Phương pháp lặp giải một bài toán biên song điều hòa phi tuyến

Sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải bàitoán biên cho phương trình song điều hòa.. Vấn đề tìm nghiệm không được đề cập đến trong các côngtrình nêu trên cũng như trong các c

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

TRẦN THỊ HỒNG CHÂU

PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI MỘT BÀI TOÁN BIÊN

SONG ĐIỀU HÒA PHI TUYẾN

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, tập thể các Thầy,

Cô giáo của trường Trung học phổ thông Nguyễn Trãi, huyện Vũ Thư,tỉnh Thái Bình nơi tôi công tác đã luôn động viên và tạo mọi điều kiệnthuận lợi cho tôi hoàn thành khóa học

Danh mục các chữ viết tắt và các

ký hiệu

RK Không gian Euclide K chiều

G Miền giới nội

Γ Biên của miền G

G Bao đóng của miền G

C(G) Không gian các hàm liên tục trên G

C(G ×R) Không gian các hàm liên tục trên G ×R

∆ Toán tử Laplace

∆2 Toán tử song điều hòa

L∞(G) Không gian các hàm bị chặn hầu khắp nơi trên Gkxk Chuẩn của phần tử x

H2(G) Không gian Sobolev các hàm có đạo hàm suy rộng

cho đến cấp hai thuộc L2(G)

H01(G) Không gian Sobolev các hàm triệt tiêu trên biên G,

có đạo hàm suy rộng cấp một thuộc L2(G)

Mục lục

Lời cảm ơn i

Danh mục các chữ viết tắt và các ký hiệu ii

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 6

1.1 Định lý điểm bất động Banach 6

1.2 Nguyên lý cực đại đối với toán tử Laplace 9

1.3 Lược đồ sai phân với độ chính xác cấp bốn cho phương trình Poisson 10 1.4 Phương pháp rút gọn hoàn toàn giải hệ phương trình véc tơ ba điểm 12 Chương 2 Sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình song điều hòa 19

2.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán 19

2.2 Phương pháp lặp giải bài toán 24

2.3 Ví dụ số minh họa 28

Kết luận chung 36

Tài liệu tham khảo 38

Trong trường hợp một chiều, bài toán trên có dạng

v(4)(t) = g(t, v(t), v00(t)), 0 < t < 1,v(0) = v(1), v00(0) = v00(1) = 0

Đây là bài toán mô tả độ võng của dầm có hai đầu được gối - tựa đơngiản Mặc dù đã có nhiều công trình liên quan đến bài toán này nhưnggần đây nó vẫn thu hút được sự quan tâm của nhiều tác giả (xem, chẳnghạn, [3], [5], [9])

Xét một trường hợp đặc biệt của bài toán (0.0.1) như sau

∆2v + c∆v = g(t, v), t ∈ G,

v = 0, ∆v = 0, t ∈ Γ

(0.0.2)

Ta điểm qua một số công trình nghiên cứu về bài toán (0.0.2) Trước tiên

là công trình của Q.R Dunninger [7] năm 1972, bằng Nguyên lý cực đại,

tác giả chỉ ra tính duy nhất nghiệm của bài toán Sau đó vào năm 2007,bằng phương pháp biến phân, X Liu và Z.P Wang [11] đã chứng minhđược sự tồn tại nghiệm không tầm thường của bài toán trong trường hợp

c = 0, trong đó giả thiết hàm g(t, x) thỏa mãn các điều kiện sau:

(∆2 + c∆, H2(G) ∩ H01(G)), S Hu và L Wang đặt thêm giả thiết

(H3) Với t ∈ G, g(t,x)x không giảm theo x > 0

Với các giả thiết (H1)-(H3), các tác giả chỉ ra sự tồn tại nghiệm khôngtầm thường của bài toán (0.0.2) với 0 < l < Λ1 hoặc Λ1 < l < +∞ hoặc

l = Λ1 Một cách tương tự, các tác giả cũng thu được kết quả về sự tồntại nghiệm không tầm thường nếu thay giả thiết (H1) và (H3) bởi

(H1’) g(t, x) ∈ C(G ×R); g(t, 0) = 0, ∀t ∈ G; g(t, x)x ≥ 0, ∀(t, x) ∈

G ×R;

(H3’) Với t ∈ G, g(t,x)x không giảm theo x > 0 và giảm theo x < 0.Gần đây có một kết quả rất thú vị về sự tồn tại nghiệm đổi dấu cũngnhư nghiệm dương và nghiệm âm của bài toán (0.0.2) Kết quả này thuđược trong [10] dưới một số hạn chế của (H1) và (H2)

Cần nhấn mạnh rằng, các kết quả về sự tồn tại nghiệm của (0.0.2) trong

cả hai trường hợp c = 0 và c 6= 0 đều thu được bằng phương pháp biếnphân Do đó, chúng mang nặng tính lý thuyết và không có ví dụ nào vềnghiệm tồn tại Vấn đề tìm nghiệm không được đề cập đến trong các côngtrình nêu trên cũng như trong các công trình thuộc danh mục tài liệu thamkhảo của các công trình này.

Để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài toán biên phi tuyến, ngoàiphương pháp biến phân còn có một phương pháp hiệu quả khác là phươngpháp nghiệm trên nghiệm dưới Trong [12], C.V Pao xét bài toán tổngquát hơn bài toán (0.0.1) như sau

g(t, v, u) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo v, u và đơn điệu theo v khixét trong một miền được xác định qua nghiệm trên và nghiệm dưới, kèmtheo đó là một số điều kiện liên quan tới a(t) và các đạo hàm riêng của

g(t, v, u) Trong công trình tiếp theo [13], để giải số bài toán (0.0.3), C.V.Pao đưa bài toán ban đầu về cặp hệ phương trình đối vớiv và u = −a∆v,sau đó áp dụng xấp xỉ sai phân đối với các hệ này Một số lược đồ lặpnhư Picard, Gauss-Seidel và Jacobi, hội tụ đơn điệu tới nghiệm duy nhấtcủa bài toán đã được đề xuất Sự phát triển hơn nữa của kỹ thuật lặp đơnđiệu này có trong các công trình của Y.M Wang [17]-[20], ở đây tác giảđưa ra một số ví dụ minh họa cho hiệu quả của các lược đồ lặp

Khác với các phương pháp được đề cập ở trên, xuất phát từ ý tưởng củabài báo [6] năm 2006 khi nghiên cứu bài toán biên cho phương trình kiểu

song điều hòa tuyến tính với điều kiện biên Neumann, trong công trình[2], các tác giả đưa bài toán (0.0.1) về phương trình toán tử đối với thànhphần phi tuyến trong phương trình và chứng minh với một số điều kiệnđơn giản, toán tử này là toán tử co Từ đó sự tồn tại duy nhất nghiệm củabài toán được thiết lập, đồng thời phương pháp lặp tìm nghiệm hội tụ.Phương pháp lặp dẫn đến việc giải một dãy các bài toán biên cho phươngtrình Poisson Do đó ta có thể sử dụng các thuật toán hiệu quả đã có sẵn

để giải dãy các bài toán này Trong công trình [2], một số ví dụ số đượcđưa ra để minh họa cho các kết quả lý thuyết và thể hiện hiệu quả củaphương pháp lặp đề xuất Ở đây các tác giả sử dụng các lược đồ sai phânvới độ chính xác cấp hai và cấp bốn

Với mục đích tìm hiểu sâu phương pháp nghiên cứu trong công trình[2] đối với bài toán (0.0.1) và lấy đó làm nền tảng để nghiên cứu đầy đủ

cả định tính lẫn định lượng của các bài toán biên cho phương trình đạohàm riêng cấp bốn với các loại điều kiện biên khác, chúng tôi lựa chọn đềtài: "Phương pháp lặp giải một bài toán biên song điều hòa phi tuyến".Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chínhcủa luận văn gồm 2 chương:

Chương 1 trình bày các kiến thức bổ trợ bao gồm một số không gianhàm; Định lý điểm bất động Banach; Lược đồ sai phân với độ chính xáccấp bốn cho phương trình Poisson; Phương pháp rút gọn hoàn toàn giải hệphương trình véc tơ ba điểm; Nguyên lý cực đại đối với toán tử Laplace.Các kiến thức cơ bản trong Chương 1 đóng vai trò rất quan trọng, làmnền tảng cho các kết quả được trình bày trong Chương 2 Nội dung củaChương 1 được tham khảo từ các tài liệu [1, 14, 15, 16, 21]

Trong Chương 2, trên cơ sở đọc hiểu tài liệu [2], đối với bài toán biêncho phương trình song điều hòa, bằng cách tiếp cận đưa bài toán đã cho về

phương trình toán tử đối với các thành phần phi tuyến, chứ không phải đốivới ẩn hàm, luận văn trình bày sự tồn tại duy nhất nghiệm, tính dương củanghiệm, trình bày phương pháp lặp tìm nghiệm và sự hội tụ của phươngpháp lặp, xét tính đơn điệu của dãy xấp xỉ nghiệm Một số ví dụ trong

cả hai trường hợp biết trước hoặc không biết trước nghiệm đúng đã minhhọa cho tính đúng đắn của các kết quả lý thuyết và hiệu quả của phươngpháp lặp tìm nghiệm

Trong luận văn, các kết quả lý thuyết đã được kiểm tra bằng các thựcnghiệm tính toán được lập trình trong môi trường MATLAB

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số kết quả bổ trợ cho Chương 2 của luậnvăn Nội dung chính của chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu[1, 14, 15, 16, 21]

Định nghĩa 1.1 (Xem [1]) Cho X là một tập hợp khác rỗng Một metrictrên X là một ánh xạ d : X × X −→ R+ thỏa mãn các điều kiện sau:a) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; d(x, y) = 0 ⇔ x = y,

b) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X,

c) d(x, y)6 d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X

Khi đó, d được gọi là khoảng cách hay một metric trên X, (X, d) được gọi

là không gian metric

Định nghĩa 1.2 (Xem [1]) Dãy{xn} trong không gian metric(X, d) đượcgọi là hội tụ đến x0 ∈ X nếu

lim

n→∞d(xn, x0) = 0

Khi đó, ta viết lim

n→∞xn = x0 hoặc xn → x0 và x0 được gọi là giới hạn củadãy {xn}

Định nghĩa 1.3 (Xem [1]) Cho (X, d) là một không gian metric Dãy

{xn} ⊂ X được gọi là dãy Cauchy hay dãy cơ bản nếu

lim

tức là,

với ∀ε > 0, ∃n0, ∀n, m ≥ n0 : d(xn, xm) < ε

Định nghĩa 1.4 (Xem [1]) Một không gian metric (X, d) được gọi là đầy

đủ nếu trong X mọi dãy Cauchy đều hội tụ

Định nghĩa 1.5 (Xem [1]) Cho X là một không gian véc tơ trên trường

K (thực hoặc phức) Một chuẩn trên X là một ánh xạ k k: X −→ R+

lim

n→∞ k xn − x0 k= 0

Định nghĩa 1.6 (Xem [1]) Không gian Banach là một không gian tuyếntính định chuẩn đầy đủ

Định nghĩa 1.7 (Xem [21]) Giả sử (X, d) là không gian metric, T làánh xạ từ X vào X Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của T nếu

x = T x

Để đảm bảo sự tồn tại điểm bất động ta phải quan tâm đến các điềukiện đặt lên ánh xạ cũng như các điều kiện đặt lên miền xác định của ánh

xạ đó Định lý điểm bất động Banach không những khẳng định sự tồn tại

mà còn chỉ ra sự duy nhất của điểm bất động, đồng thời cho ta phươngpháp lặp tìm điểm bất động Từ đánh giá sai số hậu nghiệm, với sai số chophép, ta có thể xác định được giá trị xấp xỉ của điểm bất động Từ đánhgiá sai số tiên nghiệm ta có thể ước lượng được số lần lặp để đạt được độchính xác cho trước

Trước tiên ta xét khái niệm về toán tử co như sau:

Định nghĩa 1.8 (Xem [21]) Toán tử T : D ⊆ X → X trên không gianmetric (X, d) được gọi là co với hệ số q khi và chỉ khi tồn tại 0 ≤ q < 1

Câu trả lời được thể hiện qua Định lý điểm bất động Banach sau:

Định lý 1.1 (Xem [21]) (Định lý điểm bất động Banach (1922))

Giả sử

(i) D là tập đóng, khác rỗng trong không gian mêtric đầy đủ (X, d);

(ii) T : D → D là một ánh xạ từ D vào chính nó;

(iii) T là một ánh xạ co với hệ số co q

Khi đó

a) Sự tồn tại và duy nhất nghiệm: T có duy nhất một điểm bất động trên

D, tức là phương trình (1.1.1) có duy nhất nghiệm x

b) Sự hội tụ của phương pháp lặp: với mọi xấp xỉ ban đầu x0 tùy ý trong

D, dãy xấp xỉ liên tiếp {xk} hội tụ tới nghiệm x

c) Đánh giá sai số: Với mọi k = 0, 1, 2, ta có đánh giá sai số tiên nghiệm

Cho u(t1, t2, , tn) là hàm có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trênmiền G trong không gian Euclidean n chiều Toán tử Laplace được địnhnghĩa như sau:

Giả sử u đạt cực đại địa phương tại một điểm trong của G Khi đó như ta

đã biết tại điểm này

≤ 0

Do đó tại điểm mà hàm đạt cực đại địa phương 4u ≤ 0.

Từ ví dụ đơn giản trên ta có thể rút ra kết luận: Nếu hàm u thỏa mãn

4u > 0 tại mỗi điểm của G thì u không thể đạt cực đại tại bất cứ điểmtrong nào củaG Ta có Nguyên lý cực đại đối với toán tử Laplace như sau:Định lý 1.2 (Xem [14]) (Nguyên lý cực đại)

Giả sử 4u ≥ 0 trong miền G Khi đó nếu cực đại M của u đạt được tạimột điểm trong của G thì u ≡ M trong G

Hệ quả 1.1 Giả sử ui(i = 1, 2) tương ứng là các nghiệm của các bài toán

Nội dung của phần này được tham khảo trong tài liệu [15]

Trong mặt phẳng xét phương trình Poisson

Lu = 4u = L1u + L2u = −f (t), t = (t1, t2), Lαu = ∂

∂t2 α

, α = 1, 2

(1.3.1)Các toán tử L1u, L2u được xấp xỉ tại điểm (t1, t2) như sau

trong đó h1, h2 > 0 là các bước lưới dọc theo trục t1, t2.

Đối với toán tử sai phân

Λu = Λ1u + Λ2u = ut1t1 + ut2t2

ta có

Λu − Lu = h

2 1

12L

2

2 2

ở đây G là hình chữ nhật có độ dài các cạnh là L1, L2.

Phủ G bởi lưới

ωkh = {tij = (ik, jh)| i = 0, 1, , M, j = 0, 1, , N }

với k = L1/M, h = L2/N Bài toán vi phân đang xét luôn đưa được vềcác hệ phương trình véc tơ ba điểm tương ứng dạng

−Yj−1+ CYj − Yj+1 = Fj, 1 ≤ j ≤ N − 1,

Y0 = F0, YN = FN,

(1.4.1)

trong đó Yj là véc tơ cần tìm, C là ma trận vuông, Fj là véc tơ cho trước

Ý tưởng của phương pháp rút gọn hoàn toàn giải (1.4.1) là khử liêntiếp các ẩn Yj, đầu tiên với các j lẻ, sau đó từ các phương trình còn lạikhử các Yj với j là bội của 2, rồi bội của 4, Mỗi bước khử sẽ giảm đượcmột nửa số ẩn Như vậy nếu N = 2n thì sau một số lần khử sẽ chỉ còn lạimột phương trình chứa véc tơ ẩn YN/2 mà từ đó YN/2 có thể tính được qua

Y0, YN Sau khi biết Y0, YN/2, YN thì quá trình ngược lại là việc tìm các Yj

với j là bội của N/4, rồi bội của N/8,

Sau đây ta sẽ mô tả cụ thể phương pháp Giả sử N = 2n, n > 0 Kíhiệu

Từ các phương trình của (1.4.2) ta khử các Yj với j lẻ Muốn vậy, ta viết

ba phương trình liên tiếp

−Yj−2 + C(0)Yj−1− Yj = Fj−1(0),

−Yj−1 + C(0)Yj − Yj+1 = Fj(0),

−Yj + C(0)Yj+1− Yj+2 = Fj+1(0)

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với C(0) rồi cộng cả ba phương trìnhlại ta được

C(0)Yj = Fj(0)+ Yj−1+ Yj+1, j = 1, 3, , N − 1 (1.4.4)Như vậy hệ (1.4.1) tương đương với hệ gồm (1.4.3) và (1.4.4)

Bước khử thứ hai

Tương tự với cách làm ở bước khử thứ nhất, Ở bước khử này ta khử các

Yj của hệ (1.4.3) với j là bội của 2 nhưng không là bội của 4

Cứ tiếp tục quá trình khử như trên, kết quả là sau bước khử thứ l tanhận được hệ gồm N

2l − 1 ẩn Yj, trong đó j là bội của 2l

Để giảm khối lượng tính toán khi tính các Fj(k) theo (1.4.7), thay choviệc tính các Fj(k), ta sẽ tính các véc tơ p(k)j , q(k)j liên hệ với Fj(k) theo côngthức

Khi đó kết hợp với điều kiện

sẽ cho ta nghiệm của (1.4.16) là v = v2k−1.

Tóm lại, qua các bước phân tích như ở trên, ta có thuật toán rút gọnhoàn toàn giải (1.4.1) như sau:

Chương 2

Sự tồn tại duy nhất nghiệm và

phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình song điều hòa

Trong chương 2, dựa trên cơ sở đọc hiểu tài liệu [2], luận văn tậptrung trình bày một cách có hệ thống các kết quả về sự tồn tại duy nhấtnghiệm và phương pháp lặp giải gần đúng bài toán biên cho phương trìnhsong điều hòa (0.0.1)

∆2v = g(t, v, ∆v), t ∈ G,

v = 0, ∆v = 0, t ∈ Γ,

trong đó G là miền bị chặn, liên thông trong R2 với biên trơn (hoặc trơntừng mảnh) Γ, ∆ là toán tử Laplace

Để thiết lập sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán ta đưa bài toán đãcho về phương trình toán tử đối với thành phần phi tuyến trong phươngtrình, sau đó áp dụng Định lý điểm bất động Banach đối với toán tử này

Cụ thể như sau: Với hàm ψ(t) ∈ C(G), xét toán tử T : C(G) → C(G)

được định nghĩa bởi

(T ψ)(t) = g(t, v(t), ∆v(t)), (2.1.1)

ở đây v(t) là nghiệm của bài toán sau

∆2v = ψ(t) = (T ψ)(t) = g(t, v(t), ∆v(t)),

v = ∆v = 0, t ∈ Γ

Do đó v là nghiệm của bài toán (0.0.1)

Ngược lại, giả sử hàmv là nghiệm của (2.1.2) thỏa mãn bài toán (0.0.1).Khi đó

ψ(t) = g(t, v(t), ∆v(t)) = (T ψ)(t)

Do đó ψ là điểm bất động của toán tử T Mệnh đề được chứng minh

Từ mệnh đề trên ta thấy, việc tìm nghiệm của bài toán (0.0.1) được đưa

về việc tìm điểm bất động của toán tử T được xác định ở (2.1.1), (2.1.2)

Để xét một số tính chất của toán tử T ta cần đến bổ đề sau:

Bổ đề 2.1 Giả sử G là miền bị chặn, liên thông trong RK (K ≥ 2) vớibiên trơn (hoặc trơn từng mảnh) Γ Khi đó, đối với nghiệm của bài toán

−∆v = g(t), t ∈ G,

v = 0, t ∈ Γ

Kết hợp điều này với (2.1.6) ta được (2.1.4).

Trường hợp đặc biệt, nếu Glà hình vuông đơn vị thì ta chọn R =√

B[O, N ] = {ψ ∈ C(G)| kψk ≤ N }

là hình cầu đóng tâm O bán kính N trong C(G)

Định lý 2.1 Giả sử tồn tại các hằng số N > 0, L1, L2 ≥ 0 sao cho

Như vậy, với t ∈ G ta có (t, v, u) ∈ DN Do đó, từ giả thiết (2.1.7) về tính

bị chặn bởi N của hàm g ta suy ra kT ψk ≤ N, nghĩa là, T ψ ∈ B[O, N ],hay nói cách khác T ánh xạ B[O, N ] vào chính nó

Bước tiếp theo ta chứng minh T là toán tử co trong B[O, N ] Thật vậy,lấy bất kỳ ψ1, ψ2 ∈ B[O, N ] và kí hiệu u1, v1; u2, v2 tương ứng là nghiệmcủa các bài toán

Do đó bài toán (0.0.1) có nghiệm duy nhấtv(t) thỏa mãnkvk ≤ CG2N