Ănh, song Ănh, ton Ănh) ữủc trẳnh by mửc thự hai cừa chữỡng Viằc nghiản cựu số ton Ănh gủi ỵ cho ta tẳm hiu số Stirling loÔi hai v bi toĂn ám số phƠn hoÔch mởt têp hủp VĐn à ny ữủc trẳnh by mửc thự ba cừa chữỡng Mửc cuối cừa chữỡng tẳm hiu số quan hằ tữỡng ữỡng, số quan hằ bưc cƯu (liản hằ vợi quan hằ thự tỹ) theo bi bĂo [6] Chú ỵ rơng số quan hằ tữỡng ữỡng trản têp n phƯn tỷ chẵnh l số phƠn hoÔch, số Bell thự n Trong quĂ trẳnh lm luên vôn, tổi nhên ữủc sỹ hữợng dăn v giúp ù tên tẳnh cừa TS TrƯn Nguyản An - Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản Tổi xin ữủc by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án thƯy Tổi xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh án quỵ thƯy cổ giÊng dÔy lợp Cao hồc khõa Cao hồc ToĂn khõa 11B (2017-2019) - trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản,  truyÃn thử án cho tổi nhiÃu kián thực v kinh nghiằm nghiản cựu khoa hồc Lới ci cịng, t¡c gi£ mn d nh º tri ¥n bè mà v gia ẳnh vẳ  chia s nhỳng khõ khôn tĂc giÊ hon thnh cổng viằc hồc têp cừa mẳnh ThĂi Nguyản, ngy 28 thĂng 10 nôm 2019 TĂc giÊ Bũi Th Thu Thừy Chữỡng Kián thực chuân b 1.1 Quan hằ hai ngổi nh nghắa 1.1.1 Mởt quan hằ hai ngổi tứ têp A án têp B l mởt têp cừa têp tẵch à c¡c A × B °c bi»t, mët quan h» hai ngổi tứ A án A ữủc gồi l mởt quan h» hai ngỉi tr¶n A Nâi c¡ch kh¡c, mët quan hằ hai ngổi trản mởt têp A l mởt têp cừa têp A2 Ta thữớng kẵ hiằu cĂc quan h» hai ngỉi b¬ng c¡c c¡i R (hay S, T, U, V, ) N¸u R l mởt quan hằ hai ngổi trản têp A v (a, b) R thẳ ta kẵ hiằu aRb ( ồc l a câ quan h» R vỵi b, ho°c nâi tt l a R b) Khi (a, b) ∈ / R thẳ ta viát aRb ( ồc l a khổng cõ quan hằ R vợi b) Ta thữớng quan tƠm án cĂc tẵnh chĐt sau cừa quan hằ hai ngổi nh nghắa 1.1.2 Gi£ sû R ⊆ A × A l quan h» hai ngỉi Quan h» hai ngỉi R ÷đc gåi l (i) PhÊn xÔ (reflexive) náu a A, ((a, a) ∈ R); (ii) èi xùng (symmetric) n¸u ∀a, b ∈ A, ((a, b) ∈ R th¼ (b, a) ∈ R); (iii) Bưc cƯu (transitive) náu a, b, c A, ((a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R thẳ (a, c) R); (iv) BĐt ối xựng (asymmetric) náu a, b A, ((a, b) R thẳ (b, a) ∈/ R); (v) Ph£n èi xùng (antisymmetric) n¸u ∀a, b ∈ A, [((a, b) ∈ R∧(b, a) ∈ R) thẳ a = b]; (vi) BĐt phÊn xÔ (irreflexive) náu a A, ((a, a) / R) Vẵ dử 1.1.3 Cho A = {1, 2, 3} X²t c¡c quan h» R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}, R2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3)}, R3 = A × A, R4 = {(2, 2), (3, 3), (1, 2)} Ta R1 R2 R3 R4 PhÊn xÔ T F T F èi xùng T F T F Bc c¦u T T T T cõ vợi T kỵ hiằu True, F kỵ hiằu False Vẵ dử 1.1.4 Cho A = {1, 2, 3, 4} X²t c¡c quan h» R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 1), (4, 3), (3, 2)}, R2 = A × A, R3 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 1), (4, 3), (4, 1), (3, 2)}, R4 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 1), (4, 3), (3, 4)} PX X P X X BPX BC R1 R2 R4 R5 F T T T F T T T F F F F T F T F F F F F F T T T Chú ỵ ta viát tưt: PX = PhÊn xÔ, X = ối xựng, P X = PhÊn ối xựng, BPX = BĐt phÊn xÔ, BC = Bưc cƯu nh nghắa 1.1.5 (i) Mởt quan hằ hai ngổi trản têp A ữủc gồi l quan hằ tữỡng ữỡng náu nõ cõ cĂc tẵnh chĐt phÊn xÔ, ối xùng v bc c¦u Theo truy·n thèng, c¡c quan h» tữỡng ữỡng thữớng ữủc kẵ hiằu bi dĐu (ii) Cho l mởt quan hằ tữỡng ữỡng trản têp A Vợi mội a A, ta gồi lợp tữỡng ữỡng cừa a ối vợi quan hằ tữỡng ữỡng ∼, k½ hi»u bði [a]∼ (hay [a], hay a, hay C(a)), õ l mởt têp cừa A ữủc xĂc ành bði [a] = {b ∈ A | b ∼ a} ỗng thới, têp hủp tĐt cÊ cĂc lợp tữỡng ữỡng cừa cĂc phƯn tỷ A ữủc gồi l têp thữỡng cừa A theo quan hằ tữỡng ữỡng , v ữủc kẵ hiằu l A/ Nhữ vêy, ta câ biºu di¹n A/ ∼ = {[a] | a ∈ A} V½ dư 1.1.6 Cho m l mët sè tỹ nhiản lợn hỡn Trản têp Z cĂc số nguyản ta nh nghắa quan hằ hai ngổi R nhữ sau: vỵi måi a, b ∈ Z, ta nâi aRb ⇔ m|(a − b) Quan h» n y ÷đc gåi l quan hằ ỗng theo mổ un m (hay cỏn gồi l quan hằ ỗng modulo m) Khi a ỗng b theo mổ un m, ta thữớng kẵ hiằu l a ≡ b (mod m) Ta th§y â l mởt quan hằ tữỡng ữỡng trản têp Z Vợi a Z, lợp tữỡng ữỡng cừa a ữủc kẵ hiằu bi a, v ữủc gồi l mởt lợp thng theo mổ un m vợi Ôi diằn l a Têp thữỡng cừa Z ối vợi quan hằ ỗng modulo m ữủc kẵ hiằu bi Zm v ữủc gồi l têp cĂc lợp thng theo mổ un m (hay têp hủp cĂc lợp thng modulo m) Cho a Z, â ta câ a = {b ∈ Z | b ≡ a (mod m)} = {b ∈ Z | b a chia hát cho m} Vợi mội a Z  cho, ta luổn cõ biu diạn a = mq+r â ≤ r ≤ m−1 (theo nh lỵ php chia vợi dữ) Khi õ b a = b − mq − r, n¶n ta câ a = {b ∈ Z | b−mq−r chia h¸t cho m} = {b ∈ Z | b−r chia h¸t cho m} = r Hỡn nỳa, vợi mồi số tỹ nhiản i, j cho ≤ i < j ≤ m − ta luæn câ < j − i < m nản j i khổng chia hát cho m Do â i 6≡ j (mod m), n¶n i 6= j Vẳ thá têp Zm gỗm m phƯn tû ỉi mët kh¡c nh÷ sau: Zm = {0, 1, , m 1} Chú ỵ rơng náu a = mq + r thẳ a = r Vẳ thá vợi q1, , qm l m số nguyản tuý ỵ ta luổn cõ Zm = {q1 m, q2 m + 1, , qm m + m 1} Chng hÔn Z3 = {0, 1, 2} = {6, 2, 8} nh lỵ dữợi Ơy cho ta ỵ nghắa cừa cĂc quan hằ tữỡng ữỡng Trữợc phĂt biu nh lỵ, cƯn khĂi niằm sau nh nghắa 1.1.7 Cho A l mởt têp hủp Ta gồi mởt phƠn hoÔch (hay mởt sỹ chia lợp) trản A l mởt php phƠn chia tªp A th nh mët hå c¡c tªp kh¡c réng {Ai}i∈I tho£ m¢n c¡c i·u ki»n: (i) Ai ∩ Aj = ∅ vỵi måi i, j ∈ I, i 6= j S (ii) A = Ai iI nh lỵ 1.1.8 Cho A l mởt quan hằ tữỡng ữỡng trản tªp A Khi â c¡c ph¡t biºu sau l óng (i) [a] 6= ∅ vỵi måi a ∈ A S (ii) A = [a] a∈A (iii) [a] = [b] ho°c [a] ∩ [b] = ∅ vỵi måi a, b ∈ A Vẳ thá quan hằ tữỡng ữỡng xĂc nh mởt phƠn hoÔch trản A Ngữủc lÔi, náu {Ai}iI l mởt phƠn hoÔch trản A thẳ tỗn tÔi nhĐt mởt quan hằ tữỡng ữỡng trản A cho mội Ai l mởt lợp tữỡng ữỡng nh nghắa 1.1.9 (i) Mởt quan hằ hai ngổi trản mởt têp hủp ữủc gåi l quan h» thù tü n¸u nâ câ c¡c tẵnh chĐt phÊn xÔ, phÊn ối xựng, v bưc cƯu Quan hằ thự tỹ thữớng ữủc kẵ hiằu bi dĐu "≤" ( åc l "nhä hìn ho°c b¬ng") Khi a ≤ b thẳ ta cụng viát b a (ii) Khi trản mởt têp hủp A cõ mởt quan hằ thự tỹ thẳ ta nõi A l mởt têp hủp ữủc sưp thự tỹ bi Vẵ dử (i) Quan hằ nhọ hỡn hoc bơng thổng thữớng (ta  biát phờ thổng) l quan hằ thự tỹ trản cĂc têp N, Z, Q, v R (ii) Quan hằ bao hm trản têp 2A (têp tĐt cÊ c¡c tªp cõa A) l mët quan h» thù tỹ (iii) Quan hằ chia hát "|" trản têp N = N \ {0} l mët quan h» thù tü (iv) Xt A l têp tũy ỵ cừa têp N Khi õ quan hằ chia hát "|" trản têp A cơng l mët quan h» thù tü tr¶n A Mưc ci giỵi thi»u lỵp quan h» hai ngỉi °c biằt l Ănh xÔ nh nghắa 1.1.10 Cho R l quan h» ngỉi tø A ¸n B Khi õ miÃn xĂc nh cừa R (domain of R), kỵ hiằu D(R) ữủc nh nghắa l têp {x|x A; ∃y ∈ A, (x, y) ∈ R} nh cõa R (image of R), kỵ hiằu im(R) ữủc nh nghắa l tªp {y|y ∈ B, ∃x ∈ A, (x, y) ∈ R} V½ dư 1.1.11 Cho A = {4, 5, 7, 8, 9} v B = {16, 18, 20, 22}, R = {(4, 16), (4, 20), (5, 20), (8, 16), (9, 18)} Khi â R l quan h» ngæi tø A ¸n B , D(R) = {4, 5, 8, 9}, im(R) = {16, 18, 20} ành ngh¾a 1.1.12 (i) Cho A, B l c¡c tªp kh¡c réng Mët quan hằ hai ngổi f tứ A án B ữủc gồi l mởt Ănh xÔ náu (1) D(f ) = A (tùc l ∀a ∈ A, ∃b ∈ B, (a, b) ∈ f ), (2) Vỵi måi (a, b), (a, b) ∈ f, a = a k²o theo b = b Mởt cĂch tữỡng ữỡng mởt Ănh xÔ f tứ têp A án têp B l mởt quy tưc cho tữỡng ựng mội phƯn tỷ a A vợi mởt phƯn tỷ nhĐt b B Khi õ ta viát f (a) = b, ta gåi b gåi l £nh cừa phƯn tỷ a bi Ănh xÔ f ; v ta gồi a l mởt tÔo Ênh cừa phƯn tỷ b Têp A ữủc gồi l têp nguỗn, têp B gồi l têp ẵch cừa Ănh xÔ f diạn tÊ Ănh xÔ f nhữ trản ngữới ta kẵ hi»u: f A→ − B, a 7→ f (a) = b, ho°c f : A → B, a 7→ f (a) = b, ho°c f :A→B a 7−→ f (a) = b (ii) Ta quy ữợc rơng cõ mởt Ănh xÔ rộng tứ têp án têp B bĐt kẳ (iii) Cho Ănh xÔ f : A B, a 7→ f (a) Ta gåi tªp hđp G(f ) cõa A × B x¡c ành bði G(f ) = {(a, f (a)) | a A} l ỗ th cừa Ănh xÔ f (iv) Hai Ănh xÔ ữủc gồi l bơng náu chúng cõ chung nguỗn, chung ẵch v chung ỗ th Nõi cĂch khĂc, cho f : A → B v g : A0 → B l hai Ănh xÔ, õ f = g n¸u A = A0, B = B v f (a) = g(a) vợi mồi a A nh nghắa 1.1.13 Cho f : A −→ B, a 7→ b = f (a) l mởt Ănh xÔ (i) f ữủc gåi l ìn ¡nh n¸u f (a) = f (a0) k²o theo a = a0 vỵi måi a, a0 ∈ A (ii) f ữủc gồi l ton Ănh náu vợi mồi b B ko theo tỗn tÔi a A º f (a) = b (iii) f ÷đc gåi l song ¡nh n¸u nâ vøa l ìn ¡nh vøa l to n ¡nh