Phương pháp lặp giải một bài toán biên song điều hòa phi tuyến

Sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải bàitoán biên cho phương trình song điều hòa.. Vấn đề tìm nghiệm không được đề cập đến trong các côngtrình nêu trên cũng như trong các c

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ HỒNG CHÂU PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI MỘT BÀI TOÁN BIÊN SONG ĐIỀU HÒA PHI TUYẾN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Thanh Hường THÁI NGUYÊN - 2023 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành tại Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của Cô giáo - Tiến sĩ Nguyễn Thanh Hường Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất tới Cô - người đã luôn theo sát, hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho tôi trong suốt quá trình từ khi thực hiện đến lúc hoàn thành luận văn Qua đây, tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến các Thầy, Cô giáo thuộc Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi hoàn thành chương trình đào tạo Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, tập thể các Thầy, Cô giáo của trường Trung học phổ thông Nguyễn Trãi, huyện Vũ Thư, tỉnh Thái Bình nơi tôi công tác đã luôn động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa học i Danh mục các chữ viết tắt và các ký hiệu RK Không gian Euclide K chiều G Miền giới nội Γ Biên của miền G G Bao đóng của miền G C (G) Không gian các hàm liên tục trên G C(G × R) Không gian các hàm liên tục trên G × R ∆ Toán tử Laplace ∆2 Toán tử song điều hòa L∞(G) Không gian các hàm bị chặn hầu khắp nơi trên G x Chuẩn của phần tử x H2(G) Không gian Sobolev các hàm có đạo hàm suy rộng cho đến cấp hai thuộc L2(G) H01(G) Không gian Sobolev các hàm triệt tiêu trên biên G, có đạo hàm suy rộng cấp một thuộc L2(G) ii Mục lục Lời cảm ơn i Danh mục các chữ viết tắt và các ký hiệu ii Mở đầu 1 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Định lý điểm bất động Banach 6 1.2 Nguyên lý cực đại đối với toán tử Laplace 9 1.3 Lược đồ sai phân với độ chính xác cấp bốn cho phương trình Poisson 10 1.4 Phương pháp rút gọn hoàn toàn giải hệ phương trình véc tơ ba điểm 12 Chương 2 Sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình song điều hòa 19 2.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán 19 2.2 Phương pháp lặp giải bài toán 24 2.3 Ví dụ số minh họa 28 Kết luận chung 36 Tài liệu tham khảo 38 iii MỞ ĐẦU Xét bài toán mô tả độ uốn của bản với các cạnh được đặt trên nền đàn hồi ∆2v = g(t, v, ∆v), t ∈ G, (0.0.1) v = 0, ∆v = 0, t ∈ Γ, ở đây G là miền bị chặn, liên thông trong R2 với biên trơn (hoặc trơn từng mảnh) Γ, ∆ là toán tử Laplace Giả thiết g(t, v, u) là hàm liên tục trong một miền bị chặn sẽ được chỉ ra sau Trong trường hợp một chiều, bài toán trên có dạng v(4)(t) = g(t, v(t), v (t)), 0 < t < 1, v(0) = v(1), v (0) = v (1) = 0 Đây là bài toán mô tả độ võng của dầm có hai đầu được gối - tựa đơn giản Mặc dù đã có nhiều công trình liên quan đến bài toán này nhưng gần đây nó vẫn thu hút được sự quan tâm của nhiều tác giả (xem, chẳng hạn, [3], [5], [9]) Xét một trường hợp đặc biệt của bài toán (0.0.1) như sau ∆2v + c∆v = g(t, v), t ∈ G, (0.0.2) v = 0, ∆v = 0, t ∈ Γ Ta điểm qua một số công trình nghiên cứu về bài toán (0.0.2) Trước tiên là công trình của Q.R Dunninger [7] năm 1972, bằng Nguyên lý cực đại, 1 tác giả chỉ ra tính duy nhất nghiệm của bài toán Sau đó vào năm 2007, bằng phương pháp biến phân, X Liu và Z.P Wang [11] đã chứng minh được sự tồn tại nghiệm không tầm thường của bài toán trong trường hợp c = 0, trong đó giả thiết hàm g(t, x) thỏa mãn các điều kiện sau: (H1) g(t, x) ∈ C(G × R); g(t, x) ≡ 0, ∀t ∈ G, x ≤ 0; g(t, x) ≥ 0, ∀t ∈ G, x > 0; (H2) limx→0+ x g(t,x) = p(t), limx→+∞ x g(t,x) = l (0 < l ≤ +∞), ở đây 0 ≤ p(t) ∈ L∞(G), p(t) ∞ < Λ1 với Λ1 là giá trị riêng thứ nhất của (∆2, H2(G) ∩ H01(G)) Với giả thiết (H1), một biến thể của (H2) và một số điều kiện khác đặt lên hàm g(t, x), trong [4], Y An và R Liu đã thiết lập sự tồn tại nghiệm không tầm thường của bài toán (0.0.2) với c < λ1, ở đây λ1 là giá trị riêng thứ nhất của −∆ trong H01(G) Trong công trình gần đây [8], ngoài giả thiết (H1) và (H2), với Λ1 là giá trị riêng thứ nhất của (∆2 + c∆, H2(G) ∩ H01(G)), S Hu và L Wang đặt thêm giả thiết (H3) Với t ∈ G, x g(t,x) không giảm theo x > 0 Với các giả thiết (H1)-(H3), các tác giả chỉ ra sự tồn tại nghiệm không tầm thường của bài toán (0.0.2) với 0 < l < Λ1 hoặc Λ1 < l < +∞ hoặc l = Λ1 Một cách tương tự, các tác giả cũng thu được kết quả về sự tồn tại nghiệm không tầm thường nếu thay giả thiết (H1) và (H3) bởi (H1’) g(t, x) ∈ C(G × R); g(t, 0) = 0, ∀t ∈ G; g(t, x)x ≥ 0, ∀(t, x) ∈ G × R; (H3’) Với t ∈ G, x g(t,x) không giảm theo x > 0 và giảm theo x < 0 Gần đây có một kết quả rất thú vị về sự tồn tại nghiệm đổi dấu cũng như nghiệm dương và nghiệm âm của bài toán (0.0.2) Kết quả này thu được trong [10] dưới một số hạn chế của (H1) và (H2) Cần nhấn mạnh rằng, các kết quả về sự tồn tại nghiệm của (0.0.2) trong 2 cả hai trường hợp c = 0 và c = 0 đều thu được bằng phương pháp biến phân Do đó, chúng mang nặng tính lý thuyết và không có ví dụ nào về nghiệm tồn tại Vấn đề tìm nghiệm không được đề cập đến trong các công trình nêu trên cũng như trong các công trình thuộc danh mục tài liệu tham khảo của các công trình này Để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài toán biên phi tuyến, ngoài phương pháp biến phân còn có một phương pháp hiệu quả khác là phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới Trong [12], C.V Pao xét bài toán tổng quát hơn bài toán (0.0.1) như sau ∆(a(t)∆v) = g(t, v, ∆v), t ∈ G, ∂v ∂(a∆v) α1(t)∂ν + β1(t)v = h1(t), α2(t) ∂ν + β2(t)(a∆v) = h2(t), t ∈ Γ (0.0.3) Bằng phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới, C.V Pao đã chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (0.0.3) với giả thiết hàm g(t, v, u) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo v, u và đơn điệu theo v khi xét trong một miền được xác định qua nghiệm trên và nghiệm dưới, kèm theo đó là một số điều kiện liên quan tới a(t) và các đạo hàm riêng của g(t, v, u) Trong công trình tiếp theo [13], để giải số bài toán (0.0.3), C.V Pao đưa bài toán ban đầu về cặp hệ phương trình đối với v và u = −a∆v, sau đó áp dụng xấp xỉ sai phân đối với các hệ này Một số lược đồ lặp như Picard, Gauss-Seidel và Jacobi, hội tụ đơn điệu tới nghiệm duy nhất của bài toán đã được đề xuất Sự phát triển hơn nữa của kỹ thuật lặp đơn điệu này có trong các công trình của Y.M Wang [17]-[20], ở đây tác giả đưa ra một số ví dụ minh họa cho hiệu quả của các lược đồ lặp Khác với các phương pháp được đề cập ở trên, xuất phát từ ý tưởng của bài báo [6] năm 2006 khi nghiên cứu bài toán biên cho phương trình kiểu 3 song điều hòa tuyến tính với điều kiện biên Neumann, trong công trình [2], các tác giả đưa bài toán (0.0.1) về phương trình toán tử đối với thành phần phi tuyến trong phương trình và chứng minh với một số điều kiện đơn giản, toán tử này là toán tử co Từ đó sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán được thiết lập, đồng thời phương pháp lặp tìm nghiệm hội tụ Phương pháp lặp dẫn đến việc giải một dãy các bài toán biên cho phương trình Poisson Do đó ta có thể sử dụng các thuật toán hiệu quả đã có sẵn để giải dãy các bài toán này Trong công trình [2], một số ví dụ số được đưa ra để minh họa cho các kết quả lý thuyết và thể hiện hiệu quả của phương pháp lặp đề xuất Ở đây các tác giả sử dụng các lược đồ sai phân với độ chính xác cấp hai và cấp bốn Với mục đích tìm hiểu sâu phương pháp nghiên cứu trong công trình [2] đối với bài toán (0.0.1) và lấy đó làm nền tảng để nghiên cứu đầy đủ cả định tính lẫn định lượng của các bài toán biên cho phương trình đạo hàm riêng cấp bốn với các loại điều kiện biên khác, chúng tôi lựa chọn đề tài: "Phương pháp lặp giải một bài toán biên song điều hòa phi tuyến" Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn gồm 2 chương: Chương 1 trình bày các kiến thức bổ trợ bao gồm một số không gian hàm; Định lý điểm bất động Banach; Lược đồ sai phân với độ chính xác cấp bốn cho phương trình Poisson; Phương pháp rút gọn hoàn toàn giải hệ phương trình véc tơ ba điểm; Nguyên lý cực đại đối với toán tử Laplace Các kiến thức cơ bản trong Chương 1 đóng vai trò rất quan trọng, làm nền tảng cho các kết quả được trình bày trong Chương 2 Nội dung của Chương 1 được tham khảo từ các tài liệu [1, 14, 15, 16, 21] Trong Chương 2, trên cơ sở đọc hiểu tài liệu [2], đối với bài toán biên cho phương trình song điều hòa, bằng cách tiếp cận đưa bài toán đã cho về 4 phương trình toán tử đối với các thành phần phi tuyến, chứ không phải đối với ẩn hàm, luận văn trình bày sự tồn tại duy nhất nghiệm, tính dương của nghiệm, trình bày phương pháp lặp tìm nghiệm và sự hội tụ của phương pháp lặp, xét tính đơn điệu của dãy xấp xỉ nghiệm Một số ví dụ trong cả hai trường hợp biết trước hoặc không biết trước nghiệm đúng đã minh họa cho tính đúng đắn của các kết quả lý thuyết và hiệu quả của phương pháp lặp tìm nghiệm Trong luận văn, các kết quả lý thuyết đã được kiểm tra bằng các thực nghiệm tính toán được lập trình trong môi trường MATLAB 5 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày một số kết quả bổ trợ cho Chương 2 của luận văn Nội dung chính của chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [1, 14, 15, 16, 21] 1.1 Định lý điểm bất động Banach Định nghĩa 1.1 (Xem [1]) Cho X là một tập hợp khác rỗng Một metric trên X là một ánh xạ d : X × X −→ R+ thỏa mãn các điều kiện sau: a) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; d(x, y) = 0 ⇔ x = y, b) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X, c) d(x, y) d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X Khi đó, d được gọi là khoảng cách hay một metric trên X, (X, d) được gọi là không gian metric Định nghĩa 1.2 (Xem [1]) Dãy {xn} trong không gian metric (X, d) được gọi là hội tụ đến x0 ∈ X nếu lim d(xn, x0) = 0 n→∞ Khi đó, ta viết lim xn = x0 hoặc xn → x0 và x0 được gọi là giới hạn của n→∞ dãy {xn} Định nghĩa 1.3 (Xem [1]) Cho (X, d) là một không gian metric Dãy 6