(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp proper generallzed decomposition cho bài toán phi tuyến(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp proper generallzed decomposition cho bài toán phi tuyến(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp proper generallzed decomposition cho bài toán phi tuyến(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp proper generallzed decomposition cho bài toán phi tuyến(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp proper generallzed decomposition cho bài toán phi tuyến(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp proper generallzed decomposition cho bài toán phi tuyến(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp proper generallzed decomposition cho bài toán phi tuyến(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp proper generallzed decomposition cho bài toán phi tuyến(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp proper generallzed decomposition cho bài toán phi tuyến(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp proper generallzed decomposition cho bài toán phi tuyến(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp proper generallzed decomposition cho bài toán phi tuyến(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp proper generallzed decomposition cho bài toán phi tuyến(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp proper generallzed decomposition cho bài toán phi tuyến(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp proper generallzed decomposition cho bài toán phi tuyến
LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tp Hồ Chí Minh, ngày … tháng … năm 201… (Ký tên ghi rõ họ tên) ii CẢM TẠ Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô khoa Xây Dựng Cơ Học Ứng Dụng khoa Cơ Khí Chế Tạo Máy trường Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật TP.Hồ Chí Minh tận tình giúp đỡ, hướng dẫn tạo điều kiện thuận lợi để hồn thành luận văn tốt nghiệp Đặc biệt, tơi xin chân thành cảm ơn thầy TS Phan Đức Huynh, dù bận rộn với công việc giảng dạy thầy dành thời gian quan tâm, hướng dẫn, bảo tận tình cho tơi suốt q trình thực luận văn Tôi chân thành cám ơn anh Lê Quốc Cƣờng nhiệt tình giúp đỡ tơi suốt trình nghiên cứu iii ABSTRACT In numerical approximate method, for highly exact requirement the ones often mesh space and time very smooth, which common discrete methods spend a lot of time for solving that model This studying presents a discretization technique, the Proper Generalized Decomposition (PGD), and use its ability to solve the non-linear problem such as heat tranfer and fluid flow Applying PGD to solve Poisson equation of the two-dimensional incompressible fluid and comparing to the Successive over-relaxation (SOR), the result show that PGD is faster than SOR about 200 times with the element number is about 10000 TÓM TẮT Trong phương pháp xấp xỉ số, việc rời rạc mơ hình phương pháp rời rạc thơng thường địi hỏi độ xác cao khơng gian thời gian nhiều chi phí tính tốn Trong nghiên cứu này, tơi trình bày kỹ thuật rời rạc gọi phương pháp Proper Generalized Decomposition (PGD), khả sử dụng để giải toán phi tuyến tốn truyền nhiệt, tốn dịng chảy Ứng dụng phương pháp PGD để giải phương trình Poisson dịng chảy không nén chiều so sánh với phương pháp Successive Over-Relaxation (SOR), kết cho thấy giải phương pháp PGD nhanh phương pháp SOR khoảng 200 lần với số phần tử khoảng 10000 iv MỤC LỤC TRANG Trang tựa Quyết định giao đề tài i Lý lịch cá nhân ii Lời cam đoan iii Cảm tạ iv Tóm tắt v Mục lục vi Danh sách hình viii Chƣơng TỔNG QUAN 1.1 Tổng quan chung lĩnh vực nghiên cứu 1.2 Các nghiên cứu ngồi nước cơng bố 1.3 Nội dung nghiên cứu 1.4 Nhiệm vụ luận văn Chƣơng PHƢƠNG PHÁP PROPER GENERALIZED DECOMPOSITION 2.1 Giới thiệu phương pháp Proper Generalized Decomposition 2.2 Cơ sở lý thuyết phương pháp Proper Generalized Decomposition Chƣơng ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP PROPER GENERALIZED DECOMPOSITION CHO BÀI TOÁN PHI TUYẾN 14 3.1 Bài toán 1D 14 3.1.1 Bài tốn dịng chảy ổn định theo chiều ống 14 3.1.2 Bài toán truyền nhiệt 1D 19 3.2 Bài tốn truyền nhiệt miền hình chữ nhật 2D-Phương trình Poisson 25 3.2.1 Mơ hình tốn 25 3.2.2 Giải phương pháp PGD 26 3.2.3 Giải phương pháp giải tích 29 3.2.4 Kết - nhận xét 30 v 3.3 Bài tốn dịng lưu chất hai chiều (2D) 31 3.3.1 Các phương trình mơ tả dịng lưu chất 2D 31 3.3.1.1 Phương trình động lượng Navier-Stokes 31 3.3.1.2 Phương trình liên tục (Continuity equation) 32 3.3.1.3 Điều kiện ràng buộc toán 2D 32 3.3.2 Rời rạc phương trình Navier-Stokes 34 3.3.3 Giá trị biên cho phương trình rời rạc 41 3.3.3.1 Điều kiện không trượt (No-slip condition) 41 3.3.3.2 Điều kiện trượt tự (Free-slip condition) 42 3.3.3.3 Điều kiện dòng chảy (Outflow condition) 43 3.3.3.4 Điều kiện dòng chảy vào (Inflow condition) 43 3.3.3.5 Điều kiện biên tuần hoàn (Periodic boundary condition) 43 3.3.4 Rời rạc đạo hàm theo thời gian 44 3.3.5 Thuật tốn cho việc giải tốn dịng lưu chất 2D 44 3.4 Bài toán tính vận tốc dịng lưu chất miền tự 51 3.4.1 Mơ tả tốn 51 3.4.2 Dữ liệu toán 51 3.4.3 Phân tích tốn 52 3.4.4 Tiến hành tính toán 53 3.4.5 Kết 53 3.4.6 Nhận xét 57 3.5 Bài tốn tính vận tốc dịng lưu chất miền có vật cản 58 3.5.1 Mơ hình tốn 58 3.5.2 Dữ liệu toán 58 3.5.3 Điều kiện biên 58 3.5.4 Kết 59 Chƣơng PHÁT TRIỂN GIẢI THUẬT PROPER GENERALIZED DECOMPOSITION CHO BÀI TOÁN CHIỀU (2D) 62 4.1 Bài tốn dịng chảy lưu chất 2D 62 vi 4.2 Phương trình truyền nhiệt 2D 71 Chƣơng KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN 78 5.1 Kết luận 78 5.2 Hướng phát triển 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO 80 PHỤ LỤC 81 vii DANH SÁCH CÁC HÌNH HÌNH TRANG Hình 3.1 Mơ hình tốn 14 Hình 3.2 Lực tác động lên bề mặt vi phân khối lượng 15 Hình 3.3 Kết mô tả vận tốc chảy ống phương pháp PGD 19 Hình 3.4 Nhiệt độ tồn miền phương pháp giải tích, PGD sai phân 23 Hình 3.5 Kết giải theo giải tích PGD với lưới miền tính tốn lớn 24 Hình 3.6 Kết giải theo FDM với lưới lớn 24 Hình 3.7 Mơ hình tốn truyền nhiệt miền hình chữ nhật 2D 25 Hình 3.8 Nhiệt truyền miền hình chữ nhật (Giải tích PGD) 30 Hình 3.9 So sánh độ xác phương pháp PGD giải tích 31 Hình 3.10 Thành phần vận tốc pháp tiếp tuyến so với biên 32 Hình 3.11 Miền dòng chảy miền biên dòng chảy 33 Hình 3.12 Số lưới khảng cách lưới miền dòng chảy 35 Hình 3.13 Các loại sai phân hữu hạn 35 Hình 3.14 Rời rạc sử dụng thuật tốn Donor-cell 36 Hình 3.15 Lưới so le 37 Hình 3.16 Giá trị cho trình rời rạc theo u phương trình động lượng 39 Hình 3.17 Giá trị biên khơng trượt theo giá trị hai bên biên 42 Hình 3.18 Giá trị biên trượt tự theo giá trị hai bên biên 42 Hình 3.19 Mơ hình tốn dịng lưu chất miền tự 51 Hình 3.20 Đường dòng miền lưu chất thời điểm t=1 SOR 53 Hình 3.21 Trường áp suất miền lưu chất t=1 SOR 54 Hình 3.22 Đường dịng miền lưu chất thời điểm t=1 PGD 54 Hình 3.23 Trường áp suất miền lưu chất thời điểm t=1 PGD 55 Hình 3.24 Trường áp suất thời điểm t=3.039s PGD 56 viii Hình 3.25 Trường áp suất thời điểm t=3.039s SOR 56 Hình 3.26 Thời gian tính tốn cho giải thuật với tf=0.2 Matlab 57 Hình 3.27 Mơ hình tốn miền có vật cản 58 Hình 3.28 Streamline thời điểm t=5 PGD 59 Hình 3.29 Contour Áp suất thời điểm t=5 PGD 60 Hình 3.30 Streamline thời điểm t=5 SOR 60 Hình 3.31 Contour Áp suất thời điểm t=5 SOR 61 ix Chƣơng TỔNG QUAN 1.1 Tổng quan chung lĩnh vực nghiên cứu Trước phát triển vượt bậc máy tính điện tử ngành tin học, việc ứng dụng phương pháp số hỗ trợ máy tính để giải toán học trở nên phổ biến cần thiết tính tính tốn vượt trội máy tính Vì phương pháp tính số phát triển mạnh mẽ trở thành công cụ hữu hiệu thiếu giải toán khoa học – kỹ thuật (phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp biên nhúng, …) Việc áp dụng phương pháp số cho phù hợp với tốn cần giải quan trọng Vì ảnh hưởng tới thời gian hồn thành tốn chi phí tính tốn Mỗi phương pháp số khác có ưu nhược điểm khác tùy tốn mà ta chọn phương pháp thích hợp yêu cầu phải thỏa mãn tiêu chuẩn sau: kết xác cao, ổn định phương pháp thời gian tính tốn phải nhanh Trong lĩnh vực thiết kế khoa học, đôi lúc ta gặp phải số mơ hình định nghĩa khơng gian đa chiều (có liên quan đến học lượng tử mơ tả tính chất vật liệu theo thuyết động học) điều làm cho vấn đề chiều thứ nguyên trở nên phức tạp áp dụng kỹ thuật chia lưới rời rạc thông thường Ngay mơ hình tạm thời định nghĩa không gian ba chiều phải tốn nhiều thời gian với bước thời gian nhỏ Hơn mơ hình theo tiêu chuẩn trở thành đa chiều thơng số thay đổi Vì việc phát triển phương pháp nhằm giải tốn cách nhanh chóng cần thiết Phương pháp Proper Generalized Decomposition (PGD) kỹ thuật rời rạc hóa tốn mạnh mẽ thường sử dụng cho phương trình phi tuyến phức tạp lưu chất, tính tốn cho vật liệu khơng đồng Ta biết toán đa chiều có độ phức tạp tỷ lệ thuận tuyến tính với số chiều khơng gian, nghĩa tốn xét nhiều chiều không gian phức tạp Thông thường để có kết có độ xác cao ta phải tăng độ mịn phương pháp chia lưới rời rạc Tuy nhiên sử dụng phương pháp PGD ta tách riêng biến tốn giải độc lập nhờ tăng tốc độ tính tốn mà giữ ngun độ mịn lưới, hay nói cách khác phương pháp PGD có tảng dựa sở lý thuyết phương pháp tách biến Phương pháp tách biến hiểu sau: N u ( x1 xD ) Fi ( x1 ) Fi D ( xD ) (1.1) i 1 Hệ tọa độ 𝑥𝑖 (𝑖 = 1, … , 𝐷) chiều định nghĩa khơng gian tốn Các tọa độ 𝑥𝑖 biểu diễn cho biến thời gian tốn Kỹ thuật tách biến ứng dụng rộng rãi vài thập kỷ gần lĩnh vực hóa học lượng tử Phương pháp PGD gần giới thiệu Giáo sư F.Chinesta cộng ứng dụng để giải cho dòng lưu chất, truyền nhiệt vật liệu đồng nhất, composite… mà phương trình vi phân đặc trưng mơ tả cho tốn thường có dạng phi tuyến Trong nghiên cứu này, tác giả sử dụng phương pháp PGD để ứng dụng cho tốn phi tuyến, tính tốn lập trình hỗ trợ phần mềm Matlab 1.2 Các nghiên cứu ngồi nƣớc cơng bố Phương pháp chưa thấy công bố rộng rãi Việt Nam, sau tác giả xin trình bày số cơng trình nghiên cứu cơng bố nước ngồi: [1] Francisco Chinesta, Amine Ammar, Elías Cueto, Recent Advances and New Challenges in the Use of the Proper Generalized Decomposition for Solving Multidimensional Models, 12/2009 Nội dung báo: báo trình bày phương pháp PGD để ứng dụng cho việc giải mơ hình có chiều khơng gian lớn Các mơ hình đa chiều rời rạc hóa khơng gian thời gian, hệ tọa độ tương đương Sau sử dụng phương pháp PGD để giải mơ hình Một số nhận xét: Việc chọn giá trị khởi động chọn hàm (hoặc giá trị lưới), thêm nhiều vịng lặp để tốn hội tụ Trong tính lặp, phải đảm bảo diều kiện ràng buộc tốn trì (tức bước lặp cần xét lại điều kiện để điều chỉnh hàm R,S,Wcho phù hợp) Với kiểu toán 2D phức tạp trên, để giải phương trình vi phân tìm R, S, W tơi đề xuất việc giải phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) Vì phương pháp Phần tử hữu hạn với lời giải giả định cho trước dễ dàng việc tính phương trình vi phân nhiều bậc tự dạng couple 77 Chƣơng V KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI 5.1 Kết luận Với đề tài “Phương pháp Proper Generalized Decomposition cho toán phi tuyến”, tác giả ứng dụng phương pháp PGD để giải toán phi tuyến mang lại kết khả quan độ xác thời gian tính tốn so với phương pháp cũ (phương pháp SOR) trước đây, cụ thể sau: Đối với toán thực tế dẫn nhiệt thanh, phẳng, tốn dịng chảy qua kênh, hay ống thẳng mà thành phần nhiệt độ, vận tốc… thay đổi theo phương – đơn giản hoá thành toán chiều mà chương trước trình bày Cho thấy ưu điểm phương pháp PGD là: làm việc miền lưới vuông với độ lớn ô lưới tuỳ ý Chia lưới cho phù hợp với yêu cầu mặt xác ln mối quan tâm hàng đầu tốn kỹ thuật, đơi gây cản trở cho việc giải toán nhằm tìm đến hội tụ lời giải phương pháp PGD cho phép giải toán với miền lưới khơng giới hạn (lưới chia thưa đối cới toán thực đơn giản, lưới mịn cho tốn mà biên phức tạp hơn) Bài tốn hai chiều mơ tả chương III ví dụ kiểm tra khả tính tốn phương pháp PGD so với phương pháp cũ (cụ thể Successive over relaxation – SOR) cho thấy: Với phương pháp cũ(phương pháp SOR), số phương trình cần tính tỉ lệ với miền lưới theo: Nx1 Nx2 Nxn Trong đó: xi (i = 1…n) số biến lời giải Nxi số nghiệm cần tìm theo biến xi Với phương pháp PGD số phương trình cần tính là: 78 Nx1 Nx2 Nxn Từ cho thấy với miền tính tốn chia lưới mịn, thời gian tính tốn phương pháp PGD cải thiện đáng kể so với phương pháp cũ Cụ thể, chương với tốn dịng chảy hai chiều đơn giản, Phương pháp PGD cho thời gian giải nhanh nhiều so với phương pháp SOR (hình 3.26) phương pháp PGD có khả tính tốn vượt trội mặt thời gian tính so với phương pháp cổ điển trước với độ xác tương đương, hay với nhận xét rằng: phương pháp Proper Generalized Decomposition có khả tăng tốc độ giải toán kỹ thuật, đặc biệt toán phi tuyến 5.2 Hƣớng phát triển đề tài Trên tảng kiến thức đạt đề tài, tác giả đề xuất số hướng phát triển tương lai sau: Hoàn thiện giải thuật cho tốn chiều, có thay đổi không gian thời gian mà tác giả trình bày chương IV Áp dụng phương pháp PGD cho toán chiều, với ẩn số nhiều hơn, mơ tả nhiều tính chất kỹ thuật Kết hợp phương pháp PGD với số phương pháp khác để tăng tốc độ tính tốn nữa, làm giảm độ phức tạp toán bước áp dụng điều kiện biên Có thể kết hợp phương pháp PGD với phương pháp biên nhúng IBM, kết hợp phương pháp PGD với phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT TS.Nguyễn Hồi Sơn, Phương pháp tính, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh, 2004 TS Nguyễn Hoài Sơn, Trang Tấn Triển, “Matlab ứng dụng kỹ thuật”, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh, 2007 TIẾNG NƢỚC NGỒI Francisco Chinesta, Amine Ammar, Elías Cueto, Recent Advances and New Challenges in the Use of the Proper Generalized Decomposition for Solving Multidimensional Models, 12/2009 A.Dumon, C.Allery, A.Ammar, Proper General Decomposition (PGD) for the resolution of Navier-Stokes equations, 11/2010 Ch Ghnations, F Masson, A.Huerta E.Cueto, F Chinesta, Proper Generalized Decomposition Based Dynamic Data-Driven Control of Thermal Processes, 10/2010 F Chinesta, A Ammar, A Leygue, R Keunings, An overview of the proper generalized decomposition with applications in computational rheology, 1/2011 A.Ammar, F.Chinesta, E.Cueto, M Doblare, Proper Generalized Decomposition of time-multiscale models, 9/2011 C Allery, S Guerin, A Hamdouni, A Sakout, Experimental and numerical pod study of the coanda effect used to reduce self- sustained tones, Mechanics Research Communications 31 (1) (2004) 105–120 A Rajabpour, F Kowsary, V.Esfahanian, Reduction of the computational time and noise filtration in the ihcp by using the proper orthogonal decomposition (pod) method,International Communications in Heat and Mass Transfer 35 (8) (2008) 1024–1031 80 PHỤ LỤC PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG - PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION Phương trình vi phân đạo hàm riêng (partial differential equation – PDE) loại phương trình vi phân, ẩn số hàm số theo biến độc lập, đạo hàm riêng hàm số theo biến số hàm Các phương trình vi phân đạo hàm riêng thường sử dụng để mô tả hàm sóng, lan truyền âm thanh, nhiệt vật rắn, chất lỏng, khơng khí… mơ tả dịng chảy, áp suất dịng lưu chất thường gặp nghiên cứu động lực học chất lưu Phương trình vi phân dạo hàm riêng có dạng: u u 2u 2u F x1 , x2 ,, xn , u , , , , , , x1 x2 x1x1 x1x2 (P1) Với: u x1 , x2 , , xn : ẩn số chưa biết x1 , x2 , , xn : biến số độc lập Nếu F hàm tuyến tính theo u đạo hàm phương trình vi phân đạo hàm riêng gọi tuyến tính Thường gặp phương trình truyền nhiệt, phương trình sóng, phương trình Laplace Ví dụ như: 2 u x, t k u x, t , với k tham số t x Nếu u hàm theo biến x đó, phương trình vi phân gọi phương trình vi phân thường (Ordinary differential equation – ODE) Các ký hiệu thường dùng PDE: 81 u x 2u u u xy xy y x ux u u x, y, x y 2 2 u u u x, y, x y Một số phương pháp tính tốn cho PDE: Phương pháp tách biến (Separation of variables): Là phương pháp dùng để tách ẩn số phương trình vi phân đạo hàm riêng đa chiều, thành nhiều phương trình rời rạc với số chiều (chứa biến độc lập hơn) Ví dụ: Xét phương trình nhiệt chiều sau: u 2u k 0 t x (P2) Tách biến: u x, t X x T t (P3) Thay (P3) vào (P2), ta có: T ' t X '' x kT t X x (P4) Giải phương trình ta được: u x, t Dn sin n 1 n 2 kt n x exp L L2 Với Dn: hệ số xác định điều kiện toán Và vài phương pháp giải tích khác như: đổi biến, phương pháp dựa đặc trưng phương trình biểu diễn… Ngồi ra, cịn có phương pháp số sử dụng để giải PDE như: Sai phân hữu hạn (Finite difference method – FDM), Phần tư hữu hạn (Finite element method – FEM), Thể tích hữu hạn (Finite volume method) 82 PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN – FINITE DIFFERENCE METHOD (FDM) Dựa phương pháp tính xấp xỉ đạo hàm, phương pháp sai phân (FDM) chia làm nhiều loại: sai phân lùi (Backward diffference), sai phân tiến (Forward difference), sai phân trung tâm (Central difference) Bằng cách rời rạc miền khảo sát, tiến hành tính nghiệm phương trình vi phân (Difference equation) điểm nút (grid point) lưới vuông (rectangular grid) Phương pháp Sai phân hữu hạn phương pháp số bản, thường sử dụng việc tính phương trình vi phân tuyến tính Cơ sở phƣơng pháp Sai phân: Sử dụng khai triển Chuỗi khai triển Taylor (Taylor’s series expansion): h2 xi 1 xi hx x h2 xi 1 xi hx x (P5) Hình P1 Rời rạc hàm f(x) theo sai phân hữu hạn Trong đó: x(t): hàm số theo biến t xi = x (t = ti) : giá trị rời rạc t = ti h = ti+1 – ti : bước chia lưới Xấp xỉ đạo hàm bậc (First derivative) Sai phân trung tâm: 83 xi dx xi 1 xi 1 dt t 2h (P6) i Xấp xỉ đạo hàm bậc (Second derivative) Sai phân trung tâm: xi d 2x xi 1 xi xi 1 dt t h (P7) i Sai phân trung tâm cho toán trị biên bậc tự do: Phương trình vi phân cho toán: mx cx kx F t (P8) Rời rạc theo biến t, phương trình (P7) trở thành: x 2x x x x i i 1 m i 1 c i 1 i 1 kxi Fi 2t t m m x 2m x x k x x Fi t 2 2t i 1 i t 2 2t i 1 t (P9) (P10) Từ (P10) ta lập hệ gồm (n – 1) phương trình với (n – 1) ẩn số (với n: số khoảng chia) Giá trị x1 xn+1 xác định điều kiên biên cho trước.Ta dễ dàng giải hệ phương trình (P10) để tìm giá trị xi (với i = 2,3,…,n) Sử dụng phƣơng pháp Sai phân để giải phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng Để dễ dàng phân tích, chúng tơi đề xuất việc giải phương trình vi phân đạo hàm riêng sau: u 2u k 0 t x (P11) Sử dụng rời rạc theo biến x t, ta có phương pháp sau: Explicit Method: Áp dụng Sai phân tiến rời rạc đạo hàm theo t, sai phân trung tâm cho biến x: u nj 1 u nj t k u nj 1 2.u nj u nj 1 x 0 u nj 1 u nj r u nj 1 2.u nj u nj 1 84 (P12) (P13) Trong đó: u x j , tn u nj ; r k t x Ta tính giá trị u nj 1 từ cơng thức (P13) u nj 1 ru nj 1 1 2r u nj ru nj 1 (P14) Sai số đạt được: u t x Hình P2 Explicit method Implicit Method: Áp dụng sai phân lùi rời rạc đạo hàm theo t, sai phân trung tâm cho biến x: u nj 1 u nj t k u nj 11 2.u nj 1 u nj 11 x 0 (P15) Giá trị u nj 1 tính theo: 1 2r unj 1 runj11 unj runj 11 Sai số đạt được: u t x Hình P3 Implicit Method Crank – Nicolson Method: Áp dụng sai phân trung tâm tính xấp xỉ đạo hàm t = tn+1/2 ta có: 85 (P16) u nj 1 u nj t n 1 n 1 n 1 n n n u j 1 2.u j u j 1 u j 1 2.u j u j 1 k 0 2 x x (P17) Khi đó, giá trị u nj 1 tính theo: 2r unj 1 runj11 runj11 2r unj runj 1 runj 1 Sai số đạt được: u t x Hình P4 Crank-Nicolson Method Code Matlab sử dụng FDM cho toán trị biên chiều: function [R,DR,D2R]=fdm(a,b,f,dx,n,x0,xn) % -% % Calculating 2nd-ODE form: % ax” + bx = f % input: a,b,f % dx: step size % n: number of step in [x0 x(end)] % xo,xn: boundary conditions % output: x,x’,x” % -% A=zeros(n-1); B=zeros(n-1,1); R=zeros(n+1,1); DR=zeros(n+1,1); D2R=zeros(n+1,1); R(1)=x0; R(n+1)=xn; for i=1:n-1 if i==1 A(i,i)=2-b*dx^2/a; A(i,i+1)=-1; B(i)=-f(i+1)*dx^2/a+R(1); elseif i==n-1 A(i,i-1)=-1; A(i,i)=2-b*dx^2/a; B(i)=-f(i+1)*dx^2/a+R(n+1); else 86 (P18) A(i,i-1)=-1; A(i,i)=2-b*dx^2/a; A(i,i+1)=-1; B(i)=-f(i+1)*dx^2/a; end end R(2:n)=A\B; D2R=(f-b.*R)./a; DR(1)=(R(2)-R(1)-D2R(1)*dx^2/2)/dx; DR(n+1)=(R(n+1)-R(n)+D2R(n+1)*dx^2/2)/dx; DR(2:n)=(R(3:n+1)-R(1:n-1))/(2*dx); PHƢƠNG PHÁP LẶP SUCCESSIVE OVER RELAXATION (SOR) Phương pháp lặp Successive Over Relaxation(SOR) dạn biến thể phương pháp lặp Gauss-Seidel, ứng dụng giải hệ phương trình với số lần lặp phương pháp gốc Nội dung phương pháp SOR: Hệ phương trình có dạng: (P19) AX = B Với : A = D + L + U Trong đó: a11 a22 a a22 A 21 am1 am a11 0 D 0 a22 a1m a2 m amm a L 21 amm am1 b1 b B 2 bm 0 am Hệ (P19) viết lại sau: 87 0 0 a12 0 0 U 0 0 a1m a2 m D L U x b D L U x b D L x b U 1 D x 1 x n1 D L b U 1 D x n Tổng quát: xin1 1 xin m i 1 n n 1 b a x i ij j aij x j aii j i 1 j 1 Với ω = 1: phương pháp SOR trở thành phương pháp Gauss – Seidel Hệ số ω chọn khoảng: